2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 课后同步练习-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档综合、提升应用三层设计，覆盖二次函数与不等式的单一求解到实际应用，梯度合理，适配暑假分层复习，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-2题）|单一不等式求解|直接考查解集，夯实概念理解，体现抽象能力| |中档层（3-10题）|方程根分布、参数范围讨论|多选题与参数题结合，培养推理能力与逻辑思维| |提升层（11-16题）|实际问题建模、综合探究|应用题与多问解答题，发展模型意识与创新意识|

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后同步练习 1．（26-27高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 即，解得， 2．（2026·辽宁朝阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布可得答案. 【详解】因为方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得且. 故选：A. 4．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 6．（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得和1是方程的根，且，然后由根与系数的关系用表示出，，代入中化简后，再解不等式即可 【详解】因为关于的不等式的解集是， ∴和1是方程的根，且， ∴，得， ∴不等式转化为， 因为，∴，，得， ∴不等式的解集为. 故选：B. 7．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题可先将不等式因式分解，再根据与的大小关系讨论不等式的解集，最后结合解集中恰有个整数解确定的取值范围． 【详解】将不等式因式分解，可得， 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 当时，不等式变为，因为任何实数的平方都大于或等于，所以此时不等式无解，不符合题意； 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 综上，实数的取值范围为或． 故选：D． 8．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 9．（25-26高一上·广东深圳·期末）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的最小值为5 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与二次方程根的关系可判断A错误，B正确，利用系数之间的关系将不等式化简解不等式可判断C正确，利用基本不等式计算可得D错误. 【详解】对于A和B，因为不等式的解集为， 所以对应函数的图象开口向下，所以， 由已知可知的两根为， 由韦达定理可得，所以，A错误，B正确； 对于C，因为，不等式可化为， 因为，所以等价于，即，解集为，C正确； 对于D，因为，所以， 当且仅当时，取得最小值，D错误. 故选：BC 10．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当时，可知A错误；由解一元二次不等式的方法判断B；由基本不等式验证C；借助二次函数性质判断D. 【详解】对于A，当，时，则，故A错误； 对于B， 可化为，解得，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为5，C正确； 对于D，当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由题意可知，解得； 综上所述，k的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 11．（2026高一·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 【答案】 【详解】，解得. 对于 ， （方法一）当 时， ，得； 当时， ，得. 故 的解集为. （方法二），得. （方法三）显然，两边平方，得. 故填； 12．（25-26高一上·上海·期中）甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 【答案】24 【分析】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费，根据题意列不等式组，可得，运算求解即可. 【详解】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费， 则，即， 可得，即， 设，则，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可得，此时，符合题意， 所以甲公司应投入24万元宣传费. 故答案为：24. 13．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知集合（m为实数）. (1)求； (2)若，求的值； (3)若对于，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合； （2）根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数； （3）先参数分离，再应用基本不等式取得最小值，进而得出参数范围. 【详解】（1）集合，则， 不等式，即，解得或， 所以. （2）由，且， 得n与6为方程的两根，且， 则，解得， 所以. （3）， 因此，即对成立， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）； （2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）； （3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （3）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)当时，求的解集； (2)若均为正根，求实数的取值范围； (3)求使的值为整数的的整数值； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式求解集即可； （2）根据已知有，再由两根为正，应用韦达定理列不等式求参数范围； （3）问题化为为整数，结合求参数值. 【详解】（1）由，不等式为， 所以原不等式的解集为； （2）由题设知，可得， 由均为正根，则，可得或， 综上，； （3）由为整数， 所以为整数，令且， 由，所以. 16．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后同步练习 1．（26-27高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁朝阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广东深圳·期末）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的最小值为5 10．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．不等式的解集为 C．若，则函数的最小值为5 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11．（2026高一·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 12．（25-26高一上·上海·期中）甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 13．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知集合（m为实数）. (1)求； (2)若，求的值； (3)若对于，都有，求实数的取值范围. 14．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)当时，求的解集； (2)若均为正根，求实数的取值范围； (3)求使的值为整数的的整数值； 16．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $