4.2.1　指数函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数概念、解析式及指数型函数模型应用，通过“思考底数规定原因”“明辨是非辨析题”等环节导入，衔接函数概念基础，为后续性质学习搭建理解支架。 其亮点在于以数学抽象为核心（如概念辨析典例），结合数学建模（核污染物衰减、细胞分裂实例），通过“解题有招”总结方法培养数学思维。学生能提升抽象与建模能力，教师可借助结构化资源高效教学。

4.2　指数函数 4.2.1　指数函数的概念 【学习目标】 1.理解指数函数的概念.(数学抽象) 2.会求指数函数的解析式.(数学运算) 3.能从实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用.(数学建模) 一、指数函数 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是_______,定义域是__. [思考] 1.为什么指数函数的底数规定a>0,且a≠1? 提示:(1)如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,ax无意义. (2)如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于x=,,…,该函数无意义. (3)如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值. 为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1. 自变量 R 二、指数增长模型 设原有量为N,每次的增长率为__,经过x次增长,该量增长到y,则y=________ (x∈N). 形如y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化 规律的函数模型. [思考] 2.如果原有量为N,每次的衰减率为p,经过x次衰减,该量衰减到y的解析式如 何表示? 提示:y=N(1-p)x. p N(1+p)x 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)y=x5(x>0,且x≠1)是指数函数.( ) 提示:y=x5是幂函数. (2)y=(-2)x是指数函数.( ) 提示:指数函数的底数不能为负数. (3)指数函数的定义域为(0,+∞).( ) 提示:指数函数的定义域为R. (4)y=()x是指数衰减型函数模型.( ) × × × √ 类型1 指数函数的概念(数学抽象) 【典例1】(类题·节节高) (1)下列是指数函数的是(　　) A.y=x2 B.y=4x2 C.y=xx D.y=(a-1)x(a>1,且a≠2) 【解析】选D.指数函数是指形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数,只有选项D满足条件. √ (2)若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有 (　　) A.a=2 B.a=3 C.a=2或a=3 D.a>2,且a≠3 【解析】选A.因为y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数, 所以a2-5a+7=1,a2-5a+6=0, (a-2)(a-3)=0,且4-2a=0,所以a=2. √ 【解题有招】 1.指数函数解析式的三个特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数; (2)指数位置是自变量x; (3)ax的系数是1. 2.求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件. 【即学即练】 1.下列函数中是指数函数的是(　　) A.y=()x+1 B.y=2×3x C.y=3x-1 D.y=42x 【解析】选D.函数y=42x=16x是指数函数,其他三个都不是. √ 2.若函数y=(k+2)ax+2-b(a>0,且a≠1)是指数函数,则k=　　　,b=　　　.  【解析】根据指数函数的定义,得解得 答案:-1　2 类型2 指数函数解析式的应用(逻辑推理) 【典例2】(1)已知函数f(x)=ax,a>0且a≠1,若f()=,则f(2)=(　　) A.　 B.　 C.10　 D.100 【解析】选A.依题意,由f()=,得, 所以f(2)=a2=. √ (2)若函数f(x)=(2a-15)·ax是指数函数,则f()的值为(　　) A.2 B.3 C. D.4 【解析】选A.因为函数f(x)=(2a-15)·ax是指数函数, 所以(2a-15)=1且a>0且a≠1,解得a=8, 所以f(x)=8x,所以f()==2. √ 【解题有招】 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0,且a≠1). (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式. 提醒:要注意指数函数与幂函数解析式的区别. 【即学即练】 若函数f(x)=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则f()=　　　　　.  【解析】因为函数f(x)=(2a2-3a+2)ax是指数函数, 所以2a2-3a+2=1,a>0,且a≠1, 解得a=或a=1(舍去).所以f(x)=()x,故f()=(. 答案: 类型3 指数型函数模型的实际应用(数学建模) 【典例3】(1)据报道,某淡水湖的湖水量在50年内减少了10%,若按此规律,设2025年的湖水量为m,从2025年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系式为　　　　　.  【解析】设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0., 所以经过x年后的湖水量y=0.m. 答案:y=0.m (2)(2026·温州高一检测)1986年4月26日,乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸,核泄漏导致事故所在地被严重污染.主要的核污染物是锶90,它每年的衰减率为2.47%.专家估计,要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年.到2025年4月26日,原有的锶90还剩 (　　) (参考数据:0.975 339≈0.377 0,0.975 340≈0.367 7) A.37.70%　 B.62.30% C.36.77%　 D.63.23% 【解析】选A.设n年后的锶90的剩余含量为f(n),则f(n)=(1-2.47%)n=0.975 3n, 从1986年4月26日到2025年4月26日,经过39年,所以f(39)=0.975 339≈0.377 0, 所以原有的锶90还剩37.70%. √ 【解题有招】 关于函数y=kax在实际问题中的应用 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义:增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率. (2)主要用待定系数法求解,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题. 【即学即练】 1.在一个给定的单位时间内,放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的95.27%,设质量为1的该物质经过x年后的剩余量为y,则y与x的函数关系式是(　　) A.y=0.952 750x　 B.y= C.y=0.952 7x　 D.y=()x 【解析】选B.设该物质年衰减率为t,原质量为1,则1年后剩余质量为(1-t)1; 2年后剩余质量为(1-t)2,…,50年后剩余质量为(1-t)50=0.952 7, 即1-t=,则y与x的函数关系式是y=(1-t)x=. √ 2.某种细胞在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),则这种细胞由1个分裂成4 096个需经过　　　　　小时.  【解析】因为1个细胞分裂一次时变为21个细胞, 分裂2次时变为2×2=22个细胞,分裂3次时变为2×2×2=23个细胞…… 所以当分裂n次时变为2n个细胞,故可得出2n=4 096.因为212=4 096,所以n=12, 因为细胞15分钟分裂一次, 所以细胞分裂12次所需的时间为12×15=180(分钟)=3(小时). 故这种细胞由1个分裂成4 096个需经过3小时. 答案:3 $