第三章 函数的概念与性质 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 人教A版必修一第三章函数单元测试，覆盖定义域、值域、单调性等核心知识，通过基础题与应用题结合，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|8|函数定义域（1）、值域（2）、单调性（3）|结合阶梯电价（8）考查数学眼光观察现实| |多选题|3|定义域值域相同函数（9）、函数性质综合（10）|多选项设计考查数学思维严谨性| |填空题|3|函数值域（12）、区间最值（13）|聚焦核心概念辨析，强化数学语言表达| |解答题|5|分段函数图像（15）、二次函数解析式（16）、利润应用题（19）|综合数学建模（19）与逻辑推理（18），贴合真题趋势|

人教A版必修一第三章初学后单元测试 一、单选题 1．函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 2．若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以 ，所以的值域为． 3．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 4．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 5．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用是上的偶函数可知，，再根据在区间上单调递增即可判断大小. 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 6．已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 7．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用函数奇偶性定义结合幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于B：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于C：定义域为，，所以为奇函数，但是在区间上单调递减，不符合题意； 对于D：定义域为，，所以为奇函数，是在区间上单调递增，符合题意； 8．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【分析】根据计费方法，结合已知数据，即可直接求得结果. 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 二、多选题 9．（多选题）（2026高一上·浙江舟山·月考）下列函数定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义域、值域对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A：的定义域是，值域是，不符合题意，A错误； 对于B：的定义域和值域都是，符合题意，B正确； 对于C：的定义域是，值域是，不符合题意，C错误； 对于D：的定义域和值域都是，符合题意，D正确. 10．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．当时， 【答案】AD 【分析】先根据偶函数定义判定A正确，再将绝对值函数分段讨论单调性，得出先减后增否定B，解绝对值不等式得到解集否定C，利用上函数单调递增，结合时证明D正确． 【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，A正确； 对于B， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上是先减后增，B错误； 对于C，由，得，解得，C错误； 对于D，当时，，， 因为在上单调递增，且， 所以，D正确． 11．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【分析】A选项，根据分母不为零可求得函数定义域；B选项，根据反比例函数的单调性判断的单调性；C选项，由函数的单调性知的最小值不存在；D选项，根据反比例函数的对称性及函数图像的变换可求出的对称中心. 【详解】令，解得，所以的定义域为，A正确； ，在上单调递减，在上单调递减，B错误； 在上单调递减，最小值不存在，C错误； 因为的图象是由的图象先向右平移6个单位再向上平移1个单位得到的，且的对称中心为，所以的图象关于点中心对称，D正确. 三、填空题 12．函数的值域为__________． 【答案】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 13．函数在区间上的最小值为 _______． 【答案】2 【分析】判断在上的单调性，据此可得答案. 【详解】，则在上单调递减，在上单调递增， 从而. 14．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据幂函数的定义、函数的单调性及奇偶性求解即可. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或. 当时，，该函数是奇函数，不符合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意， 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故实数的取值范围为. 四、解答题 15．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 16．已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解； （2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解. 【详解】（1）不妨设二次函数， 由，可得，所以； 由，可得， 即，即，解得，故. （2）函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上没有最大值，符合题意； 综上所述：若在上没有最大值，实数m的取值范围为． 17．已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 18．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增， 证明如下：因为 ， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）略. 19．某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修一第三章初学后单元测试 一、单选题 1.函数fx)=+5 x2-4 定义域是() A.{xx≥-5且x≠2 B.{xx≥-5 C.{xx≠±2 D.xx>-5llx≠2 2.若函数f2x-1=2X-1则fx的值域是（） A.-1,+o∞B.1,+oo C.R D.-00,1 3.已知fx=a+2X+a,X>2在R上满足fx-f、0则实数o的取值范围为 -2ax+x,x≤2 X1-X2 () D.0. 4.已知fx是定义在R上的偶函数，且在0，+o∞上单调递增，则不等式fx>f2的解集 为() A.0,2 B.2,+0 C.-2,2 D -00,-2U2,+0 5.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈[0，+oo)时，f(x)是增函数，则 f(-2),f(π，f-3)的大小关系是() A.f(π)<f(-3)<f-2) B.fπ)>f(-2)>f-3) c.fπ<f(-2)<f(-3 D.fπ>f-3)>f(-2) 6.已知幂函数y=x1,y=x2,y=x3,y=x4在第一象限内的图象如图所示分别是C1, C,C;'C4则n'n,'n'n的大小关系是（） 试卷第1页，共3页 A.n1>n2>1,n3<n4<0 B.n2>n1>2,n4<n3<0 C.n1>1>n2>0>n4>n3 D.n1>1>n2>0>n3>n4 7.下列函数中，是奇函数且在区间0，+∞上单调递增的是() A.fx=x2025 B.fx)=x2026 C.fl)=2027 D.flx= 8.为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月 用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部 分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费若某户居民本月缴 纳电费为276元，则该户居民本月用电量为() A.400度 B.420度 C.440度 D.460度 二、多选题 9.(多选题)(2026高一上·浙江舟山·月考)下列函数定义域和值域相同的是() A.flx)=x B.fx=x)x C.fx=x-1 D.f(x=x+1 10.已知函数fx=X-1则下列结论正确的有（） A.fx是偶函数 B.fx在区间0，+o∞上单调递增 C.若fx∈0,1，则x∈-1,1 D.当a≥2时，fa>fa-1 11.已知函数fx=x+2 -6, 则() A.fx的定义域为[xx≠6 B.fx在定义域内单调递减 试卷第2页，共3页 C.当x>6时，fx的最小值为1 D.fx的图象关于点6,1中心对称 三、填空题 1 12.函数yX-2x+7的值域为 13.函数fx=X2-2x+3在区间0,2上的最小值为 14.已知幂函数fx=|m2-3m+3x是R上的偶函数，且函数gx=fx-2ax在区间 [1,3上单调递减，则实数a的取值范围是 (用区间表示) 四、解答题 x+2,x≤-1 15.已知函数fx的解析式为fx=2,-1<x≤2 -X+6,x>2 -4 i---t------ -4 20 2 4 6末 r-2 -4 (1)画出这个函数的图象，并写出fx的最大值： 2)求fff7的值 (3)解不等式fx<2 16.已知二次函数f(x)满足f(0)=0,f(x)-f(x-1)=2x-3. ①)求f(x)的解析式： (2)若f(x)在[-1，m)上没有最大值，求实数m的取值范围. 17.已知函数fx=ar-b 火2+4是定义域为-2,2的奇函数，满足f1=子 (I)求实数a,b的值： 试卷第3页，共3页 (2)求关于x的不等式f2x-1+fx<0的解集 18.已知幂函数fX=m2-2m+2x5-2k∈Z是偶函数，且在0，+∞上单调递增 (1)求函数fx的解析式： 2判断函数gX=fx+4在区间2，+0上的单调性，并证明， 19.某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已 知总收入R(单位：元)关于月产量X(单位：台)满足函数： 30x-号x,0≤x30 60000,x≥300 (1)将利润P(单位：元)表示为月产量X的函数： (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 试卷第4页，共3页