第三章 函数的概念和性质单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学第三章函数的概念和性质单元检测卷，覆盖定义域、单调性等核心知识，通过阶梯电价、乡村旅游利润等真实情境题，考查数学建模与应用能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|定义域（题1）、单调性（题3）、分段函数应用（题7）|商品定价（题6）考查二次函数模型，体现应用意识| |多项选择题|3/18|函数相等判断（题10）、函数性质（题11）|多角度辨析函数概念，培养逻辑思维| |填空题|3/15|幂函数奇偶性（题12）、函数值比较（题13）|汽车刹车距离（题14）结合实际，强化数学眼光| |解答题|5/77|二次函数（题16）、抽象函数证明（题17）、利润问题（题19）|乡村旅游利润（题19）综合分段函数与最值，提升数学语言表达能力|

第三章 函数的概念和性质 章末检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，求（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 7．某省对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方式如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的电费为2712元，则此户居民这一年使用的电量为（   ） A．3750千瓦时 B．3950千瓦时 C．4300千瓦时 D．4400千瓦时 8．已知为奇函数且在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若，，且，则（   ） A． B． C． D． 10．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．下列说法中正确的是（　　） A．式子可表示自变量为x，因变量为y的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．若，则 D．与是同一个函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 13．已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 14．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（15分）已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 16．（13分）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 17．（17分）对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为R上的增函数； (3)若，求关于的不等式的解集. 18．（15分）已知幂函数过点. (1)求的解析式，判断的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明. 19．（17分）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. (1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 函数的概念和性质 阶段检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A D A C C AB ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【知识点】具体函数的定义域 【详解】由题意可得，解得. 2．A 【知识点】具体函数的定义域、交集的概念及运算 【分析】根据二次根式大于等于零求解集合A，再根据交集的运算即可得答案. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 3．B 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间 【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 4．A 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 5．D 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 6．A 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】设销售定价为元，根据题意求出销售量，月利润的表达式，利用二次函数即可求出. 【详解】设销售定价为元，那么就是提高了元，售件数减少， 一个月能卖出的件数是件，每件商品的利润的是元， 则一个月的利润 当时，取得最大值. 故选：A 7．C 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据题意，得到本年缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设某户居民用电量为千瓦时，本年缴纳的电费为， 可得， 当某户居民本年缴纳的电费为2712元时，可得， 解得，即居民本年的用电量为4300千瓦时. 故选：C 8．C 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【详解】由题意得，，，，故ABD错误； ，故C正确. 9．AB 【知识点】条件等式求最值 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 又，当且仅当时取等号，所以，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当时取等号，故D错误. 10．ACD 【知识点】具体函数的定义域、函数关系的判断、判断两个函数是否相等 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 11．BCD 【知识点】具体函数的定义域、函数关系的判断、判断两个函数是否相等、求函数值 【分析】对于A，通过求函数的自变量范围即可判断；对于B，根据函数的定义及图象特征判断；对于C，从内到外依次计算即得；对于D，分别比较两函数的定义域和对应法则即可判断. 【详解】对于A，由有意义，可得，解得， 故该式不能表示自变量为x，因变量为y的函数，故A错误； 对于B，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点； 当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有1个交点， 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为与的定义域都为， 且，所以两函数是同一个函数，故D正确． 12． 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 13． 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】使用函数奇偶性判断在上的单调性，使用单调性比较函数值的大小求解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在区间上为减函数， 所以在上是增函数， 因为， 所以 14．公里小时 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 15．(1) ， ． (2) (3)． 【知识点】求函数值、函数对称性的应用 【分析】（1）根据解析式代入求解； （2）利用解析式直接相加求解； （3）根据（2）的结论，运用到式子中化简即可求值. 【详解】（1）已知函数， ， ． （2）由，得， ． （3）由知 ，， ． 16．(1) (2) 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 17．(1) (2) 设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求函数值、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【详解】（1）， 或（舍），即； （2）略 （3）， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 18．(1)，奇函数，证明如下： 因为为幂函数，且过点，所以，解得 所以，所以该函数为奇函数. 理由：定义域为，因为都有， 且，所以该函数为奇函数. (2) 函数在上单调递减. ，且，则 ，，又因为，，即. ，即 在上单调递减. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求幂函数的解析式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由幂函数的定义及经过的点可得函数解析式，并用奇偶性的定义判断可得； （2）直接根据幂函数性质判断并用单调性的定义证明可得. 【详解】（1）略 （2）略 19．(1) (2)最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得 (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、一元二次不等式的实际应用 【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，列出函数即可； （2） 利用分段函数求最值，再作比较，即可得最大利润； （3）利用分段函数解不等式，从而可求年接待游客量的取值范围. 【详解】（1）当时，；   当时，，   所以； （2）若，即， 当时，万元；   若时，， 当且仅当时，即时，万元，   因为， 所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得. （3）当时，由，即； 即，判别式，该不等式无解. 因此，在区间内，无法达到盈利5万元.   当时，由，即， 解方程，得两根为，   由于，所以解得 综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $