精品解析：甘肃兰州市新区教育片区联考2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期期末考试 高二年级数学学科试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若向量，则（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 2. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次. A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 5. 已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（ ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A. -0.6 B. -0.7 C. -0.8 D. -0.9 6. 某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与函数的图象交于点，与直线交于点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 经验回归方程中，当增加一个单位时，平均增加个单位 B. 相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 随机变量服从二项分布，，则 D. 随机变量服从正态分布，且，则 10. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 11. 设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（ ） A. B. 当时， C. 恰有个零点 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，，则__________． 13. 设离散型随机变量的分布列如表，则“”的概率为 __ ． 0 1 2 14. 已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛．为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长 课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下列联表： 研学时长 科创竞赛 合计 获奖 未获奖 长时研学 25 15 40 短时研学 10 50 60 合计 35 65 100 （1）从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求在点处的切线方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点． （1）证明：平面． （2）若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角． 18. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：. 19. “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率. （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. （i）若，求； （ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试 高二年级数学学科试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若向量，则（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故选：C 2. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是负相关，相关系数小于0， 图2和图4是正相关，相关系数大于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1， 由此可得． 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 4. 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次. A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 5. 已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（ ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A. -0.6 B. -0.7 C. -0.8 D. -0.9 【答案】B 【解析】 【分析】由表格求出和，根据样本中心点必在线性回归直线上即可求得. 【详解】由表可知：，， 因样本中心点必在线性回归直线上，故有， 代入得：，解得. 故选：B. 6. 某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘积公式结合互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，， 则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为. 故选：B. 7. 已知直线与函数的图象交于点，与直线交于点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设直线与直线垂直，问题化为求出平行于的直线与相切情况下的切点，只需与切点重合有最小，再由点在直线上求参数值. 【详解】由，可化为，显然其与直线垂直，示意图如下： 由图，当平行于的直线与相切，且恰好为切点时，最小， 由，令，则，即切点为， 所以过切点，则. 8. 如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆柱侧面积公式求出底面半径，再利用线段差求出，借助勾股定理算出；接着以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标；然后通过平面法向量的方程组求得平面的法向量，最后利用线面角与向量夹角的关系，代入公式算出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】设圆柱的底面半径为，则其侧面积，解得. 连接，则， 所以，易知， 所以. 以为坐标原点，平面内过点且与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 经验回归方程中，当增加一个单位时，平均增加个单位 B. 相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 随机变量服从二项分布，，则 D. 随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】经验回归方程中，当增加一个单位时，平均减小个单位，故A错误； 相关系数的绝对值越大，两个变量之间的线性相关性越强； 相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，故B正确； 若随机变量服从二项分布，则， 因为，所以，故C正确. 若随机变量服从正态分布，且， 则，所以，故D正确. 10. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误； 对于B，因为，，所以，所以B正确； 对于C，若，且，则，解得，所以C正确， 对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误. 故选：BC. 11. 设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（ ） A. B. 当时， C. 恰有个零点 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，可判断A的真假，分析函数在上的单调性，确定函数的零点，再结合函数的奇偶性，可判断C的真假；利用偶函数的定义，求函数在上的解析式，可判断B的真假；利用函数在上的单调性可判断D的真假. 【详解】当时，， 所以. 所以，故A正确； 由可得；由可得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，所以函数在上只有一个零点. 根据是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可作出函数草图如下： 由图可知，函数有和两个零点，故C正确； 设，则， 因为函数为偶函数，所以，故B错误； 当时，，所以， 因为函数在上单调递减，所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，，则__________． 【答案】64 【解析】 【详解】∵ 随机变量，根据二项分布的期望与方差公式可得，. ∴ ，解得，∴ . 13. 设离散型随机变量的分布列如表，则“”的概率为 __ ． 0 1 2 【答案】 【解析】 【详解】由分布列可得 ，解得， 所以“”的概率为． 14. 已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛．为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长 课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下列联表： 研学时长 科创竞赛 合计 获奖 未获奖 长时研学 25 15 40 短时研学 10 50 60 合计 35 65 100 （1）从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关 【解析】 【分析】（1）由分层抽样确定各层人数，然后根据古典概型求概率； （2）提出零假设，计算统计量，比较临界值得出结论. 【小问1详解】 分层抽样中，长时研学人数为人，短时研学人数为人， 选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率为. 【小问2详解】 零假设：学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长无关， ， 所以拒绝零假设， 依据的独立性检验，能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关. 16. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求在点处的切线方程． 【答案】（1）极大值，无极小值； （2） 【解析】 【小问1详解】 ，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在时取到极大值，无极小值； 【小问2详解】 因，故，， 故切线方程为：，整理得：. 17. 如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点． （1）证明：平面． （2）若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角． 【答案】（1） 连接，交于点，连接，由是菱形，得为的中点， 而E为的中点，则，平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，利用线面平行的判定推理即得. （2）利用锥体体积计算判断菱形的形状，再建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而求出面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由底面，得， 则，即，于是菱形为正方形， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，由，得，则， ， 设平面的法向量为，，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，所以平面与平面的夹角为. 18. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞， 这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞， 另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率 ， 得， ， 其中，. 令，， 记，，令，得. 当，，单调递增； 当，，单调递减， 故， 即. 【解析】 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再借助导数求出其最值即可得证. 【小问1详解】 的可能取值为， 其中， ， ， ， 所以分布列为 ； 【小问2详解】 个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . 【小问3详解】 略 19. “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率. （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. （i）若，求； （ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）的最大值为，此时. 【解析】 【分析】（1）应用独立乘法公式求共抽了3次的概率，再由独立乘法公式、互斥事件的加法求最后一次抽到的概率，最后求条件概率即可； （2）（i）首先对灯谜的位置排序，再求最适合灯谜的位置对应情况数，最后应用古典概型的概率求法求概率；（ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则，应用全概率公式有，讨论、，进而得到，最后应用导数求最值，即可得. 【小问1详解】 设表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}， 由题意，第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为， 所以， 而最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}， 除了最后一次，其它抽到，故对应概率依次为、、、， 所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率为. 【小问2详解】 （i）这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况， 要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况： ①最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况； ②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，其它的随意在哪个位置，有种情况， 综上，所求概率为； （ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则， 由全概率公式知：， 当时，最适合灯谜在前条中，不会被摘到，此时； 当时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时，此时， 所以， 令，则，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当时，取得最大值，从而的最大值为，此时的值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $