重难点培优03 爪子定理、极化恒等式、矩形大法，等和线在平面向量中的应用（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量四大核心方法，涵盖爪子定理、极化恒等式、矩形大法及等和线，按知识精讲（核心图形与性质）、题型深研（五类典型题型）、分层训练（巩固与创新）逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破向量数量积及参数范围等难点。 讲义突出数学思维与数学眼光培养，如极化恒等式用中点模型跳过夹角直接计算数量积，等和线性质快速确定参数取值范围，设置例题变式及双阶练习，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优03 爪子定理、极化恒等式、矩形大法，等和线在平面向量中的应用内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 爪子定理 1 知识点02 极化恒等式 2 知识点03 矩形大法 3 知识点04 等和线 3 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 爪子定理的应用 3 题型2 利用极化恒等式求数量积 5 题型3 利用极化恒等式求取值范围 8 题型4 矩形大法的应用 10 题型5 等和线的应用 13 分层进阶·双阶训练验成效 16 巩固过关 16 创新提升 24 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 爪子定理 1.核心图形与基础性质 设为一组不共线基底，若存在实数，使得，则三点共线的充要条件是。 （1）符号与位置关系： 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上. （2）线段分点标准公式：若点在线段上，且，向量表达式。 2.求解参数的三种常用方法 （1）几何分析法：图形存在三点共线结构，直接套用爪子定理建立的等量关系，快速化简向量式； （2）数量积法：已知向量数量积条件，对等式两边同时点乘同一个向量，构造含的方程求解； （3）坐标计算法：图形为矩形、直角梯形等特殊图形时，建立平面直角坐标系，将全部向量转为坐标形式，列方程解出参数。 知识点02 极化恒等式 1.平行四边形模型 对任意平面向量 、，有： 文字说明：两向量数量积，等于以二者为邻边的平行四边形两条对角线模长平方差的。 2.三角形中点模型 在中，为底边中点，公式； 核心作用：跳过向量夹角，直接依靠中线长度、底边一半长度计算数量积，多用于数量积最值题型。 知识点03 矩形大法 1.矩形恒等式 四边形为矩形，为平面内任意一点，满足； 拓展适用：该公式对任意对角线互相平分的四边形（平行四边形）均成立，矩形是特殊平行四边形。 2.衍生向量结论 矩形中对角线相等且互相平分，向量关系，模长满足；遇到多个向量模长相加、模长平方最值类题目，可构造矩形，利用此式快速转化化简。 知识点04 等和线 1.定义 取平面内不共线向量作为基底，若动点满足，所有满足（为定值）的点连成的直线，称为等和线。 2.核心四条性质 （1）当时，对应的等和线就是直线； （2）所有等和线互相平行，的绝对值越大，等和线到原点的距离越远； （3）两条等和线若关于原点中心对称，则对应的互为相反数； （4）位置与取值：原点和直线在等和线两侧，或；等和线夹在原点与直线中间，。 题型深研·通法变式提能力 题型1 爪子定理的应用 例1．在中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】【详解】. 故选：B 变式1-1．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 变式1-2．如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及点共线，得， 而，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 变式1-3．在中，，，，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，建立如图直角坐标系，则， 所以，又， 所以，又，所以， 化简得，解得或（舍）， 设，即， 即，解得，故.    题型2 利用极化恒等式求数量积 例2．如图在中，，为中点，，，，则（　　） A．-15 B．-13 C．13 D．14 【答案】C 【分析】【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 又，，， 则， 即，即， 则， ， 则，； 故选：C． 变式2-1．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 变式2-2．已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】【详解】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 故选：B. 变式2-3．矩形中，为矩形所在平面内一点，且满足，矩形对角线，则__________． 【答案】 【详解】由题意可得， 故答案为. 题型3 利用极化恒等式求取值范围 例3．已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O， 则， 当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1． 变式3-1．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】【详解】由线段EF的中点为点B，得出. .当点P位于点A或点C时，取最大值8. 当点P位于的中点时，取最小值，即， ∴的取值范围为，∴的取值范围为. 故答案为：. 变式3-2．在菱形中，，点在线段上，则的最小值为 ________. 【答案】8 【分析】【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设，其中，所以， 所以， 因为二次函数的二次项系数， 所以其图象开口向上，对称轴为， 又因为，所以当时，取得最小值，， 即的最小值为8. 变式3-3．已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】【详解】设C是线段AB的中点，则， 并对任意点，有， 由题易得直线AB的方程为，对于给定上的， 设在直线AB上，则， 消去参数，得，整理后得， 所以对于给定，的最小值为C点到P点所在直线的距离，即， 设（），则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得最大值， 所以，当且仅当时取等号，即， 故． 题型4 矩形大法的应用 例4．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】【详解】 如图，设，，，点在圆上， 点在圆上，则，，由可得：， 作矩形, 则. 下证： . 设交于点，连接,因则 ， 同理可得：，两式左右分别相加得： ， . 即，故. 又，因， 即，故有． 故选:C． 【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题. 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得； （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得； （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直. 变式4-1．在四边形中，，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】【详解】如图所示，构造正方形，边长为， 以为圆心，为半径在正方形内部作作圆， 显然在圆弧上，根据矩形大法可知，， 故当，，三点共线时，取得最小值， 由于，， 故最小值为. 故答案为： 变式4-2．已知O为矩形内一点，满足，，，则______． 【答案】 【分析】【详解】设矩形的对角线交点为,则 = ， 由两边平方得： , ∵，，， ∴， ∴ . ∴， 故答案为：-4. 变式4-3．在平面内，若，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】【详解】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，. 由得 则 又由，得，则，即①. 又，得，则； 同理由，得，即有②. 由①②知，所以. 而，所以. 故选：D. 题型5 等和线的应用 例5．在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定， 可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：. 变式5-1．如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若（，），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】【详解】由为平行四边形，， ∴，又， ∴，而（，）， ∴，，则． 故选：C. 变式5-2．如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 变式5-3．在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．如图，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，所以． 2．如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设，． 同理， 所以联立得， 所以． 故选：B 3．已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系 设 ， 则 所以 所以最小值为 所以选B 【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题． 4．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】D 【详解】试题分析：将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么，故选D． 考点：1．坐标系；2．两点间距离． 【方法点睛】本题考查了向量法解决平面几何的问题，属于中档题型，而向量法又分是用向量代数表示，还是用坐标表示，经分析用坐标表示，那如何建坐标系？题设只说是直角三角形，所以就以直角顶点为原点建立坐标系，两条直角边落在坐标轴上，这样就可以设各点的坐标，转化为两点间距离求值．坐标法解决平面几何的问题，很多时候会事半功倍． 5．如图，与的面积之比为，点是区域内的任意一点（含边界），且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将图形特殊化，设垂直平分BC于，则， 当点在时，三点共线，则，此时最小， 当点在时，，此时，所以，此时 最大， 所以的取值范围为， 故选：D 6．（二、等和线的经典问题）已知向量满足，，，若为线段的中点，并且，则的最大值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为向量满足，， 设， 因为，则，从而. 因为为线段的中点，所以 由得， 设，，， 则， 当时，取最大值． 故选：A． 7．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为_________________. 【答案】4 【详解】试题分析： 考点：向量数量积 8．已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 9．正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设，，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】解：如图所示，    连接交于点，由正六边形的性质可得点为的中点． ①，，，，化为， 与向量，为实数）比较可得：． ②，又，． ，又， ，即，此时． ③当点位于线段上时，记作，则，此时． ④当点不在线段上时，． ． 综上可得：．即 故答案为： 【点睛】本题考查了正六边形的性质、向量的加法和共线定理、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题． 10．（二、等和线的经典问题）如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 故答案为：. 11．在四边形中，，则实数的值为______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【详解】由，故，， ，得， 不妨设在的左侧，，，且， 则， ， ， 当时，的最小值为 故答案为：； 12．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，平面上一点P满足PA=1，PC=，则（    ） A．-3 B．3 C．0 D．1 【答案】A 【详解】如图，设与交于点，连接，则为与的中点. . . 因为，所以. ，， 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的综合应用，同时考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题. 13．阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1)10 (2)240 【详解】（1）因为，所以， 即，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 由极化恒等式得， 所以， 又，所以， 由极化恒等式得. 创新提升 1．（多选）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②．由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算．如图所示的四边形中，，，点为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，由极化恒等式得 ， 所以． 又，所以，由极化恒等式得 ． 故选：AC 2．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 3．在平面直角坐标系中，已知圆，点，，是圆上相异两点，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】试题分析：由已知可得设到直线的距离分别是，，又，设，，,,,又，，可知分别在圆,由下图可得的取值范围是． 考点：向量及其运算. 【方法点晴】本题主要考查向量及其运算，其中涉及数形结合思想，计算繁杂，属于较难题型．由已知可得由已知可得设到直线的距离分别是，，又分别在圆的取值范围是． 4．如图，在中，点M是BC的中点，点N在AC上，且，AM与BN相交于点P，求与. 【答案】， 【详解】设， 则， ∵，，和，，分别共线， ∴存在实数使得，． 故． 而，由平面向量基本定理，得解得 ∴，． 故，． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 爪子定理、极化恒等式、矩形大法，等和线在平面向量中的应用内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 爪子定理 1 知识点02 极化恒等式 2 知识点03 矩形大法 3 知识点04 等和线 3 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 爪子定理的应用 3 题型2 利用极化恒等式求数量积 5 题型3 利用极化恒等式求取值范围 8 题型4 矩形大法的应用 10 题型5 等和线的应用 13 分层进阶·双阶训练验成效 16 巩固过关 16 创新提升 24 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 爪子定理 1.核心图形与基础性质 设为一组不共线基底，若存在实数，使得，则三点共线的充要条件是。 （1）符号与位置关系： 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上. （2）线段分点标准公式：若点在线段上，且，向量表达式。 2.求解参数的三种常用方法 （1）几何分析法：图形存在三点共线结构，直接套用爪子定理建立的等量关系，快速化简向量式； （2）数量积法：已知向量数量积条件，对等式两边同时点乘同一个向量，构造含的方程求解； （3）坐标计算法：图形为矩形、直角梯形等特殊图形时，建立平面直角坐标系，将全部向量转为坐标形式，列方程解出参数。 知识点02 极化恒等式 1.平行四边形模型 对任意平面向量 、，有： 文字说明：两向量数量积，等于以二者为邻边的平行四边形两条对角线模长平方差的。 2.三角形中点模型 在中，为底边中点，公式； 核心作用：跳过向量夹角，直接依靠中线长度、底边一半长度计算数量积，多用于数量积最值题型。 知识点03 矩形大法 1.矩形恒等式 四边形为矩形，为平面内任意一点，满足； 拓展适用：该公式对任意对角线互相平分的四边形（平行四边形）均成立，矩形是特殊平行四边形。 2.衍生向量结论 矩形中对角线相等且互相平分，向量关系，模长满足；遇到多个向量模长相加、模长平方最值类题目，可构造矩形，利用此式快速转化化简。 知识点04 等和线 1.定义 取平面内不共线向量作为基底，若动点满足，所有满足（为定值）的点连成的直线，称为等和线。 2.核心四条性质 （1）当时，对应的等和线就是直线； （2）所有等和线互相平行，的绝对值越大，等和线到原点的距离越远； （3）两条等和线若关于原点中心对称，则对应的互为相反数； （4）位置与取值：原点和直线在等和线两侧，或；等和线夹在原点与直线中间，。 题型深研·通法变式提能力 题型1 爪子定理的应用 例1．在中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．在中，，，，，且，则（     ） A． B． C． D． 题型2 利用极化恒等式求数量积 例2．如图在中，，为中点，，，，则（　　） A．-15 B．-13 C．13 D．14 变式2-1．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 变式2-2．已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 变式2-3．矩形中，为矩形所在平面内一点，且满足，矩形对角线，则__________． 题型3 利用极化恒等式求取值范围 例3．已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 变式3-1．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________. 变式3-2．在菱形中，，点在线段上，则的最小值为 ________. 变式3-3．已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 题型4 矩形大法的应用 例4．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．在四边形中，，，则的最小值为__________. 变式4-2．已知O为矩形内一点，满足，，，则______． 变式4-3．在平面内，若，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 题型5 等和线的应用 例5．在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若（，），则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 变式5-3．在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．如图，，若，则（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 4．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= A．2 B．4 C．5 D．10 5．如图，与的面积之比为，点是区域内的任意一点（含边界），且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为_________________. 8．已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 9．正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设，，则的取值范围是______ 11．在四边形中，，则实数的值为______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______． 12．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，平面上一点P满足PA=1，PC=，则（    ） A．-3 B．3 C．0 D．1 13．阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 创新提升 1．（多选）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②．由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算．如图所示的四边形中，，，点为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知圆，点，，是圆上相异两点，且，若，则的取值范围是__________. 4．如图，在中，点M是BC的中点，点N在AC上，且，AM与BN相交于点P，求与. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $