专题03 二项分布、超几何分布、正态分布（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

专题03 二项分布、超几何分布、正态分布 （题型突破·举一反三） 题型01 二项分布均值与方差 题型02 超几何分布均值与方差 题型03 利用二项分布求分布列 题型04 利用超几何分布求分布列 题型05 二项分布与超几何分布的综合 题型06 二项分布的概率最大问题 题型07 正态曲线的性质以及对称性求参数 题型08 正态分布的实际应用 ▌题型01 二项分布均值与方差 二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)． 【典例1】（25-26高二下·天津·阶段检测）曼尼同学在操场跑圈，每周2次，一次跑4圈或5圈．第一次跑4圈或5圈的概率均为0.5，若第一次跑4圈，则第二次跑4圈的概率为0.3，跑5圈的概率为0.7；若第一次跑5圈，则第二次跑4圈的概率为0.6，跑5圈的概率为0.4．曼尼每周跑9圈的概率为________；若每周至少跑9圈为运动量达标，则连续跑8周，记合格周数为X，则________ 【变式1-1】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望____________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为____________． 【变式1-2】（25-26高二下·陕西西安·期末）某篮球运动员投篮的命中率为，现投了次球． (1)求恰有次命中的概率； (2)求至多有次命中的概率； (3)设命中的次数为，求 【变式1-3】（25-26高二下·青海西宁·期末）已知随机变量，随机变量，则（    ） A．-12 B．-4 C．4 D．12 ▌题型02 超几何分布均值与方差 超几何分布的均值与方差 随机变量服从超几何分布，记作， 超几何分布的期望公式为 超几何分布的方差公式 【典例2】（25-26高二下·山东枣庄·期末）（多选）袋子中有除颜色外完全相同的6个小球，其中白球4个，红球2个.从中不放回地随机抽取3个球.设取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）在件工艺品中，有件二等品，件一等品，现从中不放回地抽取件，设抽得二等品件数为，则的值为______． 【变式2-2】（25-26高二下·山东淄博·期末）一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则随机变量服从超几何分布，记作，则．现一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机不放回地摸出3个球作为样本，用表示样本中白球的个数，则__________． 【变式2-3】（25-26高二上·江西上饶·期末）（多选）一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 ▌题型03 利用二项分布求分布列 二项分布 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 【注意】(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1 (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布 二项分布问题的两个关注点 (1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)参数意义：X～B(n，p)中，n为试验次数，p为成功概率． (3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率． 【典例3】（25-26高二下·天津·期末）某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率； (2)求该学生在路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及方差． 【变式3-1】（25-26高二下·北京房山·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·河南信阳·期末）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”． (1)求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望． 【变式3-3】（25-26高二下·山东威海·期末）已知袋中有2个红球，2个黄球，6个蓝球，且所有球的形状、大小、质地相同，从中随机地连续抽取3次，每次取出1个球． (1)若每次抽取后都不放回，求恰好取到2个蓝球的概率； (2)若每次抽取后都放回． （i）求至少2次取到蓝球的概率； （ii）记取出球的颜色种数为，求的分布列及数学期望． ▌题型04 利用超几何分布求分布列 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【注意】(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件” (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型 【典例4】（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台，从中随机挑选出台电脑． (1)求挑选出的台电脑中品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍的概率； (2)设挑选出的台电脑中品牌电脑的台数为，求的分布列与数学期望． 【变式4-1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）某福利站点收纳16张外观完全一致的即开型彩票：一等奖（奖金600元）共3张，二等奖（奖金320元）共6张，三等奖（奖金120元）共7张，现从中随机抽出3张彩票． (1)求抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率； (2)记表示抽出的3张彩票中一等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望． 【变式4-2】（25-26高二下·安徽·期末）（多选）学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，则下列说法正确的有（     ） A．服从超几何分布 B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·重庆·期末）已知袋中装有 4 个白球和 2 个黑球， 所有球除颜色外完全相同. (1)若从袋中随机不放回地连续抽取 3 次，每次抽取 1 个球，设取到白球的个数为 ，求 的分布列: (2)若从袋中随机有放回地连续抽取 3 次，每次抽取 1 个球，规定摸到黑球得 3 分，摸到白球得 1 分，设 3 次抽取的总得分为 ，求 的数学期望. ▌题型05 二项分布与超几何分布的综合 【典例5】（25-26高二下·吉林·期末）某高校实行提前自主招生，老师从个不同的试题中随机抽取个让学生作答，已知甲同学能答对这个试题中的个，乙同学答对每道题的概率均为，每道题答对得分，答错扣分． (1)若甲同学答对的题数为，求的分布列以及数学期望； (2)若乙同学的得分为，求． 【变式5-1】（25-26高二下·山西吕梁·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的． (1)求小明可以背诵2首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 【变式5-2】（25-26高二下·山东青岛·期末）某科技公司研发了一款新型智能驾驶系统，为了确保系统在复杂环境下的稳定性，现对该系统进行仿真测试，已知测试题库中共有10种不同的虚拟场景，其中包含3种极端天气场景（暴雨、暴雪、浓雾）和7种常规天气场景．测试过程中，系统将随机邀请6位算法工程师，每位工程师从这10种场景中随机抽取3种进行测试，每位工程师完成测试后，系统将自动重置场景库，且不同工程师之间的测试相互独立． (1)求工程师甲抽取的3种场景中，恰好包含1种极端天气场景的概率； (2)设为6位工程师中，抽取的3种场景里至少包含1种极端天气场景的工程师人数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)设为这6位工程师测试后，所有被测试到的极端天气场景的总测试时长（每测试1种极端天气场景需花费50小时算力），求的数学期望． 【变式5-3】（25-26高二下·广西百色·期末）端午节前夕，某食品公司做好了大量粽子礼盒，每个礼盒中均装有黑糯肉粽和白糯绿豆粽两种粽子．在出售前的检查中，该公司相关人员随机抽取6件粽子，其中黑糯肉粽和白糯绿豆粽各3件． (1)从这6个抽取的粽子中，采用不放回抽样的方式任取2个，记取到的白糯绿豆粽有X件，求X的分布列、期望和方差． (2)若用上述抽取的6个粽子中黑糯肉粽所占的频率估计从这批粽子中任取一个是黑糯肉粽的概率．现从这批粽子中采用有放回抽样的方式随机抽取3个，用表示抽到黑糯肉粽的件数，求的期望与方差，并求抽到黑糯肉粽不超过2个的概率． ▌题型06 二项分布的概率最大问题 【典例6】（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（25-26高二下·河南新乡·期末）某零件生产车间对甲、乙两台机器生产的零件进行检验，甲生产的零件占，乙生产的零件占，甲生产的零件的合格率为，乙生产的零件的合格率为． (1)从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取1个，求该零件合格的概率． (2)若从乙生产的零件中随机抽取10个，其中有个合格品的概率为，求为何值时，取得最大值． (3)若甲生产了7个零件，其中有3个零件不合格，现从这7个零件中不放回地抽取零件进行检测，每次抽取1个零件，直到将所有不合格零件全部检测出时终止．每个零件在每一次抽取时被抽出的概率是相等的．用表示抽取零件终止时所需要的抽取次数，求的分布列和期望． 【变式6-2】（25-26高二下·重庆·期末）某农学研究所开发了一种可在沙化严重的土壤上种植的粮食作物，在大规模推广之前，需要进行育种试验.若每一颗试验种子的成苗率为，且种子是否成苗相互独立. (1)若有10颗试验种子，且成苗率，求： （i）恰有7颗成苗的概率； （ii）成苗种子数量的平均值和方差. (2)每100颗试验种子为一个实验组，若有一个实验组恰有70颗成苗的概率最大，求的取值范围. 【变式6-3】（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）某工厂有甲、乙两台机器设备生产同一型号的零件，经质检人员抽样检测发现: 甲机器生产的一批零件的合格率为94%，乙机器生产的一批零件的合格率为98%，已知甲、乙两台机器各生产的这批零件的数量很大，请用频率估计概率解答下列问题. (1)现从甲机器和乙机器生产的这批零件中各抽取1个零件，求这2个零件中恰有1件为合格品的概率; (2)若甲机器和乙机器各生产的这批零件混合放在一起，其合格率为 97%，现从混合放在一起的零件中随机抽取件. （i）当时，记这3个零件来自甲机器生产的零件的个数为，求的分布列和数学期望； （ii）记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时的值. ▌题型07 正态曲线的性质以及对称性求参数 正态曲线及其特征 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：∀x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1． (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当参数σ取固定值时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当参数μ取固定值时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【注意】正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1 利用正态分布的性质求概率 (1)三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率大约只有0.002 7，几乎不可能发生．它在产品检查、质量检验中起着重要的作用． 【典例7】（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，若，则________． 【变式7-1】（25-26高二下·湖南·期末）下列说法错误的是（     ） A．已知随机变量X服从正态分布，则 B．已知随机变量X服从正态分布，且，则 C．已知随机变量X服从正态分布，则 D．设随机变量服从正态分布，若，则 【变式7-2】（25-26高二下·山东潍坊·期末）甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲类水果的平均质量为 B． C． D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【变式7-3】（25-26高二下·吉林·期末）已知，若，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．4 ▌题型08 正态分布的实际应用 【典例8】（25-26高二下·广东广州·期末）从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)已知这件产品质量指标值的样本方差为，由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（ⅰ）的结果，试问当为何值时，最大？并说明理由． 附：．若， 则，． 【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 【变式8-2】（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【变式8-3】（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二项分布、超几何分布、正态分布 （题型突破·举一反三） 题型01 二项分布均值与方差 题型02 超几何分布均值与方差 题型03 利用二项分布求分布列 题型04 利用超几何分布求分布列 题型05 二项分布与超几何分布的综合 题型06 二项分布的概率最大问题 题型07 正态曲线的性质以及对称性求参数 题型08 正态分布的实际应用 ▌题型01 二项分布均值与方差 二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)． 【典例1】（25-26高二下·天津·阶段检测）曼尼同学在操场跑圈，每周2次，一次跑4圈或5圈．第一次跑4圈或5圈的概率均为0.5，若第一次跑4圈，则第二次跑4圈的概率为0.3，跑5圈的概率为0.7；若第一次跑5圈，则第二次跑4圈的概率为0.6，跑5圈的概率为0.4．曼尼每周跑9圈的概率为________；若每周至少跑9圈为运动量达标，则连续跑8周，记合格周数为X，则________ 【答案】 0.65 6.8 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设曼尼同学一周跑9圈为事件，设第一次跑4圈为事件，设第二次跑4圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，. 【变式1-1】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望____________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为____________． 【答案】 【详解】由题意可知，三次配送结果相互独立，每次准时送达的概率均为， 因此准时送达的次数， ； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“该骑手恰好准时送达两次”， 显然，故， ， ， 所以. 【变式1-2】（25-26高二下·陕西西安·期末）某篮球运动员投篮的命中率为，现投了次球． (1)求恰有次命中的概率； (2)求至多有次命中的概率； (3)设命中的次数为，求 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用次独立重复试验的概率计算公式，求出恰有2次投中的概率； （2）利用次独立重复试验的概率计算公式，求得3次全命中的概率，再根据对立事件的概率关系求出至多有2次投中的概率； （3）由题意可知，命中的次数，根据二项分布的方差公式即可求得． 【详解】（1）某篮球运动员投篮的命中率为，现投了次球． 所以恰有次命中的概率为； （2）由题意知，3次全命中的概率为， 所以至多有次命中的概率为； （3）设命中的次数为，则， 所以的方差. 【变式1-3】（25-26高二下·青海西宁·期末）已知随机变量，随机变量，则（    ） A．-12 B．-4 C．4 D．12 【答案】D 【详解】因为，所以. 所以． ▌题型02 超几何分布均值与方差 超几何分布的均值与方差 随机变量服从超几何分布，记作， 超几何分布的期望公式为 超几何分布的方差公式 【典例2】（25-26高二下·山东枣庄·期末）（多选）袋子中有除颜色外完全相同的6个小球，其中白球4个，红球2个.从中不放回地随机抽取3个球.设取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，B，根据随机变量服从超几何分布，结合超几何分布的概率公式计算概率；选项C，方法1，通过分布列计算期望；方法2，利用超几何分布的期望公式计算； 选项D，方法1，利用分布列计算方差；方法2，利用超几何分布的方差公式求解. 【详解】由题知服从超几何分布，参数（总球数），（红球数），（抽取数），的可能取值为. 所以 ，A正确； ，B错误； 方法1：，C正确； 方法2（超几何分布期望公式）：，C正确； 方法1（定义法）： ，D正确； 方法2（超几何分布方差公式）： ，D正确. 【变式2-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）在件工艺品中，有件二等品，件一等品，现从中不放回地抽取件，设抽得二等品件数为，则的值为______． 【答案】 【分析】首先确定抽得二等品件数服从超几何分布，进而根据超几何分布的性质及期望的性质计算可得. 【详解】抽得二等品件数服从超几何分布，总体容量，其中二等品， 抽取样本量，的可能取值为， 由超几何分布的期望公式为，代入得， 根据期望性质得. 【变式2-2】（25-26高二下·山东淄博·期末）一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则随机变量服从超几何分布，记作，则．现一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机不放回地摸出3个球作为样本，用表示样本中白球的个数，则__________． 【答案】 【详解】由题意可得试验符合超几何分布，且， 则. 【变式2-3】（25-26高二上·江西上饶·期末）（多选）一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 【答案】AC 【分析】根据二项分布以及超几何分布的期望和方差公式以及条件概率公式即可判断 【详解】对于，有放回的摸球，满足二项分布，且摸到偶数球的概率， 共摸次，，则根据期望公式可得，故正确； 对于，不放回的摸球，则服从超几何分布，， 根据超几何分布的期望和方差公式可得， ，故错误； 对于，有放回的摸球，根据二项分布的方差公式， 故正确； 对于，根据条件概率公式表示的最大编号是， 剩余的个从1，2，3，4中选其中偶数球有两个的概率， 则， 表示的意思是已知有两个偶数球，其中最大编号是的概率， 则，则，故错误. 故选：AC ▌题型03 利用二项分布求分布列 二项分布 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 【注意】(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1 (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布 二项分布问题的两个关注点 (1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)参数意义：X～B(n，p)中，n为试验次数，p为成功概率． (3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率． 【典例3】（25-26高二下·天津·期末）某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率； (2)求该学生在路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及方差． 【答案】(1) (2) 0 2 4 6 8 【分析】（1）“第三个路口首次红灯”等价前两次绿灯、第三次红灯，利用独立事件概率相乘直接算出； （2）遇红灯次数服从二项分布，停留总时间，先求出各取值概率得到分布列，再用二项分布方差公式结合方差线性性质求得． 【详解】（1）记“学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯”， 则 所以学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率为； （2）记为遇到红灯数，则服从二项分布， ，， ，， ， ，所以的分布列为： 0 2 4 6 8 因为服从二项分布， 所以，． 【变式3-1】（25-26高二下·北京房山·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率计算公式即可. 【详解】因为，所以. 【变式3-2】（25-26高二下·河南信阳·期末）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”． (1)求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望． 【答案】(1)； (2)的分布列为： 0 1 2 3 ． 【分析】（1）先分别求出甲种抗病毒药物治愈人数1、2人的概率，以及乙种抗病毒药物治愈人数为0、1人的概率，再根据“甲类组”的定义，计算出一个试用组为“甲类组”的概率； （2）先根据（1）的结果求出时一个试用组为“甲类组”的概率，再根据二项分布的定义确定服从的分布，最后求出的分布列和期望. 【详解】（1）设表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物治愈的有人”，，表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物治愈的有人”，． 依题意有，， ，． 故一个试用组为“甲类组”的概率 ． （2）由（1）可得，当时，一个试用组为“甲类组”的概率为， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 根据二项分布的性质，． 【变式3-3】（25-26高二下·山东威海·期末）已知袋中有2个红球，2个黄球，6个蓝球，且所有球的形状、大小、质地相同，从中随机地连续抽取3次，每次取出1个球． (1)若每次抽取后都不放回，求恰好取到2个蓝球的概率； (2)若每次抽取后都放回． （i）求至少2次取到蓝球的概率； （ii）记取出球的颜色种数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 1 2 3 【分析】（1）根据组合和排列计数计算有利事件数和总样本数，再结合古典概型求概率； （2）（i）根据二项分布，先计算单次取蓝球的概率，再分别计算恰好2次取到蓝球、恰好3次取到蓝球的概率，相加得到结果； （ii）确定的所有可能取值，分别计算每个取值对应的概率，列出分布列后，再根据数学期望的公式计算期望. 【详解】（1）由题意可知，恰好取到2个蓝球的概率为． （2）（i）由题意可知，每次取到蓝球的概率为， 所以至少2次取到蓝球的概率为： ． （ii）由题意可知，的取值范围是， 因为每次取到红球、黄球的概率都为， 所以， ， ， 因此的分布列为 1 2 3 所以． ▌题型04 利用超几何分布求分布列 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【注意】(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件” (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型 【典例4】（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台，从中随机挑选出台电脑． (1)求挑选出的台电脑中品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍的概率； (2)设挑选出的台电脑中品牌电脑的台数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列为 数学期望. 【分析】（1）直接根据古典概型的概率公式计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，因此由超几何分布的概率公式计算可得. 【详解】（1）从台电脑中随机挑选出台电脑共有种结果， 因为挑选出的品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍， 所以挑选出的品牌电脑台，品牌电脑台或品牌电脑和品牌电脑各台，共有．    所以挑选出的台电脑中品牌电脑的台数是品牌电脑的台数的正整数倍的概率为：． （2）可能的取值为，且服从超几何分布，. 所以，， ，．   可得X的分布列为： 可得． 【变式4-1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）某福利站点收纳16张外观完全一致的即开型彩票：一等奖（奖金600元）共3张，二等奖（奖金320元）共6张，三等奖（奖金120元）共7张，现从中随机抽出3张彩票． (1)求抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率； (2)记表示抽出的3张彩票中一等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式和对立事件概率公式可求相应事件的概率. （2）利用超几何分布的模型求分布列和期望. 【详解】（1）从16张彩票中任意抽取3张，共有种取法， 抽出的3张彩票的奖金总额高于1500元的情况有两种： ①三张一等奖，有种取法； ②两张一等奖，一张二等奖，有种取法， 则抽出的3张彩票的奖金总额高于1500元的取法共有19种， 所以抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率为． （2）的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 则． 【变式4-2】（25-26高二下·安徽·期末）（多选）学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，则下列说法正确的有（     ） A．服从超几何分布 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意可知服从超几何分布，可取，再分别求出对应概率，计算期望及方差进行判断即可． 【详解】由题可知，总候选人，甲班候选人，抽取名，为甲班人数， 所以服从超几何分布，且可取，故A正确， ，，，，故B错误； 则的分布列为： 0 1 2 3 ，C正确； ，D错误． 【变式4-3】（25-26高二下·重庆·期末）已知袋中装有 4 个白球和 2 个黑球， 所有球除颜色外完全相同. (1)若从袋中随机不放回地连续抽取 3 次，每次抽取 1 个球，设取到白球的个数为 ，求 的分布列: (2)若从袋中随机有放回地连续抽取 3 次，每次抽取 1 个球，规定摸到黑球得 3 分，摸到白球得 1 分，设 3 次抽取的总得分为 ，求 的数学期望. 【答案】(1) 1 2 3 (2) 【分析】( 1)不放回抽样下服从超几何分布，计算各取值对应概率即得分布列； (2)建立总得分与黑球抽取次数的线性关系，结合二项分布期望公式和期望的线性性质求解. 【详解】（1）由题意，不放回连续抽取3次，取到白球的个数服从参数为的超几何分布，的所有可能取值为。 根据超几何分布的概率公式,分别计算得 , ,即得的分布列。 （2）有放回抽取时，每次摸到黑球的概率，设3次抽取中摸到黑球的次数为,则,根据得分规则,总得分,由二项分布期望公式得,根据期望的线性性质：. ▌题型05 二项分布与超几何分布的综合 【典例5】（25-26高二下·吉林·期末）某高校实行提前自主招生，老师从个不同的试题中随机抽取个让学生作答，已知甲同学能答对这个试题中的个，乙同学答对每道题的概率均为，每道题答对得分，答错扣分． (1)若甲同学答对的题数为，求的分布列以及数学期望； (2)若乙同学的得分为，求． 【答案】(1) 的分布列为： 期望 . (2) 【分析】（1）确定甲答对题数服从超几何分布，计算各取值概率得到分布列后求解期望即可； （2）确定乙答对题数服从二项分布，建立得分与答对题数的线性关系，结合方差性质计算即可. 【详解】（1）由题意，道题中甲会答道、不会答道，抽取道题作答时，的可能取值为， 当时，； 当时，； 当时，； 因此，的分布列为： 所以期望 . （2）设乙答对的题数为，共抽取道题，每题答对概率为且各题结果独立，故， 所以方差， 根据得分规则，总得分， 所以. 【变式5-1】（25-26高二下·山西吕梁·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的． (1)求小明可以背诵2首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 【答案】(1) (2) 分布列为： 期望，方差 (3) 选小明同学代表班级参加总决赛更合适 【详解】（1）由题意，从6首古诗中抽取3首，小明可背诵其中4首，设小明可背诵的古诗数量为，则服从超几何分布，其中，，. ∵ 要求小明可以背诵2首古诗，即， ∴ 所求概率. （2）由题意，随机变量的所有可能取值为. ∵ ， ， ， ∴ 的分布列为： ∴ 期望， 方差. （3）设小华能背诵的古诗数量为，由题意，小华每首古诗能背诵的概率均为，且各首背诵情况相互独立，故. ∴ ，. ∵ ，，说明两人平均背诵数量相同，但小明发挥更稳定， ∴ 选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 【变式5-2】（25-26高二下·山东青岛·期末）某科技公司研发了一款新型智能驾驶系统，为了确保系统在复杂环境下的稳定性，现对该系统进行仿真测试，已知测试题库中共有10种不同的虚拟场景，其中包含3种极端天气场景（暴雨、暴雪、浓雾）和7种常规天气场景．测试过程中，系统将随机邀请6位算法工程师，每位工程师从这10种场景中随机抽取3种进行测试，每位工程师完成测试后，系统将自动重置场景库，且不同工程师之间的测试相互独立． (1)求工程师甲抽取的3种场景中，恰好包含1种极端天气场景的概率； (2)设为6位工程师中，抽取的3种场景里至少包含1种极端天气场景的工程师人数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)设为这6位工程师测试后，所有被测试到的极端天气场景的总测试时长（每测试1种极端天气场景需花费50小时算力），求的数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ． (3)270 【详解】（1）设事件为甲工程师抽取的3种场景中恰好包含1种极端天气场景， 由古典概型概率公式得． （2）设事件为某一位工程师抽取的场景中至少包含1种极端天气场景， ． 由题意可知，随机变量服从二项分布． 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ． （3）设为一名工程师抽取的场景中包含极端天气场景数，的可能取值为，，，， 服从超几何分布，所以. 所以． 【变式5-3】（25-26高二下·广西百色·期末）端午节前夕，某食品公司做好了大量粽子礼盒，每个礼盒中均装有黑糯肉粽和白糯绿豆粽两种粽子．在出售前的检查中，该公司相关人员随机抽取6件粽子，其中黑糯肉粽和白糯绿豆粽各3件． (1)从这6个抽取的粽子中，采用不放回抽样的方式任取2个，记取到的白糯绿豆粽有X件，求X的分布列、期望和方差． (2)若用上述抽取的6个粽子中黑糯肉粽所占的频率估计从这批粽子中任取一个是黑糯肉粽的概率．现从这批粽子中采用有放回抽样的方式随机抽取3个，用表示抽到黑糯肉粽的件数，求的期望与方差，并求抽到黑糯肉粽不超过2个的概率． 【答案】(1)的分布列为 ，. (2)，，抽到黑糯肉粽不超过个的概率为. 【分析】（1）不放回抽取个粽子，随机变量服从超几何分布，先求分布列，再根据离散型随机变量期望与方差的定义计算. （2）用样本中黑糯肉粽的频率估计其概率，有放回抽样可看作次相互独立的重复试验，随机变量服从二项分布. 【详解】（1）从个白糯绿豆粽和个黑糯肉粽中不放回抽取个，共有种等可能的取法，随机变量的可能取值为. 当时，抽到的均为黑糯肉粽，所以 当时，抽到个白糯绿豆粽和个黑糯肉粽，所以 当时，抽到的均为白糯绿豆粽，所以 因此的分布列为 期望为 根据方差的定义，得 （2）由题意，用抽取的个粽子中黑糯肉粽所占的频率估计任取一个粽子是黑糯肉粽的概率， 有放回随机抽取个粽子，每次抽到黑糯肉粽的概率均为，且各次抽取相互独立，所以 因此 方差为 抽到黑糯肉粽不超过个的概率为 ▌题型06 二项分布的概率最大问题 【典例6】（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求解. 【详解】因为 ，所以， 当取得最大值时，可得， 所以，解得， 因为，所以 【变式6-1】（25-26高二下·河南新乡·期末）某零件生产车间对甲、乙两台机器生产的零件进行检验，甲生产的零件占，乙生产的零件占，甲生产的零件的合格率为，乙生产的零件的合格率为． (1)从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取1个，求该零件合格的概率． (2)若从乙生产的零件中随机抽取10个，其中有个合格品的概率为，求为何值时，取得最大值． (3)若甲生产了7个零件，其中有3个零件不合格，现从这7个零件中不放回地抽取零件进行检测，每次抽取1个零件，直到将所有不合格零件全部检测出时终止．每个零件在每一次抽取时被抽出的概率是相等的．用表示抽取零件终止时所需要的抽取次数，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)时，取得最大值 (3) 3 4 5 6 【详解】（1）设事件为“抽到甲生产的零件”，事件为“抽到乙生产的零件”，事件为“该零件合格”． 由全概率公式得． （2）的所有可能取值为，     则 即     整理得解得，而，因此， 所以当时，取得最大值． （3）的所有可能取值为3，4，5，6．     ， ， 的分布列为 3 4 5 6    . 【变式6-2】（25-26高二下·重庆·期末）某农学研究所开发了一种可在沙化严重的土壤上种植的粮食作物，在大规模推广之前，需要进行育种试验.若每一颗试验种子的成苗率为，且种子是否成苗相互独立. (1)若有10颗试验种子，且成苗率，求： （i）恰有7颗成苗的概率； （ii）成苗种子数量的平均值和方差. (2)每100颗试验种子为一个实验组，若有一个实验组恰有70颗成苗的概率最大，求的取值范围. 【答案】(1)（i）（ii）5，2.5 (2) 【分析】（1）（i）先判断出二项分布，再利用概率公式求解即可，（ii）利用二项分布的期望和方差公式求解即可. （2）结合题意建立不等式组求解参数范围即可. 【详解】（1）（ⅰ）设事件“一颗试验种子成苗”，则， 用表示事件发生的次数，则， 由二项分布概率公式得； （ⅱ）由二项分布期望公式得， 由二项分布方差公式得. （2）由题意得，记， 则， 由题意最大，所以有，， 得到，解得，故. 【变式6-3】（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）某工厂有甲、乙两台机器设备生产同一型号的零件，经质检人员抽样检测发现: 甲机器生产的一批零件的合格率为94%，乙机器生产的一批零件的合格率为98%，已知甲、乙两台机器各生产的这批零件的数量很大，请用频率估计概率解答下列问题. (1)现从甲机器和乙机器生产的这批零件中各抽取1个零件，求这2个零件中恰有1件为合格品的概率; (2)若甲机器和乙机器各生产的这批零件混合放在一起，其合格率为 97%，现从混合放在一起的零件中随机抽取件. （i）当时，记这3个零件来自甲机器生产的零件的个数为，求的分布列和数学期望； （ii）记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)（i）的分布列为： 0 1 2 3 . （ii） 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求值. （2）先确定甲机器生产的产品所占的比例，（i）根据二项分布求分布列和期望；（ii）利用数列的单调性求取得最大值时的值. 【详解】（1）设事件：“从甲机器生产的零件中抽取1个为合格品”，事件：“从乙机器生产的零件中抽取1个为合格品”，事件：“从甲机器和乙机器生产的这批零件中各抽取1个零件，这2个零件中恰有1件为合格品”. 则. （2）设混合在一起的零件中，甲机器生产的零件所占比例为， 由题意：. （i）当时，， 所以，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （ii）因为. 由，所以； 由，所以. 综上，又，所以. 即时，取得最大值. ▌题型07 正态曲线的性质以及对称性求参数 正态曲线及其特征 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：∀x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1． (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当参数σ取固定值时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当参数μ取固定值时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【注意】正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1 利用正态分布的性质求概率 (1)三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率大约只有0.002 7，几乎不可能发生．它在产品检查、质量检验中起着重要的作用． 【典例7】（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，若，则________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，又， 所以， 所以. 【变式7-1】（25-26高二下·湖南·期末）下列说法错误的是（     ） A．已知随机变量X服从正态分布，则 B．已知随机变量X服从正态分布，且，则 C．已知随机变量X服从正态分布，则 D．设随机变量服从正态分布，若，则 【答案】C 【详解】对A，因为，所以 ，故A正确； 对B，因为，所以， 所以，故B正确； 对C，因为，所以，所以，故C错误； 对D，因为，由，故D正确. 【变式7-2】（25-26高二下·山东潍坊·期末）甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲类水果的平均质量为 B． C． D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性确定均值 ，根据曲线的“瘦高”与“矮胖”确定标准差 的大小关系，利用密度函数最大值公式判断 的数值. 【详解】由正态分布密度曲线的性质可知，曲线关于直线 对称，且在 处取得最大值 . 由图可知，甲曲线关于直线 对称，乙曲线关于直线 对称， 所以 ，， 则甲类水果的平均质量为 ，且 ，故选项 A、C 说法正确； 因为甲曲线比乙曲线更“瘦高”，说明甲类水果的质量分布更集中， 所以 ， 对于随机变量 ，其分布函数 单调递增， 因为 ，所以 ，故选项 B 说法正确； 由图可知，乙类水果质量服从的正态分布密度函数的最大值为 ， 即 ， 解得 ，故选项 D 说法错误. 【变式7-3】（25-26高二下·吉林·期末）已知，若，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】由正态分布的性质可得，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以，即, 所以，解得,当且仅当时取等号， 所以的最大值为4. ▌题型08 正态分布的实际应用 【典例8】（25-26高二下·广东广州·期末）从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)已知这件产品质量指标值的样本方差为，由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（ⅰ）的结果，试问当为何值时，最大？并说明理由． 附：．若， 则，． 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ）时，最大． 【分析】（1）利用频率分布直方图均值公式，每组中点值乘以本组频率后相加，求得样本平均数； （2）（ⅰ）结合确定区间对应与，借助正态分布对称性，用两段区间概率差值的一半计算所求概率； （ⅱ）识别服从二项分布，通过相邻概率比值分析增减性，找到使概率最大的整数． 【详解】（1）由题意得； （2）（ⅰ）由题意得，，， ，， ，， 所以 ， （ⅱ）由题意得，其中， 所以， 所以， 令，解得， 当时，，； 当时，，， 所以时，最大． 【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 【答案】(1)70.5 (2)人 (3) 【分析】（1）代入平均数公式求解； （2）首先根据参考数据计算，再计算人数； （3）根据（2）的结果，转化为二项分布求概率. 【详解】（1）由题意知：， 4000名考生的竞赛平均成绩为70.5． （2）依题意服从正态分布，其中，，， 服从正态分布， 而， ． ∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为（人）人． （3）全市参赛考生成绩不超过84.81的概率．而， ． 【变式8-2】（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）不需矫正速度的概率，即车速保持在之间的概率，根据正态分布的性质及参考公式求出相应概率即可； （2）根据题意可知服从二项分布，根据表格可求出需要矫正速度的车辆的频率（即概率），进而根据二项分布的概率公式和方差可求解. 【详解】（1）由知. 因为， 所以，， 所以， 所以从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率为. （2）由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， 由表可知不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率（也可以通过计算）. 因为以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， 所以， 所以， 即，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的方差. 【变式8-3】（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【答案】(1)0.8186 (2)学校能顺利实施方案二． 【分析】（1）用各组中点值算出样本平均数，再利用正态分布的性质求解； （2）算出方案1，方案2的总补助，比较即可得出答案.. 【详解】（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575． ， 根据要求，， 由题知， 所以，，，， 因此 ． （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元； 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，， ， ， ， 元， 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且， 所以方案二比方案一支出高，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $