第三单元 三角形和四边形（知识清单）数学沪教版三年级上册（新教材）

该小学数学知识清单系统梳理沪教版三年级上册第三单元“三角形与四边形”内容，涵盖角的认识与分类、三角形及四边形的初步认识等核心范畴，通过思维导图、知识梳理、典例分析与变式练习搭建从概念理解到应用实践的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+考点”三级架构呈现知识体系，如明确标注“角的大小与边的长短无关”等易错点，通过典型例题与变式练习强化几何直观与空间观念。特别设计图形计数、三角尺拼角等实践题型，培养学生推理意识，助力不同水平学生高效复习，也为教师提供精准教学辅助工具。

沪教版·新教材三年级数学上册 第三单元：三角形与四边形（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：角的初步认识 1、认识角 （1）角是由一个顶点和两条直边组成的。比较两个角的大小时，将两个角的顶点和一条边重合，看哪个角的两条边叉开得大，那个角就大。 （2）角得大小与角得两条边的长短无关，与角的两条边张口的大小有关。角的两条边张口越大，角就越大；角的两条边张口越小，角就越小。 2、认识直角 （1）所有的直角大小都相等。直角可以用直角符号“┐”表示。 （2）用三角尺判断直角的方法： ①让角的顶点与三角尺上直角的顶点重合； ②角的一条边与三角尺上直角的一条边重合； ③若角的另一条边与三角尺上直角的另一条边重合，则这个角就是直角。 3、 角的分类 按角的大小可以把角分为三类，即锐角、直角和钝角。锐角比直角小，钝角比直角大。 【易错点】没有掌握角的大小与角的叉开程度有关 角的大小与边的长短无关，只与角的两条边叉开程度有关。 【易错点】没有掌握直角大小都一样的知识 无论物体大小，所有直角都一样大。 知识点02：三角形与四边形的初步认识 1、 辨别三角形、四边形及多边形 在同一平面内，由三条线段围成的封闭图形是三角形，由四条线段围成的封闭图形是四边形，由五条线段围成的封闭图形是五边形。 2、 认识长方形与正方形 ①长方形的对边相等，四个角都是直角； ②正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ③正方形是特殊的长方形； ④长方形和正方形都是四边形。 3、 三角形的分类 （1）一个三角形中有一个钝角即为钝角三角形，有一个直角即为直角三角形 （2）三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 【易错点】误认为三角形中有锐角就是锐角三角形 三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形。判断一个三角形是什么角的三角形，主要看三角形中最大的那个角是什么角，就是什么角的三角形。 考点1：认识角 【典型例题1】角是由一个( )和从这个点引出的两条( )组成的。 【练习1】最早的“角”可能来自人们用绳子围地。虽然现在画角的工具变了，但角的本质没变它始终由一个( )和两条( )组成。 【典型例题2】判断：延长角的两边，角的度数就变大了。( ) 【练习2】判断：角的两条边叉开越大，角就越大。( ) 考点2：角的分类 【典型例题3】连一连。 【练习3】看图填序号，锐角有( )；直角有( )；钝角有( )。 考点3：借助三角尺画角 【典型例题4】分别以下面的三个点为顶点，画一个锐角、直角和钝角。 【练习4】以方格纸上的点为顶点，按要求画角。 【典型例题5】下边的图形里有（    ）个角；请在图形里加画一条线段，使它增加2个直角。 【练习5】给下面的图形添上一条线，使它们符合要求。             增加4个角         增加2个直角       增加3个直角 考点4：利用图示法、角的分类解决角的数量问题 【典型例题6】数一数下面图形有( )个角。 【练习6】下图中有（    ）个锐角。 A．9 B．10 C．15 D．8 【典型例题7】下图中，一共有( )条线段，有( )个锐角、( )个直角和( )个钝角。 【练习7】下图是用七巧板拼出的图形，数数看：图中有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 考点5：辨别多边形 【典型例题8】下面图形中不是多边形的是（    ）。 A． B． C． 【练习8】分一分。（填序号） ( )是四边形；( )是五边形；( )是六边形。 考点6：认识正方形与长方形 【典型例题9】观察下面四块破损的玻璃，根据（    ）可以配出和原来一样的长方形玻璃。 A． B． C． D． 【练习9】下面每个信封都装了一个四边形。观察露出的部分，可能是正方形的是（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题10】长方形的四个角都是( )角，对边( )且( )，正方形的四条边都( )。 【练习10】正方形是长和( )相等的长方形。 考点7：三角形的分类 【典型例题11】读一读，想一想。 如果我们根据一个三角形中最大的角的名称给这个三角形命名，如：①号三角形中最大的角为直角，那么这个三角形是直角三角形。则②号三角形是( )三角形，③号三角形是( )三角形。 【练习11】分一分。（填序号） (1)锐角三角形有：( )。 (2)钝角三角形有：( )。 (3)直角三角形有：( )。 【典型例题12】图①、②、③是三个部分被遮挡的三角形，请分别写出它们各是什么三角形，（按角分类）图①( )，图②( )，图③( )。 【练习12】下面被遮住一部分的三角形分别可能是什么三角形？（按角分） ( )三角形      ( )三角形     ( )三角形 【典型例题13】（1）在图1三角形中画一条线段，使它分成两个直角三角形。 （2）在图2三角形中画一条线段，使它分成一个锐角三角形和一个钝角三角形。 【练习13】按要求在图形内画一条线段。 两个直角三角形        一个锐角三角形和一个直角三角形 考点8：平面图形计数 【典型例题14】数一数，下图中共有( )个三角形。 【练习14】数一数。 _______个三角形       _______个三角形 【典型例题15】下图中有（    ）个正方形。 A．6个 B．8个 C．9个 【练习15】下列大长方形中有多少个长方形？    考点9：用三角尺拼角 【典型例题16】下面是用两个三角尺拼成的角分别是什么角？填一填。 ( )角          ( )角         ( )角 【练习16】下面用三角尺拼出的角分别是什么角？填一填。 ( )角   ( )角   ( )角 考点10：运用数形结合解决钟面上角的问题 【典型例题17】观察每个钟面，写出时针和分针所形成的角的名称。 ( )          ( )           ( ) 【练习17】下面各钟面上的分针和时针分别形成什么角？用线连一连。 一、选择题 1．下列图形中，（    ）图形是钝角。 A． B． C． D． 2．小张家的一块三角形玻璃被打碎成了3片，他要到玻璃店去配一块完全相同的玻璃，最省事的办法是拿第（    ）片去即可。 A．① B．② C．③ D．无法确定 3．下面是两副同样的三角尺，可以拼成长方形（非正方形）的是（    ），可以拼成正方形的是（    ）。 A．①和③；②和④ B．②和④；③和④ C．③和④；②和④ D．①和④；①和③ 4．下列时刻中，钟面上时针与分针所成的角为钝角的是（    ）。 A． B． C． D． 5．把一张如图所示的长方形的纸按虚线剪掉一个角后，还剩（    ）个角。 A．3 B．4 C．5 D．3或5 6．下列选项中，正确表示三角形按角分类的是（    ）。 A．B．C． D． 7．下面用三角尺拼出的角中，（    ）是锐角。 A． B． C． 二、填空题 8．五星红旗是中华人民共和国的象征，国旗表面的形状是( )，它有( )条边，4个直角。 9．数一数。 ( )个直角   ( )个钝角       ( )个锐角 10．下面钟面上的时针和分针所形成的角（较小的角）分别是什么角？填一填。 ( )      ( )    ( )      ( ) 11．观察下图，图中有( )个三角形，其中，直角三角形有( )个，钝角三角形有( )个。 12．下图中有( )个角，( )个三角形。（每个角都小于180度） 13．下面各图中分别有多少个正方形？                              ( )个    ( )个    ( )个    ( )个 三、判断题 14．角的大小与边的长短无关。( ) 15．3时30分，钟面上时针和分针所成的较小角是直角。( ) 16．所有三角形都至少有两个锐角。( ) 17．透过放大100倍的放大镜看一个锐角，可以变成一个钝角。( ) 18．正方形是特殊的长方形，所有四边形都是长方形。( ) 19．四边形有四条直边，四个角。( ) 四、作图题 20．按要求画一画。 (1)在下面左边的点子图上分别画出一个直角和一个钝角。 (2)在下面右边的点子图上按照提示画一个正方形和一个更小的锐角。 21．给下面的图形增加一条线段，使它满足以下条件。 五、解答题 22．下图中有多少个锐角？多少个直角？多少个钝角？ 23．下图是1路公交车的路线图，三明桥是起点站，四江口是终点站。相邻三个站的两条线段组成一个角。这张路线图上共有几个角？几个直角？几个锐角？几个钝角？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版·新教材三年级数学上册 第三单元：三角形与四边形（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：角的初步认识 1、认识角 （1）角是由一个顶点和两条直边组成的。比较两个角的大小时，将两个角的顶点和一条边重合，看哪个角的两条边叉开得大，那个角就大。 （2）角得大小与角得两条边的长短无关，与角的两条边张口的大小有关。角的两条边张口越大，角就越大；角的两条边张口越小，角就越小。 2、认识直角 （1）所有的直角大小都相等。直角可以用直角符号“┐”表示。 （2）用三角尺判断直角的方法： ①让角的顶点与三角尺上直角的顶点重合； ②角的一条边与三角尺上直角的一条边重合； ③若角的另一条边与三角尺上直角的另一条边重合，则这个角就是直角。 3、 角的分类 按角的大小可以把角分为三类，即锐角、直角和钝角。锐角比直角小，钝角比直角大。 【易错点】没有掌握角的大小与角的叉开程度有关 角的大小与边的长短无关，只与角的两条边叉开程度有关。 【易错点】没有掌握直角大小都一样的知识 无论物体大小，所有直角都一样大。 知识点02：三角形与四边形的初步认识 1、 辨别三角形、四边形及多边形 在同一平面内，由三条线段围成的封闭图形是三角形，由四条线段围成的封闭图形是四边形，由五条线段围成的封闭图形是五边形。 2、 认识长方形与正方形 ①长方形的对边相等，四个角都是直角； ②正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ③正方形是特殊的长方形； ④长方形和正方形都是四边形。 3、 三角形的分类 （1）一个三角形中有一个钝角即为钝角三角形，有一个直角即为直角三角形 （2）三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 【易错点】误认为三角形中有锐角就是锐角三角形 三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形。判断一个三角形是什么角的三角形，主要看三角形中最大的那个角是什么角，就是什么角的三角形。 考点1：认识角 【典型例题1】角是由一个( )和从这个点引出的两条( )组成的。 【答案】 顶点 射线 【分析】依据角的定义，角是由一个点和由这个点引出的两条射线所组成的图形，这个点叫作角的顶点，引出的这两条射线叫角的边。据此解答即可。 【详解】角是由一个顶点和从这个点引出的两条射线组成的。 【练习1】最早的“角”可能来自人们用绳子围地。虽然现在画角的工具变了，但角的本质没变它始终由一个( )和两条( )组成。 【答案】 顶点 边 【分析】根据角的定义，角是由一个顶点和两条边组成的几何图形。 【详解】最早的“角”可能来自人们用绳子围地。虽然现在画角的工具变了，但角的本质没变它始终由一个顶点和两条边组成。 【典型例题2】判断：延长角的两边，角的度数就变大了。( ) 【答案】× 【分析】角的度数是由两条边之间的夹角决定的，与边的长度无关。延长角的两边不会改变夹角的大小，因此角的度数不会变大。 【详解】延长角的两边只是增加了边的长度，并没有改变两条边之间的角度，所以角的度数不变。原说法错误。 故答案为：× 【练习2】判断：角的两条边叉开越大，角就越大。( ) 【答案】√ 【分析】由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。角的大小与边的长短无关，跟两边叉开的大小有关，叉开越大角的度数就越大；据此解答即可。 【详解】角的大小要看两条边夹角的大小，叉开越大角的度数就越大。 原题说法正确。 故答案为：√ 考点2：角的分类 【典型例题3】连一连。 【答案】见详解 【分析】用三角板上的直角当小尺子来比对。比直角大的，就是钝角。和直角一样大的，就是直角。比直角小的，就是锐角。然后把每个角和对应的名称连起来。 第一个角比直角大，连钝角；第二个角比直角小，连锐角；第三个角比直角大，连钝角；第四个角和直角一样大，连直角；第五个角比直角小，连锐角。 【详解】 【练习3】看图填序号，锐角有( )；直角有( )；钝角有( )。 【答案】 ①④ ③ ② 【分析】角是由一个顶点和两条边组成的。和数学书的角相同大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角，根据特征填写序号即可。 【详解】①是锐角； ②是钝角； ③是直角； ④是锐角； 所以锐角有①④；直角有③；钝角有②。 考点3：借助三角尺画角 【典型例题4】分别以下面的三个点为顶点，画一个锐角、直角和钝角。 【答案】 【分析】直角是90度角，大于90度且小于180度的角是钝角，小于90度的角是锐角。 锐角：从已知顶点出发画两条边，让两条边的开口小于直角的开口。比如：一条边向右，另一条边向右上方斜，两条边的夹角明显小于90度； 直角：利用网格的横竖线，从已知顶点出发，一条边水平向右，另一条边竖直向上，这样两条边的夹角就是标准的90度； 钝角：从已知顶点出发画两条边，让两条边的开口大于直角的开口。比如：一条边向右，另一条边向左上方斜，两条边的夹角明显大于90度且小于180度。（画法均不唯一） 【详解】略 【练习4】以方格纸上的点为顶点，按要求画角。 【答案】 【分析】由一个点引出两条直直的线所组成的图形是角，这个点是角的顶点，两条直直的线是角的边。和书本、黑板的角相同大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角，可由此画图。 【详解】根据分析，画图步骤如下： 直角三角形：先任选一个网格点作为三角形的顶点，然后过这个顶点分别沿网格线画两条射线； 锐角三角形：先任选一个网格点作为三角形的顶点，然后过这个顶点沿网格线画一条射线，再过这个点画另一条射线，注意要小于直角； 钝角三角形：先任选一个网格点作为三角形的顶点，然后过这个顶点沿网格线画一条射线，再过这个点画另一条射线，注意要大于直角； 图略 【典型例题5】下边的图形里有（    ）个角；请在图形里加画一条线段，使它增加2个直角。 【答案】4；图见详解 【分析】角是由1个顶点引出两条直直的线组成的图形，数一数角的数量，填空即可；在已知图形的左右两边各取一个中间的点，然后把这两个点用线段连接起来，这个图形就会增加2个直角；据此解决。 【详解】根据分析可得： 下边的图形里有4个角；请在图形里加画一条线段，使它增加2个直角。 （画法不唯一） 【练习5】给下面的图形添上一条线，使它们符合要求。               增加4个角                 增加2个直角            增加3个直角 【答案】见详解 【分析】三角形增加4个角：在三角形相邻两边上各选一点相连，可产生2个新顶点，每个顶点处形成2个新角，共增加4个角。 梯形增加2个直角：新线段需与上下底边平行，与高垂直，才能增加2个新的直角。 梯形增加3个直角：从上底右端点向下底画垂线段，与下底相交形成1个新顶点，该顶点处新增2个直角，右端点处新增1个直角，共增加3个直角。 【详解】 如图： 考点4：利用图示法、角的分类解决角的数量问题 【典型例题6】数一数下面图形有( )个角。 【答案】6 【分析】明确角的定义：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，所以只要从同一个顶点出发，任意两条射线都能组成一个角；图中从顶点出发共有4条射线，可以按角的组成大小来数：分为单个小角、由2个小角拼成的角、由3个小角拼成的角，最后将这三类角的数量相加即可。 【详解】先数单个的小角：相邻两条射线组成的角，共3个； 由2个小角拼成的角：间隔一条射线的两条射线组成的角，共2个； 由3个小角拼成的角：最外侧两条射线组成的最大角，共1个。 求和：3＋2＋1＝6（个） 即图形有6个角。 【练习6】下图中有（    ）个锐角。 A．9 B．10 C．15 D．8 【答案】A 【分析】根据角的意义，角由一个顶点和两条边组成，和书本、黑板的角相同大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角。可以用三角板的直角比较解答。图中从同一个顶点引出了5条线，两两相交会形成若干角。第一条线分别与第二、三、四、五条线组成4个角，第二条线分别与第三、四、五条线组成3个角，第三条线分别与第四、五条线组成2个角，第四条线与第五条线组成1个角，共有4＋3＋2＋1＝10（个）角，其中有1个直角，9个锐角。 【详解】根据分析可知： 4＋3＋2＋1＝10（个） 10－1＝9（个） 下图中有9个锐角。 故答案为：A 【典型例题7】下图中，一共有( )条线段，有( )个锐角、( )个直角和( )个钝角。 【答案】 7 2 4 4 【分析】线段是一条直直的线，且有两个端点；角是由一个点引出两条直直的线所组成的图形；上图是由一个长方形和一个四边形组成的，长方形的4个角都是直角，四边形上面两个角比直角小，是锐角，四边形下面两个角比直角大，是钝角，四边形上面两个锐角分别和长方形下面的两个直角组成钝角。 【详解】一共有7条线段，有2个锐角、4个直角和4个钝角。 【练习7】下图是用七巧板拼出的图形，数数看：图中有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【答案】 13 12 5 【分析】从一点引出两条直直的线所形成的图形叫做角。和书本同样大小的是直角，比直角小的是锐角，比直角大的是钝角。逐个计数即可。 【详解】如图：图中有13个直角，12个锐角，5个钝角。 考点5：辨别多边形 【典型例题8】下面图形中不是多边形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】多边形是由若干条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，所有的边都必须是直的线段，不能有曲线或圆弧。 【详解】A．图形中的圆形是由一个曲线围成的封闭图形，它的边是弯曲的，不是直的线段，圆形不是多边形。 B．图形五条边均为直线且五条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，是多边形。 C．图形三条边均为直线且三条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，是多边形。 【练习8】分一分。（填序号） ( )是四边形；( )是五边形；( )是六边形。 【答案】 ①③ ④ ② 【分析】由几条边组成的封闭图形则是几边形，据此填空即可。 【详解】①③是四边形；④是五边形；②是六边形。 考点6：认识正方形与长方形 【典型例题9】观察下面四块破损的玻璃，根据（    ）可以配出和原来一样的长方形玻璃。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的基本性质：长方形对边相等，要配出和原来一样的玻璃，必须能还原出原长方形的长和宽。 【详解】A．只保留了一条完整的边，无法确定长和宽。 B．没有保留完整的边，无法确定尺寸。 C．保留了长方形相邻的两条完整边（一条长、一条宽），可以配出和原来一样的长方形玻璃。 D．没有保留完整的长和宽，无法确定尺寸。 【练习9】下面每个信封都装了一个四边形。观察露出的部分，可能是正方形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形四条边都相等，四个角都是直角；长方形对边相等，四个角都是直角；依此即可选择。 【详解】A．露出的部分是一个直角，且相邻的边看起来长度可能相等，有可能满足正方形的条件； B．露出的图形中，长边明显比宽边长，是长方形，不是正方形； C．露出的角不是直角，一定不是正方形； D．左上角露出的角不是直角，一定不是正方形。 【典型例题10】长方形的四个角都是( )角，对边( )且( )，正方形的四条边都( )。 【答案】 直 相等 平行 相等 【详解】长方形的四个内角都是直角，对边互相平行且长度相等；正方形四条边的长度都相等，四个角也都是直角。 如图： 【练习10】正方形是长和( )相等的长方形。 【答案】宽 【分析】长方形的对边相等，四个角都是直角；正方形是四条边相等，四个角是直角的四边形。正方形是特殊的长方形，据此解决即可。 【详解】长方形的相邻两条边分别叫长和宽，当长和宽相等时，长方形就变成了正方形，因此说正方形是长和宽相等的长方形。 考点7：三角形的分类 【典型例题11】读一读，想一想。 如果我们根据一个三角形中最大的角的名称给这个三角形命名，如：①号三角形中最大的角为直角，那么这个三角形是直角三角形。则②号三角形是( )三角形，③号三角形是( )三角形。 【答案】 锐角 钝角 【分析】根据小于90度的角为锐角；等于90度的角为直角；大于90度且小于180度的角为钝角；据此解答。 【详解】②号三角形最大角为锐角，是锐角三角形； ③号三角形最大角为钝角，是钝角三角形； 所以，①号三角形中最大的角为直角，那么这个三角形是直角三角形。则②号三角形是（锐角）三角形，③号三角形是（钝角）三角形。 【练习11】分一分。（填序号） (1)锐角三角形有：( )。 (2)钝角三角形有：( )。 (3)直角三角形有：( )。 【答案】(1)①②④ (2)③⑦⑨ (3)⑤⑥⑧⑩ 【分析】根据三角形的分类：锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°）的三角形；直角三角形：有一个角是直角（90°）的三角形。 据此解答。 【详解】（1）根据分析可知： 锐角三角形有：①②④ （2）根据分析可知： 钝角三角形有：③⑦⑨ （3）根据分析可知： 直角三角形有：⑤⑥⑧⑩ 【典型例题12】图①、②、③是三个部分被遮挡的三角形，请分别写出它们各是什么三角形，（按角分类）图①( )，图②( )，图③( )。 【答案】 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 【分析】90度的角是直角，180度的角是平角，大于0度小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【详解】观察图①，露出的角开口很大，比直角大，比平角小，所以这个角是钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； 观察图②，露出的角有直角标记，这个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形； 观察图③，露出的两个角开口都比直角小，是锐角；延长被遮住的角的两条边，使之相交，得到第三个角，这个角的开口比直角小，也是锐角；3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【练习12】下面被遮住一部分的三角形分别可能是什么三角形？（按角分） ( )三角形      ( )三角形     ( )三角形 【答案】 直角 钝角 锐角 【分析】三角形按角分类的方法是：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；一个三角形最多只有1个直角或1个钝角，剩下两个一定是锐角。可以通过延长遮住的角的两条边补全三角形，据此即可判断。 【详解】①已经明确有1个直角，依据定义，该三角形一定是直角三角形。 ②露出的两个角是锐角，把两条斜边延长并相交，找到被遮住的角，即，观察可知，被遮住的角开口要大于直角，所以这个角是这个钝角，这个三角形是钝角三角形； ③露出的两个角是锐角，把两条斜边延长并相交，找到被遮住的角，即，观察可知，被遮住的角开口要小于直角，所以这个角是这个锐角，这个三角形是锐角三角形。 【典型例题13】（1）在图1三角形中画一条线段，使它分成两个直角三角形。 （2）在图2三角形中画一条线段，使它分成一个锐角三角形和一个钝角三角形。 【答案】 （图2画法不唯一） 【分析】（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形，在所给三角形中画一条线段，使其分成两个直角三角形，需要从最上面的顶点向对边作垂线即可。 （2）有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所有的角都是锐角的三角形是锐角三角形。因此可在直角三角形的直角的顶点向对边画一条线段，但这条线段不能是垂线，即可将其分成一个锐角三角形和一个钝角三角形。（画法不唯一） 【详解】（1）（2）略 【练习13】按要求在图形内画一条线段。 两个直角三角形        一个锐角三角形和一个直角三角形 【答案】（答案不唯一） 【分析】对于左边的三角形：从三角形的一个顶点（比如最上面的顶点）向对边作一条垂直的线段，这样就把原来的三角形分成了两个直角三角形。因为直角三角形的定义是有一个角为直角（90°）的三角形，作的垂直线段与对边形成直角，从而得到两个直角三角形。 对于右边的四边形：从四边形左上角的顶点向右下角的顶点画一条线段，这样就把四边形分成了一个锐角三角形（三个角都小于90°）和一个直角三角形（有一个角是90°）。 【详解】左边三角形从一个顶点向对边作垂线可分成两个直角三角形；右边四边形从左上角顶点向右下角的顶点画线段使其可分成一个锐角三角形和一个直角三角形。 画图略。 考点8：平面图形计数 【典型例题14】数一数，下图中共有( )个三角形。 【答案】24 【分析】数三角形的基本方法和数线段一样，都是看最小的基本三角形有多少个，再在此基础上推理。不看中间的横线，有（4＋3＋2＋1）个小三角形，再加一条横线，横线上方多了（4＋3＋2＋1）个小三角形，横线下方多了（1＋1＋1＋1）个小三角形，即共有三组三角形。 【详解】（4＋3＋2＋1）×2＋（1＋1＋1＋1） ＝（7＋2＋1）×2＋（2＋1＋1） ＝（9＋1）×2＋（3＋1） ＝10×2＋4 ＝20＋4 ＝24（个） 所以下图中共有24个三角形。 【练习14】数一数。 _______个三角形       _______个三角形 【答案】 13 12 【分析】左数第一个图三角形的总个数＝9个小三角形＋四个小三角形合成的一个稍大的三角形×3个＋整个大的三角形；第二个图三角形的总个数＝3个小三角形＋两个小三角形合成的一个稍大的三角形×5个＋三个小三角形合成的一个稍大的三角形×1个＋四个小三角形合成的一个稍大的三角形×2个＋整个大的三角形。 【详解】9＋3＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 3＋5＋1＋2＋1 ＝8＋1＋2＋1 ＝9＋2＋1 ＝11＋1 ＝12（个） 【典型例题15】下图中有（    ）个正方形。 A．6个 B．8个 C．9个 【答案】B 【分析】正方形的定义是：四条边都相等、四个角都是直角的四边形。假定图中每个小正方形的边长为1，我们按组成正方形的边长数量来分类数，避免重复或遗漏。 【详解】（1）边长为1的正方形，也就是图里最小的单个格子，一共：3×2＝6（个）。 （2）边长为2的正方形，由4个小正方形组成的正方形，在3行2列的格子里：横向可以放1个（因为只有2列，刚好放满）；纵向可以放2个（第1－2行、第2－3行）；所以一共：1×2＝2（个）。 （3）边长为3的正方形，要组成边长为3的正方形，需要3行×3列的格子，但题目里只有2列，所以不存在这样的正方形。 把不同大小的正方形数量加起来：6＋2＝8（个） 故有8个正方形。 【练习15】下列大长方形中有多少个长方形？    【答案】60个；30个 【分析】图一：每行有（4＋3＋2＋1）个长方形，每列有（3＋2＋1）个长方形，将大长方形长这边的长方形数量乘宽这边的长方形数量即可； 图二：每行有（2＋1）个长方形，每列有（4＋3＋2＋1）个长方形，将大长方形长这边的长方形数量乘宽这边的长方形数量即可；据此解答。 【详解】图一： （4＋3＋2＋1）×（3＋2＋1） ＝10×6 ＝60（个） 图二： （2＋1）×（4＋3＋2＋1） ＝3×10 ＝30（个） 答：图一大长方形中有60个长方形，图二大长方形中有30个长方形。 考点9：用三角尺拼角 【典型例题16】下面是用两个三角尺拼成的角分别是什么角？填一填。 ( )角          ( )角         ( )角 【答案】 钝 锐 直 【分析】三角板上最大的角就是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角，用三角板上的直角分别与图中拼成的角比较即可。 【详解】由分析可知： 第一个图：与直角比，比直角大，所以是钝角； 第二个图：用三角尺直角比，比直角小，所以是锐角； 第三个图：用三角尺直角比，和直角一样大，所以是直角。 【练习16】下面用三角尺拼出的角分别是什么角？填一填。 ( )角   ( )角   ( )角 【答案】 钝 直 锐 【分析】 三角尺中最大的角是直角，钝角是大于直角的角，锐角是小于直角的角，据此解题。 【详解】 考点10：运用数形结合解决钟面上角的问题 【典型例题17】观察每个钟面，写出时针和分针所形成的角的名称。 ( )          ( )          ( ) 【答案】 锐角 直角 钝角 【分析】要知道一个角是不是直角，可以用三角尺上的直角比一比。 观察题图可知，第一个钟面时针和分针所形成的角小于直角，是锐角；第二个钟面时针和分针所形成的角和直角一样大，是直角；第三个钟面时针和分针所形成的角要比直角大，是钝角。 【详解】 【练习17】下面各钟面上的分针和时针分别形成什么角？用线连一连。 【答案】见详解 【分析】根据和直角三角板中直角相同的角是直角，比直角更小的角是锐角，比直角更大的角是钝角，即锐角＜直角＜钝角。由此进行判断即可解答。 【详解】图一中形成的角和直角三角板中的直角相同，所以是直角； 图二中形成的角比直角三角板中的直角更小，所以是锐角； 图三中形成的角比直角三角板中的直角更大，所以是钝角； 图四中形成的角比直角三角板中的直角更大，所以是钝角； 图五中形成的角和直角三角板中的直角相同，所以是直角； 图六中形成的角比直角三角板中的直角更大，所以是钝角。 由此进行连线，可得如下图： 一、选择题 1．下列图形中，（    ）图形是钝角。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角板上最大的角就是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角。对照三角板上直角的大小判断即可。 【详解】 A. 比直角开口小，是锐角，不符合题意； B． 是直角，不符合题意； C． 比直角开口大，是钝角，符合题意； D． 比直角开口小，是锐角，不符合题意。 2．小张家的一块三角形玻璃被打碎成了3片，他要到玻璃店去配一块完全相同的玻璃，最省事的办法是拿第（    ）片去即可。 A．① B．② C．③ D．无法确定 【答案】C 【分析】分析每块碎片包含原三角形的几个角、几条完整的边；如果某块碎片保留的元素能推测出原三角形的角度和边的长度，那么拿该碎片即可确定原三角形。 【详解】第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，不能根据碎片推测出原三角形角的度数和边的长度，所以不能配一块与原来完全一样的。 第②块只保留了原三角形的部分边，不完整的两条边延长至相交可以推测出一个角，但不能根据碎片推测出原三角形角的度数和边的长度，所以不能配一块与原来完全一样的； 第③块不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了完整的一条边，不完整的两条边延长至相交可以推测出原三角形，可以配一块一样的玻璃。 3．下面是两副同样的三角尺，可以拼成长方形（非正方形）的是（    ），可以拼成正方形的是（    ）。 A．①和③；②和④ B．②和④；③和④ C．③和④；②和④ D．①和④；①和③ 【答案】A 【分析】长方形的对边长度相等．但邻边长度不一定相等，可以把三角尺的两条直角边看成长方形的一组邻边，发现①③可以拼成长方形；正方形的四条边长度都相等，②④的两条直角边长度相等，可组合成四条边都相等的正方形。 【详解】据分析：①③可以拼成长方形，②和④可以拼成正方形。 4．下列时刻中，钟面上时针与分针所成的角为钝角的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】钟面一圈是360°，被平均分成12大格，所以每个大格是30°。逐项分析每个选项中时刻的时针与分针所在位置计算出时针与分针夹角度数，再根据锐角小于90°、直角等于90°、钝角大于90°而小于180°、平角等于180°判断即可。 【详解】A．2：00时分针指向“12”，时针指向“2”，时针与分针之间有2个大格，即时针与分针所成的角是30°×2＝60°，是锐角，不符合题意； B．3：00时分针指向“12”，时针指向“3”，时针与分针之间有3个大格，即时针与分针所成的角是30°×3＝90°，是直角，不符合题意； C．4：00时分针指向“12”，时针指向“4”，时针与分针之间有4个大格，即时针与分针所成的角是30°×4＝120°，是钝角，符合题意； D．6：00时分针指向“12”，时针指向“6”，时针与分针之间有6个大格，即时针与分针所成的角是30°×6＝180°，是平角，不符合题意。 5．把一张如图所示的长方形的纸按虚线剪掉一个角后，还剩（    ）个角。 A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】C 【分析】按图中虚线裁剪，这条线连接长方形相邻两条边上的点（不经过顶点），剪掉一个角后，原来的个角消失，同时新增了个角。 【详解】 所以还剩个角。 6．下列选项中，正确表示三角形按角分类的是（    ）。 A．B．C． D． 【答案】B 【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且互不重叠，据此解答。 【详解】根据分析可知：三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且互不重叠。 故答案选：B 7．下面用三角尺拼出的角中，（    ）是锐角。 A． B． C． 【答案】A 【分析】三角板中有一个直角，两个锐角，用三角尺的直角进行比较，和直角重合则是直角，大于直角的是钝角，小于直角的是锐角。 【详解】 A．两个最小的锐角拼再一起，用三角尺的直角对比，小于直角，则是锐角，符合题意； B．用三角尺的直角比较，拼在一起的角大于直角，是钝角，不符合题意； C．直角和锐角拼在一起的角大于直角，是钝角，不符合题意。故答案为：A 二、填空题 8．五星红旗是中华人民共和国的象征，国旗表面的形状是( )，它有( )条边，4个直角。 【答案】 长方形 4 【分析】长方形有4条边，相对的两条边长度相等，有4个角，4个角都是直角。 【详解】国旗表面的形状具有长方形的特征，所以国旗表面的形状是长方形，它有4条边，4个直角。 9．数一数。 ( )个直角      ( )个钝角       ( )个锐角 【答案】 6 2 4 【分析】角由一个顶点和两条边组成，和书本、黑板的角相同大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角。三角尺上最大的角是直角，可由此比较解答。 【详解】 10．下面钟面上的时针和分针所形成的角（较小的角）分别是什么角？填一填。 ( )             ( )             ( )            ( ) 【答案】 直角 锐角 锐角 钝角 【分析】三角尺上最大的那个角是直角。锐角比直角小，钝角比直角大。据此解答。 【详解】 11．观察下图，图中有( )个三角形，其中，直角三角形有( )个，钝角三角形有( )个。 【答案】 8 4 2 【分析】在数有几个三角形时，要先数单个的三角形，然后再数由两个图形组合而成的三角形。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此解答。 【详解】由分析可知 图中有8个三角形，其中，直角三角形有4个，钝角三角形有2个。 12．下图中有( )个角，( )个三角形。（每个角都小于180度） 【答案】 12 6 【分析】以最上方为顶点的基本角有3个，由2个基本角组成的角有2个，由3个基本角组成的角有1个；底边上共4个点：左右两个端点各有1个角，两个中间分点各有2个角，底边上角的总数为6个；然后加起来就是一共有几个角。 基本三角形有3个，由2个基本三角形组成的三角形有2个，由3个基本三角形组成的三角形有1个，全部加起来就是一共有几个三角形。 【详解】由题意分析得： 角的数量：3＋2＋1＋6＝12（个）， 三角形的数量：3＋2＋1＝6（个）。 13．下面各图中分别有多少个正方形？                             ( )个   ( )个   ( )个   ( )个 【答案】 1 5 14 30 【分析】图①：只有1个正方形。 图②：小正方形有2×2＝4个，由4个小正方形组成的大正方形有1个，所以一共有4＋1＝5个正方形。 图③：边长为1的小正方形有3×3＝9个；边长为2（由2×2个小正方形组成）的正方形有2×2＝4个；边长为3（由3×3个小正方形组成）的大正方形有1×1＝1个。总数为9＋4＋1＝14个。 图④：边长为1的小正方形有4×4＝16个；边长为2（由2×2个小正方形组成）的正方形有3×3＝9个；边长为3（由3×3个小正方形组成）的正方形有2×2＝4个；边长为4（由4×4个小正方形组成）的大正方形有1×1＝1个。总数为16＋9＋4＋1＝30个。据此解答。 【详解】根据分析可知：                  1个       5个      14个       30个 三、判断题 14．角的大小与边的长短无关。( ) 【答案】√ 【详解】角是由一点引出的两条射线组成的图形，角的大小与边的长短无关，只与两边张开的大小有关，如下图，三个角的两边的长短都一样，但角的大小不等，两边张开得越大的，角就越大，原说法正确。 故答案为：√ 15．3时30分，钟面上时针和分针所成的较小角是直角。( ) 【答案】× 【分析】直角是90°的角，整个钟面被平均分成12个大格，每个大格对应的圆心角是30°，3个大格就是90°，观察3时30分时针和分针中间间隔几个大格即可。 【详解】3时30分，分针指向6，时针指向3和4的中间，时针和分针中间的间隔不够3个大格，所以两个指针所成的较小角是锐角。 故答案为：× 16．所有三角形都至少有两个锐角。( ) 【答案】√ 【分析】三角形三个内角相加的和是度，与直角三角尺上最大的角（直角）进行比较，比直角小的是锐角，一样大的是直角。比直角大的是钝角。 【详解】锐角三角形个角全都小于度，有个锐角； 直角三角形有个直角，剩下两个角加起来是度，这两个角都小于度，有个锐角； 钝角三角形有个钝角，剩下两个角相加小于度，这个角也都是锐角。 故答案为：√ 17．透过放大100倍的放大镜看一个锐角，可以变成一个钝角。( ) 【答案】× 【分析】角的大小与角两边叉开的大小有关，用放大镜看角，角的大小是不变的。 【详解】透过放大100倍的放大镜看一个锐角，角度不变，不可以变成一个钝角。 故答案为：× 18．正方形是特殊的长方形，所有四边形都是长方形。( ) 【答案】× 【分析】四边形：由四条线段首尾依次连接围成的封闭图形。 正方形：由四条线段首尾依次连接围成的封闭图形，且四条边都相等，四个角都是直角。长方形：由四条线段首尾依次连接围成的封闭图形，且对边都相等，四个角都是直角。所以说，正方形和长方形都是特殊的四边形。 【详解】由以上分析可知，正方形是特殊的长方形，所有四边形都是长方形。这种说法是错误的。 故答案为×。 19．四边形有四条直边，四个角。( ) 【答案】√ 【分析】根据四边形的定义，四边形是由四条线段（直边）首尾顺次连接组成的封闭图形，具有四条边和四个角。据此判断即可。 【详解】根据分析可知：“四边形有四条直边，四个角”这一说法是正确的。 故答案为：√ 四、作图题 20．按要求画一画。 (1)在下面左边的点子图上分别画出一个直角和一个钝角。 (2)在下面右边的点子图上按照提示画一个正方形和一个更小的锐角。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）直角：和三角尺上的直角大小完全一样。利用格子图的横竖线，选一个格子的顶点作为顶点；使用尺子沿水平格子线向右画一条线段；再使用尺子沿竖直格子线向上（或向下）画另一条线段；两条边形成的角就是直角，记得标上直角符号。 钝角：比三角尺上的直角大的角。选一个顶点；使用尺子画一条水平向右的线段；从顶点出发，向左上方（或左下方）使用尺子画另一条线段，让两条边的开口明显大于直角，就画出了一个钝角。 （2）正方形是方方正正的，有4条直直的边，每条边都相等；角的大小和两条边开口的大小有关，张开得越大角越大，张开得越小角越小。在原来锐角的两条边之间任选一点，从图中锐角的顶点引出一条过这点的射线，这条射线和原来的角任意一边所组成的角就是更小的锐角。 【详解】（1） （画法不唯一） （2） （锐角画法不唯一） 21．给下面的图形增加一条线段，使它满足以下条件。 【答案】 【解析】略 五、解答题 22．下图中有多少个锐角？多少个直角？多少个钝角？ 【答案】4个锐角，3个直角，2个钝角。 【分析】按照“先数单个小角，再数由相邻小角组合成的大角”的顺序，对照锐角、直角、钝角的定义逐一分类统计。 锐角：大于，小于的角；直角：等于的角；钝角：大于，小于的角。 【详解】 先把小角标出来，如图： 锐角有、、、，共4个角； 直角有组合成的角、组合成的角、组合成的角，共3个角； 钝角有组合成的大角、组合成的大角，共2个角。 答：有4个锐角，3个直角，2个钝角。 23．下图是1路公交车的路线图，三明桥是起点站，四江口是终点站。相邻三个站的两条线段组成一个角。这张路线图上共有几个角？几个直角？几个锐角？几个钝角？ 【答案】共有7个角；2个直角；1个锐角；4个钝角 【分析】直角是等于，锐角是大于小于，钝角是大于小于，据此解答。 【详解】 答：共有个角，个直角，个锐角，个钝角。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $