专题07 抛物线（竞赛培优专项训练）（竞赛培优专项训练，17大题型+强基、竞赛真题）高二数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦抛物线竞赛核心题型，构建从基础概念到拓展应用的递进式训练体系，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|6题|定义理解与标准方程求解|概念生成→标准方程推导| |几何性质|9题|性质应用与距离最值|性质探究→弦长与位置关系| |综合应用|30题|轨迹、定点定值及面积范围|方法迁移→多考点综合| |拓展延伸|15题|新定义与竞赛真题|创新应用→学科交叉与文化渗透|

专题07 抛物线 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 抛物线的定义及应用 题型10 直线与抛物线的位置关系 题型02 抛物线的标准方程 题型11 抛物线的中点弦问题 题型03 与抛物线上点有关的距离最值问题 题型12 与抛物线有关的过定点问题 题型04 抛物线的简单几何性质 题型13 与抛物线有关的定值问题 题型05 抛物线的焦点弦问题 题型14 抛物线中的定直线问题 题型06 与抛物线有关的轨迹问题 题型15 与抛物线有关的面积最值问题 题型07 抛物线的光学性质 题型16 与抛物线有关的范围问题 题型08 抛物线的实际应用 题型17 与抛物线有关的新定义题 题型9 与抛物线有关的数学文化题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 抛物线的定义及应用 1．已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】易知是抛物线的焦点，根据切线长求得 ，结合抛物线的定义可得点P到M的准线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，即为圆心. 设切点为Q，则， 则. 由抛物线的定义知，点P到M的准线的距离为4. 2．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（点在第一象限），直线的倾斜角为，过点作于点，直线交轴于点．若的外接圆周长为，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设出直线的方程并与抛物线联立方程组，可求出点坐标，由于点可求得点坐标和直线的斜率，从而表示出点坐标，利用平面向量的数量积坐标表现可证 为直角三角形，最后结合外接圆周长进而求解. 【详解】设点 ，由题意得抛物线焦点为 ，准线 的方程为 ， 因为直线的倾斜角为，则其斜率为，其方程为 ，即 ， 将其与抛物线方程联立 ，消去得 ， 整理得 ，解得 . 因为点在第一象限，所以 ，即 ，则， 又由，可得； 由于点，得 ，则直线的斜率为， 直线的方程为， 令 ，得．所以 . 在 中，易得 ， ， 因 可得 ， 因此 为直角三角形，其外接圆的直径为鈄边， 由抛物线定义可知 ， 则外接圆的周长为 . 由题意得 ，解得 . 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 在直角三角形中，， 所以，解得，所以. 考点二 抛物线的标准方程 4．若抛物线的准线为直线，且被圆：所截得的弦长为，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的准线l方程为， 圆的圆心为原点，半径为1，所以圆心到直线的距离为， 所以，故，即抛物线的准线方程为， 所以抛物线的方程为. 5．已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且满足，若的面积为，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用两点间距离公式，通过解方程组、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】由， 根据抛物线的对称性，不妨设， 因为， 所以， 而点在抛物线上，所以， 则有，或舍去， 即，舍去 又因为的面积为， 所以有，舍去， 故选：D 6．已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分线性质和抛物线定义得到，设，则，结合，求出的值，从而得到抛物线方程. 【详解】抛物线的焦点为，准线，则. 因为是的垂直平分线，所以，设. 则，代入抛物线方程可得：，即. 又因为. 所以，. 因此抛物线方程为. 故选：C    考点三 与抛物线上点有关的距离最值问题 7．已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 8．已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】设，然后根据坐标表示出，结合基本不等式求解出最小值并确定出点坐标，则可求. 【详解】设，则，所以， 当时，； 当时，， 当且仅当即时取等号，所以； 由上可知，取最小值时，， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的运用，解答问题的关键在于根据抛物线的方程合理设出点坐标并利用坐标关系去化简，从而达到分析最值的目的. 9．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过点作，垂足为点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值. 【详解】如图： 抛物线的准线方程为，焦点， 过点作，垂足为点， 由抛物线的定义可得, 圆的圆心为，半径， 可得的最大值为， 由， 可令，则 ， 即， 可得：， 当且仅当时等号成立， 即， 所以的最小值为 故选：C 考点四 抛物线的简单几何性质 10．设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，再根据抛物线的焦点坐标公式求解即可. 【详解】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 11．已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】假设等边三角形的边长，然后利用抛物线的定义进行计算即可. 【详解】由题可知：抛物线的焦点为，准线方程为， 假设等边三角形的边长为，如图： 由于，根据抛物线关于轴对称可知：与也关于轴对称，且满足垂直于轴. 设，所以，即， 又或， 得：或， 解得：或. 故选：A 12．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 考点五 抛物线的焦点弦问题 13．(多选题)已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 14．(多选题)已知点O为坐标原点，抛物线C：（）的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列选项中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则直线l的斜率为1 C． D．面积的最小值为8 【答案】ACD 【分析】由抛物线准线方程可求得抛物线方程，利用焦半径公式可求得A点坐标，即可判断A；设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合求得，即可求得直线斜率，判断B；利用焦半径公式结合基本不等式可判断C；表示出面积，结合基本不等式求得其最小值，判断D. 【详解】因为抛物线C：的准线方程为， 故， 故，焦点为，设， 对于A，，代入得，即 故，A正确； 对于B，，则， 当直线为时，，由此可判断时，直线的斜率存在且不等于， 设直线的方程为，联立可得：， 故，解得，满足，故B错误； 对于C，由B的分析可知，当直线为时，也有成立； 故， 当且仅当即时，取得等号，C正确； 对于D，不妨设A点在第一象限，则， 故的面积， 当且仅当时等号成立，即面积的最小值为，D正确. 15．(多选题)已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线C上的两个动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是抛物线C所在平面内一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则点M到y轴距离为4 C．的最小值为3 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义，结合平面向量共线性质、两点间线段最短逐一判断即可. 【详解】设点，．该抛物线的准线为， 因为，所以的最小值为，所以，故A正确． 若，则，所以M到y轴的距离为，故B错误． 过点A作抛物线的准线l：的垂线，垂足为点E， 由抛物线的定义可得，所以，当且仅当P，A，E三点共线，即当时，取得最小值，故C正确． 由向量共线可得直线AB过点，设AB的方程为，与 联立可得，则． 由，， 由，所以，得， 所以，故D正确． 故选：ACD 考点六 与抛物线有关的轨迹问题 16．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 17．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为（   ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案. 【详解】若到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上，    平面，平面，故平面平面， 故到平面的距离即到的距离， 设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线， 不妨取正方体边长为中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交， 故共有个点满足条件. 故选：B. 18．如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 考点七 抛物线的光学性质 19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图所示，两条平行于轴的入射光线分别经抛物线上的P，Q两点反射后，两条反射光线又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线之间的距离为__________． 【答案】2 【分析】根据题意先求出点的坐标，然后求出直线的方程，然后分别与抛物线联立，求出点的坐标，进而得到两条反射光线的方程，从而求得结果. 【详解】分别联立直线与抛物线方程可得，和. 所以，因为抛物线焦点坐标为. 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以根据抛物线的对称性可得. 联立直线的方程与抛物线方程得，解得或. 所以，因为两条反射光线沿平行于轴的方向射出， 所以直线的方程为，直线的方程为， 所以两条反射光线之间的距离为2. 故答案为：2. 20．（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点关于x轴的对称点在直线上 C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线 D．直线与间的距离最小值为4 【答案】ACD 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，然后利用韦达定理即可求出和直线与间的距离，从而可确定AD两项；表示出直线和的斜率即可确定C项；假设B项正确反推条件，从而可确定B项. 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点，    设直线AB的方程为， 将直线AB的方程代入中，得， 所以由韦达定理得，，所以，故选项A正确； 若点关于x轴的对称点在直线上，则， 所以，即，不一定成立，故不合题意，选项B错误； 直线与相交于点，所以直线OD的斜率为， 又直线OA的斜率为，所以，所以A，O，D三点共线，故选项C正确； 直线与间的距离， 当时，d取最小值4，故选项D正确； 故选：ACD. 21．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________.    【答案】/ 【分析】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可； 【详解】   以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； 故答案为： 考点八 抛物线的实际应用 22．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____cm. 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，再得出点的坐标，列式计算求解. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为y轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图，设该抛物线的方程为（x，y的单位均为cm），点A纵坐标为h， 则， 于是， 所以，即得cm，即该抛物线的焦点到准线的距离为cm. 23．小申同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点.若当点到的距离为4时，，则等腰梯形的面积最小值为________（结果保留2位小数）. 【答案】 【分析】如图建系，设抛物线方程为，根据题意得到，将其代入抛物线得到，根据抛物线设，利用导数求出，设直线的方程为，利用直线的方程求出和，求出，利用基本不等式求最小值即可得解. 【详解】 如图建系，设抛物线方程为，则抛物线的对称轴为轴. 因为腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，且梯形为等腰梯形， 则关于轴对称. 若关于轴对称，则无法平行，则与题意矛盾. 当点到的距离为4时，，则， 代入抛物线，解得，则， 即，设，则， 设， ， 则直线的方程为， 令，解得，令，解得， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，取最小值. 24． 如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥．大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（参考数据：）（    ）    A．725米 B．1358米 C．1525米 D．1558米 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出的准线方程，结合抛物线的定义及两点间距离公式求解. 【详解】以为原点，直线OA为轴，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接AF，BF，则，设抛物线的方程为， 则，解得，因此抛物线的焦点为，准线方程为， ，又， 所以主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（米）． 故选：C    考点九 与抛物线有关的数学文化题 25．已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线经过点，从而可得答案. 【详解】因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条直径与轴垂直， 且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点， 因为圆的圆心为，半径为， 所以该圆与轴垂直的直径的上端点为， 即抛物线经过点，则，即. 故选：C 26．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点．若，下面四个结论： ①开口向上的抛物线的方程为； ②； ③直线截第一象限花瓣的弦长的最大值为； ④阴影区域的面积大于， 上述结论中所有正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于②，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于③，将直线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于④，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故①正确； 对于B，根据①项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得，故，即②正确； 对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点, 由，解得，由，解得, 即得, 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即③错误； 对于④，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为，因， 则点到直线的距离为， 于是，由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故④正确. 故选：①②④ 27．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 . 【答案】 【分析】由阿氏圆的定义得到点的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解. 【详解】设，由阿氏圆的定义可得， 即，化简得. 所以，所以点在圆心为，半径为的圆上， 因为抛物线的焦点为.所以， 因为.所以点在圆内， 因为点到与圆心的距离为， 所以过点的最短弦长为，过点的最长弦长为， 所以过点的最长弦与最短弦的和为. 考点十 直线与抛物线的位置关系 28．已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 29．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C． D． 【答案】BC 【分析】利用点在抛物线上求得抛物线方程，进而求得其准线方程可判断A；先求得直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用判别式即可判断B；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合两点距离公式与弦长公式分别求得所需要线段长，从而可判断CD. 【详解】对于A，因为点在上，所以，解得， 所以的标准方程为，其准线方程为，故A错误； 对于B，由题可知，则直线的方程为， 联立，消去，得， 此时，故与相切，故B正确； 对于CD，由题意知的斜率存在，设的方程为， 联立，消去，得， 则，即， 设，则， 又， 所以， ，故C正确，D错误. 故选：BC. 30．已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为． （2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”． 设，，则，记为① 由题意，过点且斜率为1的直线方程为．于是有和，将其代入①式，得 ，记为② 由联立消去，整理得．于是有，即且，记为③ 再将③代入②，整理得 ． 要成立，只要在上恒成立即可． 解不等式得，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为． 考点十一 抛物线的中点弦问题 31．已知抛物线的焦点是F，点P在E上，以为直径的圆记为圆M，当时，圆M过点． (1)求抛物线E的方程； (2)若圆M过点，且，证明：直线与曲线E相切． 【答案】(1)； (2) 证明：由题意知，圆M的半径为，圆心坐标为， 所以圆心到y轴的距离等于半径，所以圆M与y轴相切于点A， 所以圆心纵坐标为，所以点P的坐标为， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 联立，，， 所以直线与曲线E相切． 【分析】（1）由已知得到圆的圆心和半径，利用圆M过点及求解，得到方程； （2）可证圆与轴切于点，进而用表示点坐标得到直线方程，联立直线与曲线方程，由可证. 【详解】（1）由题意知，设点P的坐标为， 因为，所以圆M的半径为，圆心坐标为， 又因为M过点，所以， 解得，所以， 所以，所以，（舍去）， 所以抛物线E的方程为． （2）略 32．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. 33．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到直线的距离小3，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知直线与曲线交于两点，且的中点为，求证：以为直径的圆过点． 【答案】(1). (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得证. 【详解】（1）由点到点的距离比它到直线的距离小3， 则点到点的距离等于点到直线的距离， 因此点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 设曲线的方程为，则，得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设为， 则直线的方程为， 设，联立，得， 则，， 因为的中点为，所以，即，所以， 故，， 所以， 所以，所以以为直径的圆过点. 考点十二 与抛物线有关的定点问题 34．已知抛物线，直线交抛物线于、两点， (1)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (2)若抛物线上存在两点、关于直线轴对称，求的取值范围. (3)若存在定点，使以为直径的圆上的任意点，都满足（为原点），求定点的坐标和的值. 【答案】(1) (2) (3)定点， 【分析】（1）联立直线与曲线方程后，结合韦达定理表示出并计算即可得； （2）分，及进行讨论，设、，结合关于直线对称的点的性质可得，计算即可得； （3）设、，由题意可得，即可得该方程即为以为直径的圆的方程，结合点坐标与半径计算即可得解. 【详解】（1）设、，联立， 化简得，， 由韦达定理可得，， 由于，所以，故直线的方程为. （2）设，，若，则，易得此时不合题意； 若，由于，关于直线轴对称， 故， 故，所以中点的纵坐标为， 将其代入中可得，又，化简可得， 结合，故，化简可得， 由于关于的方程要有两个不相等的实数根，所以， 故，即； 综上所述，； （3）设、，由题意可得， 整理得，即， 又点在以为直径的圆上，则即为该圆方程， 由，，则， 则，， 即有，则， 化简得，故，则，，即，定点. 35．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 36．设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)当最小时，求直线的方程； (3)设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义可得2，代入可得抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立方程，通过韦达定理得到两根关系，利用抛物线焦半径性质，结合的结论，将目标式转化为单变量函数，利用基本不等式求最小值，得到等号成立条件后反推直线参数，最终得到直线方程； （3）先求出点的坐标，设以为直径的圆经过轴上的两个定点，，根据写出圆的方程，运用韦达定理和椭圆方程化简可求得、的坐标，即可证明圆恒过这两个定点. 【详解】（1）由抛物线的定义可得，解得2. 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 设直线的方程为，，. 联立直线与抛物线的方程， 可得. 所以，. 根据抛物线的定义，，， 又因为，所以. . 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当且时等号成立. 联立，解得或 当，时，； 当，时，. 所以直线的方程为，即. （3）已知，，则直线的方程为，直线的方程为. 令，可得，. 根据圆的性质，若点在以为直径的圆上，则. 所以. 又因为，所以， 代入上式可得. 由（2）可知，代入上式可得，即， 解得或. 所以以为直径的圆经过轴上的两个定点和. 考点十三 与抛物线有关的定值问题 37．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由如下： 设，因为点在直线上， 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以，    则， ， ，     要验证，即验证：， 化简得：．     联立，消去可得，               因为，且，                   所以， 所以和同号，即． 因为 ，                          则，即． 【分析】（1）由题意得，可得，即可求解； （2）当时，设，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，， 结合弦长公式求得，再求出点到直线的距离，进而求解面积； （3）先表示出，再结合题设求解即可. 【详解】（1）由题意，，则， 所以的方程为． （2）设， 当时，直线的方程为，即． 联立，消去可得，     根据韦达定理，，， 则， 点到直线的距离， 所以的面积． （3）略 38．在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，结合已知条件得出，结合构造方程，结合点与，不重合，求出曲线的方程为； （2）设点，求出直线的方程，求出，求出直线，联立直线与曲线的方程求出，再根据得出椭圆方程，进而求出焦点即为定点，，使得为定值． 【详解】（1）设，则，， ，整理得， 又点与，不重合， 曲线的方程为． （2） 设，则直线：， 令，可得， 则直线：， 联立直线与曲线的方程得， 消去，整理得， ，解得， 由题意可知，， ， 整理得，即点在椭圆上， 椭圆的焦点为， 椭圆的焦点为， 在直线上存在两个定点，，使得为定值． 39．设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 【答案】(1) (2)①16； ②由①得，，， 则，同理， 因为，分别是，的中点，所以， 若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 显然直线恒过定点， 由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时； 若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1. 综上所述，存在一个定点，使得为定值1. 【分析】（1）由题设可得，再根据抛物线的焦半径公式求解即可； （2）①设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，设，同理可得，进而表示出，再根据基本不等式求解即可； ②结合①可得，再分、两种情况讨论求证即可. 【详解】（1）由，得， 则，即， 因为为抛物线上一点，所以，则，即， 所以抛物线的方程为. （2）①由（1）抛物线的方程为，则， 由题意，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 联立，得， 则， 由于，所以直线的斜率为， 设，同理可得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16. ②略，， 则，同理， 因为，分别是，的中点，所以， 若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 显然直线恒过定点， 由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时； 若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1. 综上所述，存在一个定点，使得为定值1. 考点十四 与抛物线有关的定直线问题 40．已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：点P在定直线上； (3)若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)由，得，， 设，，， 则和的斜率分别为， 所以方程为：，整理得：， 同理可得，方程为：， 联立与的方程，解得：，， 因为点T在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交， 设直线的方程为， 与抛物线方程联立得：， 故，， 所以，，可知， 所以点P在定直线上. (3)或 【分析】（1）由抛物线的焦点到x轴的距离为，求出，即可得出答案. （2）根据题意，由导数的几何意义求出直线和方程，联立直线方程可得点的坐标，分析可得答案； （3）根据题意，由三角形面积公式可得的值，由此计算可得答案. 【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为，且焦点到x轴的距离为， 所以，所以， 所以抛物线E的标准方程为. （2）略 （3）在，的方程中，令，得，， 由（2）知，，，， 所以面积， 故， 化简可得， 由于，则， 从而，故或， 所以点P的坐标为或. 【点睛】 41．已知抛物线C：，过点的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. (1)设直线，的斜率分别为直线，，求证：； (2)证明：点M在定直线上； (3)设线段AB的中点为N，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数，分别用点的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点在定直线上； （3）由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，再求取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 由，得， ，， . （2）直线与交于点M，设， 抛物线在点A处的切线方程为， 即， 同理，在点B处的切线方程为. 联立，解得， 将式代入化简得， 则点在定直线上. （3）线段AB的中点为N， 由（1）可得，，， 则. ， 又 将式代入得，， 则， 由，则. 的取值范围为.    42．已知抛物线的焦点为，点是上的动点且异于坐标原点.当时，. (1)求的方程. (2)若，且上存在异于的两点，使得是等边三角形.设的中心的轨迹为曲线. （i）求的方程； （ii）点在的准线上运动，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【答案】(1)或； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合抛物线定义列出方程求出即可. （2）（i）由（1）求出抛物线的方程，设出点的坐标及正三角形中心坐标，再利用两点间距离公式建立方程化简即得；（ii）设出点坐标，利用导数的几何意义求出直线的方程，再联立求解即可得证. 【详解】（1）抛物线的焦点为，由当时，得， 由，得，解得或， 所以抛物线的方程为或. （2）（i）由（1）得抛物线的方程为，设， 设正的中心坐标为，则，由， 得，整理得， 同理，两式相减得， 则，整理得，所以曲线的方程为. （ii）由（1）得抛物线的准线方程为，设， 由，求导得，设，则， 则抛物线在处的切线方程分别为， 整理得，而点在两条切线上，则， 显然点的坐标满足方程，因此直线方程为， 由，求导得，设，则， 抛物线在处的切线方程分别为， 整理得，由点在两条切线上，得， 因此直线的方程为，同理直线的方程为， 联立解得直线与直线的交点横坐标，纵坐标， 所以直线与的交点在一条定直线上.    考点十五 与抛物线有关的面积最值问题 43．已知抛物线的焦点为，直线过点且与相交于，两点，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的切线，过点作的平行线交于另外一点. ①求证：； ②求四边形（为坐标原点）面积的最小值. 【答案】(1) (2) ①证明：抛物线的方程化为，则， 所以过点的抛物线的切线的方程为， 因为，所以直线的方程为， 与抛物线的方程联立并化简得， 因为直线交抛物线于、两点，所以； ②18 【分析】（1）写出直线的方程，并与抛物线的方程联立，由韦达定理及抛物线定义即可求解； （2）①将抛物线的方程化为关于的函数，求导得直线，的斜率，再分别写出，的方程，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理即可证明； ②分别表示出弦与弦的长，再表示出点到直线的距离及点到直线的距离，将四边形的面积转化为△与△面积的和，再由函数的性质即可求解． 【详解】（1）依题意抛物线的焦点为，准线方程为， 则当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 联立，消去得，则， 所以， 由抛物线定义得， 所以，所以抛物线的方程为． （2）①略 ②显然直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立，消去得，则，， 所以， 原点到直线的距离． 由①得，， 则 ， 点到的距离 ， 则四边形的面积 ， 令，则，所以， 则，所以关于的函数在上单调递增， 所以当，即时有最小值，最小值为18． 44．已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线；过点的直线与曲线交于，两点，曲线在，两点处的切线交于点. (1)证明：； (2)设，当时，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义可得动圆圆心的轨迹为抛物线，设直线方程，根据切线方程可得点坐标，进而可得； （2）由得，根据弦长公式，可得，根据点坐标得，进而可得，根据单调性可得最小值. 【详解】（1）    由题意得，圆心到点的距离和直线的距离相等， 由抛物线的定义知，曲线的轨迹为抛物线， 由焦点和准线方程，可得方程为， 设的方程为，代入，得， 设，，则①，② 切线方程为：③，切线方程为：④， 由③､④得，所以， ③-④，得，即，所以. 当时，显然有， 当时，，所以， 所以. （2）由题意得：，得，结合①､②得 ，，从而， 因为，， 所以. 设，， 当时，，所以在区间上为减函数， 所以，当时，取得最小值，从而可得. 45．已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由，求出点的坐标，代入抛物线方程求解即可； （2）（ⅰ）联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，，由，，，四点共圆可得，从而得，代入的表达式，得，求解即可； （ⅱ）先求出点的横坐标，由三角形的面积可得，求出的范围即可得答案. 【详解】（1）因为点，则， 又， 则， 所以， 代入抛物线：， 得到，解得， 所以抛物线的方程为． （2）（ⅰ）因为直线方程为， 设，， 联立， 消得到， 则，， 当，，，四点共圆时， 则有，， 故，则， 所以， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，， 所以， 即， 整理得到， 又，所以， 故直线的方程为． （ⅱ）由，，得到直线：， 由，，得， 直线：， 联立方程， 解得， 由，， 得， 所以， 又 ， 当时，由，得， 又直线的斜率， 则， 所以， 故的取值范围为. 考点十六 与抛物线有关的范围问题 46．设抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线被截得的弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出值即得. （2）设点，求出圆的方程，进而求出点纵坐标关系，再利用两点间距离公式列出函数关系并求出范围. 【详解】（1）依题意，直线的方程为，由消去得， 设直线与抛物线的交点为，则， 由直线被截得的弦长为，得， 因此，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线的焦点，设， 由以为圆心过点的圆方程为， 当时，，而，， 则，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 47．已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线C：交于A，B（A，B异于点O）两点，且以AB为直径的圆过点O． (1)求C的方程； (2)已知M，N，P是C上的三点，若△MNP为正三角形，Q为△MNP的中心，求直线OQ斜率的最大值． 【答案】(1)的方程为. (2)斜率的最大值为. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由，转化，即代入计算，即可得到抛物线方程； （2）分有一边斜率不存在与三边的斜率都存在讨论，分别表示出，结合，代入计算，结合基本不等式即可得到直线斜率的最大值. 【详解】（1）设，，（显然斜率不能为0） 设，联立方程 消元整理得：， 则，. 因为以为直径的圆过点，所以，， 则，即，解得， 所以，解得，所以的方程为. （2）设，，.不妨设，，按逆时针顺序排列. 画出题目草图，如下. ①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设， 则，. 与抛物线的方程联立得，，中心. ②当三边的斜率都存在时，，. 又，所以， 化简可得， 同理可得，， 三式相加得. 因为，，是上的三点，所以， 又， 所以. 设，则，，代入上式得. 又①也满足，所以的轨迹方程为. 当，直线的斜率为，当且仅当，即时，直线的斜率取得最大值.当时，直线的斜率. 综上，直线斜率的最大值为. 48．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点． (1)若，求抛物线的方程； (2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和． ①求的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用直线与抛物线相交，通过联立方程，借助弦长公式求出抛物线方程； （2）①依题意可知直线垂直平分线段，设方程为，与抛物线方程联立，利用中点在直线上以及判别式大于零求出的取值范围即可；②解法一，利用向量数量积的坐标表示结合韦达定理求解即可；解法二，设以为直径的圆为，结合韦达定理证明点在圆上即可. 【详解】（1）设，， 联立方程消去得， 则， 所以， 解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为 （2）①依题意可知直线垂直平分线段， 所以直线的斜率为，设其方程为， 代入中消去可得到：（*）， 设，，则， 因为的中点在直线上，所以， 又因为在直线上，所以， 因为方程（*）有两个相异实根，所以，解得， 故所求的取值范围是 ②设，，，， 方法一：，， 则 ， 因为，， 所以，， 则， 又因为，即， 所以 . 方法二：以为直径的圆为， 即， 由（1），因为，所以， 所以代入方程， 可化为， 即， 记以为直径的圆的圆心为， 因为线段的中点，所以， 又 ， 所以， 所以以为直径的圆过点， 所以，的值为0. 【点睛】直线与抛物线位置关系，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 考点十七 与抛物线有关的新定义题 49．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点. 【答案】(1) (2)由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点，， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上，所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上，所以， 即，所以， 所以， 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 【分析】（1）先由条件求得，即可得到抛物线的方程，通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （2）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点. 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得，则， 所以的斜率为的斜率为1，则， 所以. （2）略 50．过抛物线上任意一点能作圆的两条切线，与交于另外两点，，若直线也与相切，则称圆具有性质．已知抛物线的焦点为，圆：在内部，过上一点作的两条切线，分别交于点，． (1)若，点，求； (2)若，，判断圆是否具有性质，并说明理由； (3)若，圆具有性质，求． 【答案】(1) (2)圆不具有性质，理由：取，圆， 设切线方程为，， 由，解得， 将直线代入， 解得或或， 假设，， 则直线的方程为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切， 所以圆不具有性质； (3)2 【分析】（1）根据题意求出三点的坐标，再利用余弦定理即可得解； （2）取，设切线方程为，，根据圆心到切线的距离等于半径即可求出，再联立切线与抛物线的方程，求出两点的坐标，结合性质的定义即可得出结论； （3）取，设切线方程为，，根据圆心到切线的距离等于半径得出的关系，再联立切线与抛物线的方程，从而可求出直线的方程，再结合性质的定义即可得出答案. 【详解】（1）由题意知，，， 则，，， 所以； （2）略 （3）取，圆， 设切线方程为，，则，① 将直线代入，解得，或，， 假设，由对称性可得， 所以直线的方程为，由直线和圆相切，可得，② 由①②解得，． 下面证明当时，满足条件． 设，，，， 则， 所以直线的方程为， 即， 同理得直线的方程为， 所以直线的方程为． 由直线与圆相切，得， 即， 同理由直线与圆相切得， 所以，为方程的两个根， 所以，， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以直线与圆相切，所以． 51．对于抛物线，给定一点，若抛物线上存在两点，，使得，且不与轴垂直，则称弦是拋物线的一条“伴随弦”.已知抛物线存在“伴随弦”. (1)求的取值范围. (2)求伴随弦的中点的轨迹方程.（用表示） (3)伴随弦的弦长是否有最大值？若有，求出最大值（用表示）；若没有，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)当时无最大值，当时有最大值，且最大值为. 【分析】（1）设，条件可转化存在使得为直线与抛物线在轴上及其右侧有两个交点，结合二次函数图象列不等式可求结论； （2）设，，证明的横坐标在定直线上，又与直线交点为即可求解； （3）由两点的距离公式有，利用基本不等式有，可得，解得，把看成关于的二次函数，最后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设，则点，在圆上， 由，得. 由题意知，存在使得这个关于的方程有两个不相等的非负根. 转化为直线与抛物线在轴上及其右侧有两个交点， 只需抛物线的对称轴在轴的右侧， 即，得， 的取值范围是. （2）设，，则. 由，得. 直线AB的斜率为， 直线的斜率为，. 将点的坐标代入上面的方程，整理得， 点在直线上. 抛物线与直线的交点为， 显然点的纵坐标的绝对值小于， 又不与轴垂直，故， 点的轨迹方程为. （3） . 由（2）得， 故，即. 又为关于的二次函数且当且仅当时取得最大值， 当，即时，弦长有最大值，当且仅当时取等号， 当时，，则无最大值. 综上所述，当时无最大值，当时有最大值，且最大值为. 1．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把抛物线可化为，再根据图象平移规律可得答案. 【详解】抛物线可化为， 因为其图象是把的图象上的点先向左平移个单位， 再向上平移个单位得到的， 且的焦点坐标为，根据上面平移规律可得， 的焦点坐标为即为. 故选：A. 2．（第十届全国“枫叶新希望杯”联赛）已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，再由直线上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦点坐标得到圆心坐标，由点到直线的距离求出半径，最后求出圆心到直线的距离，从而求出切线长最小值. 【详解】因为抛物线的焦点为，即圆心为，所以圆的方程为， 又圆与直线相切，所以， 所以圆的方程为， 则圆心到直线的距离， 所以最短切线长为. 故选：D． 3．（2024·山东泰安冬季联赛）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（    ）． A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由题设直线，联立抛物线方程，利用韦达定理及条件可得，即得. 【详解】设直线， 联立，则， 则，． 由，，得P，Q分别为线段AF，BF的中点， 又，满足，，且， ∴， 解得． 故选：A． 4．（多选）（2024清华大学强基计划）抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（    ） A．． B．的最大值为16． C． D． 【答案】CD 【详解】 如图所示，切线记为，记为． 对于，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去得，， 所以，故，故错误； 对于，因为，所以，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 联立，消去得，故，故正确； 对于，不妨设，过作轴平行线交于，根据选项知，的面积等于的2倍．（下面证明一下）, ，，由D选项的证明知道，则 直线的方程为，当时，， 故，由选项知， 故 ，当且仅当，即时取等号， 即，所以，故错误． 对于，由直线的方程可得，，， 所以，故正确； 故选：CD. 5．（2024·江苏南京大学强基计划）过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】利用导数求出点处切线的斜率，即可得到切线方程，从而求出点坐标，再求出焦点坐标，即可得到四边形的面积. 【详解】当时，，则，则， 所以切线方程为，即， 令，解得，所以，又抛物线的焦点， 所以. 6.（2025高二上·安徽·竞赛）已知抛物线的焦点为F，P，Q，R为抛物线上的三个动点，若的重心为，且的三条中线长的和为2025，则_________． 【答案】450 【分析】根据已知条件得到焦点坐标和准线方程，利用重心的性质转化问题，利用抛物线的定义建立方程，利用重心坐标公式求解，最后算出答案. 【详解】重心到顶点的距离等于对应中线长的，， ，所以准线方程为，焦点坐标. 抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， ， 即，由的重心为可知， 焦点坐标，则， 所以，故． 7．（第十四届“枫叶新希望杯”竞赛）已知l，P分别是抛物线的准线与抛物线上一动点，定点，于，且恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义得，即当三点共线时取得最小值，把转化为，解出实数的取值范围即可. 【详解】抛物线焦点，准线方程为，由抛物线的定义可知， ∴，即当三点共线时取得最小值，所以最小值为， 所以等价于. 8．（2026高三下·新疆·竞赛）已知为坐标原点，曲线与曲线交于点，若的外接圆经过点，则曲线的方程为__________. 【答案】 【分析】设点，，为与轴的交点，利用O、M、P、N四点共圆、相交弦定理得到与的关系，代入曲线求参数，即可得. 【详解】如图，设点，，为与轴的交点，则， 因为O、M、P、N四点共圆， 由相交弦定理得，解得， 所以， 代入曲线得，解得（舍去）或. 故曲线的方程为. 9．（2025高二上·安徽·竞赛）已知抛物线与轴交于A，B两点（在的左侧），与轴交于点，直线CA，CB的斜率分别为． (1)求的值； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)对斜率差通分变形，结合韦达定理转化为两根之差，避免直接求解根，简化运算； (2)利用圆方程与x轴交点对应的一元二次方程系数关系，快速锁定，减少三元方程组计算. 【详解】（1）设，其中，则由韦达定理可知， 由点的坐标为可知 所以， 解得，故． （2）设的外接圆方程为 令，则， 所以， 将点代入的外接圆方程，则， 解得， 故的外接圆方程为．    10．（2024·山东泰安冬季联赛）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程. （2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证. 【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得， 所以抛物线的方程为. （2）设， 联立， 由韦达定理得， 所以 所以， 所以以为直径的圆经过原点O.得证 11．（2024·安徽淮南二中等校联赛）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：    如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点. (1)求抛物线的解析式和点A坐标； (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值； ②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切. 【分析】（1）把点代入即可求解. （2）①由抛物线焦点和准线性质，及三点共线即可求最值； ②求出以为直径的圆的圆心，再求出圆心到准线的距离即可证明. 【详解】（1）把代入得: ，解得， 所以抛物线C的解析式为； 在中，令得，或，所以. （2）①根据题意，抛物线解析式为， 所以抛物线的焦点为，准线为， 设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连接、，交抛物线于点，如图: 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， 因为， 所以， 因为， 所以点与点重合时的值最小，此时的值最小， 因为，，，，， 所以的最小值为. ②证明：设直线的解析式为， 由，得或， 不妨设 ，， 以为直径的圆，圆心为的中点即，， 抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为， 所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.    12．（第十二届“枫叶新希望”杯竞赛）设抛物线的准线与轴交于，焦点为，以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为，自引直线交抛物线于、两个不同的点，点关于轴的对称点记为，设． (1)求抛物线的方程和椭圆的方程； (2)求证：． 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可得的值，设出椭圆方程，结合题意计算即可得解； （2）令、，则，由得，欲证，只需证，即只需证，化简可得，设出直线方程，联立抛物线方程，借助韦达定理即可得，即可得证. 【详解】（1）由在抛物线上，故有，解得， 故抛物线的方程为，其准线方程为，故， 则椭圆焦点在轴上， 由在椭圆上，设该椭圆方程为， 则有，又，， 解得，，故椭圆的方程为； （2）令、，则， 由椭圆的方程为，则，， 由得：，则， 欲证：，只需证：，即， 即只需证，化简可得，即只需证， 由题意可得直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，与抛物线的方程联立， 有，即， ，即， 由韦达定理可得，即得证. 13．（2024·全国“鱼塘杯”数学竞赛）已知抛物线的焦点关于原点的对称点是为为圆心，为半径的圆.直线是过上异于原点的一点的的切线，切点为. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 【分析】（1）根据题意可得抛物线方程，设，不妨设，求出，求出过点T的切线方程，由到的距离不大于1，得到，得解； （2）设过点A的另一条切线与相切于，可得，所以直线，证明，可得，可证，进而，求得. 【详解】（1）根据题意，可得，，，抛物线方程为， 设，根据对称性，不妨设，则， 因为点在曲线上，在点处导数为， 所以的方程是， 存在A使得等价于到的距离不大于1， 所以，解得，所以. （2）设过点A的另一条切线与相切于， 由（1）同理可得，又因为点A分别在上， 所以直线， 先证明， 由. 联立直线和抛物线，得到是方程的两根，由根与系数的关系，， 代入， 得到，所以， 又因为 ， 因为，所以，， ， 所以，所以，当且仅当时等号成立. 14．（2024·全国数学联赛模拟（一试））已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，． (1)求的轨迹方程； (2)若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值． 【分析】（1）设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程为. （2）设、、，利用点在抛物线上可用纵坐标表示三点，利用斜率关系可得三个纵坐标的关系，从而可以的斜率表示，结合基本不等式可求的最小值，故可求面积的最小值. 【详解】（1）设点，因为，且点在轴上，所以， 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. （2）设该正方形为，其在上的三个顶点为、、， 不妨设，在轴的下方（包括轴），且， 则， 设直线的斜率为，则， 所以，，故，故. 又，所以， ，将，用表示， 得， 故， ，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 结合，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 所以正方形面积，当时取最小值. 15．（2024·广东汕头数学联赛）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点， (1)若的面积为，求的值及圆的方程 (2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围. 【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到，结合面积求出，圆的方程为；（2）表达出关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出，从而利用两点间距离公式表达出. 【详解】（1）由对称性可知：， 设，由焦半径可得：， ， 解得： 圆的方程为： （2）由题意得：直线的斜率一定存在，其中， 设关于直线的对称点为， 则，解得：， 联立与得：， 设， 则， 则， 则 ， 解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或， 所以 ， 【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07抛物线 目录 A组考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01抛物线的定义及应用 题型10直线与抛物线的位置关系 题型02抛物线的标准方程 题型11抛物线的中点弦问题 题型03与抛物线上点有关的距离最值问题 题型12与抛物线有关的过定点问题 题型04抛物线的简单几何性质 题型13与抛物线有关的定值问题 题型05抛物线的焦点弦问题 题型14抛物线中的定直线问题 题型06与抛物线有关的轨迹问题 题型15与抛物线有关的面积最值问题 题型07抛物线的光学性质 题型16与抛物线有关的范围问题 题型08抛物线的实际应用 题型17与抛物线有关的新定义题 题型9与抛物线有关的数学文化题 B组选拔真题冲奖练（精选各地竞赛、强基试题15道） A组 考点专顶过关练 考点一抛物线的定义及应用 1.己知点P在抛物线M:y2=8x上，过点P作圆C:(x-2}+y2=4的切线，若切线长为2√3，则点P到M 的准线的距离为( A.4 B.6 C.5 D.42 2.己知抛物线「：y=2pr(p>0)的焦点为F,准线为l,点A在抛物线T上（点A在第一象限），直线 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3元 AF的倾斜角为4，过点A作AB⊥1于点g'直线BF交y轴于点C:若△4CF的外接圆周长为 2(2-V2)π，则p=() A.1 B.2 c.2-2 D.3-2√2 3.已知椭圆c:名+a>6>0的左、右焦点分别为F?5:且E为抛物线y=2pp20的焦点 设抛物线与C在第一象限的交点为p,若PF-PF=FF,则C的离心率为() A. √5 1 B. 2 3 2 D.3 考点二抛物线的标准方程 4.若抛物线x=2p少(p>0)的准线为直线1，且1被圆C:x2+y2=1所截得的弦长为V3,则该抛物线的 方程为( A.x2=y B.x2=2y c.r2 2 D.x2=4y 3 5.已知抛物线y2=2pxp>0)的焦点为F’点42P,0 点M在抛物线上，且满足M4=V3MF若 △MAF的面积为12W5,则P的值为( A.3 B.4 C.2v2 D.2V5 6.已知抛物线C:y=2Px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴交于点D,点A是抛物线C上一点， AM⊥1于M,若AD为线段MF的垂直平分线，AD=V2,则抛物线方程为( A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y=x 考点三与抛物线上点有关的距离最值问题 7.已知Q(4,3),M为抛物线C:y=8x上一动点，W是圆C2:x2+y2-4x+3=0上一点，则M+MN的 最小值是( ) 2122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.4 C.3 D.2 PB 8.已知抛物线C:y=4x,P为c上一点，A(-2,0),B(2,0)当P最小时，点p到坐标原点的距离为 D ) A.2W5 B.3V2 C.25 D.8 PM2 9.已知点M(0,4):点p在抛物线x2=8y上运动，点Q在圆x2+(0-2}=1上运动，则P四的最小值为 8 16 A.2 B.3 C.4 D.3 考点四抛物线的简单几何性质 10.设0为坐标原点，直线x=4与抛物线C:y=2px(p>0)交于D,E两点，若0D⊥0OE,则C的焦点 坐标为( B. C.(1,0) D.(2,0) 11.已知等边三角形的一个顶点是抛物线y=4x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的 边长为( A.8-4V3或8+4v3 B.4V3+8 C.4-2V5或4+2V3 D.4+2V3 12.己知x轴上一定点A(a,0(a>0),和抛物线y=2px(p>0)上的一动点M,若AM≥a恒成立，则实 数a的取值范围为( ) a. B.(0,p] a.a D.(0,2p] 考点五抛物线的焦点弦问题 13.(多选题)已知抛物线y=2x(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F作直线与抛物线交于A(:,) 3/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(x2,)两点，又过A,B两点分别作AM⊥1，BN⊥1，垂足为M,N,连接MF,NF,则() A.55= 2 B.MF.NF=0 111 C.AF BF P D.以，。为直径的圆与1相切 AB 14.(多选题)已知点0为坐标原点，抛物线C:y=2pr(p>0)的准线方程为x=-2,过焦点F的直线 1交抛物线C于A,B两点，则下列选项中正确的是() A.若4F=10,则04=82 B.若AB=16,则直线1的斜率为1 C.2AF+BF≥6+4V2 D.aOAB面积的最小值为8 15.(多选题)已知抛物线C:y=2px(D>0)的焦点为RA,B是抛物线C上的两个动点，且AF的最小值 为1，M是线段AB的中点，P(2,2)是抛物线C所在平面内一点，则下列说法正确的是() A.p=2 B.若AF+BF=8,则点M到y轴距离为4 C.AP+AF的最小值为3 D.若亦=2丽：则-号 考点六与抛物线有关的轨迹问题 16.若动圆M与圆C:(x-2+y=1外切，又与直线x+1=0相切，则动圆圆心的轨迹方程为() A.x2=4y B.x2=8y C.y2=4x D.y=8x 17.已知点P在正方体ABCD-ABCD,的表面上，P到三个平面ABCD、ADDA、ABBA中的两个平面 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ( A A A.4 B.6 C.8 D.10 18.如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线I为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折 后点E都落在边CD上，记该落点为F,过点F作FP垂直CD交直线I于点P,则点P的轨迹为 ( )的一部分 D F A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 考点七抛物线的光学性质 19.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出： 反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图所示，两条平行于'轴的入 射光线：x=1,l:x=2分别经抛物线C:x2=4y上的P,Q两点反射后，两条反射光线，1又沿平行于y轴 的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为 5/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1l2 20.(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的 方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线y=4x 的焦点为F,O为坐标原点，一束平行于x轴的光线马从点P(m,n(n<4m)射入，经过抛物线上的点 A(:,)反射后，再经抛物线上另一点B(:,少)反射后，沿直线2射出，则下列结论中正确的是 A.xx2=1 B.点A(x,乃)关于x轴的对称点在直线2上 C.直线2与直线x=-1相交于点D,则A,O,D三点共线 D.直线1与2间的距离最小值为4 21.如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.己知灯口圆的直径为60cm,灯的深度为 40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光 源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 cm 光源 考点八抛物线的实际应用 22.如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm,口径26cm,底径10cm,该碗的轴截面 (不含碗底部分)是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_cm 6122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26cm ------ 10cm 10cm 图1 图2 23.小申同学要在边长为10的正方形纸片RSNM上剪出一个等腰梯形ABCD的图案，如图所示，腰AB、 CD与正方形内的抛物线「分别相切于E、F两点，其中「的顶点O为RM的中点.若当点E到RM的距离 为4时，EF=8,则等腰梯形ABCD的面积最小值为 (结果保留2位小数). AO D R M E B 24.如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥 大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以O为顶点且开口向上的抛物线C的一部分， 若F为抛物线C的焦点，则主塔两端点A,B到抛物线C的焦点F的距离之和约为（参考数据： √640625≈800)( 塔 桥面 A A.725米 B.1358米 C.1525米 D.1558米 考点九与抛物线有关的数学文化题 25.已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图 在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.己知圆(c-2)}'+(0+1)2=4的一条直径与抛物线 x2=2p少(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则P=( ) 1 A.2 B.1 C.2 D.4 7122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国 艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作 由抛物线C:y=2px(D>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影 区域)，A,B为C与其中两条曲线的交点.若P=1,下面四个结论： ①开口向上的抛物线的方程为y= ②AB=4: ③直线x+y=t截第一象限花瓣的弦长的最大值为4： ④阴影区域的面积大于4， 上述结论中所有正确的序号是一· 27.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名·他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比 为定值（⑦≠）的点的轨迹是圆”·后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆 已知在平面直角坐标系0中，A〔3，B(36)点p是满足- 3的阿氏圆上的任一点，若抛物线 1 y=6的焦点为F,过点F的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 考点十直线与抛物线的位置关系 28.已知直线1：x=my+(2m+1),抛物线C:x2=4y,则下列结论正确的是( A.直线1过定点(-2，) B.当m=-1时，直线1与抛物线C相切 8122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当1<m<2时，直线1与抛物线C有两个公共点 1 D.当直线1与抛物线C无公共点时，m<1或m> 29.己知O为坐标原点，点A(-l,-)在抛物线E:x2=-2py上，过点B(0,1)的直线1交E于M,N两点，则 ) A.E的准线方程为少=) B.直线AB与E相切 C.BM BN>AB D.OM ON042 30.已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点M25,3),焦点为F. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点D(O,)且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，若F在以AB为直径的圆内，求实数t的取值范 围. 考点十一抛物线的中点弦问题 31.己知抛物线E:y=2px(0<p<8)的焦点是F,点P在E上，以PF为直径的圆记为圆M当PF=5时， 圆w过点(0,2). (1)求抛物线E的方程： (2)若圆M过点A(0,),且≠0，证明：直线AP与曲线E相切 9122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知F是抛物线C:y=2pmD>0的焦点，Pa.2)a>号)是抛物线c上一点，Pr=4 (1)求抛物线C的方程； ②者直线与鹅窗我c交于，以X<)两点，且线段4B的中店坐标为 求弦长AB 33.在平面直角坐标系xOy中，点P到点(1,0)的距离比它到直线x=-4的距离小3，记动点P的轨迹为曲 线E. (1)求曲线E的方程； (②)已知直线1与曲线E交于A,B两点，且AB的中点为(6,2)，求证：以AB为直径的圆过点0. 考点十二与抛物线有关的定点问题 34.已知抛物线E:y2=4x,直线：x=my+3交抛物线E于A、B两点， (1)若线段AB中点M的纵坐标为2，求直线的方程： (2)若抛物线E上存在两点C、D关于直线I轴对称，求m的取值范围. 3)若存在定点P,使以AB为直径的圆上的任意点Q,都满足P:OQ=2:V5(0为原点)，求定点P 的坐标和m的值. 35.己知点F(0,),P是平面上一动点，点P到点F的距离比它到x轴的距离大1，设动点P的轨迹为曲 线C. 10/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求曲线C的轨迹方程； (②)己知点M(2,1),A,B为不过点M的直线I与曲线C的交点，直线MA的斜率记为k,直线MB的斜率 记为，若么，求证：直线，过定点，并求出定点丝标 6.设抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,P(xo,)是C上一点且PF=x,+1,过抛物线C的焦 点F作直线，且直线！与抛物线C相交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程： 2)当AF+4BF最小时，求直线1的方程： (3)设O为原点，直线x=1分别交直线OA,OB于点M和N.求证：以MW为直径的圆经过x轴上的两个 定点， 考点十三与抛物线有关的定值问题 37.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(L,0),直线：x=my+4与C交于M,N两点，与x轴交于点Q,与 直线x=-4交于点P (1)求C的标准方程： (②)当m=1时，求△FMN的面积： (3)是否存在实数，使等式P№PM+POPV2 PMPNI成立，若存在，求入的值并说明理由. 11/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 38.在平面直角坐标系xOy中，己知A(1,2),B(L,-2),P是平面上的动点，记直线PA,PB的斜率分别 11=1 为K,k’且k飞 (1)求动点P形成的曲线C的方程； 2)点Q在直线x=-1上，且PQ与x轴平行，设QA与PB交于点M,证明：在直线AB上存在两个定点E, F,使得ME+MF为定值. 39.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(,o)是C上一点且PF-PF=x6+x,过抛物线C的焦 点F作直线马，且直线马与抛物线C相交于A,B两点 (1)求抛物线C的方程： (2)过抛物线C的焦点F作与马垂直的直线2，若直线2与抛物线C相交于D,E两点， ①求AD.EB的最小值： ②设S,T分别是AB,DE的中点，过焦点F作直线ST的垂线，垂足为H,求证：存在一个定点M,使 得MH为定值， 12/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点十四与抛物线有关的定直线问题 40.己知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点到x轴的距离为4，过点TL,2)的直线与抛物线E交于A,B两点， 设抛物线E在点A,B处的切线分别为和2，已知与x轴交于点M,2与x轴交于点N设4与2的交点为 P (1)求抛物线E的标准方程： (2)证明：点P在定直线上； (3)若△PMW的面积为V2,求点P的坐标. 41.己知抛物线C:x2=4y,过点D(0,2)的直线1交抛物线交于A,B两点，抛物线在点A处的切线为4， 在点B处的切线为2，直线马与2交于点M (1)设直线，的斜率分别为直线k,k,求证：kk,=-2; (②)证明：点M在定直线上： MN 3)设线段AB的中点为从求4B的取值范围。 42.己知抛物线E:x2=2p(p>0)的焦点为F,点P(xo,)是E上的动点且异于坐标原点.当=1时， 13/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1外装 (1)求E的方程. (②)若p>1,且E上存在异于P的两点Q,R,使得△PQR是等边三角形.设△PQR的中心的轨迹为曲线C. (1)求C的方程： (1i)点H在E的准线上运动，过点H作E的两条切线，切点分别为A,B,过点A作C的两条切线，切点 分别为M,N,过点B作C的两条切线，切点分别为S,T,求证：直线MN与ST的交点在一条定直线上. 考点十五与抛物线有关的面积最值问题 43.己知抛物线C:x=2py(p>0)的焦点为F,直线1过点F且与C相交于A(x,乃)，B(:乃)两点，当 直线，的倾斜角为4时，AB=8. (1)求抛物线C的方程： (2)过点A作抛物线C的切线4，过点B作马的平行线2交C于另外一点M(x,为)」 ①求证：2x=x3+为： ②求四边形OBMA(O为坐标原点)面积的最小值. 14/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44. 己知动圆过点F 且与直线x+ =0相切，设动圆圆心的轨迹为曲线c:过点F的直线与曲线 2 C交于A,B两点，曲线C在A,B两点处的切线交于点E. (1)证明：EF⊥AB; ②设a=F,当e6 ∈3'2时，求。ABE的面积s的最小值 45.已知抛物线C:x=2p少(p>0),0为坐标原点，过点P(1,)作斜率k(k<0)的直线1交抛物线C于 A,B两点，其中A在第一象限，直线OP交抛物线C于另一点D,其中OD=3OP,直线OA与直线BD交 于点M. (1)求抛物线C的方程： (2)记△MAD与△MOB的面积分别为S,S2, (i)当O,A,D,B四点共圆时，求直线的方程： (i)求3，的取值范围. 考点十六与抛物线有关的范围问题 46.设抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过点A(0,-)且斜率为2的直线1被C截得的弦长为2V0 (1)求抛物线C的方程： 15/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)已知点E为抛物线上的任意一点，以E为圆心的圆过点F，且与直线x=-1相交于M、N两点，求 |FMFN的取值范围。 47.已知0为坐标原点，经过点(4,0)的直线1与抛物线Gy=2px(p>0)交于A,B(4,B异于点0)两 点，且以AB为直径的圆过点O. (1)求C的方程： (2)已知MN,P是C上的三点，若△P为正三角形，Q为△WP的中心，求直线OQ斜率的最大值. 48.在平面直角坐标系xOy中，直线1：x-y-2=0与抛物线C:y=2pr(p>0)交于M,N两点. (1)若MN=4V6,求抛物线C的方程： (2)已知抛物线C上存在关于直线I对称的相异两点P和Q. ①求P的取值范围： ②求PM·PN的取值范围. 考点十七与抛物线有关的新定义题 49.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的 16/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线G:x=2p少(p>O)的焦点为凡，直线：y=2过点R,过x 轴下方的一点P作C的两条切线，h,且，分别交x轴于点A,B,交1于点MM (1)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN; (2)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点. 50.过抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点A能作圆E:(x-a)2+(0y-b)2=r2(r>0)的两条切线，与C交 于另外两点4，4，若直线44，也与E相切，则称圆E具有性质P.已知抛物线C':y=4x的焦点为F, 圆E':(x-m)2+y=n(n>0)在C'内部，过C'上一点2作E的两条切线，分别交C于点M,N. (1)若m=3,点Q4,4),求cos∠QFE': (②)若m=2,n=√2，判断圆E'是否具有性质P,并说明理由； (3)若m=3,圆E'具有性质P,求n. 51.对于抛物线y=2px(p>0),给定一点M(,0),若抛物线上存在两点A,B,使得MAH MB,且 AB不与x轴垂直，则称弦AB是抛物线的一条“，-伴随弦”.已知抛物线C:y2=4x存在“。一伴随弦” (1)求的取值范围. (2)求x。一伴随弦的中点S的轨迹方程.（用x表示） (3)x。一伴随弦的弦长是否有最大值？若有，求出最大值（用x表示）：若没有，请说明理由. 17/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 实战进阶·竞赛选拔模拟特训 1.(2024全国第七届章鱼杯竞赛)抛物线y=x2+x+9的焦点坐标是( A5).3)c.合 D.(29 2.(第十届全国“枫叶新希望杯”联赛)已知圆(x-a+(y-b=r的圆心为抛物线y2=4x的焦点，且 与直线3x+4y+2=0相切，再由直线y=x+3上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为 A.1 B.2√2 C.3 D.7 3.(2024山东泰安冬季联赛)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为-V5的直线1与 C交于A,B两点，AP=PF,B0=QF,若R(0,),S(0,y)满足PR1OR,QS⊥OS,且-2=4V5 则P=( ). A.6 B.4 C.3 D.2 4.(多选)(2024清华大学强基计划)抛物线C:x=4y,焦点为F.过焦点F的直线1交C于A,B两点. 过A作平行于B点切线的直线交C于点P,交y轴于点D.设A(x)B(x:2),P(x,),则 ( ) A.y2=4 B.S△ABP的最大值为16. C.DF=AF 18/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.x+x3=2x2 5.(2024江苏南京大学强基计划)过点P(4,4)作抛物线y2=4x的切线交y轴于点Q,焦点为F,则四 边形OFPO的面积为 6.(2025高二上·安徽·竞赛)已知抛物线「：y=2px(p>0)的焦点为F,P,Q,R为抛物线「上的三个动 点，若△PQR的重心为F,且△PQR的三条中线长的和为2025，则P= 7.(第十四届“枫叶新希望杯”竞赛)已知1，P分别是抛物线x=4y的准线与抛物线上一动点，定点 A(4,2),PM11于M,且a-6a+1≤(PA+PM)恒成立，则实数a的取值范围为一 8.(2026高三下·新疆·竞赛)已知0为坐标原点，曲线C:x2-y=2与曲线C2:y2=2pr交于点M,N, 若△OMN的外接圆经过点P(3,O),则曲线C,的方程为 9.(2025高二上·安徽·竞赛)已知抛物线「：y=x2-2x+C(c∈R)与x轴交于A,B两点(A在B的左 侧)，与y轴交于点C,直线CA,CB的斜率分别为k,k2,k3-k=4 (1)求c的值： (2)求△ABC的外接圆的方程. 10.(2024山东泰安冬季联赛)已知双曲线： 5-mm-1 ,=1(1<m<5)的一个焦点与抛物线c: y2=2px(p>0)的焦点重合 (1)求抛物线C的方程： (2)若直线1：x=y+8交抛物线C于A、B两点，O为原点，求证：以AB为直径的圆经过原点O. 19/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1。(2024安徽准南二中等校联套)对聪物线Fp>0,定义：点F0号引叫致该秘物线的东点， 直线=-号叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等运用上述材 料解决以下问题： 图① 图② 如图，已知抛物线C:y=ax2-8ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点B(2,-3). (1)求抛物线C的解析式和点A坐标： (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设M为抛物线D上任意一点，MN⊥x轴于点N,求MN+M4的最小值： ②直线I过抛物线D的焦点且与抛物线D交于P,Q两点，证明：以PQ为直径的圆与抛物线D的准线相切 12.(第十二届“枫叶新希望”杯竞赛)设抛物线y=4mx(m>0)的准线与x轴交于E,焦点为E,以￡、 E为焦点，离心率e=)的椭圆与抛物线的一个交点为E 22W6 ，3)自5引直线交抛物线于。0两个不 20/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同的点，点P关于x轴的对称点记为M,设FP=九FQ (1)求抛物线的方程和椭圆的方程； (2)求证：FM=-fQ.】 13.(2024全国“鱼塘杯”数学竞赛)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F,F关于原点的对称点是 M,⊙M为M为圆心，OM=1为半径的圆直线1是过⊙M上异于原点的一点A的C的切线，切点为T. (①)求FT的最大值： FA (②)求F7的最大值 14.(2024全国数学联赛模拟（一试）)已知点M(-3m,0)(m>0),N、P两点分别在y轴、x轴上运 动，且满足瓜0-0，严-P0 (1)求Q的轨迹方程： (②)若一正方形的三个顶点在点Q的轨迹上，求其面积的最小值. 21/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(2024广东汕头数学联赛)抛物线C:x2=2p少(p>0)的焦点为F,准线为1，A为C上的一点，己知以 F为圆心，FA为半径的圆F交I于B,D两点， Q P 0 S B D (1)若∠BFD=90°，aABD的面积为4V2,求P的值及圆F的方程 (②)若直线y=+b与抛物线C交于卫，Q两点，且OPLO0,准线I与y轴交于点S,点S关于直线PO的 对称点为T求FT的取值范围， 22/22