2026年高二数学秋季开学学情自测卷01(天津专用)【范围：人教A版必修二】

**基本信息** 2026年天津高二开学学情自测卷，聚焦必修一+二核心知识，通过投壶游戏、环保竞赛等情境，分层考查复数、向量、立体几何等内容，落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/45|复数、向量、解三角形等|第7题以投壶游戏为背景，渗透文化传承，考查概率计算| |填空题|6/30|统计（60百分位数）、立体几何（异面直线成角）|第13题结合频率分布直方图，培养数据意识| |解答题|5/75|向量综合、解三角形、立体几何与概率统计|第20题立体几何综合题，考查空间观念与推理能力，体现分层设计|

2026年秋季高二开学学情自测卷01(天津专用) 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C C A C A C B 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11．或 12．5.05 13．/ 14． 15．2 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1）；（2），；（3）. 【分析】（1）利用向量共线定理即可求解. （2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模. （3）利用向量数量积即可夹角余弦值. 【详解】（1）若与共线， 则存在，使得 即， 又因为向量与不共线， 所以，解得，所以. （2）， ， （3）. 17．（15分） （1）；（2）（i）；；（ii）. 【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合，可得，根据范围可求B的值. （2）（i）由已知利用余弦定理可求b及的值； （ii）利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角公式可求，的值，根据两角差的正弦函数公式即可解得的值. 【详解】解：（1）∵， 由正弦定理得， ∴， ， ∵，且， ∴， ∵， ∴. （2）（i）∵，，， ∴， ∴. （ii）∵， ∴，， ∴. 18．（15分） （1）详见解析；（2）详见解析；（3）. 【分析】（1）连结，交于点.连结，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由四边形是正方形，所以，又由因为底面，证得， 利用线面垂直的判定定理，即可证得结论； （3）由，求得，进而利用面积公式，即可求解． 【详解】（1）连结，交于点.连结， 因为四边形是正方形，所以为的中点， 又为的中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为四边形是正方形，所以， 因为底面，所以， 又，所以平面. （3）因为， 又因为底面是边长为2的正方形，所以，所以， 又因为是的中点，所以.所以， 所以四棱锥的侧面积 . 19．（15分） (1)2 (2)71， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【详解】（1）由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； （2）平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 20．（16分）(1) 取的中点为，连接，，因为，分别为，中点，    所以且， 因为，，所以且， 即四边形是平行四边形．所以， 又平面，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）取的中点为，连接，，根据线面平行判定定理证明即可； （2）空间向量法计算两平面夹角的余弦值； （3）空间向量法计算点到平面的距离； 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接．因为，， 所以四边形是平行四边形．则， 因为，所以平行四边形是正方形． 则．因为平面，，平面， 所以，．则，，两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，， 因此，，，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则，所以， 设二面角的平面角为，依题意，， 所以， 所以二面角的余弦值为． （3）依题意，不妨设（），则，． 又由（2）得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以点到平面的距离为． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 7[A][B][C][D] 2[AB][C][D] 5[A]B][C]D] 8[A][B][C]D] 4 3[A][B][C][D] 6[A]B][C]D] 9[A][B][C]D] 阙 三、填空题（每小题5分，共30分) 10 11 12. 13 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) P D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）·● 2026年秋季高二开学学情自测卷01（天津专用) 数学 : : : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.考试范围：人教A版2019必修一+必修二 第一部分（选择题共58分） : : 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 : : 1.复数z满足(z+2)(1-i)=3-2i,则在复平面内复数z对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(1,-1),五=(0,0，若a1(ā+2b),则=() A.② B.1 c.√5 D.2 2 : 3.在△ABC中，A=60°，AC=4,BC=2W6,则B=() A.90° B.30° C.45° D.45°或135° : 4.从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是() 照 A.至少有2个红球 B.至少有2个黄球 : : C.都是黄球 D.至多2个红球 5.已知正三棱锥P-ABC,PA=3√2，AB=6,则该三棱锥的外接球的体积为() : : O A.27V6π B.815π C.27√2π D.81/2n : 6.己知m,是不重合的直线，，B,y是不重合的平面，则下列命题为真命题的是() A.a⊥B,BIy,则a∥ B.mca,n ca,mllB,nllB,al/B c.llB,ylB,则ylla D.&⊥P,m⊥B,则/a 7.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的 试题第1页（共6页） : 6学科网·上好课 投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可 能的若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为() A. 8 c 5-8 8.在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=2,A4=1,点O是B,D的中点，点P为线段BC1的中点， 则直线OP与平面BDDB所成角的正弦值是() D D A. √2 B.6 C.v1o D.5 3 3 5 5 9.如图，“六芒星"是由两个边长为3正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A,B是“六 芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则OB.AP的取值范围是() 图1六芒星 图2 A.[-2,2] 「33 B.22 c.[-v33 D.「-2,3 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 2 0、i是虚数单位，复数：+？则 11.在△ABC中，已知am+b4+c4=2c2(a2+b2)-b2,则角C= 12.已知10名同学的跳远成绩（单位：m)排序后如下：4.5,4.6,4.7,4.8,4.9,5.0,5.1,5.2,5.3， 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 5.4,则这组数据的60百分位数是 13.某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅 读名著的数量（单位：本），将数据按照[0,5)，[5,10)10,15)，[15,20)，[20,25]分成5组，制成了如图所示的 频率分布直方图，则图中a的值为 ；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为 个频率 组距 0.080- 0.070 0.014- 0.006 0510152025年平均阅读名著的数量/本 14.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的正三角形，点C,D是底面弧AB的两个三等分点，则异面直线S℃ 与BD所成角的正切值为 -------B 15.在△ABC中，CA=2,CB=2√5，∠ACB=90°，D为边AB上除端点外一动点，延长CD到P,使 CP-6.若c=mA+专m西，则sD的长为 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.14分)已知向蛋ā与万的夹角为6，且问=3，风-25， (1)若ka+2b与3a+46共线，求k; (2)求a.i,a+: (3)求a与a+b的夹角的余弦值 试题第3页（共6页） 17.(15分) 在△ABC中，a,b,C为内角A,B,C的对边，且满足(2c-a)cosB-bcosA=0. (1)求角B的大小： (2)已知c=2,a=3, (i)求b及cosC; m求(0-引 长 "一灬O灬NNN八八N外"：""（☑""""装 擗 18.(15分) 如图所示，四棱锥P一ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD,E为PD的中点. (1)求证：PB‖平面AEC; 习 (2)求证：CD⊥平面PAD; ③)若三棱锥C-ADB的体积为，求四棱锥P-ABCD的侧面积 E 肉 A 性 试题第4页（共6页） 19.(15分) 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出 O 如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： ◆频数/组距 ----------- 0.025 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： 4 (3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级 的概率为3， 甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率 4 不 斟 斟 : .: 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 20.(16分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB‖CD,且CD=2,AB=I,BC=1,PA=2,AB⊥BC, N为PD的中点. N 、A B D (1)求证：AN/1平面PBC; (2)求平面PCD与平面PDA夹角的余弦值； 在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为3，求点M到平面PCD的 试题第6页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷01（天津专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修一+必修二 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．在中，，，，则（    ） A． B． C． D．或 4．从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 5．已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 7．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．是虚数单位，复数，则________． 11．在中，已知，则角__________． 12．已知10名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，5.4，则这组数据的60百分位数是_____. 13．某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________. 14．如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 15．在中，，，，为边上除端点外一动点，延长到，使．若，则的长为______． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知向量与的夹角为，且，. （1）若与共线，求k； （2）求，； （3）求与的夹角的余弦值 17．（15分） 在中，a，b，C为内角A，B，C的对边，且满足. （1）求角B的大小； （2）已知，， （i）求b及； （ii）求. 18．（15分） 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积． 19．（15分） 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 20.（16分） 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷01(天津专用) 数学•全解全析 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用复数除法运算化简z，然后根据复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意知， 则在复平面内复数z对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A. 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积与模的坐标表示求解即得. 【详解】由题意知，， 由，得，解得， 因此，解得，即， 所以. 故选：B 3．在中，，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为中，，，，， 所以， 因为，所以， 解得，即，解得， 则或， 因为，所以， 因为，所以不可能为，只能是锐角，即. 故选项C正确. 4．从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况， 则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”. 故选：C. 5．已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得正三棱锥的侧棱两两垂直，再补形成正方体，进而求出外接球的体体积. 【详解】正三棱锥，，，则，即， 因此正三棱锥的侧棱两两垂直， 以线段为棱的正方体的外接球即为正三棱锥的外接球， 该球的直径为，半径， 所以该三棱锥的外接球的体积. 故选：A 6．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】C 【分析】根据平面与平面的位置关系，即可判断A、C是否正确；根面面平行的判定定理，即可判断B是否正确；根据面面垂直和线面垂直的关系和线面的位置关系，即可判断D是否正确. 【详解】对于A，，则，故A错误； 对于B，若，且，相交，，则，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误． 【点睛】本题主要考查了线面、面面位置关系以及面面平行判定定理的应用，属于基础题. 7．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由独立事件概率乘法公式可得. 【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件， 由题知， 则3人中至少有2人投中的概率为： . 故选：A 8．在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，得到直线与平面所成角，构造直角三角形计算即可. 【详解】连接交于点，连接， 因为长方体中，平面，所以， 由，所以平面， 所以平面平面，所以点在平面上的投影落在直线上， 所以直线与平面所成角为与所成角， 取的中点，连接，则，所以，， 又，所以， 则直线与平面所成角的正弦值为，故C正确. 9．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作在上的投影向量，观察图形结合数量积的几何意义求的范围. 【详解】由对称性可得，连接，与的交点为， 则为的中点，为的中点， 故，，，， 过点作直线的垂线，垂足记为， 则向量在向量上的投影向量为， 所以， 如图过点作，，垂足分别为， 所以，， 观察图象可得，其中与同向，与反向， 所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为， 当点位于点的位置时，取最小值，最小值为， 所以的取值范围是. 故选：B. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．是虚数单位，复数，则________． 【答案】 【详解】，故 11．在中，已知，则角__________． 【答案】或 【分析】化简条件等式，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】由， 即，所以 因为， 所以或． 12．已知10名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，5.4，则这组数据的60百分位数是_____. 【答案】5.05 【分析】根据百分位数的定义和公式计算即可. 【详解】因为，所以这组数据的60百分位数是第6项和第7项的平均值， 即. 故答案为：5.05. 13．某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________. 【答案】 / 【分析】由频率和为1列方程求参数a，由图知数量不少于10本的频率为，进而求人数. 【详解】由直方图知：， 所以， 则高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本为人. 故答案为：， 14．如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 【答案】 【分析】易证得，由异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为，连接， 为弧的两个三等分点，， 又，为等边三角形，，， 即为异面直线与所成角， 平面，平面，， ，，， 即与所成角的正切值为. 15．在中，，，，为边上除端点外一动点，延长到，使．若，则的长为______． 【答案】2 【分析】法一：先根据题意以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，再分别求出各点的坐标，从而根据条件求出的值，进而根据的值即可求出的长；法二：设，根据条件，及三点共线即可求出的值，从而得到，的长，再根据直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】法一：由题意得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，设， 所以，，， 因为， 所以，解得， 又，即， 整理得，解得或， 当时，，则，所以，即， 又，所以，即，所以为等边三角形， 所以，所以； 当时，，此时点与点重合，不符合题意，综上，．    法二：设，因为，所以， 又为边上除端点外一动点，则，，三点共线， 所以，解得，所以， 因为，则，所以， 又因为为直角三角形，且， 所以点为线段的中点，或点与点A重合， 又点不与端点重合，所以点为线段的中点，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．(14分)已知向量与的夹角为，且，. （1）若与共线，求k； （2）求，； （3）求与的夹角的余弦值 【答案】（1）；（2），；（3）. 【分析】（1）利用向量共线定理即可求解. （2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模. （3）利用向量数量积即可夹角余弦值. 【详解】（1）若与共线， 则存在，使得 即， 又因为向量与不共线， 所以，解得，所以. （2）， ， （3）. 17．(15分)在中，a，b，C为内角A，B，C的对边，且满足. （1）求角B的大小； （2）已知，， （i）求b及； （ii）求. 【答案】（1）；（2）（i）；；（ii）. 【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合，可得，根据范围可求B的值. （2）（i）由已知利用余弦定理可求b及的值； （ii）利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角公式可求，的值，根据两角差的正弦函数公式即可解得的值. 【详解】解：（1）∵， 由正弦定理得， ∴， ， ∵，且， ∴， ∵， ∴. （2）（i）∵，，， ∴， ∴. （ii）∵， ∴，， ∴. 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，属于中档题 18．(15分)如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）. 【分析】（1）连结，交于点.连结，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由四边形是正方形，所以，又由因为底面，证得， 利用线面垂直的判定定理，即可证得结论； （3）由，求得，进而利用面积公式，即可求解． 【详解】（1）连结，交于点.连结， 因为四边形是正方形，所以为的中点， 又为的中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为四边形是正方形，所以， 因为底面，所以， 又，所以平面. （3）因为， 又因为底面是边长为2的正方形，所以，所以， 又因为是的中点，所以.所以， 所以四棱锥的侧面积 . 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的体积与表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的表面积与体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 19．(15分)学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】(1)2 (2)71， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【详解】（1）由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； （2）平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 20．(16分)如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1) 取的中点为，连接，，因为，分别为，中点，    所以且， 因为，，所以且， 即四边形是平行四边形．所以， 又平面，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）取的中点为，连接，，根据线面平行判定定理证明即可； （2）空间向量法计算两平面夹角的余弦值； （3）空间向量法计算点到平面的距离； 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接．因为，， 所以四边形是平行四边形．则， 因为，所以平行四边形是正方形． 则．因为平面，，平面， 所以，．则，，两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，， 因此，，，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则，所以， 设二面角的平面角为，依题意，， 所以， 所以二面角的余弦值为． （3）依题意，不妨设（），则，． 又由（2）得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以点到平面的距离为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11． ____________________ 12．____________________ 13．____________________；____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷01（天津专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修一+必修二 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．在中，，，，则（    ） A． B． C． D．或 4．从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 5．已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 7．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．是虚数单位，复数，则________． 11．在中，已知，则角__________． 12．已知10名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，5.4，则这组数据的60百分位数是_____. 13．某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________. 14．如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 15．在中，，，，为边上除端点外一动点，延长到，使．若，则的长为______． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知向量与的夹角为，且，. （1）若与共线，求k； （2）求，； （3）求与的夹角的余弦值 17．（15分） 在中，a，b，C为内角A，B，C的对边，且满足. （1）求角B的大小； （2）已知，， （i）求b及； （ii）求. 18．（15分） 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积． 19．（15分） 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 20.（16分） 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $