10.5.3用二元一次方程组解决问题第三课时_暑期讲义2026年苏科版七年级数学下册

2026暑期衔接｜苏科版数学七年级下册 苏科版（2024）数学七年级下册 10.5.3 用二元一次方程组解决问题（第三课时） 画示意图 · 行程与几何关系 · 综合建模 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 建议2课时 教材定位 本讲义对应现行苏科版七年级下册第10章“二元一次方程组”，严格按课时边界选题，不提前使用后续课时的方法。 学习目标 1．会用线段图、路线图或几何示意图表示实际问题中的数量关系。 2．能从“相遇、追及、周长、拼图、分配”等情境中找出两个独立关系。 3．能把图中长度、数量或位置关系转化为二元一次方程组。 4．能综合选择直接分析、列表或画图三种策略解决问题。 一、重难点导航 模块 核心内容 学习重点 学习难点 易错提醒 画图翻译 用线段、箭头、标注表示对象和关系 图要简洁、对应清楚 图画得复杂但关系不明 图不是答案，只是分析工具 行程关系 相遇看路程和，追及看路程差 方向与时间标清 同向反向混淆 速度×时间=路程 几何关系 周长、边长差、拼接长度 图形标注对应边 重复计算边长 只使用已学几何关系 综合选择 文字简单直接列，信息多列表，位置关系画图 选择最清楚的方法 为了画图而画图 最终仍要列组、求解、检验 二、教材知识点盘点（先填后学） 完成要求 先凭已有知识填写；学习结束后用另一种颜色订正，并把概念、步骤或数量关系完整朗读两遍。 1. 相向而行的相遇问题常用“甲路程+乙路程=________”。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2. 同向追及问题常用“快者路程-慢者路程=________”。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3. 长方形周长公式是________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4. 线段图中同一条线段应使用________的长度单位。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5. 示意图的作用是帮助发现________关系。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6. 图画完后仍需设未知数、列方程组、求解并________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、知识网络（思维导图） 图示说明：从概念、步骤、易错点和题型四个方向构建本课知识网络。 四、核心知识精讲 图1 用线段图表示“总量与相差量” 规范步骤 选择合适示意图 → 标清方向、时间、长度 → 从图写两条关系 → 列组求解检验 五、典例精讲 典例1｜相遇问题 题目：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，2小时相遇，甲每小时比乙快2千米，求速度。 解答：画两段相加为36：，得x=10，y=8。 点拨：图上两段路程之和是总路程。 典例2｜追及问题 题目：慢车先行2小时，快车出发1小时后追上；快车比慢车每小时快30千米，求速度。 解答：设快x、慢y：，解得60、30。 点拨：追上时快车1小时路程等于慢车3小时路程。 典例3｜长方形问题 题目：长方形周长40厘米，长比宽多4厘米，求长宽。 解答：设长x、宽y：，得12、8厘米。 点拨：图中相邻两边和是周长一半。 典例4｜拼图问题 题目：两个相同小长方形拼成一个大长方形，小长方形长比宽多3厘米，大长方形周长30厘米（按长边并排拼接），求小长方形长宽。 解答：设小长x、宽y，大长方形长2x、宽y：，得x=6，y=3。 点拨：先从拼接图确定大图边长。 六、随堂练习 建议用时 10—12分钟。先完成，再在题号前标注：○会做、△不熟、×不会。 1. 两地相距60km，两人相向2小时相遇，速度差6，求速度。 2. 慢车先行1小时，快车2小时追上，快车比慢车快20，求速度。 3. 长方形周长52cm，长比宽多6cm，求长宽。 4. 一条绳分成两段共30m，长段比短段长8m，求两段。 5. 两人同地反向行走3小时相距42km，速度差2，求速度。 6. 小长方形长比宽多2cm，两个沿长边并排后大长方形周长32cm，求小长宽。 7. 甲先走3km，乙随后追赶，1小时后追上，且乙速度是甲速度的2倍，求两人速度。 8. 正方形与长方形周长相等，正方形边长8cm，长方形长比宽多4cm，求长宽。 七、分知识点专项训练 知识点一｜相遇与反向问题 1. 相距84km，2小时相遇，速度差8 2. 同地反向4小时相距100km，速度差5 3. 相距150km，3小时相遇，甲速度是乙的1.5倍 4. 两船反向2.5小时相距125km，速度差10 5. 两人从相距48km两地相向，甲先走1小时后乙出发，乙出发2小时相遇，甲比乙慢4km/h 6. 环形跑道400m，两人反向跑20s相遇，速度差2m/s 知识点二｜追及与同向问题 7. 慢车先行30km，2小时追上，速度差多少 8. 甲先行1小时，乙1小时追上，乙比甲快25，求速度 9. 同向两车相距40km，快车3小时追上，速度差 10. 甲速度6、乙速度9，甲先行多久后乙2小时追上 11. 快慢两人速度比3:2，慢者先行4km，2小时追上，求速度 12. 轮船顺流追木筏，静水速度18、水速2，木筏先行3小时，轮船多久追上 知识点三｜几何与分配示意图 13. 长方形周长36，长比宽多4 14. 两段铁丝共50，一段比另一段2倍少4 15. 正方形周长与长方形周长均40，长方形长比宽多6 16. 三个相同小长方形沿长边并排，大图周长44，小长方形长比宽多2 17. 甲乙两桶水共80L，从甲倒10L给乙后两桶相等 18. 一批书分给甲乙两组共120本，甲比乙多20本 八、综合解答题 书写要求 解答题要写出设未知数、等量关系或消元依据、计算过程、检验和完整结论。 1. 甲乙两车从相距270千米的两地相向而行，3小时相遇，甲每小时比乙快10千米。画线段图并求速度。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 2. 慢车先出发2小时，快车出发后3小时追上。快车比慢车每小时快20千米，求两车速度。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 3. 一个长方形周长为64厘米，若长增加2厘米、宽减少2厘米，长仍比宽多12厘米。求原长宽。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 4. 六个相同小长方形按“3个长排、2个宽排”围成大长方形，若小长方形长比宽多4厘米，且3倍长等于2倍的（长+宽），求小长方形长宽。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 5. 选择策略：门票问题、两车相遇问题、复杂购物清单问题分别更适合直接分析、画图还是列表？说明理由。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 6. 某同学画相遇图时把两车路程写成差等于总路程。指出错误，并说明相遇与追及模型的核心区别。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 九、学习自评与错题整理 自评项目 我能做到 还需巩固 能准确说出本课法则或公式 □ □ 能规范写出运算步骤 □ □ 能发现并改正常见错误 □ □ 能独立完成综合解答题 □ □ 本课最易错的一题 错误原因 正确方法 错题重做区 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 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解析：设乙x、甲y，则x-y=3，x=2y。 8. 答案：长10、宽6 cm 解析：长方形周长32，x+y=16。 三、分知识点专项训练答案 答案｜知识点一｜相遇与反向问题 1. 答案：25、17 km/h 解析：和42、差8。 2. 答案：15、10 km/h 解析：和25、差5。 3. 答案：30、20 km/h 解析：和50，x=1.5y。 4. 答案：30、20 km/h 解析：和50、差10。 5. 答案：甲8、乙12 km/h 解析：3x+2y=48，y-x=4。 6. 答案：11、9 m/s 解析：速度和20、差2。 答案｜知识点二｜追及与同向问题 7. 答案：20 km/h 解析：路程差÷时间。 8. 答案：乙50、甲25 km/h 解析：乙1小时=甲2小时。 9. 答案： km/h 解析：速度差×3=40。 10. 答案：1小时 解析：9×2=6×(2+t)。 11. 答案：快6、慢4 km/h 解析：速度差2，2小时追4km。 12. 答案：小时 解析：船对岸速度20，木筏2；相对速度18，先行6km。 答案｜知识点三｜几何与分配示意图 13. 答案：长11、宽7 解析：x+y=18，x-y=4。 14. 答案：18与32 解析：x+y=50，y=2x-4。 15. 答案：长13、宽7 解析：x+y=20，x-y=6。 16. 答案：小长6、宽4 解析：设长x、宽y：x-y=2，2(3x+y)=44，解得x=6，y=4。 17. 答案：甲50、乙30 L 解析：x+y=80，x-10=y+10。 18. 答案：甲70、乙50本 解析：和差。 四、综合解答题答案与解析 1. 答案：甲50、乙40 km/h 解析：3x+3y=270，x-y=10。 2. 答案：快50、慢30 km/h 解析：3x=5y，x-y=20。 3. 答案：长20、宽12 cm 解析：x+y=32；(x+2)-(y-2)=12，即x-y=8。 4. 答案：长8、宽4 cm 解析：x-y=4，3x=2(x+y)。 5. 答案：门票可直接分析；相遇适合画线段图；复杂购物清单适合列表 解析：分别突出关键词、位置关系和多对象对应关系。 6. 答案：相遇时两段路程之和等于总路程；追及时快者与慢者路程之差等于先行距离 解析：方向和相对位置决定用和还是差。 五、订正清单 • 检查未知数含义和单位是否写清。 • 检查两个方程是否来自两个独立的等量关系。 • 检查消元时是否整式同乘、符号是否正确。 • 检查答案是否代回原方程并符合实际意义。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $