专题07 全等三角形的经典几何模型（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦全等三角形的核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定定理，构建从基础判定到公共边、公共角/对顶角、平移等六大经典几何模型识别的学习支架，助力学生掌握图形特征与证明思路。 资料以模型化教学为特色，通过图形特征分析培养几何直观（数学眼光），结合典例变式训练提升推理能力（数学思维），固定结论与辅助线作法强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后通过分层训练帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

专题 07 全等三角形的经典几何模型 1．掌握全等三角形 5 种判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能快速判定三角形全等； 2．熟练识别6 大经典全等模型的图形特征、固定结论、辅助线作法； 3.能结合线段相等、角度相等、线段和差、垂直平行等条件，利用全等证明线段 / 角度关系。 模型 1：公共边模型（基础型） 图形特征 两个三角形共用一条边，公共边为相等对应边。 判定思路 公共边 = 一组等边，再找一组角 / 一组边，用 SAS/ASA/AAS/SSS 证明。 模型 2：公共角 / 对顶角模型 图形特征 两三角形有公共角，或对角相交形成对顶角相等。 判定思路 公共角 / 对顶角为一组等角，搭配边、另一组角证全等。 模型 3：平移全等模型（一线平行型） 图形特征 一组三角形沿直线平移得到另一组，对应边平行且相等，有平行线内错角相等。 模型 4：翻折（对称）全等模型（轴对称型） 图形特征 沿某条直线折叠后两三角形完全重合，对称轴为角平分线 / 垂直平分线。 固定结论 对称轴平分对应角、垂直平分对应连线。 模型 5：旋转全等模型（手拉手模型，高频大题） 基础特征 共顶点、两组等边绕定点旋转（等腰△、等边△、正方形）。 细分常考子类 等边三角形手拉手；等腰直角三角形手拉手；正方形手拉手：两个共顶点正方形。 模型 6：一线三垂直模型（K 型全等，直角必考） 图形特征一条直线上有三个直角，∠ACB=∠ADC=∠CEB=90°。 变式 斜 K 型（一线三等角）：直线上三个相等锐角，原理同 K 型。 题型 01 平移模型 【典例1】如图，点D，A，E，B在同一直线上，DF∥AC，DF＝AC，若_____，则∠F＝∠C． 请从①EF＝BC；②DA＝BE；③∠FED＝∠B这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 【变式】已知，B，D，E，F在同一条直线上，AB∥CD，AB＝CD，BD＝EF．求证：AE∥CF． 题型 02 对称模型 【典例2】如图，∠B＝∠C，∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD． 【变式】如图，已知AB＝DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，应添加条件是 ． 题型 03 旋转模型 【典例3】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE． 求证：△ABC≌△ADE． 【变式】如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝24°，∠2＝29°，则∠3＝　　 ． 【巩固训练】 1. 如图，点A，D在线段BC的同侧，已知∠ABC＝∠DCB，若要补充一个条件使△ABC≌△DCB．则以下四个补充的条件中正确的是（　　） A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠BAE＝∠CED D．∠ABE＝∠ACB 2. 如图所示，E，D是AB，AC上的两点，BD，CE交于点O，且AB＝AC，补充一个条件运用“SAS”使△ACE≌△ABD，你补充的条件是 ． 3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝6，CE＝4，则DE＝ 　　 ． 4. 如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AC∥DF，BF＝CE，AC＝DF，求证：△ABC≌△DEF． 5. 如图，点D和点C在线段BE上，∠B＝∠E，BD＝CE，AC∥DF，求证：AB＝EF． 6. 如图，点A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，BC∥EF，BC＝EF，∠B＝∠E．AD与CF相等吗？为什么？ 7．如图，线段AC、BD相交于点E，连接AD、BC．给出下列条件：①点E为AC中点；②AC⊥BD于E；③AD∥BC；④AD＝BC． （1）添加2个条件：　 （填序号），使得△ADE≌△CBE； （2）说明（1）中结论成立的理由． 【强化训练】 1. （2026春•市北区期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CD＝CE，A，C、D三点在一条直线上，点E在CB上，连接AE，AE的延长线交BD于点F．若AE＝18，AF＝21.1，则△BDE的面积为（　　） A．27.9 B．28.7 C．26.9 D．27.4 2. （2026春•莱芜区期末）课堂上，屏幕上呈现一题：已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，_____． 求证：BC＝CD． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加∠B＝∠D，就可以证明BC＝CD．” 小丽：“要添加∠B＝∠D＝90°才可以证明．” 你支持 　　 （填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 3. （2026•福建）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD＝CE．求证：AD＝AE． 4．（2026春•海阳市期末）已知：如图，点E，D分别在边AB，AC上，BD与CE相交于点O，连接AO，∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：AE＝AD． 5. （2026春•虹口区期末）如图，已知A为线段EB上一点，在△ABC中，AB＝AC，在△AED中AE＝AD，且∠BAC＝∠EAD，连接BD、CE，BD分别交CE、AC于点F、N，CE交AD于点M． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）如果∠CAD＝100°，求∠DFE的度数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 07 全等三角形的经典几何模型 1．掌握全等三角形 5 种判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能快速判定三角形全等； 2．熟练识别6 大经典全等模型的图形特征、固定结论、辅助线作法； 3.能结合线段相等、角度相等、线段和差、垂直平行等条件，利用全等证明线段 / 角度关系。 模型 1：公共边模型（基础型） 图形特征 两个三角形共用一条边，公共边为相等对应边。 判定思路 公共边 = 一组等边，再找一组角 / 一组边，用 SAS/ASA/AAS/SSS 证明。 模型 2：公共角 / 对顶角模型 图形特征 两三角形有公共角，或对角相交形成对顶角相等。 判定思路 公共角 / 对顶角为一组等角，搭配边、另一组角证全等。 模型 3：平移全等模型（一线平行型） 图形特征 一组三角形沿直线平移得到另一组，对应边平行且相等，有平行线内错角相等。 模型 4：翻折（对称）全等模型（轴对称型） 图形特征 沿某条直线折叠后两三角形完全重合，对称轴为角平分线 / 垂直平分线。 固定结论 对称轴平分对应角、垂直平分对应连线。 模型 5：旋转全等模型（手拉手模型，高频大题） 基础特征 共顶点、两组等边绕定点旋转（等腰△、等边△、正方形）。 细分常考子类 等边三角形手拉手；等腰直角三角形手拉手；正方形手拉手：两个共顶点正方形。 模型 6：一线三垂直模型（K 型全等，直角必考） 图形特征一条直线上有三个直角，∠ACB=∠ADC=∠CEB=90°。 变式 斜 K 型（一线三等角）：直线上三个相等锐角，原理同 K 型。 题型 01 平移模型 【典例1】如图，点D，A，E，B在同一直线上，DF∥AC，DF＝AC，若_____，则∠F＝∠C． 请从①EF＝BC；②DA＝BE；③∠FED＝∠B这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 解：方法一：选择②DA＝BE作为条件；证明：∵DF∥AC， ∴∠FDE＝∠CAB． ∵DA＝BE， ∴DA+AE＝BE+AE，即DE＝AB． 在△FDE和△CAB中，， ∴△FDE≌△CAB（SAS），∴∠F＝∠C． 方法二：选择③∠FED＝∠B作为条件； 证明：∵DF∥AC， ∴∠FDE＝∠CAB， 在△FDE和△CAB中，， ∴△FDE≌△CAB（AAS），∴∠F＝∠C． 【变式】已知，B，D，E，F在同一条直线上，AB∥CD，AB＝CD，BD＝EF．求证：AE∥CF． 证明：∵点B，D，E，F在同一条直线上，AB∥CD，∴∠B＝∠CDF，∵BD＝EF， ∴BD+DE＝EF+DE， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠AEB＝∠F，∴AE∥CF． 题型 02 对称模型 【典例2】如图，∠B＝∠C，∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD． 证明：∵点E在AD的延长线上， ∴∠ADB+∠BDE＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°， 又∵∠BDE＝∠CDE， ∴∠ADB＝∠ADC， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）， ∴BD＝CD． 【变式】如图，已知AB＝DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，应添加条件是 ． AC＝DB【解析】添加条件：AC＝DB；在△ABC和△DCB中，， ∴△ABC≌△DCB（SSS）． 题型 03 旋转模型 【典例3】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE． 求证：△ABC≌△ADE． 证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 【变式】如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝24°，∠2＝29°，则∠3＝　　 ． 53°【解析】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD（等式的性质），∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠2＝29°（全等三角形的对应角相等）， ∴∠3＝180°﹣∠ADB＝∠1+∠ABD＝24°+29°＝53°． 故答案为：53°． 【巩固训练】 1. 如图，点A，D在线段BC的同侧，已知∠ABC＝∠DCB，若要补充一个条件使△ABC≌△DCB．则以下四个补充的条件中正确的是（　　） A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠BAE＝∠CED D．∠ABE＝∠ACB A【解析】在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故A符合题意； ∵AC＝DB，BC＝CB，∠ABC＝∠DCB这三个条件不符合全等三角形的判定定理， ∴补充条件AC＝DB不能使△ABC与△DCB全等，故B不符合题意； ∵∠BAE与∠CED不是△ABC与△DCB的对应角， ∴补充条件∠BAE＝∠CED不能使△ABC与△DCB全等，故C不符合题意； ∵∠ABE与∠ACB不是△ABC与△DCB的对应角， ∴补充条件∠ABE＝∠ACB不能使△ABC与△DCB全等， 故D不符合题意，故选：A． 2. 如图所示，E，D是AB，AC上的两点，BD，CE交于点O，且AB＝AC，补充一个条件运用“SAS”使△ACE≌△ABD，你补充的条件是 ． AD＝AE【解析】AD＝AE；理由如下：若AD＝AE， 在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）； 故答案为：AD＝AE． 3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝6，CE＝4，则DE＝ 　　 ． 10【解析】∵BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，∴∠D＝∠E＝90°，∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠CAE＝180°﹣∠BAC＝90°， 在△ABD中，∠D＝90°， ∴∠DAB+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝CE+BD， ∵BD＝6，CE＝4，∴DE＝CE+BD＝4+6＝10．故答案为：10． 4. 如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AC∥DF，BF＝CE，AC＝DF，求证：△ABC≌△DEF． 证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．∵BF＝CE， ∴BF﹣BE＝CE﹣BE， 即EF＝CB． 在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）． 5. 如图，点D和点C在线段BE上，∠B＝∠E，BD＝CE，AC∥DF，求证：AB＝EF． 证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠FDE，∵BD＝CE， ∴BC＝ED， 在△ABC和△FED中，， ∴△ABC≌△FED（ASA）， ∴AB＝EF． 6. 如图，点A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，BC∥EF，BC＝EF，∠B＝∠E．AD与CF相等吗？为什么？ 解:AD＝CF．理由如下：∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠F， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AC＝DF， ∴AC﹣CD＝DF﹣CD，即AD＝CF． 7．如图，线段AC、BD相交于点E，连接AD、BC．给出下列条件：①点E为AC中点；②AC⊥BD于E；③AD∥BC；④AD＝BC． （1）添加2个条件：　 （填序号），使得△ADE≌△CBE； （2）说明（1）中结论成立的理由． ①③或③④【解析】（1）当添加条件①②时，不能判定△ADE和△CBE全等； 当添加条件①③时，可以判定△ADE和△CBE全等； 当添加条件①④时，不能判定△ADE和△CBE全等； 当添加条件②③时，不能判定△ADE和△CBE全等； 当添加条件②④时，不能判定△ADE和△CBE全等； 当添加条件③④时，可以判定△ADE和△CBE全等；故答案为：①③或③④； （2）当添加条件①③时，理由如下：∵①点E为AC中点∴AE＝CE， ∵③AD∥BC， ∴∠A＝∠C，∠D＝∠B， 在△ADE和△CBE中，，△ADE≌△CBE（AAS）；当添加条件③④时，理由如下： ∵③AD∥BC， ∴∠A＝∠C，∠D＝∠B， 在△ADE和△CBE中，，△ADE≌△CBE（ASA）. 【强化训练】 1. （2026春•市北区期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CD＝CE，A，C、D三点在一条直线上，点E在CB上，连接AE，AE的延长线交BD于点F．若AE＝18，AF＝21.1，则△BDE的面积为（　　） A．27.9 B．28.7 C．26.9 D．27.4 A【解析】∵等腰直角△ACB和等腰直角△DCE，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE， ∵∠AEC＝∠BEF， ∴∠BFE＝∠ACB＝90°， ∴EF⊥BD，∵AE＝18，AF＝21.1，∴BD＝AE＝18，EF＝AF﹣AE＝3.1， ∴△BDE的面积， 故选：A． 2. （2026春•莱芜区期末）课堂上，屏幕上呈现一题：已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，_____． 求证：BC＝CD． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加∠B＝∠D，就可以证明BC＝CD．” 小丽：“要添加∠B＝∠D＝90°才可以证明．” 你支持 　　 （填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 解:小明和小丽的观点都正确，对于小明， 当添加∠ABC＝∠ADC时，连接BD，如图所示： ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB， ∴BC＝CD； 对于小丽，当添加∠B＝∠D＝90°时， ∵∠B＝∠D＝90°∴△ABC和△ADC都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△ADC中，， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴BC＝CD．故答案为：小丽． 3. （2026•福建）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD＝CE．求证：AD＝AE． 证明：∵BD⊥BC，CE⊥BC， ∴∠CBD＝∠BCE＝90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． ∴∠ABD＝∠ACE＝150°． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE． 4．（2026春•海阳市期末）已知：如图，点E，D分别在边AB，AC上，BD与CE相交于点O，连接AO，∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：AE＝AD． 证明：∵点E，D分别在边AB，AC上，BD与CE相交于点O， ∴∠EOB＝∠DOC， ∵∠B＝∠C， ∴∠AEO＝∠EOB+∠B＝∠DOC+∠C＝∠ADO， 在△AEO和△ADO中， ， ∴△AEO≌△ADO（AAS）， ∴AE＝AD． 5. （2026春•虹口区期末）如图，已知A为线段EB上一点，在△ABC中，AB＝AC，在△AED中AE＝AD，且∠BAC＝∠EAD，连接BD、CE，BD分别交CE、AC于点F、N，CE交AD于点M． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）如果∠CAD＝100°，求∠DFE的度数． （1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC+∠DAC＝∠EAD+∠DAC， 即∠DAB＝∠EAC， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵∠BAC＝∠EAD，∠CAD＝100°， ∴， ∵∠BAC＝∠AEC+∠ACE， ∴∠AEC+∠ACE＝40°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠ABD， ∴∠DFE＝∠AEC+∠ABD＝∠AEC+∠ACE＝40°． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $