专题03 有理数的大小比较（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学有理数比较大小核心知识点，系统梳理数轴比较法（数轴右边数大于左边数）和法则比较法（正数大于0、0大于负数、两个负数绝对值大的反而小），以基础方法为学习支架，通过易错点突破和多题型训练，衔接有理数概念与后续运算知识。 该资料特色在于分层设计典例与变式，结合巩固、强化训练，培养学生几何直观（数轴比较题）、推理意识（作差比较法）和应用意识（晶体熔点比较等实际情境题）。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升灵活解题能力。

专题03 有理数的比较大小 1. 熟练掌握课本两种核心的有理数大小比较方法； 2. 重点掌握两个负数的大小比较法则，突破易错难点； 3. 能灵活运用数轴法、法则法解决各类大小比较题型。 一、 数轴比较法 数轴上右边的数始终大于左边的数，适用于多个有理数、含字母数的大小比较。 二、法则比较法 （1）正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数； （2）两个正数比较：绝对值大的数更大； （3）两个负数比较：绝对值大的反而小。 三、 负数比较步骤 （1）求出两个负数的绝对值；（2）比较两个绝对值的大小；（3）根据“绝对值大的负数更小”得出结果。 题型01数轴比较法 【典例】如图，数轴上，两点表示的有理数分别为，，则与的大小关系为_____（填“”，“”或“”）． 【变式】有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________． 题型02法则比较法 【典例】比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【变式】比较大小： （1）_________； （2）_________； 题型03作差比较法 【典例】下面是两位同学在学习有理数运算后的一段对话．    在小学，只有当大于或等于时，才能做，例如：，．    学习了有理数后，当小于时，也能做．例如：． 请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据． 解： （依据： ） ． 【变式】比较与的大小．（请用两种方法比较） 题型04特殊值法 【典例】探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“ ”、“”、“”连接） ①______；        ②______； ③______；        ④______． (2)通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明a，b满足什么关系时，成立？ (3)根据（2）中得出的结论，当时，则x的取值范围是______． 【变式】探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“<”或“”或“=”连接）． ①__________； ②__________； ③__________； ④__________ (2)通过以上比较，请你分析､归纳出当为有理数时，__________（用“<”或“”或“=”或“≥”或“≤”连接）． (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是__________． 【巩固训练】 1．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 3．，，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 4．比较大小：0___________0.01，___________（填“<”“>”或“=”） 5．比较大小：_____， _____ ．（填、或） 6．在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 7．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 8．（1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 9．如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 10．比较大小：（用“>”、“<”或“=”填空）． (1)2______ (2)______ (3)______ (4)______ (5)______0 (6)_______0 (7)如果，，则a_____b 【强化训练】 1．在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如表所示，则熔点最低的是（    ） 晶体 固态氢 固态氧 固态碘 固态酒精 熔点（单位：℃） 114 A．固态氢 B．固态氧 C．固态碘 D．固态酒精 2．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 5．比较大小：_______（填“”“ ”或“”）． 6．数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数有__________个． 7．比较大小． (1)和 (2)和 8．给出下列一组有理数：2，，，，，0，，5，，0.36，回答下列问题： (1)这组数中的负分数有：______； (2)将这组数中的所有整数表示在下面的数轴上； (3)将这组数中的所有负数用“”连接起来． 9．如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 10．阅读与思考 请阅读小彬的日记，并完成相应的任务： X年X月X日 比较两个数的大小的方法今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？…… 任务： (1)上述方法是先通过找中间量__________来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，__________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． (2)利用上述方法比较与的大小． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数的比较大小 1. 熟练掌握课本两种核心的有理数大小比较方法； 2. 重点掌握两个负数的大小比较法则，突破易错难点； 3. 能灵活运用数轴法、法则法解决各类大小比较题型。 一、 数轴比较法 数轴上右边的数始终大于左边的数，适用于多个有理数、含字母数的大小比较。 二、法则比较法 （1）正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数； （2）两个正数比较：绝对值大的数更大； （3）两个负数比较：绝对值大的反而小。 三、 负数比较步骤 （1）求出两个负数的绝对值；（2）比较两个绝对值的大小；（3）根据“绝对值大的负数更小”得出结果。 题型01数轴比较法 【典例】如图，数轴上，两点表示的有理数分别为，，则与的大小关系为_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：观察数轴可知，， ． 故答案为：． 【变式】有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________． 【答案】 【详解】解：由图可得，，且， ∴， 故答案为：． 题型02法则比较法 【典例】比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴． 【变式】比较大小： （1）_________； （2）_________； 【答案】 【详解】解：（1）∵负数都小于， ∴； （2）∵，，， ∴． 题型03作差比较法 【典例】下面是两位同学在学习有理数运算后的一段对话．    在小学，只有当大于或等于时，才能做，例如：，．    学习了有理数后，当小于时，也能做．例如：． 请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据． 解： （依据： ） ． 【答案】减去一个数等于加上这个数的相反数；8； 【详解】解： （依据：减去一个数等于加上这个数的相反数） ． 【变式】比较与的大小．（请用两种方法比较） 【答案】 【详解】解：法1：， ∵， ∴； 法2：， ∴． 题型04特殊值法 【典例】探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“ ”、“”、“”连接） ①______；        ②______； ③______；        ④______． (2)通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明a，b满足什么关系时，成立？ (3)根据（2）中得出的结论，当时，则x的取值范围是______． 【答案】(1)；；；； (2)见解析； (3)； 【详解】（1）解：①； ∴ ； ②； ∴ ③；   ∴ ④； ∴ ； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：与的大小关系：； 当、同号或、至少有一个为时，成立； （3）解：由（2）可知非负数时，成立； 故答案为：． 【变式】探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“<”或“”或“=”连接）． ①__________； ②__________； ③__________； ④__________ (2)通过以上比较，请你分析､归纳出当为有理数时，__________（用“<”或“”或“=”或“≥”或“≤”连接）． (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：①, ②, ③, ④, 故答案为：； （2）通过（1）的例子可归纳： 当同号（或其中一个为０）时，; 当异号时，． 故答案为：； （3）, ． 由（2）的结论，当与同号（或时，． 故答案为：． 【巩固训练】 1．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴图示可知： ． ． 对比各选项，只有 C 选项成立． 2．下列各式比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，，， ，故A错误； B、，故B错误； C、，， ，故C正确； D、，，， ，故D错误． 3．，，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，． ∵ ， ∴ ． 4．比较大小：0___________0.01，___________（填“<”“>”或“=”） 【答案】 【详解】解：比较和， ∵是正有理数，正有理数都大于， ∴； ∵是负有理数，是正有理数，负有理数小于一切正有理数， ∴． 5．比较大小：_____， _____ ．（填、或） 【答案】 【详解】解：比较与， ，， 因为，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 所以； 比较与， ，， 将与通分，，， 因为，根据正数比较大小，数值大的数更大， 所以． 6．在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 【答案】 【详解】解：化简各数得：，， 根据有理数大小比较法则，可得， 即， 因此五个数中最小的数是． 7．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 【答案】，． 【详解】略． 8．（1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 【答案】（1）①；②；③2；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；③，理由见解析 【详解】解：（1）①；②；③， 故答案为：①；②；③2． （2）①∵，，且， ∴． ②∵，， ∴． ③∵，， ∴． 9．如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【详解】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 10．比较大小：（用“>”、“<”或“=”填空）． (1)2______ (2)______ (3)______ (4)______ (5)______0 (6)_______0 (7)如果，，则a_____b 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【详解】（1）∵正数大于负数， ∴， 故答案为：； （2），． ∵， 根据“两个负数，绝对值大的反而小”， ∴， 故答案为：； （3）． ，． ∵， ∴． 故答案为：； （4），． ∵负数小于正数， ∴． 故答案为：； （5） 负数小于0， ∴． 故答案为：； （6）因为任何数乘以0都得0， 所以， 即 故答案为：； （7）a中有3个负数相乘，结果为负，即，是负数． b中有2个负数相乘，结果为正，即，是正数． 负数小于正数，所以． 故答案为：； 【强化训练】 1．在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如表所示，则熔点最低的是（    ） 晶体 固态氢 固态氧 固态碘 固态酒精 熔点（单位：℃） 114 A．固态氢 B．固态氧 C．固态碘 D．固态酒精 【答案】A 【详解】解：由表格可知：， ∴熔点最低的是固态氢； 故选A． 2．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，与互为相反数，在数轴上关于原点对称；和互为相反数，在数轴上关于原点对称； 则和的位置如图， ∴． 3．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 4．数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【答案】D 【详解】根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 故选：D． 5．比较大小：_______（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【详解】解：，， 由于， 所以， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得． 故答案为：． 6．数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数有__________个． 【答案】5 【详解】解：A、B之间的整数有，，，，，共5个． 故答案为5． 7．比较大小． (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：，， ∴． 8．给出下列一组有理数：2，，，，，0，，5，，0.36，回答下列问题： (1)这组数中的负分数有：______； (2)将这组数中的所有整数表示在下面的数轴上； (3)将这组数中的所有负数用“”连接起来． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：这组数中的负分数有：，，， 故答案为：，，； （2）解：这组数中的整数有：，，，，； 数轴表示如下： （3）解：这组数中的负数有：，，，，， ，，，，，且， ∴． 9．如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴数a，b，，在数轴上的位置如图： （2）解：由（1）中的数轴可知，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴不小于且小于b的整数有． 10．阅读与思考 请阅读小彬的日记，并完成相应的任务： X年X月X日 比较两个数的大小的方法今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？…… 任务： (1)上述方法是先通过找中间量__________来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，__________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【详解】（1）解：观察可知，上述方法是先通过找中间量来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． 故答案为：；绝对值； （2）解：因为，， 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，理解借助中间量比较法是解答关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $