专题02 矩形的性质和判定问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-压轴提升”为主线，系统构建矩形性质与判定的解题方法体系，通过七类典型题型实现知识逻辑与解题能力的协同发展，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|通法总结+易错提醒|性质用“四直角/对角线相等”，判定证“平行四边形+直角/对角线相等”|从核心性质到判定定理，明确与菱形的区别| |七类题型|1典例+3变式/题型|分类讨论多解、函数建模坐标、作图推理判定等|融合勾股定理/全等/函数，形成“性质应用-判定证明-综合迁移”链条| |压轴挑战|选择+填空+解答题|动态问题分析、多结论推理、最值计算|对接中考命题趋势，提升复杂情境下的抽象与应用能力|

专题02 矩形的性质和判定问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用矩形的性质求角问题 题型二、矩形与函数图象综合问题 题型三、与矩形有关的多解问题 题型四、与矩形有关的多结论问题 题型五、与矩形有关的作图问题 题型六、利用矩形的性质证明的综合问题 题型七、矩形的性质和判定综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：围绕边角对角线设问，常与勾股定理、全等三角形、折叠问题结合，考查证明与线段计算。 - 解题方法：性质题用“四个直角”“对角线相等且互相平分”；判定题优先证“平行四边形+一个直角”或“三个直角”或“对角线相等的平行四边形”。 - 易错提醒：混淆矩形与菱形对角线性质（菱形垂直，矩形相等）；判定时忘证“平行四边形”前提；利用对角线计算面积时误用菱形公式。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用矩形的性质求角问题 典例1．（25-26八年级下·北京·期末）如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，可知，则，根据得到，可知． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：已知矩形边长、对角线或角度关系，求内角或对角线与边夹角，常结合直角三角形。 2.方法：利用矩形四个角为直角、对角线相等且互相平分，结合勾股定理或三角函数列方程求解。 变式1-1．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，于点E．若，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出对角线互相平分且相等，结合已知线段比例关系推导出为的中点，利用线段垂直平分线的性质证得，进而判定为等边三角形，求出对角线的长，再利用勾股定理求出的长，最后计算矩形面积即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 矩形的面积． 变式1-2．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】由菱形的性质得到，，结合，得到是等边三角形，因此，由作图可得是的垂直平分线，从而点E是的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由作图可得是的垂直平分线， ∴点E是的中点， ∵， ∴， ∴． 变式1-3．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________．    【答案】 【分析】根据题意设，由四边形是矩形，点是线段上一点，进而得，然后，由矩形的周长为8，得关于的方程，解方程可得的值，进而可求得点的坐标． 【详解】解：根据题意设， ∵四边形是矩形，点是线段上一点， ∴， ∵矩形的周长为8， ∴，即，解得， ∴， ∴点的坐标为． 题型二、矩形与函数图象综合问题 典例2．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在如图1的矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则的长是_______． 【答案】5 【分析】根据动点P的运动路径，分析的面积y随路程x的变化情况，结合函数图象读取数据计算即可． 【详解】解：由题意可知，当点P在上运动时，的面积y随x的增大而增大， 当时，面积开始保持不变，则此时点P运动到点C，即， 当时，面积开始减小，说明此时点P运动到点D，即， ． 题型模版 1.特征：矩形顶点在函数图象上，或图象经过矩形顶点，求解析式、顶点坐标或面积最值。 2.方法：设顶点坐标，利用矩形性质（对边平行且相等、四个直角）建立坐标关系，代入函数方程求解。 变式2-1．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值为___________． 【答案】3或13 【分析】根据函数图象可得且，由此求出，再分当点在上，当点在上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，且， ，解得， 四边形是长方形， ，， ①当点在上，时，，即， 解得， ②当点在上，时，，即， 解得， 此时， 综上所述，当时，对应的的值是3或13． 变式2-2．（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，矩形中，，点E在上，点F由点B出发沿方向运动到点D．设点F的运动路程为x，．图2是y随x变化的函数图象，由此可得______；______． 【答案】 【分析】由图2可知，当点F与点B重合时，，即，据此可得；当点F与点D重合时，，即；由矩形的性质得到，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由图2可知，当时，， ∴当点F与点B重合时，，即， ∵， ∴； 由图2可知，当时，， ∴当点F与点D重合时，，即； ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴，即． 变式2-3．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图1，在矩形中，动点P从点C出发，以的速度匀速运动，沿方向运动至点B处停止．设点P运动的时间为，的面积为，y关于x的函数图象如图2所示．则（1）______；（2）______． 【答案】 【分析】（1）结合图象，利用速度、时间和路程的关系求解； （2）结合图象求出长度，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）结合图象可得； （2）结合图象可得, ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得． 类型三、与矩形有关的多解问题 典例3．（黑龙江齐齐哈尔市建华区2025-2026学年度下学期期末学业考试八年级数学试题）在矩形中，，点在边上，，点在边上，若是等腰三角形，则的长为_____． 【答案】或或 【分析】画出图形，根据矩形及等腰三角形的性质分三种情况进行讨论解答． 【详解】解：在矩形中，，， ①当时，如图，过点E作于点F， 则，四边形是矩形， ∴， ， ． ， ． ②当时，如图， ， ， ． ③当时，如图，过点P作于点G，设， 则四边形是矩形， ∴， ， ， 在中，由勾股定理可得， 解得． 综上可知的长为或或． 题型模版 1.特征：矩形形状或位置不确定（如顶点顺序、边长关系未明确），导致多个满足条件的矩形。 2.方法：分类讨论（如直角顶点位置、对角线方向、边长大小顺序），按不同情况分别设未知数列方程求解。 变式3-1．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，．点为射线上的一个动点，将沿翻折，当点的对应点恰好落在直线上时，的长为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况：点E在上和点E在的延长线上，通过证明，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点E在上时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当点E在的延长线上时， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为2或8． 变式3-2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在矩形中，，，点E、F在直线上，且四边形为菱形，若线段的中点为M，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：点在的延长线上和点在的延长线上，分别画出示意图，根据矩形的性质和菱形的性质求解即可． 【详解】解：如图1所示，当点在的延长线上时， 四边形是矩形， ，，， 四边形为菱形， ， ∴， ， 是的中点， ， ； 如图2所示，当点在的延长线上时， 同理可得， 是的中点， ， ． 综上所述，线段的长为或． 变式3-3．（25-26八年级下·江西南昌·期末）在矩形中，，，边上有一点（点不与、重合），边上有一点（点不与、重合），且，当的长为整数时，的长为________． 【答案】2或或 【分析】设的长为，利用矩形性质构造直角三角形，结合勾股定理表示出的长度，根据为整数得到对应方程，求解后验证取值范围即可． 【详解】解：设，则， ∵点，不与端点重合， ∴， 如图所示，过作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，得， ∴，即， ∵的长为整数， ∴或， 当时，，解得，符合， ∴； 当时，，整理得，解得，两个解都满足，符合条件， ∴或； 综上，的长为或或． 题型四、与矩形有关的多结论问题 典例4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知，矩形中，，，点E是边上的一个动点，将线段绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论：①；②；③当点H和点G互相重合时，；④的最小值为；⑤的最大值为．正确的序号有__________． 【答案】①③④ 【分析】由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证，故①正确；由等腰直角三角形的三线合一和得，从而得到，故②错误；当点和点互相重合时，由是等腰直角三角形，是的中点，，可得，从而，故③正确；分别求出的最大值、最小值，故④正确，⑤错误． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 如图所示，设交于点T， 线段绕点逆时针旋转得到， ， 是的中点，， ， 又∵， ， 根据现有条件无法证明，即无法证明，故②错误； 当点和点互相重合时，如图， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， 是的中点，， ， ， ， ，故③正确； 当与重合时，最短，如图： ， 此时与都在上， 是等腰直角三角形，是的中点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为，故④正确； 当与重合时，最大，过作于，如图： ，， ， ，，， ， 设，则， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ， 的最大值为，故⑤错误； 综上所述，正确的有①③④。 题型模版 1.特征：题干给出多个关于边、角、对角线或面积的结论，需逐一判断正误，常结合勾股定理。 2.方法：运用矩形性质（四个直角、对边相等、对角线相等且互相平分）逐个推理论证，或举反例排除错误结论。 变式4-1．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点在线段上，过作于，于，点，分别是，的中点，若，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号） ①；    ②的最小值是；    ③的面积始终保持不变； ④当点不与点重合时，是等腰三角形． 【答案】①②④ 【分析】证明四边形是矩形，可得，可判断①；连接，根据矩形的性质可得当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长，可判断②；设，则，可得到的面积随x的变化而变化，可判断③；再由直角三角形的性质可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵点是的中点， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵点G是的中点，四边形是矩形， ∴点G，D，A三点共线， ∵点H是的中点，是等腰直角三角形， ∴，且， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴的面积为， ∴的面积随x的变化而变化，故③错误； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴当点不与点重合时，是等腰三角形，故④正确． 变式4-2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】过点作于点，由旋转的性质得：，证明和，根据全等三角形的性质逐一判定即可． 【详解】解：过点作于点， ， 在矩形中，， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，③正确； ，①正确； 设，则， ， ，②错误； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，则④错误； 综上，结论正确的有①③． 变式4-3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕；展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接、和，并延长交于点，点是中点，点是线段上一点，连接和．有如下结论：①是等边三角形；②四边形是菱形；③的值是；④的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的性质得出，根据第一次折叠得出，，，根据第二次折叠得出，，，，，，得出，，证出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可证明是等边三角形，则①正确；证明，结合，，即可证明四边形是菱形，故②正确；根据，，，求出，即可求出，故③正确；连接，，根据折叠的性质可得，得出当三点共线时，最小，即最小，最小值是的值，证明是等边三角形，根据点是中点，得出，，勾股定理求出，即可求出的最小值，故④正确； 【详解】解： 在矩形中，，， ∴， 第一次对折使与重合，折痕是矩形， ∴，，， 第二次折叠使落于， ∴，，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形，故①正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 连接，，， 根据折叠的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值是的值， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点是中点， ∴，， ∴， 即的最小值是，④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②③④． 题型五、与矩形有关的作图问题 典例5．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中． (1)尺规作图：在边上分别作点E，F，使，． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)3 【分析】（1）以点A为圆心，为半径画弧交于点E，作的角平分线交于点F即可； （2）连接，由作图和矩形的性质得到，，在中由勾股定理求出．得到．设，则．在中，由勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，， ∴在中，． ∴． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 解得． ∴． 题型模版 1.特征：在给定条件（如对角线长、邻边比、面积）下，用无刻度直尺和圆规按要求作出矩形。 2.方法：依据矩形判定（有三个直角、对角线相等且平分等）确定步骤，先作直角或对角线，再截取等长线段完成图形。 变式5-1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在直角梯形中，∥，． (1)请用尺规作图法在上找一点，连接，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，取、、、的中点分别为、、、，顺次连接、、、．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)解：尺规作图如下： (2)四边形是菱形，理由如下： 连接、． 、分别是、的中点， ， 同理：，，， ∵四边形是矩形， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）作线段，结合，可得四边形是平行四边形，结合，可得四边形是矩形. （2）连接、，结合三角形的中位线证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 变式5-2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是长方形，是对角线．请解答下列问题： (1)将绕点旋转后，点的对应点为，点的对应点为，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，与交于点G，求证：． 【答案】(1)解：如图所示： (2)证明：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，． 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）在线段上截取线段，使得，过点作，在射线上截取线段，使得，连接即可； （2）连接，证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 变式5-3．（25-26八年级下·上海青浦·期末）将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边交于点，与边交于点，点落在点处． (1)如图1，请在图中作出示意图（其中折痕请用直尺和圆规作出，并保留作图痕迹）； (2)在图1中，连接，求证：； (3)设，（如图2），当点与点重合时，求的长． 【答案】(1) (2)证明：连接，，如图所示： 根据折叠的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． (3) 【分析】（1）按照题意画图即可． （2）根据折叠的性质可得，，，，结合矩形和平行线的性质证明，进而可证． （3）根据折叠的性质可得，，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：按照题意画图，如图所示． （2）略 （3）解：当点与点重合时，如图所示： 根据折叠的性质可得，，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，即， 解得：， ． 题型六、利用矩形的性质证明的综合问题 典例6．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，过点O作，交于点F，过点B作的平行线交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． (2)24 【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证； （2）根据矩形的性质得出，利用勾股定理和三角形中位线定理求出和的长，从而求得三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵． ∴是的中位线， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：将矩形性质与三角形全等、相似、勾股定理或坐标系结合，进行逻辑推理与证明。 2.方法：从矩形性质（直角、对边平行且相等、对角线相等）出发，构建辅助线（如连对角线），通过全等或相似转化条件证明。 变式6-1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且． (1)当四边形是矩形时． ①求的度数； ②判断线段、和数量关系，并证明： (2)如图2，当时，若，，求的周长． 【答案】(1)①； ②，理由如下： 如图，连接，， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴，， 过作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质求解即可；②如图，连接，，过作交的延长线于，证明，，，进一步可得结论． （2）如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则，证明，可得，，记，的交点为，证明，设，则，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②略 （2）解：如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 记，的交点为， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴的周长为． 变式6-2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）在矩形中，连结，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． (1)如图1，当点恰好落在矩形的对角线上，点落在的延长线上时，求证：； (2)如图2，当点F落在的延长线上时，延长交线段于点G，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直线与线段的交点记为点，与直线的交点记为点，当，时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： 如图，连结， ∵四边形是矩形， ∴． 由旋转的性质，得， 则，，， ∴． 又∵， 在与中， ， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即； (3)或 【分析】（1）由矩形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而得到，再转化角度的关系求解即可； （2）先证明与全等，由此可得．再利用矩形的性质可得边的关系，由此可得数量关系； （3）设出未知数，分情况讨论，点H在线段上时，与点H在线段的延长线上时，两种情况，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：或． 如图1，当点H在线段上时，连接，，如图， 由，可得， 设，则， ∵， ∴，， 在中，， 又∵，， 在中，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 如图2，当点H在线段的延长线上时， 设，则， 同理可得，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 综上，线段的长度为或． 变式6-3．（2026·甘肃天水·中考真题）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 (1)如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 (2)如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 (3)如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，连接． 四边形为矩形， ∴， ，，， ∴， ， ∴， 即． ， ， 四边形为矩形， ，， ， ． (3)解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，． ， ． ， ． 由（2）同理可得，， ． ， ， ． 四边形为矩形， ， ， ． ， ． 【分析】（1）由平行线的性质得到．由得到，从而证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）连接．证明，得到，因此，从而，进而证明，即可得出． （3）延长至点，使得，连接，．由等边对等角得到，由得到，根据线段的和差得出，根据矩形的性质有，因此，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ． ， ， ． ，，， ， ． （2）略 （3）略 题型七、矩形的性质和判定综合问题 典例7．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积； 【答案】(1) 证明：∵为菱形对角线的交点， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据菱形的性质，得到，可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质，菱形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：需同时运用矩形性质（对角线相等、四个直角）与判定定理（三个直角或对角线平分且相等）解题。 2.方法：先由已知条件判定矩形，再借助其性质求边长、角度或面积；或先由性质得结论再反推判定依据。 变式7-1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在菱形中，， 又∵点E是的中点， ∴，是的中位线． ∴，即． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先根据菱形对角线互相平分、点是中点，判定为中位线，得到即，结合已知，证出四边形是平行四边形，再由得出一个内角是直角，进而证明该平行四边形为矩形． （2）利用菱形对角线互相垂直平分求出、长，通过勾股定理算出边长，再由三角形中位线性质求出，借助两种面积表达式用等面积法求出，最后用矩形邻边相乘求得四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∴． 由（1）知，四边形是矩形， ∴，． ∴， ∴． ∴四边形的面积为． 变式7-2．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知菱形中对角线、相交于点，点是线段的中点，过点作，交延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 四边形是菱形， ，， ，， ， ，即， 在中，， ， ． 点F为中点， 点O为中点， 为中位线， 且， 点F是中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． (2) 【分析】（1）连接，证明，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得四边形是矩形； （2）求得，则可得，再求得，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， 点F为中点， ． 在中，． 变式7-3．（25-26八年级下·上海松江·期末）如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F． (1)当点E落在边上时，求的长度； (2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形； (3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：如下图，连接， 由折叠可知，， ∴垂直平分，即， ∵G、H分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵G、J分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形； (3)存在，线段的长度为或 【分析】（1）首先根据矩形的性质可得，再由折叠可知，，在中，由勾股定理解得的长度，进而可得；设，则，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （2）连接，易得垂直平分，再根据三角形中位线的性质可得，进而证明四边形为平行四边形；再证明，即可证明结论； （3）分点在下方和点在上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴， 由折叠可知，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，可得， ∴，解得， ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论： 情况1，当点在下方时，如下图，连接， 由折叠可知，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在中，可得， ∴，解得， ∴线段的长度为； 情况2，当点在上方时，如下图，连接， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在中，可得， ∴，解得， ∴线段的长度为． 综上所述，线段的长度为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，连接、，，延长至点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形两对角线交于点O，由矩形的性质得，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：设矩形两对角线交于点O， 在矩形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，下列关于的叙述，正确的是（     ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是菱形 【答案】C 【分析】根据菱形的判定和性质一一判断即可得出答案． 【详解】解：．若，则是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意； ．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是菱形，故该选项不符合题意； ．若，则是矩形，说法正确，故该选项符合题意； ．∵， ∴，， ∵， ∴， 则是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意； 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为. 4．（25-26八年级下·青海西宁·期末）如图1，是矩形的对角线，点从矩形的顶点出发，沿的方向匀速运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为．随变化的函数图像如图2所示，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图像、结合图形求出、的值，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：∵动点从矩形的顶点出发，沿的方向匀速运动到点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， ∴， ∴， 函数图像上横轴表示点P运动的路程，当点P运动到点C时，， ， ， ， ， ∴根据勾股定理得． 5．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先根据矩形得到，，再结合得到是等边三角形， ，即可证明，得到，，再证明在的垂直平分线上，得到，可得是等边三角形，故①正确；由①可得也是等边三角形，，由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确；根据直角三角形的性质得到，，即可得到，故②正确；先得到，再根据，得到即可求出面积比． 【详解】解：四边形是矩形，为中点， ，， ∴， ， 是等边三角形， ， ，， ∵， ∴，，， 在和中，， ， ，，， ，， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵矩形中三点共线， ∴在的垂直平分线上， ， 结合，可得是等边三角形，故①正确； 由①可得也是等边三角形， ， ∴由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确； 是等边三角形， ， ∵，， ∴垂直平分，即， ∵ ∴， 在中，， ， ， ，即，故②正确； ∵，， ∴， ， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴ ∴，故④正确 综上，正确的结论是①②③④． 二、填空题 6．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在矩形中，于点．若，，则的长为__________． 【答案】 1 【分析】利用矩形的对角线相等且互相平分求出的长，再利用含角的直角三角形的性质求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ． 7．（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，在矩形中，对角线、交点为O，过点O作的垂线交于点E，若，，则长是___________． 【答案】 【分析】连接，在矩形中，依据，，可得垂直平分，进而得出，在中，根据勾股定理即可得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 8．（2026·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，分别以B，C两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点P，则点P到所在直线的距离为_____． 【答案】 【分析】连接，过作，延长交于点，如图，根据题意可得，，可得为线段的中点，根据勾股定理求得的长度，即可求解． 【详解】解：连接，过作，延长交于点，如图， 由题意可得，四边形为矩形，， 则，为线段的中点，即， 线段的长为点P到所在直线的距离， 由勾股定理可得，， ∴， 则点P到所在直线的距离为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，作出辅助线，构造出直角三角形． 9．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．当为等腰三角形时，线段的长为________． 【答案】或 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，过点作于点，如图： 则四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点在上， 设，则， ∴， 由勾股定理得， ∴，此方程无解，故此情形不存在； 当时， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当时，过点作于点， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 10．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，是的中点，是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在处，当时，的长为______． 【答案】 或 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，由中点定义得出的长，根据折叠的性质和平行线的性质证得，从而得出，进而判定四边形为菱形，过点作于点，利用三角形中位线定理求出和的长，分点在点右侧和点在点左侧两种情况，利用勾股定理求出的长，最后利用菱形的面积公式求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ，由折叠可得，， ，即， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，过点作于点， 点是的中点，， 是的中位线， ，，当点在点右侧时，如图所示， ，在中，， ， ，解得，当点在点左侧时，如图所示， ，在中，， ， ，解得， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，点是线段的中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， ， 平行四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先根据两组对边平行判定四边形是平行四边形，再结合，有一个角是直角的平行四边形为矩形完成证明． （2）先求出，由勾股定理算出，再借助三角形面积法，求出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ∴在中，， ∵四边形是矩形， ，， ， 即， ． 12．（25-26八年级下·广西贵港·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，过点A作，且，连接、，与相交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， 又 平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，，即，结合题意得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合，即可得证； （2）由矩形的性质可得，再证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：平行四边形是矩形， 与相等且互相平分，则， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴ 在中，， ． 13．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）已知为矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点O，交于点E，交于点F，连接、； (2)求证：四边形为菱形； (3)求菱形的边长及长． 【答案】(1)如图， (2)证明：由作图得，垂直平分， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； (3)菱形的边长为， 【分析】（1）利用尺规作垂直平分线的方法作图即可； （2）首先利用垂直平分线的性质得到，，，然后证明，得到，然后结合，即可得到四边形为菱形； （3）设，则，利用勾股定理求出；求出，然后利用等面积法求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴，即菱形的边长为； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使得点落在上，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，如果，求的长． (3)如图3，连接交于点，取的中点，连接，探究和的数量关系，说明理由； 【答案】(1)证明：∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴，， ∴，， ∴，即． (2) (3)解：，理由如下， 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）可知，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【分析】（1）根据矩形及旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，即可得出结论； （2）过点作于，根据角的和差关系，结合（1）中结论得出，进而证明，得出，利用勾股定理求出，利用证明，得出，，利用勾股定理求出，即可得出答案； （3）根据矩形的性质得出，根据点是的中点，结合（2）中结论得出是的中位线，根据中位线的性质即可得出． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴ （3）解：略 15．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图1，矩形的对角线、相交于点，且、，连接． (1)求证：与互相垂直且平分； (2)如图2，若取的中点，连接交于点，求证：； (3)如图3，过点作射线分别交，的延长线于点，，连接，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵、， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵、是菱形的两条对角线， ∴与互相垂直且平分； (2)证明：设与交于点， 可知，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵P是中点，O是中点， ∴， 即 ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，可知平行四边形是菱形，根据菱形的性质即可证明； （2）设与交于点，根据菱形的性质可知，，，根据矩形的性质得到，可知，得到，根据中位线定理求出，进而得到，证明，即可证明； （3）设，根据矩形的性质得到，可知直线到直线的距离等于矩形的水平边长，根据三角形面积公式得到，即可求出的面积． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，设， ∵矩形， ∴， ∴直线到直线的距离等于矩形的水平边长， ∵，， ∴， 即， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2矩形的性质和判定问题的七类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、利用矩形的性质求角问题 题型二、矩形与函数图像综合问题 题型三、与矩形有关的多解问题 题型四、与矩形有关的多结论问题 题型五、与矩形有关的作图问题 题型六、利用矩形的性质证明的综合问题 题型七、矩形的性质和判定综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：围绕边角对角线设问，常与勾股定理、全等三角形、折叠问题结合，考查证明与线段计算。 -解题方法：性质题用“四个直角”“对角线相等且互相平分”；判定题优先证“平行四边形+一个直角” 或“三个直角”或“对角线相等的平行四边形”。 -易错提醒：混淆矩形与菱形对角线性质（菱形垂直，矩形相等）；判定时忘证“平行四边形”前提；利 用对角线计算面积时误用菱形公式。 夙题型归纳一精讲央型题法，夺夫解题报基 题型一、利用矩形的性质求角问题 典例1，(25-26八年级下北京期末)如图，点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若 AC=2BE,∠ACB=75°，则∠E=°. 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 题型模版 1特征：已知矩形边长、对角线或角度关系，求内角或对角线与边夹角，常结合直角三角形。 2方法：利用矩形四个角为直角、对角线相等且互相平分，结合勾股定理或三角函数列方程求解。 变式1-1.(2026宁夏吴忠·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,对角线AC和BD相交于点O, AE⊥BD于点E.若BE:ED=1:3,则矩形ABCD的面积为 D 变式1-2.(25-26八年级下·甘肃白银期末)菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,分别以点B,C 为圆心、大于2BC的长为半径作弧，两弧分别交于点M,N,作直线MN交BC于点E,连接OB:若 ∠ABC=60°，AC=8,则OE的长为 度赋13.(226八年级下广东尾期未)如图、在平面直角华标系中，百线=+3与，热、)抽 分别交于点A,B,点P是线段AB上一点，过点P作PCLx轴于点C,PD1y轴于点D.若矩形 OCPD的周长为8，则点P的坐标为 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D ◇ 题型二、矩形与函数图象综合问题 典例2. (25-26八年级下·辽宁大连·期末)在如图1的矩形ABCD中，动点P从B点出发，沿BC,CD,DA 运动至点A停止，设P点运动的路程为x,△ABP的面积y,且x与y的关系如图2所示，则CD的长是 D D 0 图1 图2 题型模版 1特征：矩形顶点在函数图象上，或图象经过矩形顶点，求解析式、顶点坐标或面积最值。 2方法：设顶点坐标，利用矩形性质（对边平行且相等、四个直角）建立坐标关系，代入函数方程求解。 变式2-1.(25-26七年级下四川成都期末)如图1，在长方形ABCD中，动点P从点A出发，沿 AB-BC-CD运动，至点D处停止.点P运动的路程为x,△ADP的面积为y,且y与x之间满足的关系 如图2所示，则当y=6时，对应的x的值为 6 图1 图2 变式2-2.(25-26八年级下重庆期末)如图1，矩形ABCD中，AB=12,点E在BC上，点F由点B出 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 发沿B→E→D方向运动到点D.设点F的运动路程为x,y=FA+FE.图2是y随x变化的函数图象， 由此可得BE=一； n= 27----------- D 21A mF-- n 图1 图2 变式2-3.(25-26八年级下湖北孝感期末)如图1，在矩形ABCD中，动点P从点C出发，以2cms的速 度匀速运动，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止.设点P运动的时间为xS,△BCP的面积为 y/cm2 y关于x的函数图象如图2所示.则()CD= cm:(2)4C= cm ◆/cm2 r/s 图1 图2 类型三、与矩形有关的多解问题 典例3.（黑龙江齐齐哈尔市建华区2025-2026学年度下学期期末学业考试八年级数学试题）在矩形 ABCD中，AB=3,BC=6,点E在BC边上，BE=1,点P在AD边上，若△AEP是等腰三角形，则DP的 长为 题型模版 1.特征：矩形形状或位置不确定（如顶点顺序、边长关系未明确），导致多个满足条件的矩形。 2方法：分类讨论（如直角顶点位置、对角线方向、边长大小顺序），按不同情况分别设未知数列方程求 解。 变式3-1.(25-26八年级下·河南南阳期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,点E为射线AD 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上的一个动点，将△ABE沿BE翻折，当点A的对应点A恰好落在直线CE上时，AE的长为 变式3-2.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)在矩形ABCD中，AD=10,AB=8,点E、F在直线 AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为M,则线段AM的长为 变式3-3.(25-26八年级下·江西南昌期末)在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,边AB上有一点P(点 P不与A、B重合)，边CD上有一点Q(点Q不与C、D重合)，且AP=CO,当P巴的长为整数时， AP的长为 题型四、与矩形有关的多结论问题 典例4.(25-26八年级下·吉林长春期末)已知，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E是边AB上的一 个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF,过F作FGLCD于点G,连接EF,取EF中点H, 连接DH,AH.点E在运动过程中，下列结论：①△ADE≌aGDF;②∠GFH=∠ADE;③当点H和点G 互相重合时， v2 ME=6,④H的最小值为35，⑥H的最大值为 正确的序号有 题型模版 1.特征：题干给出多个关于边、角、对角线或面积的结论，需逐一判断正误，常结合勾股定理。 2方法：运用矩形性质（四个直角、对边相等、对角线相等且互相平分）逐个推理论证，或举反例排除错 误结论。 变式41.(2425八年级下·福建福州期中)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D在线段BC 上，过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,点G,H分别是EF,BC的中点，若AB=4,则下列结论正 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 确的是 (写出所有正确结论的序号) DG-EF ②EF的最小值是22： ③ADEF的面积始终保持不变： ④当D点不与H点重合时，△DGH是等腰三角形. G B H 变式42.(25-26八年级下·广东广州期中)如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩 形EFGC,且点E落在AD上，连接BE,BG，BG交CE于点H,连接FH,若FH平分∠EFG,则下列 结论正确的是」 ①AE+CH=EH:②∠DEC=3∠ABE:③BH=HG:④CE=2AB. G H B 变式43.(25-26八年级下黑龙江哈尔滨期末)如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=6,对折矩形纸 片ABCD,使AD与BC重合，折痕MN;展平后再过点A折叠矩形纸片，使点B落在MN上的点F，折痕 AE与MN相交于点K;再次展平，连接BK、AF和EF,并延长EF交AD于点G,点Q是AF中点，点 P是线段AE上一点，连接PF和PO.有如下结论：①△AEG是等边三角形：②四边形KBEF是菱形：③ KF 23 FP+OP W5 的值是 :④ 的最小值是 上述结论中，所有正确结论的序号是 G D F M B 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、与矩形有关的作图问题 典例5.(2026河南平顶山三模)如图，在矩形ABCD中. B (I)尺规作图：在边CD,BC上分别作点E,F,使AE=AB,BF=EF (②)在(1)的条件下，若AB=10,BC=8,求CF的长. 题型模版 1.特征：在给定条件（如对角线长、邻边比、面积）下，用无刻度直尺和圆规按要求作出矩形。 2方法：依据矩形判定（有三个直角、对角线相等且平分等）确定步骤，先作直角或对角线，再截取等长 线段完成图形。 变式5-1.(25-26八年级下·河北秦皇岛期末)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°。 B (I)请用尺规作图法在BC上找一点E,连接DE,使得四边形ABED为矩形.（保留作图痕迹，不写作 法) (2)在(1)的基础上，取AB、BE、DE、DA的中点分别为M、N、P、O,顺次连接M、N、P、 请判断四边形MNPO的形状，并说明理由. 变式5-2.(25-26八年级下·山东烟台期末)如图，四边形ABCD是长方形，AC是对角线.请解答下列 问题： 7/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为E,点C的对应点为F,且点E在线段AC上，请用尺规作出 旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (②)在(1)的条件下，若AC=2AB,EF与AD交于点G,求证：GE=GD, 变式5-3.(25-26八年级下·上海青浦期末)将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上的点B处，折 痕与AD边交于点E,与BC边交于点F,点A落在点A处， 小 D D B 图1 图2 (I)如图1，请在图中作出示意图（其中折痕EF请用直尺和圆规作出，并保留作图痕迹）； (2)在图1中，连接BE,求证：BE=BF: (3)设AB=2,BC=5(如图2)，当点B与点D重合时，求AE的长 题型六、利用矩形的性质证明的综合问题 典例6.(25-26八年级下·内蒙古乌兰察布期末)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点 O作OF∥BC,交CD于点F,过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E,连接OE. D (I)求证：BD=BE: (2)若BE=10,CE=6,求△ODE的面积. 题型模版 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：将矩形性质与三角形全等、相似、勾股定理或坐标系结合，进行逻辑推理与证明。 2方法：从矩形性质（直角、对边平行且相等、对角线相等）出发，构建辅助线（如连对角线），通过全 等或相似转化条件证明。 变式6-1.(25-26八年级下辽宁大连期末)口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O作AC的垂 线交AB于点卫，点卫是Op的延长线上一点且∠QBP+)∠ABC=90°】 2 图1 图2 (I)当四边形ABCD是矩形时. ①求∠QBP的度数： ②判断线段BA、BC和BQ数量关系，并证明： ②如图2.当∠A8C=60时，若0=1,00= 2,求ABCD的周长， 变式6-2.(25-26八年级下·浙江宁波期末)在矩形ABCD中，连结AC,将△ABC绕点A逆时针旋转得到 △AEF,点B,C的对应点分别为点E,F. B 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，当点E恰好落在矩形ABCD的对角线AC上，点F落在CD的延长线上时，求证：AF=CF: (2)如图2，当点F落在AD的延长线上时，延长FE交线段BC于点G,请判断DF与GE的数量关系，并说 明理由； (③)咖图3，直线Ep与线段BC的交点记为点G,与直线CD的交点记为点H当D1-DC=2,BC-8 3 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时，请直接写出线段BG的长度. 变式6-3.(2026甘肃天水·中考真题)在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下 面是部分探究内容，请你思考并解答， B B 图1 图2 图3 【初步尝试】 (I)如图1，在△ABC中，AB=AC,过点B作BO∥AC,B0=2,连接A0.点P在线段AB上，满足 ∠BPC=∠CAQ,求AP的长， 【类比探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P,Q分别是线段 AB BE AP=BQ,∠BPC=∠BCD CD OE 上的动点（不含端点）， .当 时，用等式表示出和的数量关系， 并说明理由。 【拓展迁移】 (③)如图3，在矩形AEBD中，P，Q分别是线段AB,BE上的动点（不含端点），AP=BO.当 ∠EA0=)∠DMP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并说明理由. 题型七、矩形的性质和判定综合问题 典例7.(25-26八年级下辽宁葫芦岛期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点 C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，两直线相交于点E 10/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：四边形OBEC是矩形： BE=42 CE=3 ABCD (2)若 ,求菱形 的面积： 题型模版 1特征：需同时运用矩形性质（对角线相等、四个直角）与判定定理（三个直角或对角线平分且相等）解 题。 2方法：先由己知条件判定矩形，再借助其性质求边长、角度或面积；或先由性质得结论再反推判定依据。 变式7-1.(25-26八年级下·安徽合肥期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是 AD的中点，点F,G在AB上，EF⊥AB,OG∥EF. D E B ()求证：四边形OEFG是矩形： (2)若AC=4,BD=3,求四边形OEFG的面积. 变式7-2.(25-26八年级下辽宁营口期末)已知菱形ABCD中对角线4C、BD相交于点O,点F是线段 OC的中点，过点D作DE⊥BD,交BF延长线于点E,连接CE、DE. 11/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E (I)求证：四边形OCED是矩形， (2) S支形cm=24,4C=8,求BF的长. 变式7-3.(25-26八年级下上海松江期末)如图1，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,点P是边AD 上一动点，连接BP,将△ABP沿BP翻折，点A落在点E处，直线BE与直线CD交于点F. A D G 图1 图2 备用图 (I)当点E落在CD边上时，求AP的长度： (2)如图2，在四边形ABEP中，G、H、I、J分别是边AB、BE、EP、PA的中点，求证：四边形GHI是 个矩形： (3)点P在边AD上运动过程中，是否存在线段AP与线段DF相等的情况？若存在，请直接写出线段AP的 长度：若不存在，请说明理由 ◆◆ 同压轴挑战一女克高障压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(25-26八年级下·陕西商洛·期末)如图，在矩形ABCD中，连接BD、AC,∠ADB=40°，延长BC至 点E,使得CE=BD,连接AE,则∠E的度数为() 12/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.20° B.25 C.30° D.35° 2.(25-26八年级下·安徽蚌埠·期末)如图，下列关于口ABCD的叙述，正确的是() D C O B A.若∠ABC=90°，则ABCD是菱形B.若∠ABD=∠CBD，,则ABCD是矩形 C.若AC=BD,则ABCD是矩形 D.若OB=OC,则口ABCD是菱形 3.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,点P为斜边 AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为() B A.4.8 B.2.4 C.6 D.5 4.(25-26八年级下·青海西宁·期末)如图1，AC是矩形ABCD的对角线，点P从矩形的顶点A出发，沿 1→D→C的方向匀速运动到点C停止.设点P的运动路程为 cm△BC 的面积为'em.'随安化 的函数图像如图2所示，则AC的长是() Ay/cm2 A D 6 7 /cm 图1 图2 A 3v2 cm B 5cm C.52 em √39cm D 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下·湖南邵阳期末)如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、 CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=6O°，FO=FC,下列四个结论中 正确的是() ①DEr为等边=三角形@FPM=}M, ③四边形DFBE是菱形：④ △40E:SABCM=2:3 A.①② B.①②③ C.①③ D.①②③④ 二、填空题 6.(25-26八年级下湖南岳阳期末)如图，在矩形ABCD中，OE⊥BC于点E.若AC=4, ∠DBC=30°，则OE的长为 D E 7.(25-26八年级下山东德州期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交点为O,过点O作BD 的垂线OE交BC于点E,若AB=3,BC=5,则EC长是 D 8.(2026四川成都中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,分别以B,C两点为圆心，以 AB的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD内部交于点P,则点P到AD所在直线的距离为一 14/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D XP 9.(25-26八年级下·上海黄浦期未)已知：在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E、G分别在边BC、 CD上，EG⊥AE.将△EGC沿直线EG翻折得△EGF,连接AF,当△AEF为等腰三角形时，线段BE的 长为 G E 10.(25-26八年级下·江苏南京期末)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E是AC的中点，F是 直线AB上一点，将△AEF沿EF所在的直线翻折，点A落在A处，当A'E∥AF时，AA'的长为一· E D 三、解答题 1L.(25-26八年级下湖南邵阳·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D是线段BC的中点，CE‖AD, EA⊥AD,EF⊥AC,垂足为点F, E F D (I)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若AD=8,BC=12,求EF的长. 15/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26八年级下·广西贵港期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点A作 MB∥DB:且4E=2DB,连接DE>EOEO与AD相交于点R, D B (I)求证：四边形AODE是矩形： (2)若AB=8,∠AF0=120°，求四边形AODE的面积. 13.(25-26八年级下·河北秦皇岛期末)已知BD为矩形ABCD的对角线，AB=6,BC=8. (I)尺规作图：作BD的垂直平分线交BD于点O,交AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF: (2)求证：四边形EBFD为菱形： (3)求菱形EBFD的边长及EF长. 14.(25-26八年级下·福建泉州：期末)如图1，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG, 使得点E落在CD上，连接BE. R 图1 图2 图3 (I)求证：∠BAE=2∠CBE: (2)如图2，连接BG交AE于点H,如果AB=5,BC=3,求BG的长. (③)如图3，连接BG交AE于点H,取BE的中点I,连接Ⅲ，AF,探究HⅢ和AF的数量关系，说明理由： 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26八年级下辽宁盘锦期末)如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且DE‖AC、 CE∥BD,连接OE. G E B 图1 图2 图3 (I)求证：CD与OE互相垂直且平分： (2②)如图2，若取AD的中点M,连接ME交CD于点N,求证：MN=NE: (3)如图3，过点E作射线分别交CD,BA的延长线于点F,G,连接DG,△DEF的面积为2，求aDFG 的面积. 17/17