专题01 二次函数图象、性质与系数的关系（七大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建二次函数图象与性质专项训练体系，提炼“双底线原则”及七类题型通法，强化数形结合与知识迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|双底线原则（系数几何意义/交点联立方程）|构建二次函数核心要素认知框架| |题型归纳（七题型）|7题型（每题型含例+变式）|题型模版（特征+方法，如符号判断/交点分析/代数式推理）|从单一函数到多函数综合的递进关系| |压轴挑战|11道综合题|综合推理（多知识点融合+参数范围探究）|对接中考压轴题思维深度要求|

专题01 二次函数图象、性质与系数的关系 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数图像与系数关系 题型二、二次函数与一次函数的关系 题型三、二次函数与反比例函数的关系 题型四、二次函数图像判断代数式符号 题型五、二次函数与一元二次方程 题型六、二次函数解不等式 题型七、二次函数性质的综合推理 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数图像综合类问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕图像系数特征、函数交点、方程根、不等式解集、图像代数式符号、多函数联立、性质综合应用七大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是分析图像开口、对称轴、交点时，必须同步结合a、b、c各自几何意义判断，不可单独凭单一系数下结论；二是图像与坐标轴、直线交点问题需联立方程结合判别式分析 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数图像与系数关系 题型模版 1.特征：给出二次函数图像，结合图像开口方向、对称轴、与坐标轴交点、特殊点位置，判断正负，或推导含式子的大小关系。 2.方法：由开口判断符号；对称轴结合判断；与轴交点纵坐标判断；图像与轴交点个数判断；取等特殊点代入函数，得到对应代数式数值辅助判断。 【例1】已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 【例2】二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 【变式1-1】二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 【变式1-2】二次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由二次函数的图象，得， 则， ∴二次函数的图象开口向上，顶点在第三象限，只有选项A符合． 【变式1-3】二次函数中，，，，则其图象不经过第 _____ 象限． 【答案】三 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ， ∴抛物线经过原点， ∴， 当时，， ∴或， ∴抛物线与轴的另一个交点横坐标为， ∵，， ∴，即另一个交点在轴正半轴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴，即对称轴在轴右侧， 当时，， ∵，，，，，， ∴，即时，恒为正，不存在且的点， 因此此函数的图象不经过第三象限． 题型二、二次函数与一次函数的关系 题型模版 1.特征：同一坐标系给出二次函数与一次函数图像，或给出两个函数解析式，求解交点坐标、判断交点个数、比较函数值大小、求参数取值。 2.方法：联立两个函数解析式得到一元二次方程，利用判别式判断交点数量；解方程求出交点横坐标，再代回求纵坐标；根据图像上下位置直接比较相同自变量下函数值大小。 【例3】抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； C． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； D． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； 【例4】函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 【变式2-1】若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 【变式2-2】一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 【变式2-3】在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 题型三、二次函数与反比例函数的关系 题型模版 1.特征：同一坐标系内同时出现二次函数、反比例函数图像，考查交点、图像位置、根据图像解不等式、求参数范围。 2.方法：联立两个函数解析式构造方程求解交点；区分反比例函数两支所在象限，结合二次函数开口、对称轴对比图像；函数值大小问题直接看图像上下位置分段写出解集。 【例5】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 【例6】已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 【变式3-1】一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、， 二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴， 因此四个选项中只有C选项符合题意． 【变式3-2】二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 【变式3-3】已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，反比例函数的图象过第一象限，一次函数的图象过一，三象限且过原点， ∴， ∴，，， ∴抛物线的开口向下，对称轴在轴的左侧，抛物线与轴交于正半轴， 故符合要求的只有选项B的图象. 题型四、二次函数图像判断代数式符号 题型模版 1.特征：仅给出二次函数完整图像，无解析式，判断等复合型代数式的正负。 2.方法：对应，对应，代入图像对应点纵坐标判断正负；结合对称轴公式变形判断；结合与综合判断多系数组合式子。 【例7】已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 【例8】已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 【变式4-1】二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 【变式4-2】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，，， ∵根据对称轴公式， ∴， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴， 把代入中得， ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， ∴当时，； 把代入得， 即，故D选项符合题意； 根据函数图像可知，当时，，即，故C选项不符合题意． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号， ∴； ∵抛物线交轴于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②∵对称轴为直线，且， ∴， 结合抛物线图象可得，当时，， 即， 故②正确； ③∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ④∵抛物线开口向下， ∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 当时，， 当时，， ∴， 即， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故选：C． 题型五、二次函数与一元二次方程 题型模版 1.特征：给出二次函数图像或解析式，求函数与轴交点、已知交点求参数、判断根的个数、已知根的范围求参数取值。 2.方法：令，把二次函数转化为一元二次方程求解根；利用判别式判断图像与轴交点数量；已知交点坐标直接代入解析式列方程计算参数，结合图像验证根的区间。 【例9】已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 【例10】二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 【变式5-1】如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得当时，此时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为零， 当时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为正， 故答案为：； 【变式5-2】已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象的交点的横坐标为：或， ∵， ∴， ∴由图象可得：的解为：或； ∴的解为：或. 【变式5-3】抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 题型六、二次函数解不等式 题型模版 1.特征：给出二次函数图像或解析式，求解、的解集，或结合一次函数求解函数值大小对应的自变量范围。 2.方法：先求出二次函数与轴交点横坐标；根据开口方向划分区间，图像在轴上方对应大于0的解集，图像在轴下方对应小于0的解集；多函数不等式对比图像高低分段写范围。 【例11】已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 【例12】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 【变式6-1】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 【变式6-2】如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ 时， ∴自变量的取值范围是． 【变式6-3】如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 题型七、二次函数性质的综合推理 题型模版 1.特征：综合考查开口、对称轴、顶点、最值、增减性、交点、特殊点符号，多选辨析结论正误，或结合动点、参数综合推理取值范围。 2.方法：分步拆解图像信息，依次分析；结合对称轴判断增减区间，顶点纵坐标确定最值；每个推导结论代入特殊值、联立方程双重验证，排除矛盾选项。 【例13】已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 【例14】将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 【变式7-1】已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 【变式7-2】二次函数的图象上有两点和，则该二次函数的图象顶点不可能在（     ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【详解】解：把代入得， 把和代入函数得：，化简得， ∴二次函数顶点横坐标为：，顶点纵坐标为：， 当时，，， ∵且， ∴， 此时顶点在第四象限或轴上， 当时，，， ∵且， ∴， 此时顶点在第一象限或第二象限或轴上， ∴顶点不可能在第三象限． 【变式7-3】已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（     ） A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 将代入方程得， 整理得， 设方程的两根为，， 则，， ∵， ∴． A、∵，不满足，故此选项不符合题意； B、∵，不满足，故此选项不符合题意； C、∵，不满足，故此选项不符合题意； D、∵，，令，得，存在，符合条件，故此选项符合题意． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 2．平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：由题意可得，直线轴且过，因此直线的方程为． 设抛物线上任意一点， ∵点到直线的距离与相等， ∴点到直线的距离，由两点间距离公式得 ∵，， ∴， 由，两边同时平方得： 展开得： 整理得：， 该等式对任意恒成立， 因此， 解得． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 4．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 5．已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是（    ） A．或 B． C．0 D．或 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为， ①当直线与x轴重合，即时与新图象有两个公共点， ②当时，直线与和组成新图象有三个公共点； ③所以当时，与新图象有二个公共点； ④当时，直线与新图象有四个交点，如图， ∴当时，直线与新图象有四个交点． 故选：C． 6．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 7．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 8．若关于x的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（     ） A．， B．m应满足 C．当时，， D．当时， 【答案】D 【详解】解：将，代入一元二次方程得原方程左边为0， 则当时，方程成立， 则A选项错误，不符合题意； 方程化简得：， 由题意得，方程有两个不相等的实数根， 则， 解得：， 则B选项错误，不符合题意； 令， 这是开口向上的抛物线，与轴交于和，顶点, 当时，直线与抛物线交于两点， 其横坐标满足，， 则C选项错误，不符合题意； 由C选项可知，顶点, 当时，直线与抛物线有两个交点， 满足， 则D选项正确，符合题意． 9．二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：据表可知，当时，， 当时，， ∵，二次函数图象是连续的抛物线且开口向上， ∴在这个区间内，函数值由负变正，即存在使得， ∴方程的一个根的取值范围为． 故选：． 10．用图象法解一元二次不等式：： (1)观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ； (2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】 【详解】（1）解：设，则是的二次函数， ， 抛物线开口向上． 又当时，，解得，， 由此得抛物线的大致图象如图所示， 观察函数图象可知：当或时，， 的解集是或． 故答案为：或． （2）解：设，则是的二次函数， ， 抛物线开口向上， 又当时，，解得，， 由此得抛物线的大致图象如图所示， 观察函数图象可知：当或时，， 的解集是或． 11．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数图象、性质与系数的关系 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数图像与系数关系 题型二、二次函数与一次函数的关系 题型三、二次函数与反比例函数的关系 题型四、二次函数图像判断代数式符号 题型五、二次函数与一元二次方程 题型六、二次函数解不等式 题型七、二次函数性质的综合推理 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数图像综合类问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕图像系数特征、函数交点、方程根、不等式解集、图像代数式符号、多函数联立、性质综合应用七大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是分析图像开口、对称轴、交点时，必须同步结合a、b、c各自几何意义判断，不可单独凭单一系数下结论；二是图像与坐标轴、直线交点问题需联立方程结合判别式分析 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数图像与系数关系 题型模版 1.特征：给出二次函数图像，结合图像开口方向、对称轴、与坐标轴交点、特殊点位置，判断正负，或推导含式子的大小关系。 2.方法：由开口判断符号；对称轴结合判断；与轴交点纵坐标判断；图像与轴交点个数判断；取等特殊点代入函数，得到对应代数式数值辅助判断。 【例1】已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【例2】二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【变式1-1】二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】二次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】二次函数中，，，，则其图象不经过第 _____ 象限． 题型二、二次函数与一次函数的关系 题型模版 1.特征：同一坐标系给出二次函数与一次函数图像，或给出两个函数解析式，求解交点坐标、判断交点个数、比较函数值大小、求参数取值。 2.方法：联立两个函数解析式得到一元二次方程，利用判别式判断交点数量；解方程求出交点横坐标，再代回求纵坐标；根据图像上下位置直接比较相同自变量下函数值大小。 【例3】抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【例4】函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【变式2-2】一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 题型三、二次函数与反比例函数的关系 题型模版 1.特征：同一坐标系内同时出现二次函数、反比例函数图像，考查交点、图像位置、根据图像解不等式、求参数范围。 2.方法：联立两个函数解析式构造方程求解交点；区分反比例函数两支所在象限，结合二次函数开口、对称轴对比图像；函数值大小问题直接看图像上下位置分段写出解集。 【例5】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【例6】已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 题型四、二次函数图像判断代数式符号 题型模版 1.特征：仅给出二次函数完整图像，无解析式，判断等复合型代数式的正负。 2.方法：对应，对应，代入图像对应点纵坐标判断正负；结合对称轴公式变形判断；结合与综合判断多系数组合式子。 【例7】已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【例8】已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-2】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五、二次函数与一元二次方程 题型模版 1.特征：给出二次函数图像或解析式，求函数与轴交点、已知交点求参数、判断根的个数、已知根的范围求参数取值。 2.方法：令，把二次函数转化为一元二次方程求解根；利用判别式判断图像与轴交点数量；已知交点坐标直接代入解析式列方程计算参数，结合图像验证根的区间。 【例9】已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【例10】二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【变式5-2】已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5-3】抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 题型六、二次函数解不等式 题型模版 1.特征：给出二次函数图像或解析式，求解、的解集，或结合一次函数求解函数值大小对应的自变量范围。 2.方法：先求出二次函数与轴交点横坐标；根据开口方向划分区间，图像在轴上方对应大于0的解集，图像在轴下方对应小于0的解集；多函数不等式对比图像高低分段写范围。 【例11】已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【例12】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【变式6-1】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【变式6-2】如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【变式6-3】如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 题型七、二次函数性质的综合推理 题型模版 1.特征：综合考查开口、对称轴、顶点、最值、增减性、交点、特殊点符号，多选辨析结论正误，或结合动点、参数综合推理取值范围。 2.方法：分步拆解图像信息，依次分析；结合对称轴判断增减区间，顶点纵坐标确定最值；每个推导结论代入特殊值、联立方程双重验证，排除矛盾选项。 【例13】已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【例14】将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【变式7-1】已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】二次函数的图象上有两点和，则该二次函数的图象顶点不可能在（     ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式7-3】已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（     ） A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是（    ） A．或 B． C．0 D．或 6．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．若关于x的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（     ） A．， B．m应满足 C．当时，， D．当时， 9．二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．用图象法解一元二次不等式：： (1)观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ； (2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：． 11．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $