2.5有理数的乘法与除法 讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

有理数 2.5 有理数的乘法与除法 知识点1　有理数乘法的法则 我们已经学过有理数的加法和减法。生活中也经常出现“倍数”“总量”的计算，例如气温每小时下降3℃，4小时后共下降多少？这类问题就需要用到有理数的乘法。 注：有理数乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数与0相乘，都得0； ③多个不为0的有理数相乘，先看负因数的个数：负因数有偶数个时，积为正；负因数有奇数个时，积为负；再把各个因数的绝对值相乘； ④几个有理数相乘，如果其中有一个因数为0，那么积为0。 【精选例题1-1】 计算： (1) (-3)×(-5) (2) 6×(-7) (3) (-4)×0 (4) (-2)×(+3)×(-5)×(-1) 【解析】 (1) 同号得正：(-3)×(-5)=+(3×5)=15； (2) 异号得负：6×(-7)=-(6×7)=-42； (3) 任何数与0相乘得0：(-4)×0=0； (4) 先数负因数：-2、+3、-5、-1中负因数有3个(-2,-5,-1)，为奇数个，积为负；绝对值相乘 2×3×5×1=30，所以 (-2)×(+3)×(-5)×(-1)=-30。 【精选例题1-2】 不计算，直接判断下列积的符号： (1) (-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5) (2) 0.5×(-3)×(-4)×(-6) 【解析】 (1) 负因数5个（奇数个），积为负； (2) 负因数2个（-3,-6，偶数个），积为正。 【变式练习1-1】 计算： (1) (-8)×(-2) (2) 9×(-4) (3) (-12)×1 (4) 0×(-100) 【变式练习1-2】 填空：若干个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定；当__________________时，积为正。 知识点2　有理数乘法的运算律 在小学里我们学过乘法的交换律、结合律和分配律，这些运算律在有理数范围内同样适用，利用它们可以使一些计算更简便。 注：有理数乘法的运算律 ①乘法交换律：a·b=b·a； ②乘法结合律：(a·b)·c=a·(b·c)； ③乘法分配律：a·(b+c)=a·b+a·c。 【精选例题2-1】 用运算律计算：(-25)×97×(-4) 【解析】利用交换律与结合律，先算 (-25)×(-4)=100，再乘97： (-25)×97×(-4)=[(-25)×(-4)]×97=100×97=9700。 【精选例题2-2】 计算：(+-)×(-12) 【解析】用乘法分配律展开： ×(-12)+×(-12)-×(-12) = -3+(-2)-(-6) = -3-2+6 = 1。 【变式练习2-1】 计算：(-5)×23×(-2) 【变式练习2-2】 用分配律计算：(-+)×(-24) 知识点3　倒数 在小学里，乘积为1的两个数互为倒数。在有理数范围内，这个概念依然成立。 注：倒数 ①乘积是1的两个数互为倒数； ②0没有倒数（因为0乘任何数都不等于1）； ③求一个非零有理数的倒数，只需把分子、分母颠倒位置（整数看成分母为1的分数，带分数先化为假分数）； ④一个数的倒数符号与原数相同；倒数等于它本身的数只有1和-1。 【精选例题3-1】 求下列各数的倒数：3、-、-1.2、1。 【解析】 3的倒数是； -的倒数是-（即-2）； -1.2=-，倒数是-； 1的倒数是1。 【精选例题3-2】 若a、b互为倒数，且a=-，求b的值。 【解析】由ab=1，得 b===-。 【变式练习3-1】 填空：-的倒数是______；-0.25的倒数是______；-1的倒数是______。 【变式练习3-2】 判断下列说法是否正确，若错请改正： ①0的倒数是0； ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； ③-与-2互为倒数。 知识点4　有理数除法法则 除法是乘法的逆运算。由乘法法则可以得到有理数除法法则。 注：有理数除法法则 ①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b=a×（b≠0）； ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； ③0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作除数（即除数不能为0）。 【精选例题4-1】 计算： (1) (-18)÷(-6) (2) 36÷(-9) (3) 0÷(-5) (4) (-)÷(-) 【解析】 (1) 同号得正：(-18)÷(-6)=+(18÷6)=3； (2) 异号得负：36÷(-9)=-(36÷9)=-4； (3) 0除以非0数：0÷(-5)=0； (4) 化除为乘：(-)÷(-)=(-)×(-)=+=。 【精选例题4-2】 化简下列分数：、、。 【解析】分数可以看作除法： =-12÷3=-4； =(-15)÷(-5)=3； =7÷(-14)=-。 【变式练习4-1】 计算：(1) (-24)÷4 (2) (-)÷() (3) 0÷(-) 【变式练习4-2】 化简：、、 题型　有理数的乘除混合运算 加减乘除混合运算时，通常先把除法转化为乘法（乘倒数），再按乘法法则计算；能约分的先约分。 【精选例题】 计算： (1) (-56)÷(-2)÷(-7) (2) ×(-)÷(-) 【解析】 (1) 从左往右：(-56)÷(-2)=28，28÷(-7)=-4；也可统一成乘法： (-56)×(-)×(-)=-4； (2) 化除为乘：×(-)×(-)；先定符号：两负一正→正；再约分： ==1。 【变式练习】 计算：(1) 81÷(-9)÷(-3) (2) (-)×(-)÷(-) 题型　有理数乘法在简便运算中的应用 【精选例题】 计算：99×(-7) 【解析】把99拆成(100-)，用分配律： (100-)×(-7)=100×(-7)-×(-7)=-700+=-699。 【变式练习】 计算：×(-12)+(-)×27+(-)×(-40) 题型　与有理数乘除相关的实际应用 用正负数可以表示具有相反意义的量，乘除法则可用来解决路程、平均速度、水位变化、盈亏等问题。 【精选例题】 一辆赛车沿笔直赛道行驶，规定向前为正。某段训练中速度记录（单位：m/s）：+15、-10、+20、-5，每段行驶时间均为2秒。求这段训练的总路程与平均速度（保留1位小数）。 【解析】各段路程=|速度|×时间： +15段：15×2=30；-10段：10×2=20；+20段：20×2=40；-5段：5×2=10。 总路程=30+20+40+10=100(m)，总时间=2×4=8(s)。 平均速度=总路程÷总时间=100÷8=12.5(m/s)。 【变式练习】 某水库水位每天变化记录（单位：cm，上升为正）：+8、-5、+3、-6、+4。求这5天水位的总变化量；若初始水位为120cm，求第5天末的水位。 易错点提醒·重点归纳 ①“同号得正、异号得负”针对“两数相乘”而言；多个数相乘先定符号（奇负偶正）再看绝对值； ②一旦有0因子，积直接为0，无需再看负因数个数； ③除法先确认“除数不能为0”；能化倒数就化倒数，符号规则与乘法一致； ④倒数只看“乘积为1”，0没有倒数；带分数要先化为假分数再求倒数； ⑤乘除混合：先化除为乘（乘倒数），再统一用乘法法则，约分要彻底。 【知识点掌握情况自我检测】 能说出有理数乘法法则，并正确计算两数、多个有理数的乘法 会运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便运算 理解倒数概念，能求一个非零有理数的倒数 掌握有理数除法法则，会进行除法与乘除混合运算 能解决与有理数乘除相关的简单实际问题 【巩固练习】 1. (-6)×(-9)=______ 2. 7×(-8)=______ 3. (-3)×4×(-2)=______ 4. 0×(-25)=______ 5. (-125)×37×(-8)=______ 6. (-)×(-6)=______ 7. -的倒数是______；-1.5的倒数是______ 8. 若a、b互为倒数，a=，则b=______ 9. (-72)÷(-8)=______ 10. 45÷(-5)=______ 11. 0÷(-13)=______ 12. (-)÷(-)=______ 13. 化简分数：=______；=______；=______ 14. (-48)÷8÷(-2)=______ 15. ×(-)÷(-)=______ 16. 用简便方法计算：101×(-8) 17. ×(-)÷(-) 18. 若|x|=3，|y|=2，且xy<0，求x÷y的值 19. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m=-2，求 +cd-m 的值 20. 某品牌饼干标准质量100g，抽查5袋偏差(g，超出为正)：+3、-2、0、+4、-5。求平均偏差与平均质量 21. 甲、乙两水库，甲库每天注水+2000m³，乙库每天放水-1500m³。两库同时运行3天，总水量变化多少？ 22. 一辆汽车以恒定速率行驶，前2小时速度+60km/h（向东），后3小时速度-40km/h（向西）。求总位移与总路程 23. 计算：(-2)×(-3)×(-4)+(-1)×(-5)×(-6) 24. 已知a=-，b=-，求 a÷b 的值 25. 某股票连续5天涨跌（元，涨为正）：+0.8、-0.5、+1.2、-0.3、+0.4。若起始价10元，求第5天收盘价 参考答案 【变式练习1-1】 (1) 16 (2) -36 (3) -12 (4) 0 【变式练习1-2】 负因数的个数；负因数有偶数个 【变式练习2-1】 (-5)×23×(-2)=[(-5)×(-2)]×23=10×23=230 【变式练习2-2】 ×(-24)-×(-24)+×(-24)=-20+18-8=-10 【变式练习3-1】 -；-4；-1 【变式练习3-2】 ①错，0没有倒数；②对；③对（-×(-2)=1） 【变式练习4-1】 (1) -6 (2) (-)×=- (3) 0 【变式练习4-2】 =-5；=4；= 【变式练习】 (1) 81÷(-9)÷(-3)=(-9)÷(-3)=3 (2) (-)×(-)×(-2)=- 【变式练习】 ×(-12)+(-)×27+(-)×(-40)=×(-12-27+40)=×1= 【变式练习】 总变化量=+8-5+3-6+4=4(cm)；第5天末水位=120+4=124(cm) 1 54 2 -56 3 24 4 0 5 37000 6 ( - )×(-6)=×(-6)=-1 7 -（即-2）；- 8 9 9 10 -9 11 0 12 (-)×(-)== 13 -3；3；- 14 (-48)÷8÷(-2)=(-6)÷(-2)=3 15 ×(-)×(-) 符号为正，== 16 101×(-8)=(102-)×(-8)=-816+=-815 17 ×(-)×(-) 符号为正，== 18 x=±3，y=±2，xy<0表示异号，x÷y=- 19 a+b=0，cd=1，m=-2，原式=0÷(-2)+1-(-2)=0+1+2=3 20 偏差和=+3-2+0+4-5=0，平均偏差=0，平均质量=100+0=100(g) 21 甲：3×(+2000)=+6000；乙：3×(-1500)=-4500；总变化=+6000-4500=+1500(m³) 22 总位移=+60×2+(-40)×3=120-120=0(km)；总路程=|60|×2+|-40|×3=120+120=240(km) 23 (-2)(-3)(-4)=-24；(-1)(-5)(-6)=-30；原式=-24+(-30)=-54 24 a÷b=(-)÷(-)=(-)×(-)= 25 涨跌和=+0.8-0.5+1.2-0.3+0.4=1.6，收盘价=10+1.6=11.6(元) 学科网（北京）股份有限公司 $