2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的概念、“三个二次”关系及解法，通过类比一次函数与一元一次方程、不等式的联系，结合园艺围矩形的实际问题导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以实际问题和类比推理引导学生用数学眼光观察现实，通过判别式分类讨论、图像分析培养数学思维，用表格、框图系统总结解法规范数学语言。如例4含参数不等式的分类讨论，练一练涵盖不同类型题目，助力学生理解知识联系、提升解题能力，也为教师提供清晰教学思路与丰富素材。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 第二章 一元二次函数、方程与不等式 1 学习目标 1.了解一元二次不等式的概念和一般形式 2.能理解三个二次的关系，并能够利用这种关系求解一元二次不等式 2 问题导入 任务1 一元二次不等式的概念 思考：在初中数学学习中，我们依托一次函数的视角探究一元一次方程与一元一次不等式，厘清三者蕴含的内在逻辑关联。借助这一联系，能够简化思路，更为便捷地求解相关问题。 y=x-1 -1 1 方程x-1=0的解为x=1 不等式x-1>0的解为x>1 不等式x-1>1的解为x>2 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，他们的联系又是怎样的呢？ y=ax2+bx+c ax2+bx+c=0 x2+bx+c>0 y=x+1 -1 1 方程x+1=0的解为x=-1 不等式x+1>0的解为x>-1 不等式x+1>1的解为x>0 3 问题导入 园艺师计划利用栅栏在绿地中圈出一块矩形区域用来栽种花卉。现有栅栏总长24，要求围出的矩形面积超过 20，求该矩形各边长的取值范围 设矩形的一边长为x m，则另一边长为(12－x) m， 由题意，得(12－x)x>20, 0<x<12. 求得该不等式的解集，就得到了问题的答案． (12-) 整理得x2－12x＋20＜0，x∈｛x|0＜x＜12｝． 4 探究新知 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 概念生成 一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0 (a≠0)或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0. 例如，刚刚问题中得到的x2－12x＋20＜0，x∈{x|0＜x＜12}就是一个一元二次不等式.那么，如何求解这个不等式呢？ 如何理解一元二次不等式中的“一元”与“二次”？ 5 探究新知 思考 类比一次函数与一元一次不等式的联系，我们能否依托二次函数研究一元二次不等式，进而得出一元二次不等式的求解方法？ 以前面的x2－12x＋20＜0和y=x2－12x＋20为例． 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使得ax2+bx+c=0的实数x叫做函数y=ax2+bx+c的零点. 实数根x1=2,x2=10 y=x2－12x＋20 x2－12x＋20=0 零点x1=2,x2=10 任务2 一元二次不等式的解法 6 探究新知 零点x1=2，x2=10将x轴分成三段. x2－12x＋20＜0 y=x2－12x＋20 x2－12x＋20=0 x2－12x＋20＞0 7 ∆＞0，∆=0，∆＜0 探究新知 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)和ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集.首先求出一元二次方程ax2+bx+c=0的根，再根据二次函数图像求解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根 ∆=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的零点 对应 二次函数图象 三种情况 0 0 0 8 探究新知 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ＞0 0 ＜0 （＞0）的图象 =0（＞0）的根 ＞0）的解集 ＜0 （＞0）的解集 0 0 0 有两个不相等的实数根) 有两个相等的实数根 没有实数根 {|＜,或｝ {|≠-} R Ø Ø {|＜＜｝ 9 例题讲解 例1 求不等式x2-5x-6＞0的解集. 解:对于方程x2-5x-6=0,因为∆＞0，所以它有两个实数根.解得x1=-1，x2=6. 画出二次函数y=x2-5x-6 的图象. 结合图像，可知不等式x2-5x-6＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞6}. -1 6 y x -6 10 例题讲解 例2 求不等式9x2-6x+1＞0的解集. 解:对于方程9x2-6x+1=0,因为∆=0，所以它有两个相等的实数根.解得 . 画出二次函数y=9x2-6x+1的图象，结合图像得不等9x2-6x+1＞0的解集为 . 0.2 0.6 y x 0.4 y=9x2-6x+1 11 例题讲解 例3 求不等式-x2+2x-3＞0的解集. 解:不等式x2-2x+3＜0. 画出二次函数y=x2-2x+3 的图象. 结合图象得不等式x2-2x+3＜0的解集为Ø，因此，原不等式的解集为Ø. 因为∆=-8＜0，所以方程x2-2x+3=0无实数根. 2 6 y x 4 3 12 方法归纳 用二次函数解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)和ax2+bx+c＜0(a＞0)的一般步骤： (1)检查二次项系数a的符号，对于a<0的一元二次不等式，把它的二次项系数化为正数； (2)计算判别式∆的值.如果∆≥0,求方程ax2+bx+c=0的根；如果∆<0,说明方程ax2+bx+c=0无实数根； (3)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，结合图象得出不等式的解集. 13 方法归纳 解不含参数的一元二次方程式的步骤 变形 求根 求解 画图 通过变形化成标准的一元二次不等式的形式（要求二次项系数为正且不等式的右边为0） 求出相应的一元二次方程的根，有三种情况：=0（两根相同，)，＜0(无实数根)和＞0（两个不相等的实根） 画出对应二次函数的草图，方程有根的将根标在图中 观察图象中位于轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集 14 方法归纳 用框图表示求解过程： 将原不等式化成 的形式 计算 的值 方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，解得x1，x2(x1＜x2) 方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，解得 方程x2+bx+c=0没有实数根 原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2} 原不等式的解集为 原不等式的解集为R 15 探究新知 例4 解不等式x2－2x－k2+1⩾0. 思考: 该不等式与我们例1~3求解过的不等式, 有什么异同点?  在解决该题目时需要注意什么? 答: 与前面我们求解的不等式的相同点在于, 都是一元二次不等式; 不同的地方在于, 前面的不等式对应的方程的解的个数是确定的, 本题中的不等式是含参数的, 对应一元二次方程x2－2x－k2+1=0 的Δ=4k2, 可能为 0, 也可能为正, 方程的解的个数不确定. 在解决该问题时, 需要注意分类讨论, 通过分类讨论将方程的解的个数确定下来. 16 探究新知 例4 解不等式x2－2x－k2+1⩾0. 解：原不等式变形为（x+k－1）(x－k－1) ⩾0, 方程（x+k－1）(x－k－1)＝0的两根为x1=－k+1，x2=k+1. ① 若 k=0, 则x1= x2 , 此时不等式的解集为 R ② 若 k>0, 则x1< x2 , 此时不等式的解集为 {x| x ⩽－k+1 或x ⩾k+1} ③ 若 k<0, 则x1> x2 , 此时不等式的解集为 {x| x ⩽k+1 或x ⩾－k+1} 17 练一练 （1）2x2－x－1>0； 解：2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， 则由2x2－x－1=0，得(2x＋1)(x－1)=0， 解得x1 =1或 ， 画出二次函数y=2x2－x－1的图象，结合 图像得不等2x2－x－1＞0的解集为{x| 或x >1}. 2 -1 y x -1 3 1、求下列不等式的解集： 18 练一练 （2）-6x2-x+2≤0； 解：不等式可化为 6x2+x-2≥0， 则由6x2+x-2=0，得(2x-1)(3x+2)=0， 解得 或 ， 画出二次函数y=6x2+x-2的图象，结合 图像得不等6x2+x-2≥0的解集为{x| 或 }. 2 -1 y x -1 3 19 练一练 (3)6x-x2＜0. 解：不等式可化为x2 - 6x 0 方程x2－6x=0有两个不同的实数根 所以不等式x2－6x0的解集为{x|x,或x} 因此原不等式的解集为{x|x, 或x} y x 20 练一练 (4)(3－x)(x＋2) ≤ 0. 原不等式可化为(x－3)(x＋2)≥0. 方程(x－3)(x＋2)＝0的两根为x1＝-2，x2＝3. 结合二次函数y＝(x－3)(x＋2) 的图象知原不等式的解集为{x|x≤－2,或x≥3}. y x 3 -2 21 2、 不等式＞0的解集为（ ） A. {|＜-或＞1} B. {|＜1或＞2} C. {|＞1} D. {|-＜＜1} 3、 已知全集U={|＞1},集合A={|＜0},则 等于（ ） A.{|1＜＜3} B.{|＜1或≥3} C.{|＜-1或≥3} D.{|＜-1或＞3} A C A 练一练 22 4、若不等式＞0的解集为{|2＜＜3} ,则,的值分别为_______,_______. -1 -6 解：由题意可知2和3是方程0的两个根，且＜0， ∴2+3=- ,2×3= , 解得=-1，=-6 练一练 23 练一练 5、已知f(x)=x²+3x−a． (1)若f(x)<0的解集为{x|−4<x<b}，求实数a，b的值; (2)解关于x的不等式f(x)>ax+2a． 解: (1)因为f(x)<0的解集为{x|−4<x<b}，所以x=−4为方程f(x)=0的根， 所以(−4)²+3×(−4)−a=0，解得a=4， 所以由f(x)=x²+3x−4<0，解得{x|−4<x<1}，所以b=1; (2)f(x)>ax+2a等价于x2+(3−a)x−3a>0，整理得：(x+3)(x−a)>0， 当a>−3时，解得x<−3或x>a; 当a=−3时，解得x≠−3; 当a<−3时，解得x<a或x>−3； 综上，当a>−3时，不等式的解集为(−∞,−3)∪(a,+∞); 当a=−3时，不等式的解集为{x|x≠−3}; 当a<−3时，不等式的解集为(−∞,a)∪(−3,+∞).  24 【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 1、一元二次不等式的求解步骤 2、“三个二次”的关系 25 加油ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ 26 $