甘肃兰州市新区教育片区联考2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期期末考试高二年级数学学科 参考答案与解析 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D A B C D A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BCD BC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 题号 12 13 14 答案 64 ； 【评分说明】14题第一空2分，第二空3分． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）（6分）解：分层抽样中，长时研学人数为人， （2分） 短时研学人数为人， （2分） 选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率为． （2分） （2）（7分）零假设：学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长无关， （2分） ， （2分） 所以零假设不成立． （1分） 依据的独立性检验， （1分） 能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关． （1分） 【本大题列式正确但结果错误均扣1分】 16．（15分）（1），定义域为则， （2分） 当时，，当时，， （2分） 故在上单调递增，在上单调递减， （2分） 故在时取到极大值，无极小值； （2分） （2）因，故， （2分） ， （2分） 故切线方程为：， （2分） 整理得：． （1分） 【本题第一问列表求极值也可】 17．（15分）（1）（6分）证明：连接，交于点，连接，由是菱形，得为的中点， （1分） 而为的中点，则， （2分） 平面，平面， （2分） 【此处缺少条件扣1分】 所以平面 （1分） （2）（9分）解：由底面，得， （2分） 则，即，于是菱形为正方形， （1分） 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，由，得，则，，，， （1分） 设平面的法向量为，，令，得， （2分） 设平面的法向量为，则，令，得， （2分） 显然，所以平面与平面的夹角为 （1分） 【此处未下结论扣1分】 18．（17分） （1）（7分）解：依题意，的可能取值为1，2，3，4，其中， （1分） 则， （1分） ， （1分） ， （1分） 所以，随机变量分布列为： （2分） 1 2 3 4 则． （1分） （2）（4分）解：因为个周期结束后共有2个细胞， 所以，必在某一个周期结束后分裂成2个细胞 （1分） 不妨设细胞在第个周期时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞， 此事件概率为， （1分） 所以 （2分） （3）（6分）证明：因为个周期结束后共有3个细胞， 设细胞在第个周期时分裂为2个新的细胞， 这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为2个细胞， 另一个一直保持分裂为1个细胞， 此事件的概率为： 得， （2分） 则 ， （1分） 其中，， 令，， 记，， （1分） 令，得， 当，，单调递增； 当，，单调递减， 则， （1分） 所以． （1分） 19．（17分） （1）（6分）解：设表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}， 由题意得第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为， （2分） 所以， （1分） 又因为最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}， 除了最后一次，其它抽到， （1分） 则对应概率依次为、、、， （1分） 所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，他共抽了3次的概率为：． （1分） （2）（i）（5分）这4条灯谜的位置从第1个到第4个排序，有种情况， （1分） 要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况： ①最适合灯谜是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况； （1分） ②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第1个或第2个， （1分） 其它的随意在哪个位置，有种情况， （1分） 综上所述，所求概率为． （1分） （ii）（6分）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个， 则， 由全概率公式知：， （1分） 当时，最适合灯谜在前条中，不会被摘到，此时； （1分） 当时，最适合灯谜被摘到， 当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时，此时， 所以， 令，则， 由，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， （2分） 则， 当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为． （2分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试 高二年级数学学科试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．若向量，，，则（ ） A．5 B．8 C．10 D．12 2．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数为，若，则（ ） A． B． C． D． 4．某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有多少人一分钟跳绳超过200次．（ ） A．100 B．150 C．200 D．250 5．根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则为（ ） 6 8 9 10 12 6 5 4 3 2 A． B． C． D． 6．某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线与函数的图象交于点，与直线交于点，当最小时，（ ） A． B． C． D． 8．如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点．已知圆柱的高为1，侧面积为．若，且恰为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ） A．经验回归方程中，当增加一个单位时，平均增加个单位 B．相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．随机变量服从二项分布，，则 D．随机变量服从正态分布，且，则 10．在空间直角坐标系中，已知点，．下列结论正确的有（ ） A． B． C．若，且，则 D．若，且，则 11．是定义在上的偶函数且当时，函数，则（ ） A． B．当时， C．恰有2个零点 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，若，，则__________． 13．设离散型随机变量的分布列如表，则“”的概率为__________． 0 1 2 14．已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某市开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长课时为长时研学，课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下列联表： 研学时长 科创竞赛 合计 获奖 未获奖 长时研学 25 15 40 短时研学 10 50 60 合计 35 65 100 （1）从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）已知函数． （1）求函数的极值； （2）求在点处的切线方程． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点． （1）证明：平面． （2）若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角． 18．（17分）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中． （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：． 19．（17分）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动． （1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为，两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率． （2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同）最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为． （i）若，求； （ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值．（取） 学科网（北京）股份有限公司 $■■ 2025-2026学年第二学期期末考试高二年级数学学科答题卡 姓名： 准考证号 学校： [0] [0] [0] [0] [0][0][0] [0][0] [0][0] [1] [1] C1] C1] [1] C1] C1] [1] C1] [1] [1] 班级： [2] [2] [2] [2] [2] [3] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 座号： [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9][9] [9][9] [9][9][9] [9] [9] [9] [9] .选择题(40分) 1[A][B][C][D]3[A][B][C][D]5[A][B][c][D]7[A][B][C][D] 2[A][B][c][]4[A][B][c][D]6[A][B][c][D]8[A][B][C][] ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 二选择题(18分) 9[A][B][C][D]10[A][B][C][D]11[AJ[B][c][D] ■■■■■ 三填空题(15分) 13 13 14 四解答题(77分) 15(13分) I口■ ID:4143600 第1页共 16(15分) 17(15分) 2页 ■ 清使用2B铅笔填涂选择题 18(17分) 口■▣ ID:4143600 第2页共 答案等选项及考号 19(17分) 2页 ■