专题2.4 整式的加法与减法（举一反三讲义）数学新教材湘教版七年级上册

本讲义聚焦整式的加法与减法核心知识点，先系统梳理去括号（含多层括号）、添括号法则，再结合整式加减运算法则（去括号、合并同类项），通过12个题型构建从基础到应用的学习支架，衔接整式概念与后续代数式运算。 本资料以“题型归纳+知识点梳理+变式训练”为特色，通过误看问题、遮挡问题培养推理意识，新定义问题和规律探索发展创新意识，应用题型（如鲁班锁周长计算）体现模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习，弥补知识盲点。

专题2.4 整式的加法与减法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 去括号】 1 【题型2 添括号】 3 【题型3 整式的加法与减法运算】 4 【题型4 整式加法与减法的化简求值】 6 【题型5 整式加法与减法中的误看问题】 8 【题型6 整式加法与减法中的遮挡问题】 9 【题型7 整式加法与减法中的不含某项问题】 12 【题型8 整式加法与减法中的无关性问题】 14 【题型9 整式加法与减法中的新定义问题】 15 【题型10 整式加法与减法中的规律探索】 18 【题型11 整式加法与减法中的多结论问题】 20 【题型12 整式加法与减法的应用】 26 考点1 去括号 知识点1 去括号 1. 去括号方法 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac. 3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 【题型1 去括号】 【例1】（25-26七年级上·北京海淀·期末）去括号：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）若，，则______． 【答案】13 【分析】本题考查了去括号法则与整式的加法与减法运算，解题的关键是熟练运用去括号法则将式子化简，易错点是去括号时符号的变化；先利用去括号法则去掉式子中的括号，再通过交换律和结合律将式子变形为含有与的形式，最后代入已知条件求值． 【详解】 故答案为13． 【变式1-3】化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 添括号】 【例2】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号与添括号的法则求解即可． 【详解】解：． 【变式2-1】【变式6-1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，添括号． 根据去括号和添括号法则，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）添括号：（______） 【答案】 【分析】本题考查了添括号法则，根据添括号法则得括号前面添“”，括号内各项都变号，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】已知，，则________. 【答案】1 【分析】利用去括号和添括号法则进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为1. 【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是熟练掌握去括号和添括号的法则. 考点2 整式的加法与减法运算 知识点2 整式的加法与减法 整式加法与减法的运算法则：几个整式相加法与减法，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加法与减法的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，． 【题型3 整式的加法与减法运算】 【例3】（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【答案】 【分析】根据题意列出算式，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：∵某个整式与的和是， ∴ ∴这个整式是． 【变式3-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加法与减法混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）合并同类项，即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：    （2）解：                                      【变式3-2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知，则多项式M为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法与减法，掌握相关运算法则是解题关键．通过移项，将已知等式变形，即可求出多项式． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知关于m的多项式：与的和是一个单项式（a，b为非零常数），那么______ 【答案】或 【分析】本题考查整式的加法与减法运算，两个多项式的和合并同类项后，得到．根据和为单项式，分两种情况讨论即可． 【详解】解：； ∵和为单项式， ∴①，即，此时； ②，则，此时； 故答案为：或． 【题型4 整式加法与减法的化简求值】 【例4】（25-26七年级上·湖北随州·期中）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的加法与减法中的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简已知方程得到与的关系式，再将所求代数式变形后代入求值． 【详解】解： ， 去括号，得， 合并同类项，得， 即． 所以 ． 故答案为：． 【变式4-1】先化简再求值：，其中，． 【答案】；16． 【分析】先去括号，再合并同类项即可化简，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式4-2】（25-26七年级上·江西抚州·期中）已知代数式， (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加法与减法，绝对值的非负性，代数式求值： （1）根据整式加法与减法的运算法则计算即可； （2）根据题意可知，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解：根据，得 ，． 解得，． 原式． 【变式4-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据非负数的性质可以得到x和y的值，再把原式化简后将x和y的值代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式= =， 故选A． 【点睛】本题考查整式的化简与求值，根据非负数的性质求得x与y的值是解题关键． 【题型5 整式加法与减法中的误看问题】 【例5】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某同学在计算一个多项式减去的差时，不小心将减法当成加法，得到多项式，则原来整式运算的正确结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法与减法运算，设原多项式为 ，根据错误加法操作得出 的表达式，再计算正确减法操作的结果； 【详解】解：由题意，错误计算为 ， 则 ， 计算得： 原来正确运算为 ， 代入 ： 故答案为： 【变式5-1】（25-26七年级上·四川资阳·期中）小明在计算时，将括号前面的“”错看成“”，得到的结果是，则多项式A是________________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加法与减法运算，解题的关键是根据错误的运算列出等式，再通过移项求出多项式． 根据小明看错符号后的错误运算，列出关于的等式，再通过去括号、合并同类项计算出． 【详解】解：由题意，小明错误计算了， 因此 ． 故答案为：． 【变式5-2】有一个整式减去的题目，小春同学误看成加法了，得到的答案是．假如小春同学没看错，原来题目正确解答是什么？ 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加法与减法运算，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键．先利用看成加法的答案求出原整式，然后重新计算即可． 【详解】解：原整式为： ， 则原题正解为： ． 【变式5-3】已知，在计算整式的加法与减法时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加法与减法运算，熟练掌握整式加法与减法运算法则是解题的关键． （1）依题意得，进而可求解； （2）和代入，利用去括号和合并同类项法则进行运算即可． 【详解】（1）解：依题意得： ， ∴． （2） ． 【题型6 整式加法与减法中的遮挡问题】 【例6】（24-25七年级上·山东临沂·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个多项式，形式如下： (1)求出所挡的多项式； (2)其中，求所挡住的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加法与减法运算，代数式的值，绝对值的非负性，解题的关键是掌握整式的加法与减法运算，进行解答，即可． （1）根据整式的加法与减法运算，用，求出所挡的多项式，即可； （2）根据绝对值的非负性，求出，的值，把，的值代入代数式，进行计算，即可． 【详解】（1）解：所挡的多项式为： ． （2）解：∵ ∴， ∴， 当，时，． 【变式6-1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加法与减法运算，用右边的整式减去左边未被遮住的多项式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，被墨水遮住的多项式为 ； 故选A． 【变式6-2】（24-25六年级上·山东威海·期末）小明在做整式运算：时不小心把墨水打翻，整式的一部分被墨水遮住，被墨水遮住部分的整式应是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加法与减法，解题的关键是熟练运用去括号法则进行整式的加法与减法运算．用等式右边的整式减去等式左边的整式计算即可得解． 【详解】解：依题意： ， ∴被墨水遮住部分的整式应是， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习了整式的加法与减法后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式中含的项的系数（题中的“”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为3，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数．请直接写出被墨水污染的数字，并求出的值． 【答案】(1) (2)被污染的数字是6， 【分析】本题考查整式的加法与减法： （1）根据整式加法与减法法的运算法则计算即可； （2）根据整式加法与减法法的运算法则可知被墨水污染的数字为6，进而计算即可． 【详解】（1）解：若被墨水污染的数字为3， 则； （2）解：设被污染的数字为，则 ， ， 因为 的值为常数， 所以的系数为0，即 ， 解得 所以被污染的数字是6， ． 【题型7 整式加法与减法中的不含某项问题】 【例7】若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】首先求出多项式的和，然后由不含二次项，得出m和n的值，即可得解． 【详解】解：， ∵结果中不含二次项， ∴， ∴． ∴． 【变式7-1】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若关于、的多项式与的差不含三次项，则的值（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的加法与减法运算，计算两个多项式的差，合并同类项后，令三次项的系数为零即可求解. 【详解】解：∵ ∵ 差不含三次项， ∴ ∴ 故选： A 【变式7-2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加法与减法中的无关型问题，计算出两个多项式的差，令所得结果中项的系数为零，解方程得到的值即可得到答案． 【详解】解： ． ∵多项式与的差中不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式7-3】已知关于x，y的多项式A＝2x3﹣8x2+nx﹣1与B＝3x3+2mx2﹣5x+3，若A+B不含二次项，A﹣B不含一次项，求2A﹣B的值． 【答案】x3﹣24x2﹣5x﹣5． 【分析】根据关于x，y的多项式A＝2x3﹣8x2+nx﹣1与B＝3x3+2mx2﹣5x+3，A+B不含二次项，A﹣B不含一次项，可以求得m，n的值，从而可以得到2A﹣B的值． 【详解】解：∵A＝2x3﹣8x2+nx﹣1与B＝3x3+2mx2﹣5x+3， ∴A+B＝（2x3﹣8x2+nx﹣1）+（3x3+2mx2﹣5x+3） ＝2x3﹣8x2+nx﹣1+3x3+2mx2﹣5x+3 ＝5x3﹣（8﹣2m）x2+（n﹣5）x+2， A﹣B＝（2x3﹣8x2+nx﹣1）﹣（3x3+2mx2﹣5x+3） ＝2x3﹣8x2+nx﹣1﹣3x3﹣2mx2+5x﹣3 ＝﹣x3﹣（8+2m）x2+（n+5）x﹣4， A+B不含二次项，A﹣B不含一次项， ∴，得 ， ∴2A﹣B＝2（2x3﹣8x2﹣5x﹣1）﹣（3x3+8x2﹣5x+3） ＝4x3﹣16x2﹣10x﹣2﹣3x3﹣8x2+5x﹣3 ＝x3﹣24x2﹣5x﹣5． 【点睛】本题考查整式的加法与减法混合运算，理解不含哪一项指的是该项系数为0，正确计算是本题的解题关键. 【题型8 整式加法与减法中的无关性问题】 【例8】（25-26七年级上·广西河池·期中）已知整式，整式，若a是常数，且的值与x无关，则a的值是（    ） A．4 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算及与未知数无关的条件应用，计算，合并同类项后，令x的系数为零，解出a． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式8-1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）若多项式的值与字母的取值无关，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简运算，与字母无关值的应用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 先将多项式化简，再根据值与字母的取值无关，令的系数为，求解． 【详解】解： ， ∵多项式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：， 故答案为6． 【变式8-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，若的值与字母x的取值无关，则______ 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项以及代数式无关项求值，熟记合并同类项法则是解答本题的关键． 先计算的表达式，合并同类项后，令含的项的系数为零，从而求出的值． 【详解】解：∵，， 则， ． ∵的值与字母的取值无关， 则含的项的系数为零，即， 解得：． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加法与减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 【题型9 整式加法与减法中的新定义问题】 【例9】定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与________是关于1的平衡数，与________是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数________（填是与否） 【答案】 否 【分析】本题以新定义为载体，主要考查了整式的加法与减法，正确理解新定义、熟练掌握整式加法与减法运算的法则是解题的关键； （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义计算的值是否等于2即可作出判断． 【详解】解：（1）根据题意，3关于1的平衡数是， 关于1的平衡数是， 故答案为：，； （2）因为 ， 所以a与b不是关于1的平衡数； 故答案为：否． 【变式9-1】已知均为有理数，现定义一种新运算“”，其规则为：． （1）计算：=_____． （2）化简：=_____． 【答案】 （1） 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加法与减法运算； （1）根据题中给出的例子列式计算即可； （2）根据题中给出的例子列式，再合并同类项即可． 【详解】（1）由题意得， ； （2） ． 故答案为：（1）；（2）． 【变式9-2】定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 ___的“平衡数”． 【答案】3 【分析】根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是有理数n的“平衡数”，可得到与的取值无关，从而求出，即可得出结论． 【详解】解： 由题意： ， ∵与（为常数）始终是数的“平衡数”， ∴的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及到整式的加法与减法计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加法与减法运算法则是解题关键． 【变式9-3】（25-26七年级上·吉林松原·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（k为常数）始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义问题，涉及到整式的加法与减法计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加法与减法运算法则是解题关键． 根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是数n的“平衡数”，可得到与的取值无关，从而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， 则 ， ∵与（为常数）始终是数的“平衡数”， ∴的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴ 【题型10 整式加法与减法中的规律探索】 【例10】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多__________个（用含 n 的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律，正确计算已知图形中色正方形比黑色正反向多的个数并得到规律是解题的关键．利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律． 【详解】解： 第1个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色1个，白色个， 第2个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色2个，白色个， 第3个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色3个，白色个， 依此类推， 第n个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色n个，白色个， …… ∴第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个， 故答案为∶ ． 【变式10-1】（24-25七年级上·福建三明·期中）有一列按规律排列的代数式：，，，，，……相邻两个代数式的差都是同一个整式，若第4个代数式的值为8，则前7个代数式的和为（   ） A．28 B．56 C．84 D．112 【答案】B 【分析】本题考查了整式加法与减法的应用，理解题意，找到规律正确列出算式是解题的关键．由题意得，相邻两个代数式的差都是，先计算出前7个代数式的和，根据第4个代数式的值为8可得，再整体代入求值即可解答． 【详解】解：由题意得，相邻两个代数式的差都是， 前7个代数式为：，，，，，，， 前7个代数式的和， 第4个代数式的值为8， ， ， 前7个代数式的和为56． 故选：B． 【变式10-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查整式的加法与减法运算，规律探究，先依次计算每次操作后整式串的各项之和，找出和的循环周期，再根据周期计算第2026次操作后的和即可． 【详解】∵ 第1次操作后整式串各项之和：， 第2次操作后整式串各项之和：， 第3次操作新增项为，各项之和：， 第4次操作新增项为，各项之和：， 第5次操作新增项为，各项之和：， 第6次操作新增项为，各项之和：， 第7次操作新增项为，各项之和：， ∴各项之和以为周期循环，周期为6， ∵，余数为4 ∴第2026次操作后整式串各项之和与第4次操作后的和相同，即为0； 故选D． 【变式10-3】（25-26七年级上·黑龙江·期末）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚． 总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚，当时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，再求和即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 当时，所用正方形卡片为：（枚），所用等边三角形卡片为：， 所用两种卡片的总数为：（枚）， 故答案为：． 【题型11 整式加法与减法中的多结论问题】 【例11】（25-26七年级上·北京海淀·期中）在右图所示的6个方格中分别填有一个关于x的多项式，其中n为有理数．将图中横、竖、斜三条虚线各自经过的3个方格中所填的多项式分别求和，合并同类项后每个和的次数和项数均为m，给出下面三个结论： ①； ②☆处所填多项式的次数一定为3 ③△处所填多项式的次数可能为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加法与减法运算、多项式的次数以及项数等知识点，掌握整式的加法与减法运算法则是解题的关键． 先列出斜线、横线、竖线的代数式，然后运用整式的加法与减法运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由题意可知： 斜线：； 横线：； 竖线：； 则横线和为：，即该多项式的次数为2， ∵合并同类项后每个和的次数和项数均为m， ∴，，即，故①正确； 竖线和为：， ∵合并同类项后每个和的次数和项数均为2 ∴处的多项式含 ∴☆处所填多项式的次数一定为3，即②正确； 斜线和为：， ∵的次数为2，处的多项式含，合并同类项后每个和的次数和项数均为2 ∴△处所填多项式的次数一定不能为3 即③错误. 综上，正确的为①②． 故选：A． 【变式11-1】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知四个整式分别为：；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的是（   ） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A．②③ B．①③ C．①② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，整式的加法与减法运算；熟练掌握去绝对值及其几何意义，读懂防御操作的定义是解题的关键． ①当时，四个整式中不论一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，求和后结果均大于0； ②利用绝对值的几何意义求解即可； ③四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，再求和即可． 【详解】解：①当时，四个整式中不论添加一个或多个绝对值符号，去绝对值后再求和，结果均为，故①错误； ②表示数轴上表示x的点到表示2，1， ，的点的距离之和，所以当 时，的值最小，最小值为6，故②正确； ③共有15种不同的“防御操作”，依次为： ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 故③正确． 综上，②③正确， 故选：A． 【变式11-2】（25-26七年级下·北京·期中）规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按新定义规则依次验证四个说法，最后利用整式恒成立条件求解参数即可． 【详解】解： ①将进行第1次X变换后得到的结果为，进行第2次X变换后得到的结果为；故①正确； ②将进行第1次Y变换得，进行第2次Y变换得，故②错误； ③两次X得； 先X后Y得：； 先Y后X得； 两次Y得，共4种不同结果，故③错误； ④有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得：， ∵有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，， ∴， ， ∴ ， ∵对任意实数x，恒成立， ∴对任意实数x，恒成立， ∴， 解得：，故④正确； 综上，正确的说法共2个． 【变式11-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期末）规定用表示有序数对．给出定义：将变化为称为一次“f变化”，将变化为称为一次“g变化”．下列说法： ①将进行3次f变化后得到的结果为； ②将进行3次g变化后得到的结果为； ③对，每次选择f变化或g变化中的一种变化，随机进行3次变化后有6种不同的结果： ④将先进行一次g变化，再进行一次f变化得到，若，，对于任意的有理数x，代数式的值恒等于0，则，． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算的理解与计算，整式加法与减法运算，说法①通过直接计算3次f变化验证；说法②通过计算3次g变化验证；说法③通过枚举所有3次变化序列，得到一般形式下的不同结果数量；说法④通过计算变化后的表达式，利用恒等式条件求解参数． 【详解】解：f变化：，g变化：． ① 对进行3次f变化： 第一次：， 第二次：， 第三次：，故此说法正确； ② 对进行3次g变化： 第一次：， 第二次：， 第三次：， 但说法为，故此说法错误； ③ 序列：； 序列：先进行两次f变化为，再进行1次g变化为； 序列：先进行1次f变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次f变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次g变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次f变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次f变化为，最后进行1次g变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次g变化为； 实际不同结果为：，，，，，共6种，故此说法正确； ④ 先g变化：， 再f变化：， 即, ， ， ∵代数式的值恒等于0， ∴， 代入, ， 得， 即， ∴且， 解得：, ， 但说法为, ，故此说法错误． 综上，正确说法有①和③，共2个． 故选：B． 【题型12 整式加法与减法的应用】 【例12】（25-26七年级上·河南郑州·期末）鲁班锁是我国传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（如图（1）），其中六根鲁班锁中的一个构件的一个面的尺寸如图（2）所示，这个面的周长为________________（用含字母，的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，整式加法与减法的应用，能根据题意用含字母，的代数式表示出图（2）中图形的周长是解题的关键．根据图中给出的边长，结合周长公式列出代数式，再根据整式的加法与减法运算法则计算即可． 【详解】解： 由图可知，这个面的周长为： ． 故答案为：． 【变式12-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一水池注满水，一根竹竿插入水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占竹竿全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，则水池的深度（包括淤泥部分）比露出水面部分的竹竿多____米． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法与减法应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出式子．设竹竿有x米，则淤泥以上的入水部分为米，根据题意列出式子计算即可． 【详解】解：设竹竿有x米，则竹竿入泥部分为米，则淤泥以上的入水部分为米， 由题意可得： （米）， 则水池的深度（包括淤泥部分）比露出水面部分的竹竿多米． 故答案为：． 【变式12-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）将如图1所示的边长分别为x，y，z（）的三个正方形无缝隙、不重叠地放置在长为，宽为的长方形中，如图2所示．（单位：cm） (1)求图2中阴影部分的周长； (2)当，，时，求图2中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加法与减法运算，解题的关键是通过平移的方式进行边长转化． （1）通过平移的方式将阴影部分的周长转化为长方形的周长求解即可； （2）把，，代入（1）中的结果即可． 【详解】（1）解：阴影部分的周长为 ． （2）解：当，，时， 阴影部分的周长为． 【变式12-3】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）如图，一个长方形运动场被分隔成2个A区，2个B区和1个C区，每个A区是边长为的正方形，每个区是边长为的正方形，每个区均是长方形． (1)用含、的代数式表示每个B区长方形场地的周长； (2)为了清晰划分各功能区域，需要在所有区域的边框线上贴胶条，求需要胶条的总长度．（即求图中所有线条的总长度） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加法与减法运算的实际应用，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）表示出每个区长方形场地的长和宽，然后求出周长即可； （2）表示出整个长方形运动场的长和宽，然后求出总长度即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，每个区长方形场地的长为，宽为， 所以每个区长方形场地的周长为． （2）解：根据题意可知，整个长方形运动场的长为，宽为． 所以需要胶条的总长度为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 整式的加法与减法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 去括号】 1 【题型2 添括号】 2 【题型3 整式的加法与减法运算】 2 【题型4 整式加法与减法的化简求值】 3 【题型5 整式加法与减法中的误看问题】 3 【题型6 整式加法与减法中的遮挡问题】 3 【题型7 整式加法与减法中的不含某项问题】 4 【题型8 整式加法与减法中的无关性问题】 4 【题型9 整式加法与减法中的新定义问题】 5 【题型10 整式加法与减法中的规律探索】 5 【题型11 整式加法与减法中的多结论问题】 6 【题型12 整式加法与减法的应用】 8 考点1 去括号 知识点1 去括号 1. 去括号方法 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac. 3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 【题型1 去括号】 【例1】（25-26七年级上·北京海淀·期末）去括号：________． 【变式1-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）若，，则______． 【变式1-3】化简： (1)； (2)． 【题型2 添括号】 【例2】（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】【变式6-1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 【变式2-2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）添括号：（______） 【变式2-3】已知，，则________. 考点2 整式的加法与减法运算 知识点2 整式的加法与减法 整式加法与减法的运算法则：几个整式相加法与减法，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加法与减法的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，． 【题型3 整式的加法与减法运算】 【例3】（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【变式3-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【变式3-2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知，则多项式M为______． 【变式3-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知关于m的多项式：与的和是一个单项式（a，b为非零常数），那么______ 【题型4 整式加法与减法的化简求值】 【例4】（25-26七年级上·湖北随州·期中）已知，则代数式的值为________． 【变式4-1】先化简再求值：，其中，． 【变式4-2】（25-26七年级上·江西抚州·期中）已知代数式， (1)求； (2)若，求的值． 【变式4-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 整式加法与减法中的误看问题】 【例5】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某同学在计算一个多项式减去的差时，不小心将减法当成加法，得到多项式，则原来整式运算的正确结果为_______． 【变式5-1】（25-26七年级上·四川资阳·期中）小明在计算时，将括号前面的“”错看成“”，得到的结果是，则多项式A是________________． 【变式5-2】有一个整式减去的题目，小春同学误看成加法了，得到的答案是．假如小春同学没看错，原来题目正确解答是什么？ 【变式5-3】已知，在计算整式的加法与减法时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 【题型6 整式加法与减法中的遮挡问题】 【例6】（24-25七年级上·山东临沂·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个多项式，形式如下： (1)求出所挡的多项式； (2)其中，求所挡住的代数式的值． 【变式6-1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25六年级上·山东威海·期末）小明在做整式运算：时不小心把墨水打翻，整式的一部分被墨水遮住，被墨水遮住部分的整式应是__________． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习了整式的加法与减法后，李明准备解答题目“已知M，N是两个整式，，，求的值”时，发现整式中含的项的系数（题中的“”处）被墨水污染了，模糊不清． (1)若被墨水污染的数字为3，请求出的值； (2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得的值为常数．请直接写出被墨水污染的数字，并求出的值． 【题型7 整式加法与减法中的不含某项问题】 【例7】若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【变式7-1】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）若关于、的多项式与的差不含三次项，则的值（    ） A．4 B． C．3 D．5 【变式7-2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为______． 【变式7-3】已知关于x，y的多项式A＝2x3﹣8x2+nx﹣1与B＝3x3+2mx2﹣5x+3，若A+B不含二次项，A﹣B不含一次项，求2A﹣B的值． 【题型8 整式加法与减法中的无关性问题】 【例8】（25-26七年级上·广西河池·期中）已知整式，整式，若a是常数，且的值与x无关，则a的值是（    ） A．4 B．12 C． D．6 【变式8-1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）若多项式的值与字母的取值无关，则_____． 【变式8-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，若的值与字母x的取值无关，则______ 【变式8-3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【题型9 整式加法与减法中的新定义问题】 【例9】定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与________是关于1的平衡数，与________是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数________（填是与否） 【变式9-1】已知均为有理数，现定义一种新运算“”，其规则为：． （1）计算：=_____． （2）化简：=_____． 【变式9-2】定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 ___的“平衡数”． 【变式9-3】（25-26七年级上·吉林松原·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（k为常数）始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 【题型10 整式加法与减法中的规律探索】 【例10】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多__________个（用含 n 的式子表示）． 【变式10-1】（24-25七年级上·福建三明·期中）有一列按规律排列的代数式：，，，，，……相邻两个代数式的差都是同一个整式，若第4个代数式的值为8，则前7个代数式的和为（   ） A．28 B．56 C．84 D．112 【变式10-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 【变式10-3】（25-26七年级上·黑龙江·期末）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为_______． 【题型11 整式加法与减法中的多结论问题】 【例11】（25-26七年级上·北京海淀·期中）在右图所示的6个方格中分别填有一个关于x的多项式，其中n为有理数．将图中横、竖、斜三条虚线各自经过的3个方格中所填的多项式分别求和，合并同类项后每个和的次数和项数均为m，给出下面三个结论： ①； ②☆处所填多项式的次数一定为3 ③△处所填多项式的次数可能为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式11-1】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知四个整式分别为：；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的是（   ） ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A．②③ B．①③ C．①② D．① 【变式11-2】（25-26七年级下·北京·期中）规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期末）规定用表示有序数对．给出定义：将变化为称为一次“f变化”，将变化为称为一次“g变化”．下列说法： ①将进行3次f变化后得到的结果为； ②将进行3次g变化后得到的结果为； ③对，每次选择f变化或g变化中的一种变化，随机进行3次变化后有6种不同的结果： ④将先进行一次g变化，再进行一次f变化得到，若，，对于任意的有理数x，代数式的值恒等于0，则，． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型12 整式加法与减法的应用】 【例12】（25-26七年级上·河南郑州·期末）鲁班锁是我国传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（如图（1）），其中六根鲁班锁中的一个构件的一个面的尺寸如图（2）所示，这个面的周长为________________（用含字母，的代数式表示） 【变式12-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一水池注满水，一根竹竿插入水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占竹竿全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，则水池的深度（包括淤泥部分）比露出水面部分的竹竿多____米． 【变式12-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）将如图1所示的边长分别为x，y，z（）的三个正方形无缝隙、不重叠地放置在长为，宽为的长方形中，如图2所示．（单位：cm） (1)求图2中阴影部分的周长； (2)当，，时，求图2中阴影部分的周长． 【变式12-3】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）如图，一个长方形运动场被分隔成2个A区，2个B区和1个C区，每个A区是边长为的正方形，每个区是边长为的正方形，每个区均是长方形． (1)用含、的代数式表示每个B区长方形场地的周长； (2)为了清晰划分各功能区域，需要在所有区域的边框线上贴胶条，求需要胶条的总长度．（即求图中所有线条的总长度） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $