专题09 等腰三角形（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题 09 等腰三角形 1.掌握等腰三角形定义、核心性质，能区分腰、底边、顶角、底角； 2.熟练运用等边对等角、三线合一解决角度、线段计算； 3.结合三角形三边关系，对等腰边长、周长进行分类讨论并检验； 4.综合绝对值化简、整数边长、周长范围、几何证明题型灵活运用。 1. 等腰三角形定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 等腰三角形三大核心性质 性质 1：等边对等角（角的性质） 文字：等腰三角形的两个底角相等。 性质 2：三线合一（高频重难点） 文字：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三条线重合为同一条直线。 性质 3：轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线，仅有 1 条对称轴。 3. 边长配套考点（结合三角形三边关系） 三边通用定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 简化判定：较短两边之和＞最长边即可构成三角形； 已知两边求周长必须分类讨论 + 三边关系检验，舍去不符合条件的情况。 题型 01 等腰三角形中边长/周长的分类讨论 【典例1】如图，图中△ABC和△ACD中，有一个是等腰三角形，则a的值是（　　） A．5或7 B．7或8 C．5或12 D．8或12 D【解析】当△ABC是等腰三角形时，若a＝5，5+5＜12，不能组成三角形， 若a＝12，5+12＞12，7+8＞12，能组成三角形； 当△ACD是等腰三角形时， 若a＝7，7+5＝12，不能组成三角形， 若a＝8，5+8＞12，7+8＞8，能组成三角形；∴a的值是8或12，故选：D． 【变式】若等腰三角形的两边长分别是2和4，则它周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．9或10 B【解析】∵等腰三角形的两边长分别是2和4， ∴有以下两种情况： ①当该等腰三角形的腰长为2时，则底边长为4， 此时该等腰三角形的三边分别为：2，2，4， ∵2+2＝4，不符合构成三角形的条件，∴此种情况不存在； ②当等腰三角形的腰长为4时，则底边长为2， 此时该等腰三角形的三边分别为：4，4，2， ∵2+4＞4，符合构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：4+4+2＝10， 综上所述：该等腰三角形的周长10．故选：B． 题型 02 三线合一 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° B【解析】∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°， 故选：B． 【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AD＝BD C．∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C B【解析】∵点D是BC的中点，∴BD＝CDBC， 在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，∴选项C，D正确； ∵点D是BC的中点， ∴∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∴选项A正确； 根据直角三角形斜边中线的性质得：当∠BAC＝90°时，ADBC， 此时BD＝AD，∴选项B不一定正确，故选：B． 题型 03 等腰三角形的新定义问题 【典例3】定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则∠B的度数不可能是（　　） A．20° B．40° C．70° D．100° A【解析】分五种情况分别画出图形进行讨论如下：如图a， 当AD＝CD时，则∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝40°， ∴①当CD＝BD时，； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°；如图b， 当AC＝AE，CE＝BE时，则， ∴∠B＝∠BCE＝40°；如图c， 当AC＝CE，CE＝BE时，则∠AEC＝∠A＝20°， ∴∠B＝∠BCE＝10°； 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°．故选：A． 【变式】定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（　　） A． B． C．或 D．或 D【解析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°， ∴等腰三角形的两个底角都（180°﹣50°）＝65°， ∴这个等腰三角形的“特征值”k； 当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°， ∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°， ∴这个等腰三角形的“特征值”k；综上所述：或，故选：D． 【巩固训练】 1. 等腰三角形一个内角是50°，则底角为（　　） A．130° B．65° C．50° D．50°或65° D【解析】当50°的内角为顶角时，底角， 当50°的内角为底角时，底角即为50°， 综上所述，等腰三角形的底角为50°或65°， 故选：D． 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝38°，则∠C＝（　　） A．40° B．38° C．35° D．32° B【解析】∵在△ABC中，∠B＝38°，AB＝AC，∴∠C＝∠B＝38°． 故选：B． 3. 如图，AD为△ABC的中线．若AB＝AC，则下列结论不一定成立的是（　　） A．BD＝CD B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝CD D【解析】∵AD为△ABC的中线，AB＝AC， ∴BD＝CD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD； 所以A，B，C选项一定成立，不符合题意； ∵AD，CD不一定相等，所以D选项不一定成立，符合题意；故选：D． 4. 在等腰△ABC中，AB＝AC，中线CD将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 B【解析】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程可得：①或②， 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7；故选：B． 5. 已知m，n为等腰△ABC的边长，且满足|m﹣6|+（4﹣n）2＝0，则△ABC的周长是　　 ． 14或16【解析】∵|m﹣6|+（4﹣n）2＝0，∴m﹣6＝0，4﹣n＝0， ∴m＝6，n＝4， 当等腰三角形的腰长是6时，6+4＞6，满足三角形三边关系定理， ∴此时△ABC的周长＝6+6+4＝16；当等腰三角形的腰长是4时， 4+4＞6，满足三角形三边关系定理， ∴此时△ABC的周长＝6+4+4＝14， ∴△ABC的周长是14或16．故答案为：14或16． 6. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角形顶角的度数为　　 ． 70°或110°【解析】分两种情况： 当等腰三角形是锐角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC， ∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°； 当等腰三角形是钝角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC， ∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝110°； 综上所述：这个等腰三角形顶角的度数为70°或110°，故答案为：70°或110°． 7. 四边形ABCD的边长如图所示，线段AC的长度随四边形形状的改变而变化，当△ABC为等腰三角形时，线段AC的长为 　　 ． 3【解析】分两种情况：①AC＝AB＝3时，在△ACD中，2+2＞3，符合题意；②AC＝BC＝4.5时， 在△ACD中，2+2＜4.5，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段AC的长为3，故答案为：3． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，AD＝ED． 若∠B＝40°，求∠DEA的度数． 解:∵AB＝AC，D为BC的中点，∠B＝40°， ∴∠C＝∠B＝40°，∠BAD＝∠CAD． ∵∠C+∠B+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝100°， ∴∠CAD∠BAC＝50°， ∵DA＝DE， ∴∠DEA＝∠EAD＝50°． 【强化训练】 1. （2026•古冶区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，α，β为△ABC的两个外角，则当α减少1°时，β的变化是（　　） A．减少1° B．减小2° C．增大1° D．增大2° D【解析】∵∠ACB+α＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣α， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝180°﹣α， ∴β＝∠B+∠ACB＝360°﹣2α，∴当α减少1°时，β增大2°，故选：D． 2. （2026春•天府新区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P，EP交AB于点F，若AB＝5，AE＝2，则BF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 C【解析】在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F， ∴∠B＝∠C，∠BPE＝∠EPC＝90°， ∴∠B+∠BFP＝90°，∠C+∠E＝90°， ∴∠BFP＝∠E， 又∵∠BFP＝∠EFA，∴∠E＝∠EFA， ∴AE＝AF＝2， 又∵AB＝5，∴BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，故选：C． 3. （2026春•龙岗区期末）如图，已知屋顶的主桁架△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝70°，点D是桁架AB边上的一点，为了加固屋檐，延长CB至点E，使得BD＝BE，则∠E的度数是（　　） A．22.5° B．25° C．27.5° D．35° C【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C， ∵∠A＝70°， ∴∠ABC（180°﹣∠A）＝55°， ∵BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵∠ABC＝∠BDE+∠E，∴∠E∠ABC＝27.5°， 故选：C． 4. （2026•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以A为圆心，AB长为半径作弧，与AC交于点D，以C为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点E，连结BD，BE，则∠DBE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．与∠A的大小有关 B【解析】设∠A＝α，则∠C＝90°﹣α，由作图可知，AB＝AD，BC＝CE， ∴∠ADB，∠CEB， ∴∠DBE45°，故选：B． 5. （2026•宛城区校级模拟）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P为边BC上一点，若△ABP为“反直角三角形”，则∠PAC的度数为　　 ． 75°或90°【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C×（180°﹣100°）＝40°， 当∠PAB﹣∠B＝90°时，∠PAB＝130°， ∵∠PAB＞∠BAC，∴不存在这样的△PAB是反直角三角形； 当∠APB﹣∠B＝90°时，∠APB＝130°，∴∠PAC＝∠APB﹣∠C＝90°； 当∠APB﹣∠PAB＝90°时， ∵∠APB+∠PAB＝180°﹣40°＝140°，∴∠APB＝115°， ∴∠PAC＝∠APB﹣∠C＝75°；当∠PAB﹣∠APB＝90°时， ∵∠PAB+∠APB＝180°﹣40°＝140°，∴∠PAB＝115°， ∵∠PAB＞∠BAC，∴不存在这样的△PAB是反直角三角形， ∴当△PAB是反直角三角形时，∠PAC＝75°或90°．故答案为：75°或90°． 6. （2025秋•淮北校级期末）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠O的度数是　　 ． 25°【解析】设∠O＝x，∵OC＝CD，∴∠O＝∠CDO＝x， ∴∠DCE＝∠O+∠CDO＝2x，∵CD＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE＝2x， ∵∠BDE＝∠O+∠DEC＝75°，∴x+2x＝75°，3x＝75°，x＝25°， ∴∠O＝25°，故答案为：25°． 7. （2025秋•南京校级月考）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． （1）如图1，已知BC平分∠ABD，AC∥BD．求证：△ABC是等腰三角形； （2）如图2，已知在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAD．求证：AE∥BC． 证明：（1）∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD，∵AC∥BD， ∴∠C＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠C， ∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形； （2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AE平分∠CAD， ∴∠CAD＝2∠EAC， ∵∠CAD是△ABC的外角， ∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠C，∴2∠EAC＝2∠C，∴∠EAC＝∠C，∴AE∥BC． 8. （2025秋•关岭县期末）如图，在△ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，且DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC＝45°． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）过点D作DM⊥BC于点M，若BC＝12，BF＝2，求DM的长． 解:（1）证明：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE， 又∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DCB＝∠B（等量代换）， ∴△BCD为等腰三角形； （2）解：∵△BCD为等腰三角形，DM⊥BC，BC＝12，BF＝2， ∴， ∴FM＝BM﹣BF＝6﹣2＝4， 在Rt△DFM中，∠DFM＝45°，∴△DMF是等腰直角三角形∴DM＝FM＝4，则DM的长为4． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 09 等腰三角形 1.掌握等腰三角形定义、核心性质，能区分腰、底边、顶角、底角； 2.熟练运用等边对等角、三线合一解决角度、线段计算； 3.结合三角形三边关系，对等腰边长、周长进行分类讨论并检验； 4.综合绝对值化简、整数边长、周长范围、几何证明题型灵活运用。 1. 等腰三角形定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 等腰三角形三大核心性质 性质 1：等边对等角（角的性质） 文字：等腰三角形的两个底角相等。 性质 2：三线合一（高频重难点） 文字：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三条线重合为同一条直线。 性质 3：轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线，仅有 1 条对称轴。 3. 边长配套考点（结合三角形三边关系） 三边通用定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 简化判定：较短两边之和＞最长边即可构成三角形； 已知两边求周长必须分类讨论 + 三边关系检验，舍去不符合条件的情况。 题型 01 等腰三角形中边长/周长的分类讨论 【典例1】如图，图中△ABC和△ACD中，有一个是等腰三角形，则a的值是（　　） A．5或7 B．7或8 C．5或12 D．8或12 【变式】若等腰三角形的两边长分别是2和4，则它周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．9或10 题型 02 三线合一 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AD＝BD C．∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C 题型 03 等腰三角形的新定义问题 【典例3】定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则∠B的度数不可能是（　　） A．20° B．40° C．70° D．100° 【变式】定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（　　） A． B． C．或 D．或 【巩固训练】 1. 等腰三角形一个内角是50°，则底角为（　　） A．130° B．65° C．50° D．50°或65° 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝38°，则∠C＝（　　） A．40° B．38° C．35° D．32° 3. 如图，AD为△ABC的中线．若AB＝AC，则下列结论不一定成立的是（　　） A．BD＝CD B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝CD 4. 在等腰△ABC中，AB＝AC，中线CD将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 5. 已知m，n为等腰△ABC的边长，且满足|m﹣6|+（4﹣n）2＝0，则△ABC的周长是　　 ． 6. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角形顶角的度数为　　 ． 7. 四边形ABCD的边长如图所示，线段AC的长度随四边形形状的改变而变化，当△ABC为等腰三角形时，线段AC的长为 　　 ． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，AD＝ED． 若∠B＝40°，求∠DEA的度数． 【强化训练】 1. （2026•古冶区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，α，β为△ABC的两个外角，则当α减少1°时，β的变化是（　　） A．减少1° B．减小2° C．增大1° D．增大2° 2. （2026春•天府新区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P，EP交AB于点F，若AB＝5，AE＝2，则BF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3. （2026春•龙岗区期末）如图，已知屋顶的主桁架△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝70°，点D是桁架AB边上的一点，为了加固屋檐，延长CB至点E，使得BD＝BE，则∠E的度数是（　　） A．22.5° B．25° C．27.5° D．35° 4. （2026•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以A为圆心，AB长为半径作弧，与AC交于点D，以C为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点E，连结BD，BE，则∠DBE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．与∠A的大小有关 5. （2026•宛城区校级模拟）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P为边BC上一点，若△ABP为“反直角三角形”，则∠PAC的度数为　　 ． 6. （2025秋•淮北校级期末）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠O的度数是　　 ． 7. （2025秋•南京校级月考）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． （1）如图1，已知BC平分∠ABD，AC∥BD．求证：△ABC是等腰三角形； （2）如图2，已知在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAD．求证：AE∥BC． 8. （2025秋•关岭县期末）如图，在△ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，且DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC＝45°． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）过点D作DM⊥BC于点M，若BC＝12，BF＝2，求DM的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $