专题 22电磁感应+电容电路 讲义-2026-2027学年高三物理暑期能力提升

高三物理暑期能力提升 专题22 电磁感应+电容电路 【方法解读】 1、 无外力充电式 基本模型 规律 (导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C) 电路特点 导体棒相当于电源，电容器充电 电流特点 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I=，电容器充电UC变大，当BLv=UC时，I=0，F安=0，棒匀速运动 运动特点和最终特征 棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I=0，但电容器带电荷量不为零 最终速度 电容器充电电荷量：q=CUC 最终电容器两端电压UC=BLv 对棒应用动量定理： mv-mv0=-BL·Δt=-BLq v= v-t图像 2、无外力放电式 基本模型 规律 (电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C) 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动 电流特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC=BLvm 运动特点及最终特征 做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I=0 最大速度vm 电容器初始电荷量：Q0=CE 放电结束时电荷量：Q=CUC=CBLvm 电容器放电电荷量：ΔQ=Q0-Q=CE-CBLvm 对棒应用动量定理：mvm-0=BL·Δt=BLΔQ vm= v-t图像 3. 有外力F作用 基本模型 图示 解读 金属棒的初速度为零，水平拉力F恒定，棒和水平导轨的电阻不计，摩擦力不计。 运动过程分析 棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流， 金属棒做加速度恒定的匀加速直线运动. F－BIL＝ma，I＝，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BLΔv， 联立可得F－＝ma， 其中＝a， 则可得a＝ 功能关系 WF＝mv2＋E电 v-t图像 例1 　(2025·福建三明市三模)如图，水平台面上有一足够长、间距为L的平行光滑金属导轨MN、PQ，置于塑料圆筒内，导轨左端连着电容为C的电容器和电动势为E的电源，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。将一质量为m的模拟金属炮弹置于圆筒内导轨上，先将开关拨至接线柱1，充电结束后，将开关拨至接线柱2，炮弹在安培力作用下开始运动，达到最大速度后离开导轨，整个过程通过炮弹的电荷量为q。已知炮弹电阻为R，炮弹始终与导轨接触良好，不计导轨电阻和电源内阻，不计空气阻力。则在此过程中炮弹(　　) A.做匀加速直线运动 B.在导轨上的位移为 C.离开导轨时的速度为 D.最大速度与电容器电容大小成正比 例2　如图所示，水平绝缘桌面上固定有间距为L的平行光滑长导轨，左端接有一个不带电的电容器，电容为C(不会被击穿)，在PQ虚线的左侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m的金属杆ab静置在导轨上，与虚线PQ的距离是d，金属杆在水平向右恒力F的作用下，开始向右运动，不计导轨与金属杆的电阻，金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好， (1)判断金属杆的运动性质； (2)求金属杆ab运动到达虚线PQ的时间。 拓展 1.若光滑长导轨平面与水平面成θ角，匀强磁场垂直导轨平面向上。已知重力加速度为g，又让金属杆从导轨上端由静止开始下滑，求金属杆下滑过程中的加速度大小。 2.在拓展1中，若金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ(μ<tan θ)，求金属杆下滑过程中的加速度大小。 【针对性训练】 1 如图所示，竖直放置的U形光滑导轨与一电容器串联。导轨平面有垂直于纸面的匀强磁场，金属棒ab与导轨接触良好，由静止释放后沿导轨下滑。电容C足够大，原来不带电，不计一切电阻。设导体棒的速度为v、动能为Ek、两端的电压为Uab、电容器带的电荷量为q，它们与时间t、位移x的关系图像正确的是(　　) 2 如图所示，两平行光滑导轨MN、M′N′左端通过导线与电源和不带电电容器相连，导轨平面水平且处于竖直向下的匀强磁场中，有一定阻值的导体棒ab垂直导轨处于静止状态。现将开关S与1闭合，当棒达到稳定运动状态后S与2闭合，导轨足够长，电源内阻不计。则(　　) A.S与1闭合后，棒ab做匀加速直线运动 B.从S与1闭合到棒ab达到某一速度，电源消耗的电能等于棒获得的动能和电路产生的焦耳热 C.S与2闭合后，棒ab中电流不断减小直到零 D.S与2闭合后，棒ab的速度不断减小直到零 3.如图所示，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图中的电容器带电荷量为Q，上极板带正电荷，电容为C。导体棒、导轨的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场中，导轨间距为L，导轨足够长。导体棒质量为m，始终与导轨垂直且接触良好，匀强磁场的磁感应强度大小为B，闭合开关后，导体棒由静止开始运动，下列说法正确的是(　　) A.导体棒先向右做加速运动，再向右做减速直到静止 B.导体棒先向右做加速运动，最后以v=做匀速直线运动 C.通过R的电荷量为Q D.通过R的电荷量为 4 (2025·湖南高三上开学考)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨间距为L，固定在竖直平面内，两根导轨上端用导线连接一个电容器，电容器的电容为C，导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直。现将质量为m、长度也为L的金属棒ab紧贴导轨由静止释放，金属棒沿着导轨下滑过程中始终保持水平且与导轨接触良好，已知重力加速度为g，金属导轨和金属棒电阻均不计，则当金属棒运动稳定后，有(　　) A.金属棒做匀加速运动，加速度大小为 B.金属棒受到的安培力大小为 C.通过金属棒的电流大小为 D.电容器所带的电荷量保持不变 5 (2024·湖南长沙模拟)如图所示，足够长光滑平行金属导轨MNPQ置于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1 T，金属导轨倾角θ=37°，导轨间距l=1 m，其电阻不计。K为单刀双掷开关，当其掷于1端时，电容C=1 F的电容器接入电路;当其掷于2端时，有R=1 Ω的电阻接入电路。金属杆OO'质量m=1 kg，接入电路的阻值也为R=1 Ω。初始时，OO'锁定。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6。 (1)将K掷于2端，释放OO'，求OO'的最大速度; (2)将K掷于1端，释放OO'，求系统稳定时金属杆的加速度大小。 6 (2024·北京卷，18)如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。 (1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I; (2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a; (3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。 7 .(2024·全国甲卷，25)两根平行长直光滑金属导轨距离为l，固定在同一水平面(纸面)内，导轨左端接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻，开关S与电容器并联;导轨上有一长度略大于l的金属棒，如图所示。导轨所处区域有方向垂直于纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开关S闭合，金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速，最后将做速率为v0的匀速直线运动。金属棒始终与两导轨垂直且接触良好，导轨电阻和金属棒电阻忽略不计。 (1)在加速过程中，当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍时，金属棒的速度大小是多少? (2)如果金属棒达到(1)中的速度时断开开关S，改变外力使金属棒保持此速度做匀速运动。之后某时刻，外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍，求此时电容器两极间的电压及从断开S开始到此刻外力做的功。 8.[2024广东广州开学考试]如图所示，在水平面内固定着间距为L的两根光滑平行金属导轨（导轨足够长且电阻忽略不计），导轨上M、N两点右侧处在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中.在导轨的左端接入电动势为E、内阻不计的电源和电容为C的电容器.先将金属棒a静置在导轨上，闭合开关S1、S3，让a运动速度达到v0时断开S1，同时将金属棒b静置在导轨上，经过一段时间后，流经a的电流为零.已知a、b的长度均为L，电阻均为R，质量均为m，在运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触. （1）求开关S1、S3闭合，a运动速度达到v0时a的加速度大小； （2）求b产生的焦耳热； （3）若将棒a、b均静置在水平导轨上，闭合开关S1、S2，稍后再断开S1同时闭合S3，求两棒最终的速度大小. 9 .如图甲所示，相距L＝1m的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨电阻不计，质量m＝1kg、接入电路电阻为r＝0.5Ω的导体棒ab垂直于导轨放置，导轨的PM两端接在外电路上，定值电阻阻值R＝1.5Ω，电容器的电容C＝0.5F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场.在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab由静止释放，导体棒的v－t图像如图乙所示，运动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，sin37°＝0.6，取重力加速度g＝10m/s2. （1）求磁场的磁感应强度大小B； （2）在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5m时，定值电阻产生的焦耳热为21J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？ （3）现在开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2s时导体棒的速度大小. 10 .如图，两条平行导轨所在平面与水平面的夹角为θ，平行导轨间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并接触良好.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.金属棒和导轨的电阻可忽略不计.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： （1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； （2）金属棒的速度大小随时间变化的关系. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三物理暑期能力提升 专题22 电磁感应+电容电路 【方法解读】 1、 无外力充电式 基本模型 规律 (导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C) 电路特点 导体棒相当于电源，电容器充电 电流特点 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I=，电容器充电UC变大，当BLv=UC时，I=0，F安=0，棒匀速运动 运动特点和最终特征 棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I=0，但电容器带电荷量不为零 最终速度 电容器充电电荷量：q=CUC 最终电容器两端电压UC=BLv 对棒应用动量定理： mv-mv0=-BL·Δt=-BLq v= v-t图像 2、无外力放电式 基本模型 规律 (电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C) 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动 电流特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC=BLvm 运动特点及最终特征 做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I=0 最大速度vm 电容器初始电荷量：Q0=CE 放电结束时电荷量：Q=CUC=CBLvm 电容器放电电荷量：ΔQ=Q0-Q=CE-CBLvm 对棒应用动量定理：mvm-0=BL·Δt=BLΔQ vm= v-t图像 3. 有外力F作用 基本模型 图示 解读 金属棒的初速度为零，水平拉力F恒定，棒和水平导轨的电阻不计，摩擦力不计。 运动过程分析 棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流， 金属棒做加速度恒定的匀加速直线运动. F－BIL＝ma，I＝，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BLΔv， 联立可得F－＝ma， 其中＝a， 则可得a＝ 功能关系 WF＝mv2＋E电 v-t图像 例1 　(2025·福建三明市三模)如图，水平台面上有一足够长、间距为L的平行光滑金属导轨MN、PQ，置于塑料圆筒内，导轨左端连着电容为C的电容器和电动势为E的电源，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。将一质量为m的模拟金属炮弹置于圆筒内导轨上，先将开关拨至接线柱1，充电结束后，将开关拨至接线柱2，炮弹在安培力作用下开始运动，达到最大速度后离开导轨，整个过程通过炮弹的电荷量为q。已知炮弹电阻为R，炮弹始终与导轨接触良好，不计导轨电阻和电源内阻，不计空气阻力。则在此过程中炮弹(　　) A.做匀加速直线运动 B.在导轨上的位移为 C.离开导轨时的速度为 D.最大速度与电容器电容大小成正比 答案　C 解析　对炮弹受力分析，根据牛顿第二定律有BIL=ma，结合I=，C=，由于电容器放电过程中，极板所带电荷量Q在减小，可知极板间电压、通过炮弹的电流以及炮弹所受安培力都在减小，则可知炮弹的加速度也在减小，故A错误；炮弹在导轨上的运动过程，由于电容器有电压存在，通过炮弹的平均电流并不是，即t≠q，则可知x≠，故B错误；对炮弹，以向右为正方向，根据动量定理有t=mv，其中平均安培力=BL，结合q=·t，可得v==，故C正确；刚充电结束时，电容器电荷量为Q=CE，炮弹达到最大速度时，电容器电荷量Q'=Q-q，此时电容器两端电压UC=，此时炮弹产生的感应电动势等于UC，故BLv=UC，联立可得=BLv，解得E=v(BL+)，故炮弹的最大速度与电容器电容大小并不成正比，故D错误。 例2　如图所示，水平绝缘桌面上固定有间距为L的平行光滑长导轨，左端接有一个不带电的电容器，电容为C(不会被击穿)，在PQ虚线的左侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m的金属杆ab静置在导轨上，与虚线PQ的距离是d，金属杆在水平向右恒力F的作用下，开始向右运动，不计导轨与金属杆的电阻，金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好， (1)判断金属杆的运动性质； (2)求金属杆ab运动到达虚线PQ的时间。 答案　(1)匀加速直线运动　(2) 解析　(1)金属杆向右运动，切割磁感线产生感应电动势E，给电容器充电，设在Δt的时间里，电容器充电的电荷量为Δq，则Δq=CBLΔv，则充电电流为i==CBL=CBLa，对金属杆由牛顿第二定律有F-BLi=ma，解得a=，故金属杆做初速度为零的匀加速直线运动。 (2)由d=at2， 解得t==。 拓展 1.若光滑长导轨平面与水平面成θ角，匀强磁场垂直导轨平面向上。已知重力加速度为g，又让金属杆从导轨上端由静止开始下滑，求金属杆下滑过程中的加速度大小。 答案　金属杆在重力和安培力的作用下向下运动，根据牛顿第二定律有 mgsin θ-BIL=ma，I===CBLa， 联立解得a=。 2.在拓展1中，若金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ(μ<tan θ)，求金属杆下滑过程中的加速度大小。 答案　mgsin θ-μmgcos θ-BIL=ma， I===CBLa， 联立解得a=。 【针对性训练】 1 如图所示，竖直放置的U形光滑导轨与一电容器串联。导轨平面有垂直于纸面的匀强磁场，金属棒ab与导轨接触良好，由静止释放后沿导轨下滑。电容C足够大，原来不带电，不计一切电阻。设导体棒的速度为v、动能为Ek、两端的电压为Uab、电容器带的电荷量为q，它们与时间t、位移x的关系图像正确的是(　　) 答案　B 解析　设导轨间距为L，释放后电容器充电，电路中有充电电流i，棒受到向上的安培力，设瞬时加速度为a，根据牛顿第二定律得mg－iLB＝ma，i＝＝＝＝CBLa，由此得mg－BL·CBLa＝ma，解得a＝，可见棒的加速度不变，做匀加速直线运动，v＝at，Uab＝BLv＝BLat，故A、C错误；Ek＝mv2＝m×2ax，故B正确；q＝CUab＝BCLat，与时间成正比，而棒做匀加速运动，故与位移不是正比关系，故D错误。 2 如图所示，两平行光滑导轨MN、M′N′左端通过导线与电源和不带电电容器相连，导轨平面水平且处于竖直向下的匀强磁场中，有一定阻值的导体棒ab垂直导轨处于静止状态。现将开关S与1闭合，当棒达到稳定运动状态后S与2闭合，导轨足够长，电源内阻不计。则(　　) A.S与1闭合后，棒ab做匀加速直线运动 B.从S与1闭合到棒ab达到某一速度，电源消耗的电能等于棒获得的动能和电路产生的焦耳热 C.S与2闭合后，棒ab中电流不断减小直到零 D.S与2闭合后，棒ab的速度不断减小直到零 答案　BC 解析　根据题意可知，S与1闭合后，棒ab受安培力作用做加速运动，棒ab切割磁感线产生感应电动势，棒ab中的电流减小，受到的安培力减小，则棒的加速度减小，直到感应电动势等于电源电动势，棒最后匀速运动，故A错误；根据题意，由能量守恒定律可知，从S与1闭合到棒ab达到某一速度，电源消耗的电能等于棒获得的动能和电路产生的焦耳热，故B正确；S与2闭合后，棒ab相当于电源给电容器充电，此过程棒受到的安培力水平向左，棒减速运动，则电动势减小，电容器两板间电压升高，棒ab中的电流不断减小，当棒ab产生的感应电动势与电容器两板间的电势差相等时，电路中的电流减小到零，随后棒做匀速直线运动，故D错误，C正确。 3.如图所示，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图中的电容器带电荷量为Q，上极板带正电荷，电容为C。导体棒、导轨的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场中，导轨间距为L，导轨足够长。导体棒质量为m，始终与导轨垂直且接触良好，匀强磁场的磁感应强度大小为B，闭合开关后，导体棒由静止开始运动，下列说法正确的是(　　) A.导体棒先向右做加速运动，再向右做减速直到静止 B.导体棒先向右做加速运动，最后以v=做匀速直线运动 C.通过R的电荷量为Q D.通过R的电荷量为 答案　B 解析　闭合开关后电容器放电，ab中电流从a到b，由左手定则知导体棒受到向右的安培力，做加速度减小的加速运动，ab向右运动过程中切割磁感线产生感应电动势，当感应电动势与电容器两端电压相等时，感应电流变为零，此后导体棒匀速运动，故A错误；设ab最后以v匀速运动，通过ab的电荷量为q，对ab由动量定理有BLt=mv，又q=t=Q-CBLv，解得v=，q=，故B正确，C、D错误。 4 (2025·湖南高三上开学考)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨间距为L，固定在竖直平面内，两根导轨上端用导线连接一个电容器，电容器的电容为C，导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直。现将质量为m、长度也为L的金属棒ab紧贴导轨由静止释放，金属棒沿着导轨下滑过程中始终保持水平且与导轨接触良好，已知重力加速度为g，金属导轨和金属棒电阻均不计，则当金属棒运动稳定后，有(　　) A.金属棒做匀加速运动，加速度大小为 B.金属棒受到的安培力大小为 C.通过金属棒的电流大小为 D.电容器所带的电荷量保持不变 答案　AC 解析　由题可知金属棒ab受到的安培力为FA=ILB=LB，又Q=CU=CBLv所以==CBLa，所以安培力FA=CB2L2a，对金属棒ab，由牛顿第二定律可得mg-FA=ma，解得a=，加速度恒定不变，所以金属棒ab做匀加速运动，A正确;安培力FA=CB2L2a=，B错误;根据安培力的计算可知ILB=CB2L2a，解得I=CBLa=CBL，C正确;经过时间t电容器所带的电荷量为q=CU=CBLv=CBLat=，所以电容器所带的电荷量随时间逐渐增大，D错误。 5 (2024·湖南长沙模拟)如图所示，足够长光滑平行金属导轨MNPQ置于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1 T，金属导轨倾角θ=37°，导轨间距l=1 m，其电阻不计。K为单刀双掷开关，当其掷于1端时，电容C=1 F的电容器接入电路;当其掷于2端时，有R=1 Ω的电阻接入电路。金属杆OO'质量m=1 kg，接入电路的阻值也为R=1 Ω。初始时，OO'锁定。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6。 (1)将K掷于2端，释放OO'，求OO'的最大速度; (2)将K掷于1端，释放OO'，求系统稳定时金属杆的加速度大小。 答案　(1)12 m/s　(2)3 m/s2 解析　(1)当OO'加速度为零时，OO'的速度最大，根据受力分析有mgsin θ=IBl，金属杆中电流为 I= 金属杆切割磁感线产生的感应电动势为E=Blv 解得v=12 m/s。 (2)由电流定义式得I=，由电容定义式得Δq=CΔU 由法拉第电磁感应定律得ΔU=ΔE=BlΔv 联立可得感应电流I=CBla OO'所受安培力的大小为F=IlB=CB2l2a 对OO'应用牛顿第二定律有mgsin θ-CB2l2a=ma 解得a= 代入数据得a=3 m/s2。 6 (2024·北京卷，18)如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。 (1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I; (2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a; (3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。 答案　(1)　(2)　(3)见解析图 解析　(1)开关闭合前电容器的电荷量为Q，则电容器两极板间电压为U= 闭合开关瞬间，通过导体棒的电流为I= 联立解得I=。 (2)闭合开关瞬间，对导体棒由牛顿第二定律有 ILB=ma 结合(1)问解得a=。 (3)由(2)中结论可知，随着电容器放电，电容器所带电荷量不断减少，导体棒的加速度不断减小，当电容器两极板间的电压与导体棒产生的感应电动势相等，即回路中电流减为0时，导体棒不受安培力作用，加速度为0，此后导体棒做匀速运动，其v-t图线如图所示。 7 .(2024·全国甲卷，25)两根平行长直光滑金属导轨距离为l，固定在同一水平面(纸面)内，导轨左端接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻，开关S与电容器并联;导轨上有一长度略大于l的金属棒，如图所示。导轨所处区域有方向垂直于纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开关S闭合，金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速，最后将做速率为v0的匀速直线运动。金属棒始终与两导轨垂直且接触良好，导轨电阻和金属棒电阻忽略不计。 (1)在加速过程中，当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍时，金属棒的速度大小是多少? (2)如果金属棒达到(1)中的速度时断开开关S，改变外力使金属棒保持此速度做匀速运动。之后某时刻，外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍，求此时电容器两极间的电压及从断开S开始到此刻外力做的功。 答案　(1)　(2)　 解析　(1)由法拉第电磁感应定律可得金属棒切割磁感线运动过程中，金属棒产生的感应电动势为 E=Blv 闭合开关S，电容器被短路，由闭合电路欧姆定律可得回路中的电流I= 由安培力公式可得金属棒所受的安培力F安=IlB 联立可得F安= 当金属棒匀速运动时，金属棒受力平衡，可得外力大小为F=F安m= 所以外力做功的功率为P=Fv= 又电阻R的热功率为PR=I2R= 则当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍，即P=2PR时，金属棒的速度大小为v1=。 (2)断开开关S后，金属棒做匀速运动，设回路中的电流为I'，则外力的大小为 F'=F安'=I'lB 则外力做功的功率为P'=F'v1= 而电阻R的热功率为PR'=I' 2R 当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍，即P'=2PR'时，有I1'= 则此时电容器两极板间的电压为U=Blv1-I1'R= 电容器所带电荷量为Q=CU 从断开S开始到该时刻的过程，对金属棒根据动能定理可知，外力做功的绝对值等于安培力做功的绝对值，则有W=W安=t=v1t=Blv1't 其中't=Q-0 联立解得W=。 8.[2024广东广州开学考试]如图所示，在水平面内固定着间距为L的两根光滑平行金属导轨（导轨足够长且电阻忽略不计），导轨上M、N两点右侧处在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中.在导轨的左端接入电动势为E、内阻不计的电源和电容为C的电容器.先将金属棒a静置在导轨上，闭合开关S1、S3，让a运动速度达到v0时断开S1，同时将金属棒b静置在导轨上，经过一段时间后，流经a的电流为零.已知a、b的长度均为L，电阻均为R，质量均为m，在运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触. （1）求开关S1、S3闭合，a运动速度达到v0时a的加速度大小； （2）求b产生的焦耳热； （3）若将棒a、b均静置在水平导轨上，闭合开关S1、S2，稍后再断开S1同时闭合S3，求两棒最终的速度大小. 答案　（1）　（2）m　（3） 解析　（1）a切割磁感线产生的电动势E1＝BLv0 由牛顿第二定律得BL＝ma 解得a＝ （2）对a、b系统，由动量守恒定律得mv0＝2mv1 解得v1＝ 由能量守恒定律得系统产生的焦耳热 Q＝m－·2m 解得Q＝m b产生的焦耳热Qb＝Q＝m （3）闭合开关S1、S2，稍后再断开S1同时闭合S3，两棒同时加速，直到匀速运动.对电容器，放电量 q＝C（E－BLv） 对a，某时刻经极短时间Δt，由动量定理得 BILΔt＝mΔv 整个过程有∑BLΔq＝∑mΔv 即BL＝mv 解得两棒最终的速度v＝. 9 .如图甲所示，相距L＝1m的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨电阻不计，质量m＝1kg、接入电路电阻为r＝0.5Ω的导体棒ab垂直于导轨放置，导轨的PM两端接在外电路上，定值电阻阻值R＝1.5Ω，电容器的电容C＝0.5F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场.在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab由静止释放，导体棒的v－t图像如图乙所示，运动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，sin37°＝0.6，取重力加速度g＝10m/s2. （1）求磁场的磁感应强度大小B； （2）在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5m时，定值电阻产生的焦耳热为21J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？ （3）现在开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2s时导体棒的速度大小. 答案　（1）2T　（2）2m/s　2m/s2　（3）4m/s 解析　（1）由题图乙可知，导体棒的最大速度vm＝3m/s 对应的感应电动势E＝BLvm 感应电流I＝ 当速度达到最大时，导体棒做匀速运动，导体棒受力平衡，有 BIL＝mgsinθ 解得B＝＝2T （2）导体棒和定值电阻串联，由公式Q＝I2Rt可知Qab∶QR＝1∶3，则导体棒ab产生的焦耳热Qab＝×21J＝7J，导体棒下滑x＝5m的距离，导体棒减少的重力势能转化为动能和回路中的焦耳热，由能量守恒定律有 mgxsinθ＝m＋Qab＋QR 得导体棒的速度v1＝2m/s 此时感应电动势E1＝BLv1 感应电流I1＝ 对导体棒有mgsinθ－BI1L＝ma1 解得加速度a1＝2m/s2 （3） 开关S1断开、S2闭合时，任意时刻对导体棒，根据牛顿第二定律有 mgsinθ－BI2L＝ma2 感应电流I2＝，Δq＝CΔU Δt时间内，有ΔU＝ΔE＝BLΔv，a2＝ 解得a2＝2m/s2 表明导体棒下滑过程中加速度不变，导体棒做匀加速直线运动，t＝2s时导体棒的速度大小v2＝a2t＝4m/s. 10 .如图，两条平行导轨所在平面与水平面的夹角为θ，平行导轨间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并接触良好.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.金属棒和导轨的电阻可忽略不计.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： （1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； （2）金属棒的速度大小随时间变化的关系. 答案　（1）Q＝CBLv　（2）v＝gt 解析　（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则产生的感应电动势为E＝BLv 平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E 设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C＝ 联立解得Q＝CBLv （2）设经过时间t金属棒的速度大小为v，通过金属棒的电流为i.金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为f1＝BLi 设在时间间隔t～t＋Δt内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有i＝ ΔQ也是平行板电容器在时间间隔t～t＋Δt内增加的电荷量，由（1）中结果可知ΔQ＝CBLΔv 式中，Δv为金属棒的速度变化量，按定义有a＝ 金属棒受到的摩擦力方向沿导轨向上，大小为f2＝μN 式中，N是金属棒对导轨的正压力的大小，有 N＝mgcosθ 金属棒在t时刻的加速度方向沿导轨向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mgsinθ－f1－f2＝ma 联立解得a＝g 可知金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒的速度大小为 v＝gt. 1 学科网（北京）股份有限公司 $