专题02 二次函数与实际问题（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建二次函数实际应用体系，通过六大场景建模训练，强化数学眼光观察、数学思维推理与数学语言表达的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|强调自变量取值范围与实际意义检验两条底线原则|统领全专项，奠定建模基础| |面积/动点/销售/拱桥/投球/喷水问题|每题型含例题+3变式|设变量→列函数→定范围→求最值的四步建模法|从几何到实际场景，形成“场景特征→函数模型→性质应用”链条| |压轴挑战|15题|综合多场景与动态问题，强化参数讨论与临界分析|衔接中考压轴，提升复杂问题解决能力|

专题02 二次函数与实际问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的实际应用——面积问题 题型二、二次函数的实际应用——动点问题 题型三、二次函数的实际应用——销售问题 题型四、二次函数的实际应用——拱桥问题 题型五、二次函数的实际应用——投球问题 题型六、二次函数的实际应用——喷水问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数实际应用类问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕面积最值、线段动点、利润销售、抛物线拱桥、球类投掷、喷泉喷水六大实际场景展开，解题贯穿两条底线原则：一是实际问题自变量存在现实取值范围，不能直接套用全体实数下的顶点最值；二是求出函数最值、交点后必须检验数值是否符合生活实际意义. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的实际应用——面积问题 题型模版 1.特征：给出长方形、矩形、围栏、分割图形等场景，设边长为自变量，求图形面积最大值或最小值，常附带材料总长、边长限制条件。 2.方法：用含未知数的代数式表示图形长、宽，列出面积二次函数；根据实际边长大于0确定自变量取值范围；结合顶点求最值，若顶点横坐标不在取值区间内，则取区间端点计算面积。 【例1】如图，在中，，，是边上一动点，过点作，交于点，连接，设，的面积为，则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当在线段边上运动时（不含两点），，， ， 为等腰直角三角形， ，且， 为等腰直角三角形， ， 的面积为， 关于的函数为二次函数，函数图象为开口向下的抛物线， 只有选项C的图象符合． 【例2】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 【答案】(1) (2)x的值为1 (3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． 【变式1-1】如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①当点在上运动时，即： ； ②当点在上运动时，即： ； ③当点在上运动时，即： ； 综上分析可知，选项C中的函数图象符合题意． 【变式1-2】某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 【分析】 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 【变式1-3】如图，中，一动点P从C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着方向以的速度运动，两点同时出发，其中一个点停止时，另一个点亦停止运动．设运动时间为． (1)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． (2)当t为几秒时，四边形的面积最小？是多少？ 【答案】(1)的面积不能为面积的一半，见解析 (2)当时，最小值为 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能为面积的一半； （2）解：由（1）得： ， ∵， ∴有最小值， ∴当时，最小值为． 题型二、二次函数的实际应用——动点问题 题型模版 1.特征：几何图形边上存在匀速动点，用运动时间表示线段长度，求解图形面积、线段长度的最值，或满足特定面积时的运动时间。 2.方法：设运动时间为x，表示出动点移动后相关线段长度，构建面积二次函数；结合图形边长限制锁定x取值范围；对比顶点横坐标与取值区间，分情况计算最值，结果需保证线段长度为正数。 【例3】如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴点达到点所需要的时间为：（秒）， 点达到点所需要的时间为：（秒）， ∴，故选项C、D错误； 当时，点在上运动，此时，， 如图，作交于点， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向上的抛物线， 当，点在上运动， 如图，过点作交于点， ， ∴； 根据一次函数的性质此时表示与函数关系的图象是一条斜向上的线段； 当，点在上运动，作交延长线于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向下的抛物线； 则选项错误、选项正确． 故选：B． 【例4】如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3) (4)存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； （3）由（2）可知，， ； （4）存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【变式2-1】如图，已知抛物线，点为轴上一动点，为抛物线上的动点，在轴上运动时，始终保持．且，当点的横坐标为时，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：将代入中，得， ∴， 如图，过A作轴于E，过B作轴于F， 则， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 设， ∴，，，， ∴， 整理，得， 解得， 即点B的横坐标为． 故选：B． 【变式2-2】如图，在矩形中，，，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B出发，沿方向运动，点M为上一点，始终满足，同时动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动，到达点B后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点P到达点C时，点P，点Q均停止运动．设动点P运动的时间为x秒，点P与点B之间的距离为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像；并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2) 如下图所示， 当时，随的增大而减小；（或当时，随的增大而增大） (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵动点Q以每秒个单位长度的速度从点B出发，沿方向运动，同时动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动，到达点B后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴点运动到点的时间为（秒），运动到点的时间为（秒）， 点Q运动到点的时间为（秒）， ∴当点运动到点时，，此时，即点运动到点， 设动点P运动的时间为x秒， 当时，点P与点B之间的距离， 当时，点P与点B之间的距离， ∴， ∵， ∴的面积为； （2）结合（1），在平面直角坐标系中画出，的图像， 函数的性质：当时，随的增大而减小；（或当时，随的增大而增大） （3）结合函数图像，可知时x的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、二次函数和一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式2-3】如图1，在等边三角形中，动点P从点C出发沿C→B→A匀速运动，同时动点Q从点B出发沿B→A→C匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为，面积为S．图2中的曲线是动点P在边上时S与t的函数图象． (1)的长为_______；______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式． (3)在运动过程中，若存在三个时刻对应的面积均相等，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由图2可知，时，动点P从C点运动到B点， 动点P运动速度为每秒1个单位， ， 为等边三角形， ， 当时，动点P运动到的中点，动点Q运动到的中点， 过点Q作于点H， ， ， 故， 故答案为：4，； （2）过点Q作，垂足为D． 当点P在边上时，． 在中，． ． （3）由（1）可知，当时，抛物线的顶点坐标为． 当时，设抛物线的解析式为 将代入解析式，解得 ． 存在三个时刻对应的面积均相等， ． 根据二次函数的对称性可知， ． ． ∴， 解得． ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，动点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型三、二次函数的实际应用——销售问题 题型模版 1.特征：商品涨价/降价改变销量，已知单件成本、原价、销量变化规律，求销售总利润的最大值，或给定利润求对应售价。 2.方法：设涨价或降价金额为自变量，分别表示单件利润、销售数量，总利润=单件利润×销量，列出二次函数；自变量需满足售价、销量均为正数；在取值范围内求利润最值，舍去不符合实际的价格。 【例5】某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种水果每次降价的百分率； (2)从第二次降价后的第1天算起，第x天（x为整数）的销量为斤，第x天的储存和损耗费用为元，已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y（元），求y与x之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 【答案】(1) (2)（，且为整数），第9天销售利润最大 【分析】 【详解】（1）解：设水果每次降价的百分率为， 根据题意可列方程得： ， 解得： ， 舍， 答：水果每次降价的百分率为； （2）解：根据题意可得： ， 整理得： （，且为整数）， ， ，抛物线的开口向下，对称轴为直线，且， 当时，有最大值，最大值为； 综上所述：与之间的函数关系式为： （，且为整数），第天的销售利润最大． 【例6】某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 【变式3-1】某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 【答案】(1) 函数关系式为，最大利润为元 (2) 定价为元时，新产品每月可获得最大销售利润，最大利润为元 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得：， ， ∴当时，有最大值为2250， 即与之间的函数关系式，最大利润为元； （2）解：①当销售量每月不小于150件时，即， 解得：， 由题意，得： ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元； ②销售量每月小于150件时，， 解得， 由题意 ， ∵， ∴时，w的最大值为1960， ∵， ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元． 【变式3-2】今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】(1) (2)①898万元；②当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为917.6万元 【分析】 【详解】（1）解：设该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：该景区游客人数平均每月增长率为． （2）解：①由题意，得： （万元）， 答：景区5月份的门票总收入为898万元． ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元， 由题意，得： ， ， 当时，取最大值，为元，即万元． 答：当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为万元． 【变式3-3】小红帽百货商店用元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假，大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了． (1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价； (2)若第二批胶囊遮阳伞按元把的价格销售，销售了第二批进货数量的后，根据市场情况，小红帽百货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于，请问最多可以按几折销售？用不等式解决问题 (3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把元，每天可卖出把，市场调查发现，每把降价元钱，每天可多卖出把，若每天的利润为元，售价为每把元，写出与的关系式，求出每天获得最大利润时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润． 【答案】(1)20 (2)7折 (3)；当售价定为每把元时，最大值为元． 【分析】 【详解】（1）解：设第一批胶囊遮阳伞每把的进价为元，则第二批胶囊遮阳伞每把的进价为元， 依题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一批胶囊遮阳伞每把的进价为元； （2）解：由（1）得第二批胶囊遮阳伞每把的进价为（元）， 则第二批购进数量为（把）， 设按折销售， 依题意得：， 解得． 答：最多可以按折销售； （3）解：根据题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为， 与的关系式为，当售价定为每把元时，利润最大，最大值为元． 题型四、二次函数的实际应用——拱桥问题 题型模版 1.特征：拱桥轮廓为抛物线，给出跨度、拱高、水面宽度等条件，求抛物线解析式，或计算特定高度下水面宽度、船只通行高度限制。 2.方法：以拱桥顶点或水面中点为原点建立平面直角坐标系，设顶点式抛物线解析式；代入已知点坐标求出参数；将高度/宽度数值代入函数，求解对应横纵坐标，结合实际场景取舍正负解。 【例7】新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（     ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确， 由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ，故B正确， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，故C错误 把代入得：， 解得：， ∴ ∴，故D正确 【例8】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， ， 解得： 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示： 设， ∴， ∴点E的横坐标为x， ∴纵坐标为：，即， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴． 【变式4-1】某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度为10米，最高点到水平地面的距离为4米，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在拱门上悬挂一条横幅，轴，米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅（宽度忽略不计）到地面的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过， 设抛物线的表达式为， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为， ∵轴，米， ∴点M的横坐标为， ∴点M的纵坐标为米， ∴横幅（宽度忽略不计）到地面的距离米． 【变式4-2】地平线下的村院——地坑院，人们常这样描述它：“见树不见村，进村不见房，入户不见门，闻声不见人．”体现了古人“天地相融，方圆共存，天人合一”的哲学理念．如图①为一个地坑院，如图②是其中窑洞的纵截面示意图，底部为矩形，顶部为抛物线形拱．以窑洞矩形底边（在地面上）所在直线为x轴，底边中点为原点建立平面直角坐标系，已知矩形部分高，宽，抛物线形拱的最高点距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)现计划在窑洞顶部均匀地悬挂5个灯笼（即5个悬挂点水平等距分布），要求5个灯笼在抛物线形拱上呈轴对称分布，且每个灯笼的悬挂点离地面不低于，求相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离，以及此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】(1) (2)相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离为米，此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标和． 【分析】 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， ，， 抛物线的解析式为， 由题意可知，点，在抛物线上， 把代入解析式得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，即， 解得，， 每个灯笼的悬挂点离地面不低于， ， 结合二次函数的图像可知， 相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离为米，此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标和． 【变式4-3】如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，） 【答案】(1) (2)解：①在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下： ， 在中，当时，， ∵， ∴在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥； ②应往集装箱内至少注入水的质量为800千克 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设此抛物线的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此抛物线的函数表达式为； （2）解：①略； ②在中，当时，， 当水面上涨到警戒水位时，集装箱在水上的部分最高为， 设应往集装箱内注入水的质量为t千克， 由题意得，， 解得， ∴t的最小值为800， 答：应往集装箱内至少注入水的质量为800千克． 题型五、二次函数的实际应用——投球问题 题型模版 1.特征：篮球、铅球抛出轨迹是抛物线，给出出手高度、落地点水平距离、最高点高度，求解析式，或判断能否到达指定高度、是否投进篮筐。 2.方法：建立平面直角坐标系，以出手点地面位置为横轴，竖直高度为纵轴；利用顶点式设抛物线，代入已知点求解析式；将目标水平距离代入函数，对比计算高度与目标高度。 【例9】斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 【答案】 【详解】解：，， ，， 设第一次反弹后的抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得：，即； 每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致）， 两个抛物线的是相同的， 设二次反弹后的抛物线解析式为， ，， ， 抛物线过，两点， ， 解得：， ． 【例10】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一 ．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 ： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是 的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为 m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点 （填写“高”或“低”）约 m （结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)平滑的曲线连接作图如下： (2)抛物线；14.5 (3)高； 【分析】 【详解】（1）解：略； （2）解：根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分； 设该抛物线的解析式为， 将代入解析式中，得， 解得， 即， 开口向下，当时，y最大， （3）解：当时，y最大， 且最大为， ∴； ∵乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，甲运动员的最高点的竖直高度大约为， ∴乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高，高． 【变式5-1】“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】 【详解】（1）解：①， 为顶点， 则抛物线， ∵过点 代入得： ， ∴， 抛物线解析式为； ②解：抛物线经过点时， ， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 【变式5-2】某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据： （秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 … （米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 … （米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 … (1)探究与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．求出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求发出的乒乓球经过多少秒落在桌面上？ (3)球网高度为0.14米，球桌长（）米，若乒乓球弹起后，其运动路线仍是抛物线且与原抛物线形状相同，若球弹起后在最高点击球，球沿直线擦网而过扣杀到原点，直接写出乒乓球落在桌面上弹起后的抛物线顶点的横坐标． 【答案】(1)， (2)秒 (3) 【分析】 【详解】（1）解：由表格数据可知，， 关于的函数解析式为． 由表格数据可知，关于的函数图象关于直线对称，顶点为， 可设， 将代入， 得， 解得：， 关于的函数解析式为． （2）解：当时，， ， ， 解得，（舍去）， 乒乓球落在桌面上时，与端点的水平距离为2.5米． ， ， ， 发出的乒乓球经过秒落在桌面上． （3）解：弹起后抛物线与原抛物线形状相同， 二次项系数为． 设弹起后抛物线的顶点坐标为， 则． 球在最高点（即顶点处）击球，沿直线擦网而过扣杀到原点， 扣杀路线为过点和的直线． 设直线解析式为， 将代入，得， 解得， 扣杀路线为． 顶点在直线上， ． 由（2）知乒乓球落在桌面上时的坐标为， 将代入， 得， 解得：， 球从处弹起后向原点方向运动，顶点横坐标应满足， （舍去）， ，符合题意， 乒乓球落在桌面上弹起后的抛物线顶点的横坐标为． 【变式5-3】从地面以初速度v（单位：）竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）和小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式为，已知当时，． (1)求小球的初速度v； (2)当时，求小球运动的路径长； (3)假设小球为弹性小球，经过时间达到最大高度；小球落地后立刻以速度竖直向上弹起，又经过时间达到最大高度，若，求的值． 【答案】(1)30m/s (2)50m (3) 【分析】 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得， ∴小球的初速度v为30； （2）解：∵， ∴当时，小球运动的最大高度为； 当时，； ∴当时，小球运动的路径长为； （3）解：由（1）（2）知，，， ∴， ， ∴， ∴． 题型六、二次函数的实际应用——喷水问题 题型模版 1.特征：喷泉喷水轨迹为抛物线，已知喷水口高度、最远喷水距离、水流最高点高度，求水流解析式，或计算特定水平位置的水流高度。 2.方法：以喷水口底部为坐标原点建立坐标系，设抛物线顶点式；带入喷水落点、最高点坐标求解函数参数；代入水平距离计算对应高度，判断遮挡物是否会阻挡水流。 【例11】某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①2米；② 【分析】 【详解】（1）解：设水流的函数解析式为， 由题意得 ∴， ∴水流的函数解析式为； （2）解：①∵米，米， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2， 答：这棵小树可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为， 同理可得， ∵两棵树等高，即， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【例12】某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 【变式6-1】校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口距地面米，距着火建筑物底部水平距离米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线的一部分，着火点距离水平地面米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为米的位置处达到最高，以水平地面为轴，着火建筑物为轴，着火建筑物底部点为原点，建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式． (2)由于火势迅速蔓延至距离地面米的点处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车顶点处释放出消防无人机，无人机竖直上升米到达点处喷出水流，水流路线是抛物线的一部分，此时的水流恰好喷到点下方米的点处，若点为抛物线的最高点，请求出抛物线向右平移多少米就能将水流喷射到点处（无人机只能在建筑物的左侧移动）． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)抛物线向右平移米就能将水流喷射到点处 【分析】 【详解】（1）解：∵喷水口距地面2米，距建筑物底部水平距离8米，着火点在轴上，距地面18米，水流在离建筑物底部水平距离2米处达到最高， ∴，，抛物线顶点横坐标为， 设抛物线的表达式为， 将和代入表达式， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为或； （2）解：∵无人机从竖直上升42米到， ∴，且是的顶点， ∵点距地面43米，在轴上，在下方1米， ∴，， 设抛物线的表达式为， 将代入表达式，得 解得， ∴抛物线的表达式为， 步骤3：设平移距离并建立方程 设抛物线向右平移米， ∴平移后的抛物线表达式为， ∵平移后的抛物线需经过， ∴将代入，得 解得或， ∵ “无人机只能在建筑物的左侧移动”，即平移后顶点的横坐标需小于0， ∴ 解得， ∴舍去， ∴米， ∴抛物线向右平移米就能将水流喷射到点处． 【变式6-2】【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 【答案】(1) (2)米 (3)要把喷泉喷头升高2米． 【分析】 【详解】（1）解：依题意，， ∵最高点时的坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为， 把代入，得 解得， ∴ （2）解：由（1）得， 依题意，把代入， 得 整理得 解得， ∵在轴的正半轴， ∴． ∴半径的长为米． （3）解：由（1）得， 设要把喷泉喷头升高米， 依题意，升高后的抛物线的解析式为 ∵水流落点距离中心恰好为5米， ∴ 把代入， 得 整理得 解得 ∴要把喷泉喷头升高2米． 【变式6-3】射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度（单位：）与向前运动的水平距离（单位：）的关系可以近似地表示为． (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离的范围是______，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离的范围是______； (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离，高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ (3)假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方多远处？ 【答案】(1)； (2)这次射出的水流不能击中这只昆虫 (3)这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方或处 【分析】 【详解】（1）解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，，过原点， 在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小， ∴它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离的范围是，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离的范围是 （2）当时，， ∴这次射出的水流不能击中这只昆虫； （3）当时，， 解得， ∴这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方10cm或30cm处． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，点D在线段上由点A向点B运动，且交的边于点E，，设，在中扫过的面积为y，则x与y的函数关系可以用图像（   ）表示． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作于点H， ∵在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， 当在的左侧时， 中扫过的面积； 当在处时， 中扫过的面积； 当在的右侧时，， 中扫过的面积， ∴只有选项C符合． 2．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，的中点，动点M从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点F运动，动点P从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，动点Q从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点D运动，连接，，．当点M到达点F时，三个点同时停止运动．设点M运动的时间为x秒，的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，，， 则； 当时，如图， ，， ， 则． 故选项C符合题意． 故选：C． 3．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 【答案】(1) (2)该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； (3)当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元 【分析】 【详解】（1）解：设， 由题意得， ∴， ∴； （2）解：设每天的销售利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为810， 答：该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； （3）解：由（2）和题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组，可知该不等式组无解， 综上所述，， 答：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元． 4．中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【分析】 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 5．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】(1)①；② (2)年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【分析】 【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 6．如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积的为． (1)请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在图中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数后一位，误差不超过） 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：（1）如图，作于， ，即，， ， 四边形为矩形， ， 由题意可知：，，，， 的面积：， 的面积：， ， 当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 点运动时间最多为：（秒），点运动时间最多为：（秒）， ，，； （2）解：列表： 描点，画出、关于的函数图象如图所示： 写出函数，的性质如下（答案不唯一）： 对于函数，当时，函数有最大值； 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； 对于函数，随增大而减小； （3）解：由图可知，两函数的交点横坐标约为， 当时，的取值范围． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，根据函数图象解不等式，平行线的性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 由表格得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， ∵一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且， ∴当水落在花盆最左边时，，此时，解得； 当水落在花盆最右边时，时，，解得； ∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为． 8．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 【答案】(1)（）． (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，开始时A点与M点重合， 让向右移动，最后点A与点N重合， 两图形重合的长度为， （）． （2）解：当时， 即， 重叠部分的面积 （）． 9．西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)灯带两端水平距离的最大长度为 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为轴，顶点坐标为， 设该抛物线表达式为， ，， 由对称性得点的坐标为， 将代入表达式得：， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：要求离地高度不低于，即， 令代入抛物线表达式得 ， 整理得， 解得，， 两个交点的水平距离为：， 因此灯带两端水平距离的最大长度为． 10．【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 (1)若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； (2)当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； (3)在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 【答案】(1)；9 (2)或 (3)时，面积差的最大值为 【分析】 【详解】（1）解：， ， 抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小， ， 当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为； （2）解：由图像得，两函数交于点，， 所以，表示两个水池面积相等的点是，， 联立方程组 解得：，， ，， 由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， 当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积； （3）解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积， 两个水池面积差， ， 函数有最大值， 当时，函数有最大值，为， 当时，面积差的最大值为． 11．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点， ， 设点， ， ， 或， ∴点或或或； （3）解：若为边，且四边形是平行四边形， ， ∴点F与点C纵坐标相等， ， ，， ∴点， 若为边，且四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3， ∴点F的纵坐标为， ， ， ∴点或； 若为对角线，则四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0， ∴点F的纵坐标为3， ∴点， 综上所述，点F坐标或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数综合，坐标与图形，二次函数图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 12．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 【答案】(1)；洒水车喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：，，且是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ，解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则，解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为. （2）解：∵， ∴的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为． （3）解：由题意可得，当点与点重合时，最小， 点的坐标为， ， 的最小值为， 当点在抛物线上时，最大，也最大 ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， 的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为：． 13．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 【答案】(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 14．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 15．如图是某个温室大棚门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，，为的中点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)为支撑温室大棚门的结构，在抛物线上的点、处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 【答案】(1) (2)这三条撑杆长度和的最大值为 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，顶点， ∵，， ∴， 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数解析式为； （2）解：设，则， 则这三条撑杆的长度和， ∴当时，所需撑杆长度和的最大值为． 16．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【分析】 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 17．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 【答案】(1)， (2) (3)或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为 【分析】 【详解】（1）解：高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 当时，， 可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 整理可得：， ，； （2）解：点的纵坐标为， ， 解得：（舍去），， ； （3）解：由（1）得：． 抛物线的对称轴为：， 秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同， ， 解得：， 当时，， 答：或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为． 18．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】(1) (2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与实际问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的实际应用——面积问题 题型二、二次函数的实际应用——动点问题 题型三、二次函数的实际应用——销售问题 题型四、二次函数的实际应用——拱桥问题 题型五、二次函数的实际应用——投球问题 题型六、二次函数的实际应用——喷水问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数实际应用类问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕面积最值、线段动点、利润销售、抛物线拱桥、球类投掷、喷泉喷水六大实际场景展开，解题贯穿两条底线原则：一是实际问题自变量存在现实取值范围，不能直接套用全体实数下的顶点最值；二是求出函数最值、交点后必须检验数值是否符合生活实际意义. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的实际应用——面积问题 题型模版 1.特征：给出长方形、矩形、围栏、分割图形等场景，设边长为自变量，求图形面积最大值或最小值，常附带材料总长、边长限制条件。 2.方法：用含未知数的代数式表示图形长、宽，列出面积二次函数；根据实际边长大于0确定自变量取值范围；结合顶点求最值，若顶点横坐标不在取值区间内，则取区间端点计算面积。 【例1】如图，在中，，，是边上一动点，过点作，交于点，连接，设，的面积为，则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【例2】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 【变式1-1】如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【变式1-3】如图，中，一动点P从C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着方向以的速度运动，两点同时出发，其中一个点停止时，另一个点亦停止运动．设运动时间为． (1)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． (2)当t为几秒时，四边形的面积最小？是多少？ 题型二、二次函数的实际应用——动点问题 题型模版 1.特征：几何图形边上存在匀速动点，用运动时间表示线段长度，求解图形面积、线段长度的最值，或满足特定面积时的运动时间。 2.方法：设运动时间为x，表示出动点移动后相关线段长度，构建面积二次函数；结合图形边长限制锁定x取值范围；对比顶点横坐标与取值区间，分情况计算最值，结果需保证线段长度为正数。 【例3】如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】如图，已知抛物线，点为轴上一动点，为抛物线上的动点，在轴上运动时，始终保持．且，当点的横坐标为时，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在矩形中，，，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B出发，沿方向运动，点M为上一点，始终满足，同时动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动，到达点B后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点P到达点C时，点P，点Q均停止运动．设动点P运动的时间为x秒，点P与点B之间的距离为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像；并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【变式2-3】如图1，在等边三角形中，动点P从点C出发沿C→B→A匀速运动，同时动点Q从点B出发沿B→A→C匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为，面积为S．图2中的曲线是动点P在边上时S与t的函数图象． (1)的长为_______；______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式． (3)在运动过程中，若存在三个时刻对应的面积均相等，且，求的值． 题型三、二次函数的实际应用——销售问题 题型模版 1.特征：商品涨价/降价改变销量，已知单件成本、原价、销量变化规律，求销售总利润的最大值，或给定利润求对应售价。 2.方法：设涨价或降价金额为自变量，分别表示单件利润、销售数量，总利润=单件利润×销量，列出二次函数；自变量需满足售价、销量均为正数；在取值范围内求利润最值，舍去不符合实际的价格。 【例5】某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种水果每次降价的百分率； (2)从第二次降价后的第1天算起，第x天（x为整数）的销量为斤，第x天的储存和损耗费用为元，已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y（元），求y与x之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 【例6】某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【变式3-1】某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 【变式3-2】今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【变式3-3】小红帽百货商店用元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假，大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了． (1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价； (2)若第二批胶囊遮阳伞按元把的价格销售，销售了第二批进货数量的后，根据市场情况，小红帽百货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于，请问最多可以按几折销售？用不等式解决问题 (3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把元，每天可卖出把，市场调查发现，每把降价元钱，每天可多卖出把，若每天的利润为元，售价为每把元，写出与的关系式，求出每天获得最大利润时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润． 题型四、二次函数的实际应用——拱桥问题 题型模版 1.特征：拱桥轮廓为抛物线，给出跨度、拱高、水面宽度等条件，求抛物线解析式，或计算特定高度下水面宽度、船只通行高度限制。 2.方法：以拱桥顶点或水面中点为原点建立平面直角坐标系，设顶点式抛物线解析式；代入已知点坐标求出参数；将高度/宽度数值代入函数，求解对应横纵坐标，结合实际场景取舍正负解。 【例7】新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（     ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 【例8】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【变式4-1】某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度为10米，最高点到水平地面的距离为4米，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在拱门上悬挂一条横幅，轴，米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅（宽度忽略不计）到地面的距离． 【变式4-2】地平线下的村院——地坑院，人们常这样描述它：“见树不见村，进村不见房，入户不见门，闻声不见人．”体现了古人“天地相融，方圆共存，天人合一”的哲学理念．如图①为一个地坑院，如图②是其中窑洞的纵截面示意图，底部为矩形，顶部为抛物线形拱．以窑洞矩形底边（在地面上）所在直线为x轴，底边中点为原点建立平面直角坐标系，已知矩形部分高，宽，抛物线形拱的最高点距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)现计划在窑洞顶部均匀地悬挂5个灯笼（即5个悬挂点水平等距分布），要求5个灯笼在抛物线形拱上呈轴对称分布，且每个灯笼的悬挂点离地面不低于，求相邻两个灯笼悬挂点的最大水平距离，以及此时最外侧灯笼悬挂点的横坐标． 【变式4-3】如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，） 题型五、二次函数的实际应用——投球问题 题型模版 1.特征：篮球、铅球抛出轨迹是抛物线，给出出手高度、落地点水平距离、最高点高度，求解析式，或判断能否到达指定高度、是否投进篮筐。 2.方法：建立平面直角坐标系，以出手点地面位置为横轴，竖直高度为纵轴；利用顶点式设抛物线，代入已知点求解析式；将目标水平距离代入函数，对比计算高度与目标高度。 【例9】斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 【例10】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一 ．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 ： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是 的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为 m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点 （填写“高”或“低”）约 m （结果保留小数点后一位）． 【变式5-1】“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【变式5-2】某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据： （秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 … （米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 … （米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 … (1)探究与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．求出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求发出的乒乓球经过多少秒落在桌面上？ (3)球网高度为0.14米，球桌长（）米，若乒乓球弹起后，其运动路线仍是抛物线且与原抛物线形状相同，若球弹起后在最高点击球，球沿直线擦网而过扣杀到原点，直接写出乒乓球落在桌面上弹起后的抛物线顶点的横坐标． 【变式5-3】从地面以初速度v（单位：）竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）和小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式为，已知当时，． (1)求小球的初速度v； (2)当时，求小球运动的路径长； (3)假设小球为弹性小球，经过时间达到最大高度；小球落地后立刻以速度竖直向上弹起，又经过时间达到最大高度，若，求的值． 题型六、二次函数的实际应用——喷水问题 题型模版 1.特征：喷泉喷水轨迹为抛物线，已知喷水口高度、最远喷水距离、水流最高点高度，求水流解析式，或计算特定水平位置的水流高度。 2.方法：以喷水口底部为坐标原点建立坐标系，设抛物线顶点式；带入喷水落点、最高点坐标求解函数参数；代入水平距离计算对应高度，判断遮挡物是否会阻挡水流。 【例11】某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【例12】某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【变式6-1】校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口距地面米，距着火建筑物底部水平距离米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线的一部分，着火点距离水平地面米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为米的位置处达到最高，以水平地面为轴，着火建筑物为轴，着火建筑物底部点为原点，建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式． (2)由于火势迅速蔓延至距离地面米的点处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车顶点处释放出消防无人机，无人机竖直上升米到达点处喷出水流，水流路线是抛物线的一部分，此时的水流恰好喷到点下方米的点处，若点为抛物线的最高点，请求出抛物线向右平移多少米就能将水流喷射到点处（无人机只能在建筑物的左侧移动）． 【变式6-2】【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 【变式6-3】射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度（单位：）与向前运动的水平距离（单位：）的关系可以近似地表示为． (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离的范围是______，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离的范围是______； (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离，高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ (3)假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方多远处？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，点D在线段上由点A向点B运动，且交的边于点E，，设，在中扫过的面积为y，则x与y的函数关系可以用图像（   ）表示． A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，的中点，动点M从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点F运动，动点P从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，动点Q从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点D运动，连接，，．当点M到达点F时，三个点同时停止运动．设点M运动的时间为x秒，的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 4．中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 5．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 6．如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积的为． (1)请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在图中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数后一位，误差不超过） 7．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 8．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 9．西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 10．【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 (1)若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； (2)当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； (3)在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 11．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 12．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 13．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 14．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 15．如图是某个温室大棚门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，，为的中点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)为支撑温室大棚门的结构，在抛物线上的点、处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 16．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 17．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 18．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $