7.4　三角函数应用 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦三角函数应用，分层设计从基础概念到实际建模，梯度清晰，巩固路径完整，适配新授课教学，发展数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|相位、周期等单一概念|选择填空为主，直接应用公式，如简谐运动位移比较| |综合应用|图像与公式综合|结合图像分析，如温度曲线参数求解| |拓展建模|实际情境建模|复杂情境问题，如水深数据拟合与安全时段计算|

7.4　三角函数应用 1.简谐运动y＝2sin的相位与初相位分别是（　　） A.5x－，　　　　　　 B.5x－，4 C.5x－，－ D.4， 2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由下列两式确定：s1＝5sin（2t＋），s2＝5cos（2t－）.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（　　） A.s1＞s2 B.s1＜s2 C.s1＝s2 D.不能确定 3.弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的（　　） A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s C.周期为6 s D.频率为6 Hz 4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P（x，y）.若初始位置为P0（，），当秒针从P0（注：此时t＝0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为（　　） A.y＝sin（t＋），t∈[0，＋∞） B.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞） C.y＝sin（－t＋），t∈[0，＋∞） D.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞） 5.（多选）如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（　　） A.该质点的运动周期为0.4 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 6.（多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），则下列说法正确的是（　　） A.该函数的最小正周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C.该函数的解析式是y＝10sin＋20（6≤x≤14） D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27 ℃ 7.某人的血压满足函数式f（t）＝24sin 160πt＋110，其中f（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为　　　　. 8.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝3cos（t＋），其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝　　　　cm. 9.如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系. 时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）近似描述，则该港口在11：00的水深为　　　m. 10.已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]. （1）求该地区这一段时间内的最大温差； （2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 11.已知简谐运动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐运动的频率和初相位分别是（　　） A.，　　B.，　　C.，　　D.， 12.（多选）阻尼器是一种以提供运动的阻力达到减振效果的专业工程装置.如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位：cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为s（t）＝3sin（ωt＋φ），其中ω＞0.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0（－3＜s0＜3）的时间分别为t1，t2，t3，且t1＋t2＝2，t2＋t3＝4，则下列是s（t）的单调区间的是（　　） A.[k，k＋1]（k∈N） B.［k＋，k＋］（k∈N） C.[k＋1，k＋2]（k∈N） D.［k＋，k＋］（k∈N） 13.据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的模型波动（x为月份），已知3月份价格最高，为8千元，7月份价格最低，为4千元，则f（x）＝　　　　. 14.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位：小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 （1）根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin（ωt＋φ）；②y＝Acos（ωt＋φ）＋b；③y＝－Asin ωt＋b（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； （2）为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？ 7.4　三角函数应用 1.C　相位是5x－，当x＝0时的相位为初相位，即－.故选C. 2.C　当t＝时，s1＝5sin（2×＋）＝－5，s2＝5cos（2×－）＝－5，∴s1＝s2. 3.B　振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s，频率f＝＝＝（Hz）.故选B. 4.C　由题意可得函数的初相位为，排除B、D，又T＝60且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以｜ω｜＝，即ω＝－. 5.BD　由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8，故A错误；最小值为－5，所以振幅为5 cm，故B正确；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0，故C错误，D正确.故选B、D. 6.ABD　由图象知A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵＝14－6，∴T＝16，故A正确；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20.∵图象经过点（14，30），∴30＝10sin＋20，∴sin（·14＋φ）＝1.∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴y＝10sin＋20，0≤x≤24，故B正确，C错误；当x＝12时，y＝10sin（ ·12＋）＋20＝10×＋20≈27 ℃，故D正确.故选A、B、D. 7.80　解析：因为f（t）＝24sin 160πt＋110，所以T＝＝＝，f＝＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80. 8.　解析：由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝. 9.4　解析：由题意得函数y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）的周期为T＝12，解得∴ω＝＝，∴y＝2sin t＋5，∴该港口在11：00的水深为y＝2sin π＋5＝4（m）. 10.解：（1）x∈[4，16]，则x－∈. 由函数解析式易知，当x－＝，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃； 当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20（℃）. （2）令10sin＋20＝15， 可得sin＝－，而x∈[4，16]， 所以x＝. 令10sin＋20＝25， 可得sin＝， 而x∈[4，16]，所以x＝. 故该细菌在这段时间内能存活－＝（小时）. 11.B　设简谐运动运动规律的三角函数表达式为y＝Asin（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）.由题意可知A＝，32＋＝52，则T＝8，ω＝＝，∴y＝sin.由图象过点得sin φ＝，∴sin φ＝.∵｜φ｜＜，∴φ＝，因此频率是，初相位为，故选B. 12.AC　因为t1＋t2＝2，t2＋t3＝4，所以T＝t3－t1＝2，ω＝＝π.由t1＋t2＝2，得t＝1是函数图象的一条对称轴，则π＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，所以s（t）＝3sin（πt＋k1π－）＝－3cos（πt＋k1π），k1∈Z.由2kπ≤πt＋k1π≤π＋2kπ，k∈Z，解得2k－k1≤t≤1＋2k－k1，k∈Z.又t＞0，则当k1＝k时，s（t）的单调区间是[k，k＋1]（k∈N）；当k1＝k－1时，s（t）的单调区间是[k＋1，k＋2]（k∈N）.故选A、C. 13.2sin＋6　解析：由题意得∴周期T＝2×（7－3）＝8，∴ω＝＝.∴f（x）＝2sin＋6.又f（3）＝8，∴8＝2sin（ ＋φ）＋6.∴sin＝1，结合｜φ｜＜得φ＝－.∴f（x）＝2sin＋6. 14.解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示. 　 依题意，选②y＝Acos（ωt＋φ）＋b作为函数模型， ∴A＝＝，b＝＝，T＝12， ∴ω＝＝， ∴y＝cos＋， 又∵函数图象过点（3，2.4）， 即2.4＝cos＋， ∴cos＝1，∴sin φ＝－1， 又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－， ∴y＝cos＋＝sin t＋（0≤t≤24）. （2）由（1）知，y＝sin t＋， 令y≥1.05，即sin t＋≥1.05， ∴sin t≥－， ∴2kπ－≤t≤2kπ＋（k∈Z）， ∴12k－1≤t≤12k＋7（k∈Z）， 又∵5≤t≤18， ∴5≤t≤7或11≤t≤18， ∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，才能确保集训队员的安全. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $