2.2 带电粒子在电场中的运动（讲义）物理粤教版必修第三册

本讲义聚焦带电粒子在电场中的运动核心知识点，系统梳理直线运动（含匀变速、周期性及计重力情况）、类平抛运动（分解与推论）、示波器原理及径向电场运动，构建从基础模型到多过程复合的学习支架，衔接力学与电场知识。 资料通过分层设计（知识点+题型+分层练习）和高考真题融入，以类平抛运动分解培养科学思维，示波器原理联系实际体现科学态度与责任。课中辅助教师例题解析，课后助力学生通过随学随练查漏补缺，强化知识应用。

第二章 静电场的应用 第2节 带电粒子在电场中的运动 课标要点 1. 能分析带电粒子在匀强电场中的受力情况，结合牛顿运动定律判断粒子运动状态，区分匀加速直线运动、类平抛运动两类典型模型。 2. 会结合动能定理、运动分解法处理带电粒子加速、偏转问题，能推导偏转位移、偏转角相关计算公式。 3. 了解示波管的基本构造与工作原理，能用电场偏转规律解释示波管的成像逻辑，体会静电场的实际应用价值。 学习重难点 重点：掌握带电粒子在匀强电场中加速、偏转两类模型的分析方法，熟练运用运动分解、动能定理进行定量计算。 难点：类平抛运动中电场力、速度、位移的矢量分解运算，综合力学、电场知识解决多过程复合电场问题。 知识点 带电粒子/物体在电场中的直线运动（重点） 1. 带电粒子在匀强电场中做直线运动（不计重力） - 条件：粒子初速度方向与电场力方向共线（同向或反向）。 - 运动性质：匀变速直线运动。 - 解题方法： ① 动能定理：qU = - （优先选用，无需分析中间过程）； ② 牛顿定律+运动学公式：由a= ，结合v=v0+at、x=v0t+ 求解。 2. 带电粒子在周期性变化电场中做直线运动（不计重力） - 电场随时间周期性变化，粒子加速度随电场同步变化。 - 处理方法：分段分析每个时间段内的加速度、速度、位移，画出v-t图像简化分析； - 常见模型：粒子在交变电场中反复加速、减速，往复运动。 3. 带电物体（计重力）在电场中的平衡问题 - 受力：重力、电场力，二力平衡。 - 核心方程：mg=qE，据此求解电场强度、电荷量等物理量。 4. 带电物体（计重力）在匀强电场中的直线运动 - 合外力恒定，做匀变速直线运动； - 步骤：先求重力与电场力的合力，再用牛顿第二定律求加速度，最后结合运动学公式计算。 5. 带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动 - 等效重力法：将重力与电场力合成“等效重力”； - 等效最高点：等效重力反方向的位置，是圆周运动速度最小的位置； - 临界条件：等效最高点时，等效重力提供向心力。 6. 带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 - 合外力为恒力：若初速度与合外力共线则做匀变速直线运动；若不共线则做匀变速曲线运动。 7. 带电物体（计重力）在非匀强电场中的直线运动 - 电场力为变力，合外力变化，物体做变加速直线运动； - 优先使用动能定理（只看初末位置电势差与高度差）。 8. 带电物体（计重力）在非匀强电场中的一般运动 - 变力作用下做变加速曲线运动，常用动能定理、能量守恒（电势能+重力势能+动能总和不变）求解。 随学随练 1．（24-25高一下·北京西城·期末）如图（a）所示，平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的变化电压，重力可忽略的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在时刻释放该粒子，粒子先向A板运动，再向B板运动…，最终打在A板上。则可能属于的时间段是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。 （1）求带电粒子所受的静电力的大小F； （2）求带电粒子到达N板时的速度大小v； （3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。 3．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，用L=30cm的绝缘细线将质量为的足够小的带电小球悬挂在O点，当空中竖直平面内加上如图所示斜向上与水平方向成37°角，大小为的匀强电场时，小球能在图示细线与竖直方向成37°处处于静止状态。（g取，，）求： (1)小球是正电荷还是负电荷。并说明原因： (2)带电小球所带电荷量大小q为多少； (3)剪断细线后带电小球的加速度大小a。 知识点 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动（不计重力）（重点） 1. 基础模型：类平抛运动 - 条件：粒子初速度v0垂直于匀强电场方向射入电场。 - 运动分解： ① 初速度方向：不受力，做匀速直线运动，l=v0t； ② 电场力方向：受恒定电场力，做初速度为零的匀加速直线运动，a= 。 - 核心公式： 偏转位移：y = ； 偏转角正切值：tanθ = 。 2. 重要推论 粒子离开匀强电场时，速度方向的反向延长线一定经过极板水平长度的中点。 3. 拓展：匀强电场中非平抛的曲线运动 - 初速度不严格垂直电场时，依然正交分解：沿电场方向匀加速，垂直电场方向匀速； - 仍然用分运动独立原理分别计算两个方向的位移、速度。 4. 带电粒子在周期性变化电场（初速度垂直电场）中的运动 - 电场随时间交变，电场力周期性变化； - 垂直电场方向始终匀速；沿电场方向分段做匀加速、匀减速运动； - 用v-t图像分析沿电场方向的速度与位移。 随学随练 1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）芯片制造企业的离子注入工艺研发中，涉及电子在电场中的加速与偏转模拟实验。一个初速度为零的电子在U1电压加速后，垂直于平行板间的匀强电场从两极板中心处射入，如图所示，两板间距d，板长L，两板间的电压U2。已知电子的带电量e，质量为m，只考虑两板间的电场，不计重力，求： (1)电子经加速电压加速后进入偏转电场的速度； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离； (3)已知两板间距d=1.0cm，板长L=2.0cm，偏移的距离y=0.4cm，若电子射出偏转电场后经过下极板所在平面上的P点，如图，求P点到下极板右端的距离。 3．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）如图甲，水平放置的平行板电容器的两极板M、N的长度为L，AB是极板的中心线，两板间所加电压随时间变化的规律如图乙所示，图中、T已知时刻，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子沿两板中心线AB以某一初速度射入极板间，若时，该粒子在T时刻恰从M板右端边缘飞出。不计粒子受到的重力和空气阻力。求： (1)该粒子飞入极板间的速度大小； (2)两极板的间距； (3)若该粒子恰从B点飞出，图乙中k的值。 知识点 示波器的原理与应用 1. 示波器的原理与用途 - 组成：电子枪（加速电子）、竖直偏转电极YY'、水平偏转电极XX'、荧光屏； - YY'极板：加信号电压，控制光点竖直方向偏移； - XX'极板：加扫描电压，控制光点水平方向匀速扫描； - 用途：观察随时间变化的电信号波形。 2. 示波器的相关计算 - 偏转位移与极板间电压成正比； - 结合类平抛偏转公式，由偏移距离反求输入电压大小。 3. 根据原理推断荧光屏上图像 - 水平扫描电压：使光点水平匀速移动； - 竖直信号电压：使光点上下随信号电压同步偏移； - 两个电压共同作用，在屏上画出信号电压随时间变化的波形。 随学随练 1．（2025·广西桂林·一模）示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图甲所示，通电后电子枪有电子逸出（初速度为零），经加速电压U1加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上，荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点O，建立xOy坐标系。若在 YY'电极上输入图乙所示的电压，下列说法正确的是（　　）    A．若在水平电极XX'不加电压，荧光屏上的图像为正弦图像 B．若在水平电极XX'不加电压，所有的电子打在荧光屏中心 O点 C．若在水平电极XX'加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一条直线 D．若在水平电极XX'加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一个圆 2．（多选）（23-24高二上·吉林长春·阶段检测）示波器是一种常见的电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压随时间变化的情况。示波器的内部构造简化图如图所示，电子经电子枪加速后进入偏转电场，最终打在荧光屏上。下列关于所加偏转电压与荧光屏上得到图形的说法中正确的是（　　） A．如果只在上加图甲所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（b） B．如果只在上加图乙所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（a） C．如果在、上分别加图甲、乙所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（c） D．如果在，上分别加图甲、乙所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（d） 3．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10 cm，极板间距d＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，荧光屏足够长，在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势差随时间变化的图像如图乙所示。每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过极板的过程中电压是不变的。求： (1)在t＝0.06 s时刻，电子打在荧光屏上的位置到O点的距离； (2)荧光屏上有电子打到的区间长度。 知识点 带电粒子在径向电场中的运动（难点） - 电场沿半径方向（如辐射状电场），电场力始终沿径向； - 粒子做曲线运动，电场力只改变速度方向，不改变速度大小（电场力始终垂直速度时，电场力不做功）； - 解题常用：动能守恒（速率不变）、向心力由电场力提供。 随学随练 1．（2025·福建·高考真题）角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器，其核心装置中有两个同心半球极板。垂直半球底面且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场，其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子A以初动能，从入口M点垂直半球底面入射，从N点射出，电子b也从M点垂直半球底面入射，经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示，已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆，与OP交于H点，H、P两点间的电势差为U，，，电子电荷量大小为，重力不计。则（　　） A．P点的电场强度 B．电子a在H点儿受到的电场力大小为 C．电子b在P点动能小于在Q点动能 D．电子b从M点运动到Q点的过程中，克服电场力所做的功小于2eU 2．（2023·北京·高考真题）如图所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点，O为EF、MN的交点，EO = OF。一不计重力带负电的点电荷在E点由静止释放后（   ） A．做匀加速直线运动 B．在O点所受静电力最大 C．由E到O的时间等于由O到F的时间 D．由E到F的过程中电势能先增大后减小 3．（2025·河南·模拟预测）某电场的电势随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子（　　） A．将在ad之间做周期性运动 B．在d点的电势能大于a点的电势能 C．在b点与c点所受电场力方向相同 D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点 题型 先加速后偏转的类平抛综合模型 一、核心知识点 1.加速阶段：电场力做功，优先使用动能定理 qU1= ，规避复杂的运动学推导。 2.偏转阶段：运动的独立性原理，将类平抛正交分解： - 水平方向：匀速直线运动，L=v0t； - 竖直方向：初速度为零的匀加速直线运动，加速度 a= 。 3.二级结论：粒子射出电场时速度反向延长线过极板水平中点；偏转位移 y= ，偏转轨迹与粒子比荷无关。 二、解题思维方法 1.分段建模思维：将全过程拆分为加速、偏转两个独立阶段，以偏转电场的入射初速度作为两个过程的连接量。 2.分运动独立思维：两个分运动互不影响，分别对水平、竖直方向列方程，再联立求解。 3.结论优先思维：选择题、填空题直接套用偏转位移公式，省去多次联立方程的计算。 三、易错点突破 1.混淆加速电压U1与偏转电压U2，物理量对应错误。 2.混淆极板长度L和板间距离d，造成竖直位移计算失误。 3.忽略推论，全程代数联立，耗时过长。 活学活用 1．（25-26高一下·福建福州·期末）如图所示，电子枪的加速电压，平行极板A与B的间距且。一电子从电子枪的电热丝无初速逸出，经电压加速后以从点沿平行于板面的方向射入板间电场。电子从点射出电场时，沿垂直于板面方向偏移的距离。已知电子的比荷，两板间的电场可看作匀强电场。已知。不计电子的重力，求： (1)求的大小； (2)求两极板的长度； (3)电子从点射出电场时的动能。 2．（25-26高二下·江西宜春·期末）如图所示，粒子源产生质量为m、电荷量为q的正粒子漂入（初速度很小，可忽略不计）电压为的加速电场，经加速后从小孔S沿正对放置的平行金属板的中心线射入偏转电场，板长为L，相距为两板间电压为板带正电，B板带负电，不计粒子重力及相互作用，以S为坐标原点、的中心线为x轴建立如图所示的直角坐标系。 (1)求粒子进入偏转电场时的速度大小； (2)写出粒子在偏转电场中的运动轨迹方程； (3)若粒子从B板右边缘点射出偏转电场，求应满足的条件。 题型 交变电场中带电粒子的往复直线运动 一、核心知识点 1.交变匀强电场：电场周期性变化，电场力、加速度同步周期性改变。 2.运动规律：电场存在时做匀变速运动；电场消失时做匀速直线运动；电场反向时加速度反向。 3.v-t图像：斜率表示加速度，图像面积表示位移，速度正负代表运动方向。 4.临界约束：粒子可能在周期结束前就打到极板，运动提前终止。 二、解题思维方法 1.时段拆解思维：严格按照电压切换的时间节点，把运动拆分为多个小段，逐段分析加速度、速度与位移。 2.图像辅助思维：优先绘制v-t图像，直观判断加速、减速、反向运动，简化总位移、往返次数的计算。 3.临界预判思维：先检验粒子是否会在一个时间段内打到极板，不盲目套用整周期运动规律。 三、易错点突破 1.把交变电场当作恒定电场，全程使用同一个加速度运算。 2.不考虑极板的空间限制，机械地按整周期往复运动计算。 3.只用代数公式计算，不会借助v-t图像简化复杂多阶段运动。 活学活用 1．（25-26高一下·江苏扬州·期末）如图所示为某加速设备内电场的简化模型，在y轴左侧存在水平向左的匀强电场，右侧存在竖直向上的匀强电场，场强大小均为E，电子枪从A处无初速释放一质量为m，电荷量为e的电子，A点的坐标为，不计电子重力。求： (1)电子进入第一象限的速度大小； (2)电子从静止加速到经过x轴所需的时间； (3)电子经过x轴时的速度。 2．（24-25高二上·安徽·期末）如图甲所示，两水平放置的平行导体板、，板长为，板间距离为，为两板中心线，两板间加上有周期性变化的电压，如图乙所示（图中为已知值，为未知值）。左侧为粒子源，源源不断地发出质量为、带电量为的带电粒子，粒子均以相同的初速度从点水平射入两板间。若带电粒子在时刻从点射入平行板，时刻刚好从板的右边缘射出。带电粒子的重力、粒子间相互作用均忽略不计，两板间电场为理想的匀强电场。求： (1)带电粒子射入平行板的初速度； (2)图乙中的值； (3)时间内时刻射入平行板的粒子恰好从点射出，求。 基础通关 1．（2024·新疆河南·高考真题）如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则（　　） A．两绳中的张力大小一定相等 B．P的质量一定大于Q的质量 C．P的电荷量一定小于Q的电荷量 D．P的电荷量一定大于Q的电荷量 2．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 3．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入电压为的电场（为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距极板L处，样品中心位于点。假设单个离子在通过区域的极短时间内，电压可视为不变，当时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．的最大值 B．当且时，离子恰好能打到样品边缘 C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大 D．在和时刻射入的离子，有可能分别打在A和B点 4．（2025·北京东城·二模）如图所示，虚线为某点电荷产生的电场的等势线，相邻等势线间的电势差相等；实线为一个粒子仅在电场力作用下的运动轨迹。在粒子从经运动到的过程中（　　） A．粒子的加速度先减小后增大 B．静电力对粒子先做负功后做正功 C．粒子的动能先增大后减小 D．粒子的电势能先减小后增大 5．（2024·广东广州·一模）科学家研究发现，蜘蛛在没有风的情况下也能向上“起飞”。如图，当地球表面带有负电荷，空气中有正电荷时，蜘蛛在其尾部吐出带电的蛛丝，在电场力的作用下实现向上“起飞”。下列说法正确的是（    ） A．蜘蛛往电势高处运动 B．电场力对蛛丝做负功 C．蛛丝的电势能增大 D．蛛丝带的是正电荷 6．（多选）（2023·全国乙卷·高考真题）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP > OM，OM = ON，则小球（   ）    A．在运动过程中，电势能先增加后减少 B．在P点的电势能大于在N点的电势能 C．在M点的机械能等于在N点的机械能 D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功 7．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能； （2）小球经过O点时的速度大小； （3）小球过O点后运动的轨迹方程。 8．（24-25高二上·云南曲靖·阶段检测）如图所示，一质量m = 2.0 × 10−18 kg、电荷量q = 1.0 × 10−12 C的带正电的粒子由静止经加速电场加速后，又沿极板中心轴线从O点垂直进入偏转电场，并从另一侧射出打在竖直荧光屏上的P点（图中未画出）。O′点是荧光屏的中心，已知加速电场电压U0 = 2500 V，偏转电场电压U = 100 V，偏转电场极板的长度L1 = 6.0 cm，板间距离d = 2.0 cm，极板的右端到荧光屏的距离L2 = 3.0 cm。不计粒子重力，求： (1)粒子射入偏转电场时的初速度大小v0； (2)粒子射出偏转电场时距离极板中心轴线OO′的距离； (3)粒子离开偏转电场时的动能Ek； (4)P点到O′点的距离。 9．（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图，整个空间有场强的水平匀强电场。为竖直面的绝缘光滑轨道，其中部分是水平轨道，部分是半径为的圆弧，两段轨道相切于点。为水平轨道上的一点，而且，把一质量、带电荷量小球从点由静止释放，小球将在轨道的内侧运动，取，求： (1)小球到达点时对轨道的压力； (2)小球从到的过程中动能的最大值； (3)小球从到的过程中机械能最大值（面为零重力势能参考平面） 10．（25-26高二上·广东茂名·期末）如图所示，一个静止的电子经过电压为的加速电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的偏转电场，两极板的长度为，相距为，极板间的电压为。已知电子紧靠负极板，电荷量大小为，质量为，偏转电场可看作匀强电场。求： (1)电子进入偏转电场的速度大小； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为； (3)电子离开偏转电场时的动能大小。 素养提升 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林·高考真题）在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面（纸面）内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中（　　） A．动能减小，电势能增大 B．动能增大，电势能增大 C．动能减小，电势能减小 D．动能增大，电势能减小 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另一个电荷量为q（q > 0且q << Q）的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则（   ） A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力 B．小球从c点到e点电势能先不变后减小 C．小球过f点的动能等于过d点的动能 D．小球过b点的速度大于过a点的速度 4．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 5．（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为。随后，液滴以的速度竖直进入长度为的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求： (1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离； (2)A、B细胞收集管的间距。 迁移创新 1．（多选）（2022·全国乙卷·高考真题）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　） A．粒子3入射时的动能比它出射时的大 B．粒子4入射时的动能比它出射时的大 C．粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能 D．粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能 2．（多选）（2023·湖北·高考真题）一带正电微粒从静止开始经电压加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（    ）    A． B． C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2 D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变 3．（21-22高三上·辽宁大连·期中）如图甲所示，真空中的电极可连续不断均匀地逸出电子（设电子的初速度为零），经加速电场加速，由小孔穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A、B的中线射入偏转电场，A、B两板距离为d，A、B板长为L，AB两板间加周期性变化的电场UAB，如图乙所示，周期为T，加速电压U1=，其中m为电子质量、e为电子电荷量，T为偏转电场的周期，不计电子的重力，不计电子间的相互作用力，且所有电子都能离开偏转电场，求： (1)电子从加速电场U1飞出后的水平速度v0的大小； (2)t=0时刻射入偏转电场的电子离开偏转电场时距A、B间中线的距离y； (3)在0～内射入偏转电场的电子中从中线上方离开偏转电场的电子占离开偏转电场电子总数的百分比。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 静电场的应用 第2节 带电粒子在电场中的运动 课标要点 1. 能分析带电粒子在匀强电场中的受力情况，结合牛顿运动定律判断粒子运动状态，区分匀加速直线运动、类平抛运动两类典型模型。 2. 会结合动能定理、运动分解法处理带电粒子加速、偏转问题，能推导偏转位移、偏转角相关计算公式。 3. 了解示波管的基本构造与工作原理，能用电场偏转规律解释示波管的成像逻辑，体会静电场的实际应用价值。 学习重难点 重点：掌握带电粒子在匀强电场中加速、偏转两类模型的分析方法，熟练运用运动分解、动能定理进行定量计算。 难点：类平抛运动中电场力、速度、位移的矢量分解运算，综合力学、电场知识解决多过程复合电场问题。 知识点 带电粒子/物体在电场中的直线运动（重点） 1. 带电粒子在匀强电场中做直线运动（不计重力） - 条件：粒子初速度方向与电场力方向共线（同向或反向）。 - 运动性质：匀变速直线运动。 - 解题方法： ① 动能定理：qU = - （优先选用，无需分析中间过程）； ② 牛顿定律+运动学公式：由a= ，结合v=v0+at、x=v0t+ 求解。 2. 带电粒子在周期性变化电场中做直线运动（不计重力） - 电场随时间周期性变化，粒子加速度随电场同步变化。 - 处理方法：分段分析每个时间段内的加速度、速度、位移，画出v-t图像简化分析； - 常见模型：粒子在交变电场中反复加速、减速，往复运动。 3. 带电物体（计重力）在电场中的平衡问题 - 受力：重力、电场力，二力平衡。 - 核心方程：mg=qE，据此求解电场强度、电荷量等物理量。 4. 带电物体（计重力）在匀强电场中的直线运动 - 合外力恒定，做匀变速直线运动； - 步骤：先求重力与电场力的合力，再用牛顿第二定律求加速度，最后结合运动学公式计算。 5. 带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动 - 等效重力法：将重力与电场力合成“等效重力”； - 等效最高点：等效重力反方向的位置，是圆周运动速度最小的位置； - 临界条件：等效最高点时，等效重力提供向心力。 6. 带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 - 合外力为恒力：若初速度与合外力共线则做匀变速直线运动；若不共线则做匀变速曲线运动。 7. 带电物体（计重力）在非匀强电场中的直线运动 - 电场力为变力，合外力变化，物体做变加速直线运动； - 优先使用动能定理（只看初末位置电势差与高度差）。 8. 带电物体（计重力）在非匀强电场中的一般运动 - 变力作用下做变加速曲线运动，常用动能定理、能量守恒（电势能+重力势能+动能总和不变）求解。 随学随练 1．（24-25高一下·北京西城·期末）如图（a）所示，平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的变化电压，重力可忽略的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在时刻释放该粒子，粒子先向A板运动，再向B板运动…，最终打在A板上。则可能属于的时间段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子带正电，由于粒子先向A板运动，表明粒子在时刻释放时，所受电场力方向向左，电场方向向左，则有 表明一定在之间某一时刻，由于粒子最终打在A板上，则粒子在一个周期之内的总位移方向向左，根据运动的对称性可知，粒子释放开始向左做匀加速直线运动维持的时间一定大于，则有 故选C。 2．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。 （1）求带电粒子所受的静电力的大小F； （2）求带电粒子到达N板时的速度大小v； （3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）两极板间的场强 带电粒子所受的静电力 （2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有 解得 （3）设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据功能关系有 带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有 ， 则该粒子从M板运动到N板经历的时间 3．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，用L=30cm的绝缘细线将质量为的足够小的带电小球悬挂在O点，当空中竖直平面内加上如图所示斜向上与水平方向成37°角，大小为的匀强电场时，小球能在图示细线与竖直方向成37°处处于静止状态。（g取，，）求： (1)小球是正电荷还是负电荷。并说明原因： (2)带电小球所带电荷量大小q为多少； (3)剪断细线后带电小球的加速度大小a。 【答案】(1)正电荷，见解析 (2) (3) 【详解】（1）正电荷。 对小球受力分析，可知其受重力、细线的拉力和电场力，根据平衡条件，可知电场力方向与电场强度方向相同时，小球才能处于平衡状态。 （2）小球受力平衡，则有 解得 （3）剪断细线后，重力和电场力不变，其合力为 根据牛顿第二定律有 解得 知识点 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动（不计重力）（重点） 1. 基础模型：类平抛运动 - 条件：粒子初速度v0垂直于匀强电场方向射入电场。 - 运动分解： ① 初速度方向：不受力，做匀速直线运动，l=v0t； ② 电场力方向：受恒定电场力，做初速度为零的匀加速直线运动，a= 。 - 核心公式： 偏转位移：y = ； 偏转角正切值：tanθ = 。 2. 重要推论 粒子离开匀强电场时，速度方向的反向延长线一定经过极板水平长度的中点。 3. 拓展：匀强电场中非平抛的曲线运动 - 初速度不严格垂直电场时，依然正交分解：沿电场方向匀加速，垂直电场方向匀速； - 仍然用分运动独立原理分别计算两个方向的位移、速度。 4. 带电粒子在周期性变化电场（初速度垂直电场）中的运动 - 电场随时间交变，电场力周期性变化； - 垂直电场方向始终匀速；沿电场方向分段做匀加速、匀减速运动； - 用v-t图像分析沿电场方向的速度与位移。 随学随练 1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，由对球，根据牛顿第二定律有 a运动到最高点的时间，由运动学公式有 联立解得 （2）方法一、根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为 斜下抛的小球竖直方向上运动位移为 则小球a到达最高点时与小球b之间的距离 方法二、两个小球均受到相同电场力，以a球为参考系，球以的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）芯片制造企业的离子注入工艺研发中，涉及电子在电场中的加速与偏转模拟实验。一个初速度为零的电子在U1电压加速后，垂直于平行板间的匀强电场从两极板中心处射入，如图所示，两板间距d，板长L，两板间的电压U2。已知电子的带电量e，质量为m，只考虑两板间的电场，不计重力，求： (1)电子经加速电压加速后进入偏转电场的速度； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离； (3)已知两板间距d=1.0cm，板长L=2.0cm，偏移的距离y=0.4cm，若电子射出偏转电场后经过下极板所在平面上的P点，如图，求P点到下极板右端的距离。 【答案】(1) (2) (3)0.25cm 【详解】（1）设电子经加速电压加速后进入偏转电场的速度为，根据动能定理可得 解得 （2）根据牛顿第二定律可得电子在偏转电场中竖直方向的加速度 水平方向做匀速直线运动，则运动时间 射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离 联立解得 （3）电子出电场后做匀速直线运动，将电子出电场时的速度反向延长，延长线与板间中心线相交于板的中点，设速度反向延长线与水平方向的夹角为θ 则 由几何关系 解得x=0.25cm 3．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）如图甲，水平放置的平行板电容器的两极板M、N的长度为L，AB是极板的中心线，两板间所加电压随时间变化的规律如图乙所示，图中、T已知时刻，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子沿两板中心线AB以某一初速度射入极板间，若时，该粒子在T时刻恰从M板右端边缘飞出。不计粒子受到的重力和空气阻力。求： (1)该粒子飞入极板间的速度大小； (2)两极板的间距； (3)若该粒子恰从B点飞出，图乙中k的值。 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）粒子在沿板方向做匀速直线运动，可得T 解得 （2）粒子在垂直板方向做变速直线运动，内粒子的加速度 因为，内粒子在垂直板方向加速度大小与内相等，图像如图所示 在内垂直板方向位移 解得 （3）若粒子恰从B点飞出，即粒子在垂直板方向先向上加速后向上减速再反向加速，图像如图所示 粒子在0到时刻，加速度 粒子在到T时刻，加速度 全程在垂直极板方向列运动学公式 解得 即 知识点 示波器的原理与应用 1. 示波器的原理与用途 - 组成：电子枪（加速电子）、竖直偏转电极YY'、水平偏转电极XX'、荧光屏； - YY'极板：加信号电压，控制光点竖直方向偏移； - XX'极板：加扫描电压，控制光点水平方向匀速扫描； - 用途：观察随时间变化的电信号波形。 2. 示波器的相关计算 - 偏转位移与极板间电压成正比； - 结合类平抛偏转公式，由偏移距离反求输入电压大小。 3. 根据原理推断荧光屏上图像 - 水平扫描电压：使光点水平匀速移动； - 竖直信号电压：使光点上下随信号电压同步偏移； - 两个电压共同作用，在屏上画出信号电压随时间变化的波形。 随学随练 1．（2025·广西桂林·一模）示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图甲所示，通电后电子枪有电子逸出（初速度为零），经加速电压U1加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上，荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点O，建立xOy坐标系。若在 YY'电极上输入图乙所示的电压，下列说法正确的是（　　）    A．若在水平电极XX'不加电压，荧光屏上的图像为正弦图像 B．若在水平电极XX'不加电压，所有的电子打在荧光屏中心 O点 C．若在水平电极XX'加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一条直线 D．若在水平电极XX'加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一个圆 【答案】C 【详解】AB．若在水平电极XX'不加电压，则电子仅在竖直方向偏转，图像为过O点的竖直线，故AB错误； CD．若在水平电极XX'加图丙所示电压，即电极XX'与电极YY'上所加电压均为正弦电压，则电子水平偏转位移和竖直偏转位移始终相等，图像为过O点的满足y=x的倾斜的直线，故C正确，D错误。 故选C。 2．（多选）（23-24高二上·吉林长春·阶段检测）示波器是一种常见的电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压随时间变化的情况。示波器的内部构造简化图如图所示，电子经电子枪加速后进入偏转电场，最终打在荧光屏上。下列关于所加偏转电压与荧光屏上得到图形的说法中正确的是（　　） A．如果只在上加图甲所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（b） B．如果只在上加图乙所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（a） C．如果在、上分别加图甲、乙所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（c） D．如果在，上分别加图甲、乙所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（d） 【答案】ABD 【详解】A．如果只在上加图甲所示的电压，竖直方向不偏转，所以在荧光屏上看到的图形如图（b），故A正确； B．如果只在上加图乙所示的电压，水平方向不偏转，则在荧光屏上看到的图形如图（a），故B正确； CD．如果在、上分别加图甲、乙所示的电压，则水平方向为扫描电压，扫描电压覆盖了两个周期的待测信号波形，在荧光屏上看到的图形将如图（d）所示，故C错误，D正确。 故选BD。 3．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10 cm，极板间距d＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，荧光屏足够长，在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势差随时间变化的图像如图乙所示。每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过极板的过程中电压是不变的。求： (1)在t＝0.06 s时刻，电子打在荧光屏上的位置到O点的距离； (2)荧光屏上有电子打到的区间长度。 【答案】(1)13.5 cm (2)30 cm 【详解】（1）设电子经电压U0加速后的速度为v0，根据动能定理得 设电容器间偏转电场的场强为E，则有 设电子经时间t通过偏转电场，偏离轴线的侧向位移为y，则沿中心轴线方向有 垂直中心轴线方向有 联立解得 设电子通过偏转电场过程中产生的侧向速度为vy，偏转角为θ，则电子通过偏转电场时有vy＝at， 则电子在荧光屏上偏离O点的距离为 由题图乙知t＝0.06 s时刻，U＝1.8U0 解得Y＝13.5 cm （2）由题知电子偏移量y的最大值为，根据可得，当偏转电压超过2U0时，电子就打不到荧光屏上了，所以代入得 所以荧光屏上电子能打到的区间长度为2Ymax＝3L＝30 cm 知识点 带电粒子在径向电场中的运动（难点） - 电场沿半径方向（如辐射状电场），电场力始终沿径向； - 粒子做曲线运动，电场力只改变速度方向，不改变速度大小（电场力始终垂直速度时，电场力不做功）； - 解题常用：动能守恒（速率不变）、向心力由电场力提供。 随学随练 1．（2025·福建·高考真题）角分辨光电子能谱仪是现代科学研究的先进仪器，其核心装置中有两个同心半球极板。垂直半球底面且过球心O的截面如图所示。极板间存在一径向电场，其等势线为一系列以O为圆心的半圆。电子A以初动能，从入口M点垂直半球底面入射，从N点射出，电子b也从M点垂直半球底面入射，经P点后从Q点射出。两电子的运动轨迹如图所示，已知电子a轨迹为一以O为圆心的半圆，与OP交于H点，H、P两点间的电势差为U，，，电子电荷量大小为，重力不计。则（　　） A．P点的电场强度 B．电子a在H点儿受到的电场力大小为 C．电子b在P点动能小于在Q点动能 D．电子b从M点运动到Q点的过程中，克服电场力所做的功小于2eU 【答案】D 【详解】AB．a粒子入射动能为Ek，根据动能的表达式有 粒子恰好做圆周运动，则 联立解得 根据电场强度的分布可知P点的电场强度小于，故AB错误； C．已知|NQ|=2|HP|，因为HN在同一等势线上，且沿电场方向电势降低，则Q点电势小于P点，电子在电势低处电势能大，则b粒子在Q点电势能大，根据能量守恒可知，b粒子在Q点动能较小，故C错误； D．由电场线密度分布情况可知，沿径向向外电场强度减小，则HP之间平均电场强度大小大于NQ之间的平均电场强度大小，根据 可知 则b粒子全程的克服电场力做功，故D正确。 故选 D。 2．（2023·北京·高考真题）如图所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点，O为EF、MN的交点，EO = OF。一不计重力带负电的点电荷在E点由静止释放后（   ） A．做匀加速直线运动 B．在O点所受静电力最大 C．由E到O的时间等于由O到F的时间 D．由E到F的过程中电势能先增大后减小 【答案】C 【详解】AB．带负电的点电荷在E点由静止释放，将以O点为平衡位置做往复运动，在O点所受电场力为零，故AB错误； C．根据运动的对称性可知，点电荷由E到O的时间等于由O到F的时间，故C正确； D．点电荷由E到F的过程中电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。 故选C。 3．（2025·河南·模拟预测）某电场的电势随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子（　　） A．将在ad之间做周期性运动 B．在d点的电势能大于a点的电势能 C．在b点与c点所受电场力方向相同 D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点 【答案】A 【详解】B．由图可知，、两点电势相等，根据可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误； C．图像斜率表示电场强度，由图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据可知在b点与c点所受电场力方向相反，故C错误； AD．根据沿着电场线方向电势降低可知在点电场方向为轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，粒子仅受电场力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能等于a点的动能均为0，即粒子将在ad之间做周期性运动，不能到达点，故A正确，D错误。 故选A。 题型 先加速后偏转的类平抛综合模型 一、核心知识点 1.加速阶段：电场力做功，优先使用动能定理 qU1= ，规避复杂的运动学推导。 2.偏转阶段：运动的独立性原理，将类平抛正交分解： - 水平方向：匀速直线运动，L=v0t； - 竖直方向：初速度为零的匀加速直线运动，加速度 a= 。 3.二级结论：粒子射出电场时速度反向延长线过极板水平中点；偏转位移 y= ，偏转轨迹与粒子比荷无关。 二、解题思维方法 1.分段建模思维：将全过程拆分为加速、偏转两个独立阶段，以偏转电场的入射初速度作为两个过程的连接量。 2.分运动独立思维：两个分运动互不影响，分别对水平、竖直方向列方程，再联立求解。 3.结论优先思维：选择题、填空题直接套用偏转位移公式，省去多次联立方程的计算。 三、易错点突破 1.混淆加速电压U1与偏转电压U2，物理量对应错误。 2.混淆极板长度L和板间距离d，造成竖直位移计算失误。 3.忽略推论，全程代数联立，耗时过长。 活学活用 1．（25-26高一下·福建福州·期末）如图所示，电子枪的加速电压，平行极板A与B的间距且。一电子从电子枪的电热丝无初速逸出，经电压加速后以从点沿平行于板面的方向射入板间电场。电子从点射出电场时，沿垂直于板面方向偏移的距离。已知电子的比荷，两板间的电场可看作匀强电场。已知。不计电子的重力，求： (1)求的大小； (2)求两极板的长度； (3)电子从点射出电场时的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子加速过程，根据动能定理有 （2）电子在平行极板间运动时，由牛顿第二定律得 又 电子在平行极板间做类平抛运动， 解得 （3）平行板A、B间的电场强度 则、两点间的电势差 电子从开始运动至点的过程应用动能定理得 解得 2．（25-26高二下·江西宜春·期末）如图所示，粒子源产生质量为m、电荷量为q的正粒子漂入（初速度很小，可忽略不计）电压为的加速电场，经加速后从小孔S沿正对放置的平行金属板的中心线射入偏转电场，板长为L，相距为两板间电压为板带正电，B板带负电，不计粒子重力及相互作用，以S为坐标原点、的中心线为x轴建立如图所示的直角坐标系。 (1)求粒子进入偏转电场时的速度大小； (2)写出粒子在偏转电场中的运动轨迹方程； (3)若粒子从B板右边缘点射出偏转电场，求应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在加速电场中由动能定理 解得 （2）粒子在偏转电场中做类平抛运动：， 消去t得： （3）当粒子从B板右边缘射出时，代入轨迹方程得 解得 题型 交变电场中带电粒子的往复直线运动 一、核心知识点 1.交变匀强电场：电场周期性变化，电场力、加速度同步周期性改变。 2.运动规律：电场存在时做匀变速运动；电场消失时做匀速直线运动；电场反向时加速度反向。 3.v-t图像：斜率表示加速度，图像面积表示位移，速度正负代表运动方向。 4.临界约束：粒子可能在周期结束前就打到极板，运动提前终止。 二、解题思维方法 1.时段拆解思维：严格按照电压切换的时间节点，把运动拆分为多个小段，逐段分析加速度、速度与位移。 2.图像辅助思维：优先绘制v-t图像，直观判断加速、减速、反向运动，简化总位移、往返次数的计算。 3.临界预判思维：先检验粒子是否会在一个时间段内打到极板，不盲目套用整周期运动规律。 三、易错点突破 1.把交变电场当作恒定电场，全程使用同一个加速度运算。 2.不考虑极板的空间限制，机械地按整周期往复运动计算。 3.只用代数公式计算，不会借助v-t图像简化复杂多阶段运动。 活学活用 1．（25-26高一下·江苏扬州·期末）如图所示为某加速设备内电场的简化模型，在y轴左侧存在水平向左的匀强电场，右侧存在竖直向上的匀强电场，场强大小均为E，电子枪从A处无初速释放一质量为m，电荷量为e的电子，A点的坐标为，不计电子重力。求： (1)电子进入第一象限的速度大小； (2)电子从静止加速到经过x轴所需的时间； (3)电子经过x轴时的速度。 【答案】(1) (2) (3)，速度方向与水平成45° 【详解】（1）电子无初速释放，由动能定理有 解得电子进入第一象限的速度大小为 （2）在A处释放电子匀加速运动至y轴，设运动时间为，则有， 粒子进入第一象限后做类平抛运动，设运动时间为，则有， 联立解得电子从释放到运动至x轴时的时间为 （3）电子进入第一象限后做类平抛运动，有，， 联立解得电子经过x轴时的速度大小为，。 2．（24-25高二上·安徽·期末）如图甲所示，两水平放置的平行导体板、，板长为，板间距离为，为两板中心线，两板间加上有周期性变化的电压，如图乙所示（图中为已知值，为未知值）。左侧为粒子源，源源不断地发出质量为、带电量为的带电粒子，粒子均以相同的初速度从点水平射入两板间。若带电粒子在时刻从点射入平行板，时刻刚好从板的右边缘射出。带电粒子的重力、粒子间相互作用均忽略不计，两板间电场为理想的匀强电场。求： (1)带电粒子射入平行板的初速度； (2)图乙中的值； (3)时间内时刻射入平行板的粒子恰好从点射出，求。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，粒子在电场中沿水平方向做匀速直线运动，故粒子进入平行板的初速度 （2）粒子在平行板竖直方向做匀加速运动，粒子的加速度为，根据牛顿第二定律可得 解得 方向竖直向下，此阶段沿竖直方向偏转的位移 此时粒子沿竖直方向的速度 时间内，粒子竖直方向的加速度为，根据牛顿第二定律则有 解得 方向竖直向上，此阶段粒子在竖直方向做匀减速直线运动，偏转位移为 根据题意可得 联立解得 （3）粒子在时刻进入平行板，粒子在竖直方向的加速度为 竖直方向上的位移 此时粒子的速度 粒子在的时间内，其加速度 此阶段的位移 末时刻粒子的速度 设经过时间粒子到达，此阶段粒子的加速依然为 此阶段竖直方向的位移 由于在竖直方向位移为零，即 联立解得 基础通关 1．（2024·新疆河南·高考真题）如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则（　　） A．两绳中的张力大小一定相等 B．P的质量一定大于Q的质量 C．P的电荷量一定小于Q的电荷量 D．P的电荷量一定大于Q的电荷量 【答案】B 【详解】由题意可知设Q和P两球之间的库仑力为F，绳子的拉力分别为T1，T2，质量分别为m1，m2；与竖直方向夹角为θ，对于小球Q有 对于小球P有 联立有 所以可得 又因为 可知，即P的质量一定大于Q的质量；两小球的电荷量则无法判断。 故选B。 2．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为，则初速度之比为，沿电场方向的位移大小相等，由可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有 可得 可知，带电粒子具有相同比荷，故A错误； B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误； C．沿电场方向，由公式可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误； D．由图可知，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为，则所用时间之比为，故D正确。 故选D。 3．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入电压为的电场（为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距极板L处，样品中心位于点。假设单个离子在通过区域的极短时间内，电压可视为不变，当时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．的最大值 B．当且时，离子恰好能打到样品边缘 C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大 D．在和时刻射入的离子，有可能分别打在A和B点 【答案】B 【详解】A．粒子在加速电场中被加速时 在偏转电场中做类平抛运动，则， 解得 选项A错误； B．当时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则 解得 选项B正确； C．根据 若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C错误； D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻射入的粒子打到A点时的竖直位移小于打到B点时的竖直位移，则选项D错误。 故选B。 4．（2025·北京东城·二模）如图所示，虚线为某点电荷产生的电场的等势线，相邻等势线间的电势差相等；实线为一个粒子仅在电场力作用下的运动轨迹。在粒子从经运动到的过程中（　　） A．粒子的加速度先减小后增大 B．静电力对粒子先做负功后做正功 C．粒子的动能先增大后减小 D．粒子的电势能先减小后增大 【答案】B 【详解】A．图像可知粒子从A经过B运动到C的过程中，粒子先靠近点电荷后远离点电荷，所受静电力先增大后减小，加速度也先增大后减小，故A错误； BCD．由轨迹的弯曲情况，静电力应指向曲线凹侧，且与等势面垂直(电场线垂直该处等势面)，所以可以判断粒子受到的静电力为排斥力，故粒子从经运动到的过程中，静电力对粒子先做负功后做正功，粒子的动能先减小后增大，粒子的电势能先增大后减小，故B正确，CD错误。 故选B。 5．（2024·广东广州·一模）科学家研究发现，蜘蛛在没有风的情况下也能向上“起飞”。如图，当地球表面带有负电荷，空气中有正电荷时，蜘蛛在其尾部吐出带电的蛛丝，在电场力的作用下实现向上“起飞”。下列说法正确的是（    ） A．蜘蛛往电势高处运动 B．电场力对蛛丝做负功 C．蛛丝的电势能增大 D．蛛丝带的是正电荷 【答案】A 【详解】由题意可知，蛛丝受到空气中正电荷的吸引力和地球负电荷的排斥力，则蛛丝带的是负电荷；离正电荷越近电势越高，则蜘蛛往电势高处运动，运动过程电场力对蛛丝做正功，蛛丝的电势能减小。 故选A。 6．（多选）（2023·全国乙卷·高考真题）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP > OM，OM = ON，则小球（   ）    A．在运动过程中，电势能先增加后减少 B．在P点的电势能大于在N点的电势能 C．在M点的机械能等于在N点的机械能 D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功 【答案】BC 【详解】ABC．由题知，OP > OM，OM = ON，则根据点电荷的电势分布情况可知 φM = φN > φP 则带负电的小球在运动过程中，电势能先减小后增大，且 EpP > EpM = EpN 则小球的电势能与机械能之和守恒，则带负电的小球在M点的机械能等于在N点的机械能，A错误、BC正确； D．从M点运动到N点的过程中，电场力先做正功后做负功，D错误。 故选BC。 7．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能； （2）小球经过O点时的速度大小； （3）小球过O点后运动的轨迹方程。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得 （2）小球从B到O，根据动能定理有 解得 （3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有 竖直方向有 解得 ， 说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有 ， 联立解得小球过O点后运动的轨迹方程 8．（24-25高二上·云南曲靖·阶段检测）如图所示，一质量m = 2.0 × 10−18 kg、电荷量q = 1.0 × 10−12 C的带正电的粒子由静止经加速电场加速后，又沿极板中心轴线从O点垂直进入偏转电场，并从另一侧射出打在竖直荧光屏上的P点（图中未画出）。O′点是荧光屏的中心，已知加速电场电压U0 = 2500 V，偏转电场电压U = 100 V，偏转电场极板的长度L1 = 6.0 cm，板间距离d = 2.0 cm，极板的右端到荧光屏的距离L2 = 3.0 cm。不计粒子重力，求： (1)粒子射入偏转电场时的初速度大小v0； (2)粒子射出偏转电场时距离极板中心轴线OO′的距离； (3)粒子离开偏转电场时的动能Ek； (4)P点到O′点的距离。 【答案】(1)5 × 104 m/s (2)1.8 × 10−3 m (3)2.509 × 10−9 J (4)3.6 × 10−3 m 【详解】（1）带电粒子在加速电场中，根据动能定理得 解得 （2）带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，在水平方向上 竖直方向上 由牛顿第二定律 而 解得 （3）带电粒子由静止开始到离开偏转电场过程中，由动能定理得 解得 （4）根据带电粒子离开偏转电场速度的反向延长线过偏转电场的中点，由相似三角形得 解得 9．（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图，整个空间有场强的水平匀强电场。为竖直面的绝缘光滑轨道，其中部分是水平轨道，部分是半径为的圆弧，两段轨道相切于点。为水平轨道上的一点，而且，把一质量、带电荷量小球从点由静止释放，小球将在轨道的内侧运动，取，求： (1)小球到达点时对轨道的压力； (2)小球从到的过程中动能的最大值； (3)小球从到的过程中机械能最大值（面为零重力势能参考平面） 【答案】(1)1.75N，方向水平向右 (2) (3)0.6J 【详解】（1）设小球在C点的速度大小是，则对于小球由的过程中，由动能定理得 解得 在C点由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律知，小球在C点对轨道的压力大小为1.75N，方向水平向右。 （2）由于 小球从到的过程中，当切线方向合力为零时，即运动到速度方向与重力和电场力的合力垂直的位置时小球的速度最大、动能最大，此时合力与竖直方向的夹角满足 由动能定理可得 联立解得 （3）小球从到的过程中，电场力一直做正功，小球的机械能一直增加，以面为零重力势能参考平面，小球的最大机械能为 10．（25-26高二上·广东茂名·期末）如图所示，一个静止的电子经过电压为的加速电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的偏转电场，两极板的长度为，相距为，极板间的电压为。已知电子紧靠负极板，电荷量大小为，质量为，偏转电场可看作匀强电场。求： (1)电子进入偏转电场的速度大小； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为； (3)电子离开偏转电场时的动能大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在加速电场中，根据动能定理有 解得 （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，沿平行于板面方向有，沿垂直于板面方向有 根据牛顿第二定律有 解得 （3）对电子运动的全程，根据动能定理有 解得 素养提升 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得A点弹簧伸长量为，B点和C点弹簧压缩量为，即三个位置弹簧弹性势能相等，则由A到B过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加， 同理B到C过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小， 由A到C全过程则有 因此 故选C。 2．（2024·吉林·高考真题）在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面（纸面）内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中（　　） A．动能减小，电势能增大 B．动能增大，电势能增大 C．动能减小，电势能减小 D．动能增大，电势能减小 【答案】D 【详解】根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场力方向为水平方向，根据力的合成可知电场力方向水平向右，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的运动方向相同，则电场力对小球正功，小球的动能增大，电势能减小。 故选D。 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另一个电荷量为q（q > 0且q << Q）的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则（   ） A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力 B．小球从c点到e点电势能先不变后减小 C．小球过f点的动能等于过d点的动能 D．小球过b点的速度大于过a点的速度 【答案】B 【详解】A．小球所受库仑力 由于re > rb，则小球在e点所受库仑力小于在b点所受库仑力，故A错误； B．点电荷在距其r处的电势为 由于c点到d点r不变，d点到e点r逐渐增大，则根据Ep = φq 可知小球从c点到d点电势能不变，从d点到e点电势能逐渐减小，故B正确； C．由于rf > rd，根据选项B可知，小球的电势能Epd > Epf，根据能量守恒可知，小球过f点的动能大于过d点的动能，故C错误； D．由于ra > rb，根据选项B可知，小球的电势能Epb > Epa，根据能量守恒可知，小球过a点的动能大于过b点的动能，则小球过b点的速度小于过a点的速度，故D错误。 故选B。 4．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为 （2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得 A到B过程根据动能定理得 联立解得 5．（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为。随后，液滴以的速度竖直进入长度为的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求： (1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离； (2)A、B细胞收集管的间距。 【答案】(1) (2)0.11m 【详解】（1）由题意可知含A细胞的液滴在电场中做类平抛运动，垂直于电场方向则 沿电场方向 由牛顿第二定律 解得含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离为 （2）含A细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则 则 联立解得 有对称性可知则A、B细胞收集管的间距 迁移创新 1．（多选）（2022·全国乙卷·高考真题）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　） A．粒子3入射时的动能比它出射时的大 B．粒子4入射时的动能比它出射时的大 C．粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能 D．粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能 【答案】BD 【详解】C．在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，可设为 带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有 ， 可得 即粒子1入射时的动能等于粒子2入射时的动能，故C错误； A．粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误； B．粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，故B正确； D．粒子3做向心运动，有 可得 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确； 故选BD。 2．（多选）（2023·湖北·高考真题）一带正电微粒从静止开始经电压加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（    ）    A． B． C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2 D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变 【答案】BD 【详解】B．粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线直线运动，根据电场强度和电势差的关系及场强和电场力的关系可得 ， 粒子射入电容器后的速度为，水平方向和竖直方向的分速度 ， 从射入到运动到最高点由运动学关系 粒子射入电场时由动能定理可得 联立解得 B正确； A．粒子从射入到运动到最高点由运动学可得 ， 联立可得 A错误； C．粒子穿过电容器时从最高点到穿出时由运动学可得 ， 射入电容器到最高点有 解得 设粒子穿过电容器与水平的夹角为，则 粒子射入电场和水平的夹角为 C错误； D．粒子射入到最高点的过程水平方向的位移为，竖直方向的位移为 联立 ，， 解得 且 ， 即解得 即粒子在运动到最高点的过程中水平和竖直位移均与电荷量和质量无关，最高点到射出电容器过程同理 ，， 即轨迹不会变化，D正确。 故选BD。 3．（21-22高三上·辽宁大连·期中）如图甲所示，真空中的电极可连续不断均匀地逸出电子（设电子的初速度为零），经加速电场加速，由小孔穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A、B的中线射入偏转电场，A、B两板距离为d，A、B板长为L，AB两板间加周期性变化的电场UAB，如图乙所示，周期为T，加速电压U1=，其中m为电子质量、e为电子电荷量，T为偏转电场的周期，不计电子的重力，不计电子间的相互作用力，且所有电子都能离开偏转电场，求： (1)电子从加速电场U1飞出后的水平速度v0的大小； (2)t=0时刻射入偏转电场的电子离开偏转电场时距A、B间中线的距离y； (3)在0～内射入偏转电场的电子中从中线上方离开偏转电场的电子占离开偏转电场电子总数的百分比。 【答案】(1) (2) (3)50% 【详解】（1）电子在加速电场中加速，由动能定理得 解得 （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，水平方向 解得 t=0时刻进入偏转电场的电子加速度 电子离开电场时距离A、B中心线的距离 解得 （3）在0~内射入偏转电场的电子，设向上的方向为正方向，设电子恰在A、B间中线离开偏转电场，则电子先向上做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，经过时间t′后速度 此后两板间电压大小变为3U0，加速度大小变为 电子向上做加速度大小为3a的匀减速直线运动，速度减为零后，向下做初速度为零、加速度大小为3a的匀加速直线运动，最后回到A、B间的中线，经历的时间为，则 解得 则能够从中线上方向离开偏转电场的电子的发射时间为 则在0～时间内，从中线上方离开偏转电场的电子占离开偏转电场电子总数的百分比 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $