专题02 二项式定理综合（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

专题02 二项式定理综合 （题型突破·举一反三） 题型01 求二项展开式的第k项 题型02 求指定项的系数 题型03 展开式各项的系数和与二项式的系数和 题型04 奇次项与偶次项的系数和 题型05 求有理项与系数最大(小)的项 题型06 由二项展开式各项系数和求参数 题型07 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型08 三项展开式的系数问题 题型09 整除与近似值的问题 题型10 杨辉三角的应用 ▌题型01 求二项展开式的第k项 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【典例1】（25-26高一下·北京·期末）展开式的第8项的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 则第8项的系数为，选项C正确. 【变式1-1】（25-26高二下·广东江门·期末）的展开式中的第3项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理将原式展开后即可求解. 【详解】由题意得，则第项时，即. 【变式1-2】（25-26高二下·河南新乡·期末）若展开式共有11项，则展开式中的常数项为______． 【答案】45 【详解】因为的展开式共有11项，所以， 则展开式的通项公式为， 令，则，所以展开式中的常数项为：． 【变式1-3】（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开式中的第2项为． ▌题型02 求指定项的系数 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【典例2】（25-26高二下·广东阳江·期末）已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为__________． 【答案】210 【详解】由的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得，解得， 二项式的展开式通项公式， 由，得，所以该展开式中的常数项为. 【变式2-1】（25-26高二下·广东深圳·期末）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是________． 【答案】 【详解】第4项的二项式系数是. 【变式2-2】（25-26高二下·河北石家庄·期末）的展开式中的常数项为（     ） A． B．672 C．504 D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数为得到对应项的值，代入计算系数即可得到常数项. 【详解】的展开式通项为：， 令，解得， 将代入得， 因此展开式的常数项为. 【变式2-3】（25-26高二下·广西贵港·期末）在的展开式中，的系数是________.（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的通项． 令，得， 则， 所以的系数是. ▌题型03 展开式各项的系数和与二项式的系数和 二项式系数与二项展开式各项系数之和 ．＋＋＋…＋＝2n； ．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【典例3】（25-26高二下·青海西宁·期末）（多选）关于的展开式，下列说法正确的是（     ） A．各项二项式系数之和为32 B．各项系数之和为1 C．存在常数项 D．的项的系数为80 【答案】AD 【详解】A.各项二项式系数之和为，A正确； B.令得各项系数之和为，B错误； C.二项式的通项为 ,令 得，不符合题意，C错误； D.令得，所以的项的系数为,D正确. 【变式3-1】（25-26高二下·陕西西安·期末）（多选）在的展开式中，下列说法正确的有（     ） A．常数项为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第项 D．所有项的二项式系数和为 【答案】BD 【详解】选项A：展开式通项为，令得，代入得常数项为，A错误; 选项B：令代入原式，可得所有项的系数和为，B正确; 选项C：时展开式共7项，二项式系数最大的为中间项即第4项，C错误; 选项D：二项式所有项的二项式系数和为，代入得，D正确. 【变式3-2】（25-26高二下·广东潮州·期末）展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（     ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【详解】展开式中所有项的二项式系数之和是， 令，所以所有项的系数之和是. 【变式3-3】（25-26高二下·河北衡水·期中）（多选）已知，且第3项与第4项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为1 D． 【答案】AD 【分析】对于A，B：利用第3项与第4项的二项式系数相等，故；对于C：将代入即可求得结果；对于D：将代入，即可求得结果. 【详解】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，因为，所以展开式的二项式系数和为，故B错误； 对于C，令，则展开式的各项系数和为，故C错误； 对于D，因为，所以小于大于0， 当时，， 所以 ，故D正确. ▌题型04 奇次项与偶次项的系数和 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）已知，则的值是_________． 【答案】 【详解】令，则； 令，则， ，， 【变式4-1】（25-26高二下·吉林·期末）（多选）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，， 因此，D错误. 【变式4-2】（25-26高二下·广西来宾·期末）（多选）已知，且第3项和第5项二项式系数相等，则下列说法正确的是（   ） A．二项式系数最大的项是第4项 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由第3项和第5项二项式系数相等，得，所以， 所以展开式共7项，所以二项式系数最大的项是第4项，故A正确； 二项式展开式的通项公式为， 令，所以，所以，故B正确； 令，得，所以， 令，得，所以， 所以，故C错误； 令，得， 所以，故D正确. 【变式4-3】（25-26高二下·福建泉州·期中）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于 A 选项，当时，， 而，因此， 故 A选项错误， 对于 B 选项，系数的绝对值相加等价于将展开式中的系数相加， 令,则， 而因为，因此， 故 B 选项正确， 对于 C 选项，令，则， 因此， 而，故， 故 C 选项正确， 对于 D 选项，对原式两边求导得，， 令，右边即为，左边为， 因此D 选项错误. ▌题型05 求有理项与系数最大(小)的项 二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值： ＝，即，所以，当>1，即k<时随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【注意】二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是系数中最大的 【典例5】（25-26高二下·河北张家口·期末）已知二项式（）的展开式中常数项为40． (1)求的值； (2)求展开式所有项系数之和； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2)243 (3)， 【分析】（1）应用二项式定理写出展开式通项，结合已知，设，，，从而有，即可求； （2）应用赋值法求所有项系数之和； （3）应用不等式法求展开式中系数最大的项. 【详解】（1）展开式的通项（）． 令，n、r为非负整数，且，所以为3的倍数，为5的倍数， 设，，，则，所以，故； （2）令，得所有项的系数之和为； （3）当时，（）． 设时系数最大，则，解得，又，则，2， 所以系数最大的项有两项，分别是，. 【变式5-1】（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知 的展开式中第2项的系数是第1项的系数的倍. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中的有理项. 【答案】(1)6 (2) (3)64，，， 【分析】（1）根据二项式展开式通项公式列方程求解即可. （2）由展开式的二项式系数的性质求解即可. （3）根据二项式展开式通项公式求解即可. 【详解】（1）由（其中） 取，可得第1项的系数为.    取，可得第2项的系数为.     由展开式中第2项的系数是第1项的系数的倍，得，解得. 故的值为6.    （2）由，展开式中共有7项，则第4项的二项式系数最大.    取，可得， 故展开式中二项式系数最大的项为.     （3）由（其中） 若求展开式中的有理项，则.    当时，.    取时，.    取时，.     取时，. 展开式中的有理项为64，，，. 【变式5-2】（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知，其中满足．对于的展开式，求： (1)值； (2)含项的系数； (3)系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3)第6项和第7项 【分析】（1）根据组合数公式列方程求解即可. （2）利用二项展开式的通项公式求指定项的系数. （3）设第项的系数，利用，可确定的值，进而得到系数最大的项. 【详解】（1）根据，知， 整理得， 即，又，， 所以． （2）由于，所以． 则展开式中第项，，1，2，…，8． 当时，解得． 所以含项的系数为． （3）因为的展开式的第项的系数为，，1，2，…，8． 不妨设第最大，，2，…，7， 则，， 即，， 解得， 又， 所以为最大． 所以系数最大的项为第6项和第7项． 【变式5-3】（25-26高二下·新疆克拉玛依·期中）已知在的展开式中，所有二项式系数之和为1024. (1)求的值以及展开式中的常数项； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)；常数项 (2)有理项为. (3)系数最大项为. 【分析】（1）利用二项式系数和为求出,写出展开式通项,令的指数为0求出,代入通项算出常数项. （2）依据有理项要求,使的指数为整数,结合的取值范围筛选合法,再依次代入通项,求出全部有理项. （3）先区分系数正负,舍去负系数项,借助相邻系数绝对值的比值判断增减,比较所有正系数大小,进而确定系数最大的项. 【详解】（1）由二项式系数之和为，得. 二项式展开式通项：. 令，得. 所以得常数项. （2）有理项满足，，得. ：. ：. ：. 所以有理项为. （3）通项，第项系数. 所以为偶时系数为正， 系数绝对值，所以. 令，即，解得. 所以时，，系数绝对值递增；时，，系数绝对值递减. 所以若要系数最大, 必出现在或之中. . . 故系数最大项为. ▌题型06 由二项展开式各项系数和求参数 【典例6】（25-26高二下·陕西西安·期末）若，则实数（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为，且， 所以令，得，. 所以， 解得或 【变式6-1】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． 【答案】240 【分析】利用二项式系数的性质及所有项的系数和求出，再求出展开式中项系数. 【详解】因为（）的展开式中第4项的二项式系数最大，所以可能为或, 又因为所有项的系数和为1， 令，得，则为偶数，所以,, 则有展开式的通项为， 令，解得，故展开式中的系数为. 【变式6-2】（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第3项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 【答案】AC 【详解】A选项，由二项式系数和公式得，故A正确. B选项，为偶数，二项式系数最大的是中间项即第项，不是第3项，故B错误. C选项，若，展开式通项，令得，常数项为，故C正确. D选项，令得各项系数之和为，即，得，或，故D错误. 【变式6-3】（25-26高二下·全国·期中）已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 【答案】D 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为展开式中二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 又因为的展开式中各项系数之和为243， 令可得，解得，即二项式为， 其展开式的通项公式为，， 令，可得1，所以展开式中的系数是. ▌题型07 两个二项式乘积展开式的系数问题 【典例7】（2026·湖北十堰·模拟预测）若的展开式中含的项的系数为28，则实数________． 【答案】30 【分析】先求出的通项展开式，再利用多项式乘积分项法求出即可. 【详解】因为的通项展开式为，， 若里取，则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 若里取,则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 若里取,则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 合并系数可得，解得. 【变式7-1】（25-26高二下·河北张家口·期末）展开式中项的系数为_______．（用数字作答） 【答案】15 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】根据二项式定理，的展开式通项为 ， 所以的展开式中，含的项为， 所以展开式中含的项的系数为15. 【变式7-2】（2026高三·全国·专题练习），则等于（    ） A． B． C．8 D．7 【答案】D 【详解】令，得①， 令，得②， ①-②，并除以2，得，所以. 【变式7-3】（25-26高二下·河南信阳·期末）的展开式中的系数为__________． 【答案】 【详解】. 的展开式的通项为， 令，得； 令，得. 所以的展开式中含的项为， 故的展开式中的系数为. ▌题型08 三项展开式的系数问题 【典例8】（25-26高二下·上海宝山·期末）的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为__________． 【答案】 【详解】的展开式第项为，， 的展开式的第项为,， 令得，或， 所以的系数为. 【变式8-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）的展开式中系数为（    ） A．-13 B．-7 C．11 D．13 【答案】C 【分析】将转化为，然后根据通项公式求系数即可. 【详解】， 所以的展开式中的系数为. 【变式8-2】（25-26高二下·云南楚雄·期末）的展开式中， 的系数是 ______.（用数字作答） 【答案】 【分析】先根据目标项中的次数确定选取含项的因式个数，再对剩余因式利用二项式定理求项的系数，两者相乘即为所求系数. 【详解】将视为5个因式的乘积，要得到项，分步计算如下： 确定含的项：从5个因式中任选3个取， 该部分的组合数与系数为，对应项为； 剩余2个因式均需从中选取项，要求最终得到： 设从这2个因式中选个取，剩余个取， 则的指数满足，解得，即2个因式均取， 该部分系数为； 根据分步乘法计数原理，的系数为. 【变式8-3】（25-26高二下·山东聊城·期中）的展开式中的常数项为______． 【答案】49 【分析】分类讨论利用多项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下： （1）4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为； （2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为； （3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项为， 合并同类项，所以展开式中常数项为. ▌题型09 整除与近似值的问题 【典例9】（2026高三·全国·专题练习）(1)求被19除所得的余数； (2)求的近似值，精确到0.01． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式定理将被除数分解为除数的倍数，可计算余数； （2）利用二项式定理将其展开，根据精确度判断展开到某一项，求和即可得到近似值． 【详解】（1）． ，所以余数是． （2）． ，， 当（2）中的结果精确到0.01时，只要取展开式的前三项和为： ．近似值为1.10． 【变式9-1】（25-26高二下·云南曲靖·期末）除以7的余数为__________． 【答案】1 【分析】利用二项式定理化简，即可求解. 【详解】 ， 因为都是7的整数倍， 所以除以7的余数为1. 【变式9-2】（25-26高二下·山东菏泽·期末）今天是星期六，若（，且）天后仍是星期六，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】化简的表达式，利用二项式定理展开求余数再根据 为 7 的整数倍求解符合范围的值. 【详解】一周共有 7 天，若 天后仍是星期六，则 是 7 的正整数倍， 将变形为：， 又，因此， 根据二项式定理展开：， 展开式中前33项均含有因数7，均为7的倍数，除以7的余数为0， 仅最后一项不含因数7，因此除以7的余数为1. 由此可得除以7的余数为. 要使除以7的余数为0，需满足是7的倍数， 已知且，则，因此，解得. 【变式9-3】（2026·安徽滁州·二模）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 【答案】D 【详解】， 因为，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以. ▌题型10 杨辉三角的应用 杨辉三角形 1．如图所示，结合杨辉三角与二项式(a＋b)n的展开式的二项式系数可发现如下性质： 第n行就是(a＋b)n的展开式的二项式系数； 当行数n为偶数时最大； 当行数n为奇数时和最大． 【典例10】（25-26高二下·吉林四平·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第10行所有数字之和为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 D．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 【答案】BCD 【分析】由组合数的性质计算可判断A，由杨辉三角的每行系数和性质可判断B，  将所求和转化为组合数相加，通过在首项加上并在末尾减去1并结合即可求解，求和后转化为，利用二项式定理展开可判断D. 【详解】对于A，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字中最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确， 对于C，由题意可得 ，故C正确， 对于D，由上知第行的所有数字之和为 ， 由于能被7整除， 故第行的所有数字之和被7除的余数为1，故D正确. 【变式10-1】（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）（多选）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2025行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为8:13 【答案】BCD 【分析】将杨辉三角的各项转化为组合数表达式，并综合运用组合数的计算、对称性、二项式定理以及阶乘公式来逐一对各个选项进行验证即可求解. 【详解】对于A，， 所以，故A错误， 对于B，由题意得杨辉三角具有左右对称性，第2025行共有个数， 中间两个位置就是和，由于对称，所以这两个数相等，故B正确， 对于C，记第行的第个数为，由题意得在杨辉三角中， 第行的第个数可以表示为， 该行共个数，故的取值范围是从到， 则有，令，则的取值为从到， 则有，由二项式定理得， 令得，即，C正确， 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为， 则，故D正确. 【变式10-2】（25-26高二下·广东东莞·期末）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在“杨辉三角”中，下列叙述正确的是（    ）    A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 【答案】D 【分析】利用杨辉三角的性质，结合二项式系数的对称性、最大值规律及组合数运算公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，第行共有个数，即， 因为为偶数，所以中间一项最大，即第个数最大，故A错误； 对于B，第行中从左往右第个数为，第个数为， 由组合数性质可知，故B错误； 对于C，因为， 所以 ，故C错误； 对于D，第行中第个数为，第个数为， 它们的比值为，故D正确. 【变式10-3】（25-26高二下·福建泉州·期中）（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（   ） A．第10行所有数字的和等于1024 B．第10行所有数字的平方和等于 C．若第n行的第i个数记为，则 D．记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2026行（含第2026行）中第k斜列各项之和为 【答案】ABC 【分析】根据第行数字特征确定二项式，结合二项式系数和公式、组合数公式、二项式定理逐一判断即可. 【详解】对于选项A，由图分析知，杨辉三角的第n行是的展开式中二项式系数，，所以，第10行所有数字的和为，故选项A正确； 对于选项B，由，则， 所以，对于含项，左侧为，右侧为， 所以，第10行所有数字的平方和，故选项B正确； 对于选项C，第行的第个数为，则， 故，故选项C正确； 对于选项D，由 ， 所以当时，三角形数阵前2026行（含第2026行）中第k斜列各项之和为，故选项D不正确. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二项式定理综合 （题型突破·举一反三） 题型01 求二项展开式的第k项 题型02 求指定项的系数 题型03 展开式各项的系数和与二项式的系数和 题型04 奇次项与偶次项的系数和 题型05 求有理项与系数最大(小)的项 题型06 由二项展开式各项系数和求参数 题型07 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型08 三项展开式的系数问题 题型09 整除与近似值的问题 题型10 杨辉三角的应用 ▌题型01 求二项展开式的第k项 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【典例1】（25-26高一下·北京·期末）展开式的第8项的系数是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·广东江门·期末）的展开式中的第3项是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·河南新乡·期末）若展开式共有11项，则展开式中的常数项为______． 【变式1-3】（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． ▌题型02 求指定项的系数 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝． 【典例2】（25-26高二下·广东阳江·期末）已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为__________． 【变式2-1】（25-26高二下·广东深圳·期末）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是________． 【变式2-2】（25-26高二下·河北石家庄·期末）的展开式中的常数项为（     ） A． B．672 C．504 D． 【变式2-3】（25-26高二下·广西贵港·期末）在的展开式中，的系数是________.（用数字作答） ▌题型03 展开式各项的系数和与二项式的系数和 二项式系数与二项展开式各项系数之和 ．＋＋＋…＋＝2n； ．＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【典例3】（25-26高二下·青海西宁·期末）（多选）关于的展开式，下列说法正确的是（     ） A．各项二项式系数之和为32 B．各项系数之和为1 C．存在常数项 D．的项的系数为80 【变式3-1】（25-26高二下·陕西西安·期末）（多选）在的展开式中，下列说法正确的有（     ） A．常数项为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第项 D．所有项的二项式系数和为 【变式3-2】（25-26高二下·广东潮州·期末）展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（     ） A．； B．； C．； D．； 【变式3-3】（25-26高二下·河北衡水·期中）（多选）已知，且第3项与第4项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为1 D． ▌题型04 奇次项与偶次项的系数和 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）已知，则的值是_________． 【变式4-1】（25-26高二下·吉林·期末）（多选）若，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二下·广西来宾·期末）（多选）已知，且第3项和第5项二项式系数相等，则下列说法正确的是（   ） A．二项式系数最大的项是第4项 B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·福建泉州·期中）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． ▌题型05 求有理项与系数最大(小)的项 二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值： ＝，即，所以，当>1，即k<时随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【注意】二项式系数取得最大值的项，其系数不一定是系数中最大的 【典例5】（25-26高二下·河北张家口·期末）已知二项式（）的展开式中常数项为40． (1)求的值； (2)求展开式所有项系数之和； (3)求展开式中系数最大的项． 【变式5-1】（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知 的展开式中第2项的系数是第1项的系数的倍. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中的有理项. 【变式5-2】（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知，其中满足．对于的展开式，求： (1)值； (2)含项的系数； (3)系数最大的项． 【变式5-3】（25-26高二下·新疆克拉玛依·期中）已知在的展开式中，所有二项式系数之和为1024. (1)求的值以及展开式中的常数项； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. ▌题型06 由二项展开式各项系数和求参数 【典例6】（25-26高二下·陕西西安·期末）若，则实数（     ） A． B．或 C． D．或 【变式6-1】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． 【变式6-2】（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第3项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 【变式6-3】（25-26高二下·全国·期中）已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 ▌题型07 两个二项式乘积展开式的系数问题 【典例7】（2026·湖北十堰·模拟预测）若的展开式中含的项的系数为28，则实数________． 【变式7-1】（25-26高二下·河北张家口·期末）展开式中项的系数为_______．（用数字作答） 【变式7-2】（2026高三·全国·专题练习），则等于（    ） A． B． C．8 D．7 【变式7-3】（25-26高二下·河南信阳·期末）的展开式中的系数为__________． ▌题型08 三项展开式的系数问题 【典例8】（25-26高二下·上海宝山·期末）的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为__________． 【变式8-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）的展开式中系数为（    ） A．-13 B．-7 C．11 D．13 【变式8-2】（25-26高二下·云南楚雄·期末）的展开式中， 的系数是 ______.（用数字作答） 【变式8-3】（25-26高二下·山东聊城·期中）的展开式中的常数项为______． ▌题型09 整除与近似值的问题 【典例9】（2026高三·全国·专题练习）(1)求被19除所得的余数； (2)求的近似值，精确到0.01． 【变式9-1】（25-26高二下·云南曲靖·期末）除以7的余数为__________． 【变式9-2】（25-26高二下·山东菏泽·期末）今天是星期六，若（，且）天后仍是星期六，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-3】（2026·安徽滁州·二模）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 ▌题型10 杨辉三角的应用 杨辉三角形 1．如图所示，结合杨辉三角与二项式(a＋b)n的展开式的二项式系数可发现如下性质： 第n行就是(a＋b)n的展开式的二项式系数； 当行数n为偶数时最大； 当行数n为奇数时和最大． 【典例10】（25-26高二下·吉林四平·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第10行所有数字之和为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 D．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 【变式10-1】（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）（多选）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2025行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为8:13 【变式10-2】（25-26高二下·广东东莞·期末）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在“杨辉三角”中，下列叙述正确的是（    ）    A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 【变式10-3】（25-26高二下·福建泉州·期中）（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（   ） A．第10行所有数字的和等于1024 B．第10行所有数字的平方和等于 C．若第n行的第i个数记为，则 D．记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2026行（含第2026行）中第k斜列各项之和为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $