第六章 几何图形初步 02讲 直线、射线、线段 预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦“直线、射线、线段”核心知识点，通过表格对比三者定义、端点、伸展性等建立概念体系，衔接两直线相交规律、两点距离与中点性质，以尺规作图为技能支撑，构建从基础概念到综合应用（如最短路径、动点问题）的完整学习支架。 特色在于以数学眼光整合抽象概念与几何直观，如用表格明晰直线射线线段区别，通过“两点之间线段最短”解决实际路径问题培养模型意识，动点问题变式训练提升推理能力。课中助力分层教学，课后作业与考点对应，有效帮助学生查漏补缺。

第六章 几何图形初步 02讲 直线、射线、线段目录 【知识点1. 直线、射线、线段 1】 【知识点2. 两直线相交 4】 【知识点3. 两点之间的距离 7】 【知识点4. 尺规作图 9】 【知识点5. 线段的比较 13】 【知识点6. 线段的距离与中点 15】 【考点1. 直线、射线、线段的联系与区别 22】 【考点2. 直线、射线、线段的数量问题 25】 【考点3. 直线相交的交点问题 27】 【考点4. 两点之间的距离 29】 【考点5. 作图题 31】 【考点6. 线段的运算 35】 【考点7. 线段中点的有关计算 39】 【考点8. 线段n等分点的有关计算 44】 【考点9. 最短路径问题 48】 【考点10. 与线段有关的动点问题 50】 【课后作业 56】 知识清单：直线、射线、线段 1、直线、射线、线段 直线 射线 线段 定义 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 直线上一点和它一旁的部分 直线上两点及两点间的部分 图形 表示方法 1 用两个大写字母表示： 直线AB或直线BA 用它的端点和射线上的另一点来表示：射线OA 用表示端点的两个大写字母表示：线段 AB ( 或线段 BA ) 2 用一个小写字母表示： 直线m 用一个小写字母表 示： 射线d 用一个小写字母示： 线段 a 端点个数 0个 1个 2个 伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不可度量 不可度量 可度量 基本事实 两点确定一条直线 —— 两点之间，线段最短 巩固基础 1．如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、线段、线段，共3条线段，故错误，符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，不符合题意； C．射线与射线表示的是同一条射线，正确，不符合题意； D．线段与线段表示的是同一条线段，正确，不符合题意． 故选：A． 2．下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【答案】D 【分析】本题考查直线、射线、线段的表示方法，由直线、射线和线段的表示方法，即可判断． 【详解】解：A、直线上的点用大写字母表示，不能用小写字母表示，直线用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用两个小写字母表示，故A不符合题意； B、线段用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用一个大写字母表示，故B不符合题意； C、表示射线，应该把表示端点的字母放在前面，应该表示为射线，故C不符合题意； D、表示正确，故D符合题意． 故选：D． 3．下列说法正确的是（　　） A．画一条长的射线 B．线段和线段不是同一条线段 C．射线是直线的一部分 D．延长直线至点 【答案】C 【分析】依据射线、线段、直线的相关定义和性质，分别对每个选项进行分析，判断其正确性即可．本题主要考查了射线、线段、直线的定义和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：∵射线是无限延伸的，不可度量长度， ∴不能画一条长的射线，A选项错误； ∵线段和线段端点相同，长度相同，是同一条线段， ∴B选项错误； ∵射线是直线的一部分， ∴C选项正确； ∵直线本身是无限延伸的，无需延长， ∴不能延长直线至点C，D选项错误 故选：C． 4．把序号填在括号里．___________是直线，___________是射线，___________是线段． 【答案】 ①⑤/⑤① ④ ②⑥/⑥② 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟知它们的定义是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义解答即可． 【详解】解：①⑤是直线，④是射线，②⑥是线段， 故答案为：①⑤，④，②⑥． 知识清单：两直线相交 1、两直线相交 1）定义：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点。 2）直线两两相交的交点个数规律 直线两两相交 …… n条直线两两相交 交点个数 1 1+2=3 1+2+3=6 …… 巩固基础 1．若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题 本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点． 【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1； 当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2； 当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3； 故选D． 2．平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与直线的交点，理解两两相交的含义是解题的关键． 分三种情况讨论：当四条直线都交于一点；当三条直线交于一点；当两条直线两两相交，再结合图形得出答案即可． 【详解】分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 3．如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是相交线的运用，关键是理解题意并能把实际问题转化成数学问题来解决． 【详解】条直线最多有个交点， 在5条相交的笔直小道的所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，最多需要10个垃圾桶，即最多应增加的环保垃圾桶的数量为， 故选B． 4．三条直线相交，最多有________个交点． 【答案】3 【分析】本题考查了直线相交的个数问题，两条直线相交最多有一个交点，第三条直线与前两条直线均相交且不共点时，可增加两个交点，因此最多有三个交点． 【详解】解：两条直线在平面上相交，最多有一个交点，当第三条直线加入时，为使交点最多，第三条直线需与前两条直线都相交，且不经过前两条直线的交点，这样第三条直线会与前两条直线各产生一个交点，因此总交点数最多为个， 故答案为：3． 5．在同一平面内，三条互不重合的直线把平面至少分成___________部分． 【答案】 【分析】本题考查了平面内直线的位置关系，充分考虑平面内三条直线不同的位置关系并分类讨论是解题的关键． 根据平面内互不重合的三条直线的位置分析判断即可． 【详解】解：在同一平面内，当三条互不重合的直线相互平行时，把平面分成4部分，分成的部分最少． 故答案为：． 知识清单：两点之间的距离 1、两点之间的距离 定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 两点之间线段最短。 巩固基础 1．毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”。正如杭州湾跨海大桥建成通车，将上海至宁波间的陆路距离缩短了120千米，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（   ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．连接两点间线段的长度是两点间的距离 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的性质， 建桥后距离缩短，体现了“两点之间，线段最短”的几何事实． 【详解】解：∵大桥直接连接上海和宁波两点，而原本陆路是曲线路径， ∴根据“两点之间，线段最短”，可知距离缩短． 故选：D． 2．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 C．两点确定一条直线 D．平面内经过一点有无数条直线 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是掌握两点之间，线段最短． 根据两点之间，线段最短进行判断． 【详解】解：在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程， 这是因为两点之间，线段最短， 故选：A． 3．如图示，从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握这个性质是关键． 根据线段的性质：两点之间线段最短，即可解答． 【详解】解：从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短； 故选：B． 4．小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是__________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题关键． 根据两点之间，线段最短求解即可． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 知识清单：尺规作图 1、尺规作图 1）定义：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图。a 2）作一条线段等于已知线段 例：如图已知线段a，求作线段AB，使AB=a。B A C 作法：① 作射线AC； ② 以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧交AC于点B； ③ 线段AB即为所求。 巩固基础 1．根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了直线、射线、线段．分别分局直线、线段、射线的特征画图即可． 【详解】解：如图： 2．如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了画直线、射线； （1）根据要求画图即可求解； （2）根据要求画图即可求解； （3）根据要求画图即可求解； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线为所求； （3）解：如图，即为所求， 3．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义按要求作图． （1）根据直线没有端点、向两个方向无限延伸，射线有一个端点，向一个方向无限延伸，线段有两个端点，不延伸，画出直线，射线，线段； （2）线段上任取一点（不同于，），连接，再根据画出符合要求的图形即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 4．如图，已知四点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作直线与射线交于点． (2)如图2，作线段与射线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，熟知直线，射线和线段的画图方法是解题的关键． （1）根据直线和射线的画图方法画图即可； （2）根据线段和射线的画图方法画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 5．如图，平面上有四个点，，，，按照以下要求作图． (1)作直线，作射线； (2)连接，交于点． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查直线、射线、线段的画法，掌握直线、射线、线段的概念及画法是关键． （1）根据直线、射线的定义作图即可； （2）根据线段的作图方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下， （2）解：如图所示，点即为所求点． 6．如图，已知线段，作一条线段使它等于，不写作法． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段及线段的长短比较．在射线上作，即可． 【详解】解：如图，在射线上作， ∴线段即为所求． 知识清单：线段的比较 1、线段的比较 1）方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较。 2）方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较。 巩固基础 1．如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【分析】本题主要考查比较线段的长短．根据题意即可得出答案． 【详解】解：如图即可得出． 故选：C． 2．如图，已知线段，小军同学进行如下操作：用圆规在线段上截取．则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查比较线段的长短，直接根据图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， 又， ∴； 无法判断的大小关系， 故选D． 3．如图，用圆规比较两条线段的长短，正确的是（   ）    A． B． C． D．无法确定 【分析】本题主要考查了线段的比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由图可得，即可选出答案． 【详解】解：观察题中所给的图可知，． 故选：A． 4．如图，用圆规比较线段的长短，圆规的两个支腿的夹角不变，其中下列线段比长的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查比较线段的长短，直接根据图形比较长短即可． 【详解】解：A、线段比短，不符合题意； B、线段与一样长，不符合题意； C、线段比长，符合题意； D、线段比短，不符合题意； 故选C． 知识清单：线段的距离与中点 1、线段的距离与中点 1）线段的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离； 2）如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点，四等分点等。 巩固基础 1．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查线段中点的性质和线段的和差计算，分类讨论点C的不同位置是解题的关键，分点C在点B左侧与点C在点B右侧两种情况计算的长度即可． 【详解】∵点C是直线上一点，，， ∴分两种情况讨论： ①如图，当点C在点B右侧时， ， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴； ②如图，当点C在点B左侧时， ， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴． 综上所述，的长度为． 2．如图，已知线段，点M在上，，P，Q分别为，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求线段长度，掌握线段的和差及线段中点的定义是解答本题的关键． 根据，得到，进而求出的长度；由中点求出和的长度，结合图中可得的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵P，Q分别为，的中点， ∴，， ∴． 故选：B． 3．如图，已知点为线段上一点，，，点、分别是，的中点，则____________． 【答案】4 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义．首先根据线段的和差得到的长度，然后根据中点的性质分别求出，，最后根据即可求出的长．解题的关键是正确分析线段之间的关系． 【详解】解：如图所示， ， ， ∵点D、E分别是，的中点， ， ， 故答案为：． 4．已知线段，C是直线上一点，D是的中点，E是的中点，若，则的长为_____． 【答案】8或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，学会分类讨论是解决本题的关键． 分两种情况：点在线段上以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：，是的中点， ， 当点在线段上时：如图， ，， ， ， ， ， 是中点， ； 当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ， ， ， 是中点， ； 综上：的长为或； 故答案为：8或． 5．如图，已知为线段上顺次两点，分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，请用含、的式子表示出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段中点的计算： （1）根据几何关系可知，，据此计算即可； （2）同理（1）解答即可． 【详解】（1）解：， ∵M、N是、的中点， ； （2）解：若， 同理（1），得， ． 6．如图，点B，D在线段上，且，D是的中点． (1)若，补全下列求的长的解答过程； 解：∵， ∴， ∴ ． ∵D是的中点， ∴ ． ∴ ． (2)直接写出是的多少倍． 【答案】(1)；6；；3；；1 (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由题意可得，根据线段的和差可得，利用线段的中点可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）由线段的中点可得，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵D是的中点， ∴． ∴． 故答案为：；6；；3；；1． （2）解：∵D是的中点．， ∴， ∵， ∴，即是的倍． 7．如图，，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若D是线段上的点，且，点P是线段的中点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段中点的性质． （1）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和以及线段的差，可得答案； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论，根据线段中点的性质，可得和，再根据线段的和以及线段的差，可得答案． 【详解】（1）解：∵点分别是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：当点在点的左侧时， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴ ； 当点在点的右侧时， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴ ； 综上，线段的长度为或． 8．已知线段a，b如图所示，根据下列要求，依次画图或计算． (1)根据下列步骤画图，并用含有a，b的式子表示线段． ①作出射线； ②在射线上依次截取； ③在线段上截取． (2)若，，M是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段的作图，解决此类题目的关键就是熟悉基本几何图形的性质． （1）按要求步骤作图即可； （2）将a、b的值代入代数式，可得的值，从而得到的长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 根据作图可得：， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵M为的中点； ∴． 直击考点 【考点1：直线、射线、线段的联系与区别】 例1. 如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判断即可 【详解】解：A． 直线和直线是同一条直线，故该选项错误，不符合题意； B． 射线和射线是同一条射线，故该选项错误，不符合题意； C． 点在线段上，故该选项正确，符合题意； D． 直线没有端点，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 例2. ①用一个小写字母表示．即表示为___________． ②用含端点的两个大写字母表示．______________在前．即表示为__________．    【答案】 射线l 端点字母 射线 【分析】本题考查了射线的表示方法，根据射线可以用一个小写字母表示，也可用用两个大写字母表示，用两个大写字母表示时，端点字母在前，即可解答． 【详解】解：①用一个小写字母表示．即表示为射线l． ②用含端点的两个大写字母表示．端点字母在前．即表示为射线． 故答案为：射线l，端点字母，射线． 变式1. 观察图形，下列说法正确的个数是（   ） （1）直线和直线是同一条直线；（2）射线和射线是同一条射线；（3）线段和线段是同一条线段． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的表示方法，根据直线、射线、线段表示方法逐项判断即可求解，注意直线、线段的表示方法没有方向性，射线表示方法要注意方向． 【详解】解：（1）直线和直线是同一条直线，说法正确，符合题意； （2）射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； （3）线段和线段是同一条线段，说法正确，符合题意． 综上分析可知：正确的有3个． 故选：D． 变式2. 下列说法错误的是（   ）      A．直线l经过点A B．点A在直线m上          C．直线a、b相交于点A D．射线与线段有交点 【答案】B 【分析】本题考查直线，射线和线段，根据直线，射线，线段的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线l经过点A，原说法正确，不符合题意； B、点A不在直线m上，原说法错误，符合题意； C、直线a、b相交于点A，原说法正确，不符合题意； D、射线与线段有交点，原说法正确，不符合题意； 故选B． 变式3. 如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有_______条线段； （2）图中以点B为端点的射线有_______条，分别是_______； （3）直线l还可以表示为_______． 【答案】 3 2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义． （1）根据线段概念即可求得答案； （2）根据射线概念即可求得答案； （3）根据直线的概念即可求得答案． 【详解】解：（1）图中共有3条线段，线段、线段、线段； 故答案为：3； （2）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （3）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． 【考点2：直线、射线、线段的数量问题】 例1. 平面内三点可确定的直线的条数为（    ）． A．3 B．0或1 C．1或3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查两点确定一条直线，分三点共线和三点不共线两类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：当三点共线时，能确定1条直线， 当三点不共线时，能确定3条直线． 故选：C． 例2. 如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有________种不同的票价，要准备________种车票． 【答案】 10 20 【分析】本题主要考查了线段条数问题，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，那么图中线段的条数即为票价种类数，由于两个站之间有往返票，则两个站之间有2种票，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站， ∵一共有广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，共5个站，且每两个站之间有一种票价， ∴图中线段的条数即为票价种类数， ∵图中有线段，共10条线段， ∴有10种不同的票价， ∵两个站之间有往返票， ∴两个站之间有2种票， ∴要准备种车票， 故答案为：10；20． 变式1. 平面上有四个点，且任何三点都不在同一条直线上，那么过每两点作一条直线，最多可以作（    ）． A．8条 B．6条 C．5条 D．1条 【答案】B 【分析】此题考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键． 根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他3个点画一条直线，共可以画（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果． 【详解】解：∵每个点都可以和其他3个点画一条直线， ∴共可以画（条）直线，但又有重合的直线， ∴实际条数为（条）． 故选：B． 变式2. 图中以为端点的线段有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的数量，根据线段的定义解答即可． 【详解】解：除C点外，还有3个点可以作为端点． 故以C为端点的线段共有3条． 故选：C． 变式3. 如图A，B，C，D为直线l上的四个点，则图中共有______条线段，它们分别是_____，图中共有_____条射线．若直线l上有五个点，则共_____条线段，_____条射线．若直线l上有六个点，则共有_____条线段，_____条射线． 【答案】 6 ，，，，， 8 10 10 15 12 【分析】本题考查了线段和射线的有关知识，读懂题目信息，并学会准确数出线段和射线的条数，做到不重不漏是解题的关键． 结合图形，直接数出线段，射线的个数即可． 【详解】解：图中共有6条线段，它们分别是，，，，，； 图中共有8条射线； 若直线l上有五个点，则共10条线段，10条射线； 若直线l上有六个点，则共有15条线段，12条射线． 故答案为：6；，，，，，；8；10；10；15；12． 【考点3：直线相交的交点问题】 例1. 同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案． 【详解】根据题意可知在同一平面内， 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 10条直线相交最多有个交点． 故选：C． 变式1. 平面内的5条直线两两相交，交点最多有个，最少有个，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了直线的交点问题，注意掌握直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个． 由题意可得5条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出x，y的值，进而可得答案． 【详解】解：根据题意可得：5条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即；任意两直线相交都产生一个互不重合的交点时，交点最多，此时交点为：，即；则． 故选：B． 变式2. 某市2013年计划投资160亿同时建设9条地铁轨道线，假设要在每个轨道线交叉口建一个报刊亭，且任意两条轨道线至多交叉一次，那么这样的报刊亭最多可建_________个． 【答案】36 【分析】此问题相当于“9条直线相交，最多有几个交点”的问题，利用公式直接计算即可. 【详解】∵9条地铁轨道线相当于有9条直线，每一条直线最多与其它直线有8个交点， ∴最多有个交点，即这样的报亭最多有个， 故答案为：． 变式3. 如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有________个交点． 【答案】66 【分析】本题考查直线的交点问题，观察图形，可以得到同一平面内条直线，最多有个交点，即可得出结果． 【详解】解：观察图形，可得：同一平面内条直线，最多有个交点， ∴12条线直线相交最多有个交点； 故答案为：66． 【考点4：两点之间的距离】 例1. 下列说法正确的是（    ） ①两点之间的距离是线段；②两点之间的距离是线段的长度； ③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟记概念连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．根据题意利用连接两点间的线段的长度叫两点间的距离进行分析判定即可． 【详解】解：①两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ②两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ③两点之间的距离是线段的长度，说法正确， 故正确的是③， 故选：B． 例2. 生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用两点确定一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一条直线来解释 D．现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线和两点之间线段最短的知识点，解题的关键是理解此知识点的含义． 【详解】现象1：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释； 现象2：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 故选C． 变式1. 下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．连接两点的线段的长度就是这两点间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质，两点间的距离定义，根据相关知识逐项分析判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：、射线和射线不是同一条射线，原选项说法错误，不符合题意； 、延长线段和延长线段的含义是不相同的，原选项说法错误，不符合题意； 、直线向两端无限延伸，因此直线不可延长，原选项说法错误，不符合题意； 、连接两点的线段的长度就是这两点间的距离，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 变式2. 如图，某景区从景点A到景点B有两条路线，游客为了缩短行走距离选择了路线①，其依据是____________________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的定义，掌握两点之间线段最短是解题的关键．根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：游客为了缩短行走距离选择了路线①，其依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 变式3. 把一条弯曲的路修建成一条笔直的路，可以缩短路程，理由是________． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据题意把一条弯曲的路修建成一条笔直的路，可以缩短路程，进行作答即可． 【详解】解：依题意，把一条弯曲的路修建成一条笔直的路，可以缩短路程， ∴理由是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【考点5：作图题】 例1. 如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线和射线的定义作出图形，即可求解； （2）根据线段的定义作出图形，即可求解； （3）根据要求进行连接线段，并标注点F，即可求解； 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图： 例2. 如图，在平面内有A，B，C三点： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点D（异于B，C），连接，并延长至E，使； (3)以A为端点的线段有 条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了画直线，射线，线段，以及线段的条数问题，作线段，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线，射线，线段的定义进行作图即可； （2）根据在线段上任取一点D（异于B，C），连接，并延长至E，使得，进行作图即可； （3）结合以A为端点的线段这个条件进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：画直线，线段，射线，如图所示： （2）解：在线段上任取一点D（异于B，C），连接，并延长至E，使如图所示： （3）解：以A为端点的线段有，共4个， 变式1. 如图，已知平面上四个点 A ，B ，C ，D ，根据下列语句画图： (1)画直线和射线； (2)延长交直线于点F； (3)请在射线上确定一点O ，使点O到点A与点 D的距离之和最小，并说明其中的道理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，其中的道理为两点之间线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、两点间的距离，熟练掌握直线、射线、线段的定义、两点间的距离是解答本题的关键． （1）根据直线、射线的定义画图即可； （2）根据射线、直线的定义画图即可； （3）连接，交射线于点O，结合两点之间线段最短可知，点O即为所求． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：如图，连接，交射线于点O， 此时点O到点A和点D的距离和为，为最小值， 则点O即为所求， 其中的道理为两点之间线段最短． 变式2. 如图，在平面内有，，三点． (1)画出直线、射线和线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至点，使；（保留作图痕迹） (3)．理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)两点之间，线段最短 【分析】本题考查的是画直线，射线，作一条线段等于已知线段，两点之间线段最短的含义，掌握基本图形的画图是解本题的关键； （1）过A，B画直线，以A为端点，过C画射线，连接即可； （2）在线段上取D，连接并延长，再进一步作图即可； （3）由两点之间线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线、射线和线段即为所求； （2）解：如图，及线段即为所求； （3）解：如图，．理由是：两点之间，线段最短． 变式3. 已知三点A，B，C，请用尺规按要求完成下列作图．（保留画图痕迹） (1)画直线． (2)画射线． (3)连接并延长到D，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是直线、射线、线段的概念与作法，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键． （1）过点A，B作直线即可； （2）作射线即可； （3）连接并延长在射线上依次截取线段等于和即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3）如图，即为所求． 【考点6：线段的运算】 例1. 三点在同一直线上，线段，，那么线段的长为（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差计算是解题的关键. 根据线段的和差分两种情况计算即可 【详解】解：如图，点在点左侧， ； 如图，点在点右侧， ； 综上， 线段的长为或， 故选：C. 例2. 已知线段，点是直线上一点，，则线段的长为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键．分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别计算线段的长度． 【详解】解：当点在线段上时， ∵ ，， ∴ ； 当点在线段的延长线上时， ∵ ，， ∴ ． 综上，线段的长为或． 故选：． 例3. 如图，已知直线上依次有四点，且线段，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了线段的计算，认真观察图形，灵活运用线段的和差是解题关键． 根据线段的和差将转化为即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 变式1. 如图，，，，四点在一条直线上，下列选项所填内容不正确的是（   ） 甲： △     乙： ☆ 丙： □   丁： ○ A．△表示 B．☆表示 C．□表示 D．○表示 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差关系，根据图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据图形可得，甲：，则△表示， 乙：，则☆表示 丙：，则□表示 丁：，则○表示 故选：D． 变式2. 如图，线段，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差问题，运用比值运算，统一比值是解题的关键． 根据题意可得，，再进行比值运算即可． 【详解】解：， 即， ， ， ； 故选：A． 变式3. 如图，，是线段上的点，，，，则图中线段的长度之和是________． 【答案】35 【分析】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是确定所有线段． 先确定线段的条数，再利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：， , ， ∴所有线段的长度之和为 图中线段的长度之和是35， 故答案为：35． 变式4. 已知A、B、C三点在同一直线上，若，，则___ ． 【答案】4或2 【分析】本题考查两点间的距离，分两种情况：；或． 【详解】解：分以下两种情况： 如图， ∵，， ∴； 如图， ∵，， ∴， ∴或． 故答案为：4或2． 变式5. 如图，点C，D在线段上，，则的长为 _____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了线段的和与差，弄清楚线段之间的关系是解题的关键． 先根据求得的长，再根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 【考点7：线段中点的有关计算】 例1. 如图，点B在直线上，点M、N分别是线段的中点，点B在线段上，，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，由题意得：，求出； 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：B 例2. 如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，线段的长度为______． 【答案】6 【分析】本题考查线段中点的有关计算．根据中点的定义可得，进而可得，，再根据点D为线段的中点，即可求解． 【详解】解： ，点C为线段的中点， ， ， ， ， 点D为线段的中点， ， 故答案为：6． 例3. 如图，D是线段的中点，E是线段的中点．若，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，由题意可得，，再结合计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵D是线段的中点，E是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 变式1. 如图，点D为线段上一点，点C为的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点有关计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差计算，是解题的关键． 根据已知，，由，可得出的长，再根据点C为的中点，由线段的中点定义，可得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴（）， 又∵点C为的中点， ∴（）． 故选：B． 变式2. 如图，已知线段上有两点C、D，且，M、N分别是线段的中点，若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段的和差关系可得的长，再由线段中点的定义可得的长，进而可得线段的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N分别是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3. 如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为或 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据是的中点求出，根据即可求解； （3）分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点． ∴ 故答案为：； （2）∵，， ∴（）， ∵是的中点 ∴， ∴（）， 故答案为：； （3）当在点的右侧时，（）， 当在点的左侧时，（）， ∴的长度为或． 变式4. 如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据点M、N分别是线段、的中点，由线段的中点定义可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案； （2）同（1）可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 变式5. 如图所示，点C在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若点P在直线上，且，点为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的计算是解题关键． （1）先根据线段的和差可得，再根据线段中点的定义求解即可得； （2）先根据线段中点的定义可得，再根据线段的和差求解即可得； （3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，先根据线段的和差可得的长，再根据线段中点的定义可得的长，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴． （2）解：∵点是的中点，， ∴， 由（1）已得：， ∴． （3）解：①如图，当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由（1）已得：， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由（1）已得：， ∴； 综上，的长为或． 【考点8：线段n等分点的有关计算】 例1. 如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故选C． 例2. 如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1)4 (2)10 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，以及线段的和差关系以及线段比例的计算． （1）由线段的和差关系得出，再根据线段中点的定义求解即可． （2）先根据线段的比例求出，再根据线段的和差关系得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M是的中点． ∴ （2）∵，， ∴， 由（1）知， ∴ 变式1. 已知点C在线段上，，，点M是的中点且点N是的三等分点，则线段的长度为______． 【答案】30或20/20或30 【分析】本题主要考查了线段中点的相关计算，线段的和差计算，解题的关键是数形结合，先求出，分两种情况：当点N是靠近点的三等份点时，当点N是靠近点的三等份点时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，点M是的中点， ∴， 当点N是靠近点的三等份点时，如图所示： ∴； 当点N是靠近点的三等份点时，如图所示： ∴， 综上分析可知，线段的长是30或20． 故答案为：30或20． 变式2. 如图为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点与三等分点的计算，关键是利用线段的和差关系，结合中点、三等分点的定义逐步推导． （1）先求出的长度，再根据中点定义求出； （2）先根据三等分点求出的长度，再结合的长度求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴； （2）解：∵点是线段上靠近点的三等分点，， ∴， ∴， ∴． 变式3. 如图，线段．点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，满足，求的长． 【答案】(1)的长为18 (2)的长为10或14 【分析】本题主要考查线段的和差运算，理解题意是解题的关键． （1）根据线段的中点先算出的长，再根据线段的和差即可求解； （2）根据题意可算出的长，分类讨论，当点E在之间时；当点E在之间时；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴线段的长为18； （2）解：∵， ∴， 当点E在之间时，； 当点E在之间时，； 综上所述，的长为10或14． 变式4. 如图，M是线段的中点，点N分线段的长度为．已知． (1)求线段的长度． (2)若点C是直线上一点，且．求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差计算即可； （2）分点在点的左边和右边两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：点N分线段的长度为， ； （2）解：当在点的左边时，如图所示， M是线段的中点， ， ； 当在点的右边时，如图所示， 综上所述，的长度为或． 【考点9：最短路径问题】 例1．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 例2．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 变式1．下列说法错误的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．用圆规不能比较两个角的大小 D．若，则点在线段上 【分析】本题考查了两点间距离，直线的性质，线段的性质，根据两点间距离，直线的性质，线段的性质判断即可，练掌握这些数学概念是解题的关键． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，故A正确，不符合题意； B、两点确定一条直线，故B正确，不符合题意； C、以两个角的顶点为圆心，相同长度为半径，分别画弧，比较两弧与角的两边的交点的距离即可，所以用圆规能比较两个角的大小，故C错误，符合题意； D、若，则点在线段上，故D正确，符合题意， 故选：C． 变式2．如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（     ） A．   B．   C．   D． 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M．      根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 【考点10：与线段有关的动点问题】 例1. 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、、， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 例2. 如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 变式1. 已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 变式2. 已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 变式3. 【探索新知】 如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）一条线段的中点____________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． （2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 【答案】（1）是；（2）或5或；（3）或8或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键． （1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断即可； （2）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可得结果； （3）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可． 【详解】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分， 该线段等于2倍的中点一侧的线段长， 所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”； （3）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得： ； 答：t为或8或时，点M是线段的“二倍点”． 课后作业 1．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用线段的数量求解． 【详解】解：该图形中线段的条数为（条）， ∴需印制车票的种类数量是． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．图中共有3条线段 【答案】D 【分析】根据直线、线段、射线的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意； B、点B是直线上的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意； C、射线和射线是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列4个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有（  ） ①两个钉子可以把木条固定在墙上 ②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物 ③弯曲的河道改直，可缩短航程 ④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查对直线和线段的两个基本事实的辨析，分清“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”的应用场景即可解题． 【详解】解：∵①用两个钉子固定木条，④工人拉参照线使砖在一条直线上，都可以用基本事实“两点确定一条直线”解释； ②小狗径直奔向食物，③把弯曲河道改直缩短航程，都可以用基本事实“两点之间，线段最短”解释． ∴符合要求的是②③，故选C． 4．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）已知线段，则点C的位置可能会出现以下的（    ）种情况． ①在线段上；②在线段的延长线上；③在线段的延长线上；④在直线外． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差计算与两点之间的距离，分四种情况逐一讨论验证即可解题． 【详解】解：①若点在线段上 ，与矛盾，故①不可能． ②若点在线段的延长线上 设，则 由得： 解得，存在符合条件的点，故②可能． ③若点在线段的延长线上 设 ，则 由得： 解得，存在符合条件的点，故③可能． ④若点在直线外 根据两点之间，线段最短，可得，即， 因此可以等于，存在符合条件的点，故④可能． 综上，②③④共3种可能情况． 5．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……按照此规律，在内画10条射线时，则图中角的个数是（   ） A．65 B．66 C．67 D．68 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律的探究，解题的关键是找出角的个数与射线条数之间的数量关系． 先根据已知条件总结出在内画条射线时，角的个数的通用公式，再将代入公式计算结果． 【详解】解：在内画条射线时，图中共有条射线， 内部射线数 总射线条数 代入公式计算 实际角的个数 1 条 3 条 3 个 2 条 4 条 6 个 3 条 5 条 10 个 …… ∴角的个数为， 当时，． 故选：． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、、在同一射线上，，线段(点在点的左边)长度为5，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（   ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，为定值 A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】对于①，需分点在线段上和延长线上两种情况，用线段和差表示并列方程，根据解的个数判断正误；对于②，先根据、均在线段上确定的取值范围，再用表示和的长度，结合比例关系列方程求解并验证解是否符合范围；对于③，利用线段中点的性质分别表示出和的长度，由得到绝对值方程，求解方程即可得到的值；对于④，先根据点在延长线上确定的取值范围，再依次利用中点性质表示出、、、的长度，最后通过线段和差计算的长度，判断其是否为定值． 【详解】解：对于①，分两种情况： 当点在线段上时，，解得； 当点在延长线上时，，解得； 故①中有两个解，①错误； 对于②，点、均在线段上， ，即，解得， 此时，， 由得， 解得，符合，故②正确； 对于③，，是中点， ， ，， ， 是中点， ∴， ， 由得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 故或，③正确； 对于④，点在延长线上， ，即， ∵是中点， ， ∵，， ∴． ∵是中点， ， ∴， ，是定值，故④正确； 综上，②③④正确，故选：D． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 【答案】6 【分析】本题考查图形类规律探究，根据变换方法，确定出每3次变换为一个循环，进行求解即可． 【详解】解：如图， 由图可知，3次变换为一个循环， ∵， ∴按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是6； 故答案为：6． 8．（25-26六年级下·山东威海·期中）点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，则_______． 【答案】8 【分析】根据线段中点的定义，可得，结合和，可求出的长度，再根据线段的和差关系计算的长度． 【详解】解：点是线段的中点， ， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有_______种不同的票价（去程与返程票价相同） 【答案】10 【分析】把三个站和甲乙两地看作线段上的5个点，先求出线段条数，一条线段就是一种票价． 【详解】解：此题相当于一条线段上有5个点，有多少种不同的票价即有多少条线段， 故不同的票价有：． 10．（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）已知点C在直线上，且，点D是线段中点，若，则________ ． 【答案】6或3 【分析】根据点C在直线上的不同位置画图并分类讨论，结合中点性质计算得到结果． 【详解】解：如图，点在上， 点是线段中点， ， ， ，， ， ∴， ∴； 如图，点在延长线上， 点是线段中点， ， ， ，， ， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 12．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 13．（25-26六年级下·全国·单元复习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】4或24 【分析】根据题意，分情况求出的长度即可． 【详解】解：①如图，当点在线段上时， ∵点D是折线的“折中点”， ∴． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段上时， ∵点D是折线的“折中点”， ∴． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为4或24． 14．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】利用线段的和差以及数量关系求解． 【详解】解：，， ，， ，分别为线段，的中点， ，， ． 15．（25-26七年级下·山东泰安·期中）已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8条，线段、线段、线段． 【详解】（1）如图，直线，射线，线段即为所求： （2）如图，点D即为所求： （3）由图可知，图中共8条线段，以点为端点的线段：线段、线段、线段． 16．（25-26六年级下·山东济宁·期中）如图，在同一平面内有三个点A，B，C． 利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． 【答案】见解析 【分析】根据射线和线段的画法以及线段的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示， 17．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，已知O在线段上，C、D分别是线段、的中点． (1)填空： ， ； (2)若线段，求线段的长． 【答案】(1)2， (2)5 【分析】（1）根据线段中点的性质，即可解答； （2）根据线段中点的性质，可得，，再根据线段的和差，即可解答． 【详解】（1）解：C、D分别是线段、的中点， ，． （2）解：C、D分别是线段、的中点， ，， ． 答：线段的长为． 18．（25-26六年级下·山东青岛·期中）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 【答案】见解析 【分析】先画出射线，在射线上截取，在射线上截取，在线段上截取即可解答． 【详解】解：如图：线段即为所求． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知，两点在线段上． (1)如图，图中共有 条线段； (2)如图1，若，比较线段的大小： （填“＞”“”或“”）； (3)如图，是的中点，是的中点，若，，，求的长度． 【答案】(1)6 (2) (3)19 【分析】（1）根据线段的定义可得答案； （2），可得答案； （3）根据线段中点的定义可得，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，图中的线段有，共条； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 又∵， ∴． 20．（25-26七年级下·重庆·自主招生）如图，已知正方形内阴影部分面积为，点、、、、均为正方形边上的三等分点，则正方形的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】设正方形的边长为，则， 易得正方形的面积为，，再根据正方形内阴影部分面积为列方程求得，进而确定正方形的面积即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∴正方形的面积为，， ∵正方形内阴影部分面积为， ∴， ∴，解得：， ∴正方形的面积是平方米． 21．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 【答案】(1)，，； (2)点对应的数为或； (3) 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出、的值，再根据数轴中点坐标公式求出的值； （2）设点对应的数为，根据两点距离公式列出绝对值方程，分三种情况讨论求解，舍去矛盾的解； （3）设运动时间为秒，用含、、的式子表示出点、的坐标，再根据中点公式求出点的坐标，计算的距离，根据距离为定值的条件(含的项系数为)求出速度比． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，． ∵点是线段的中点， ∴点对应的数． （2）解：设点对应的数为， ∴，． ∵， ∴， ①当时，方程化为， 解得，与矛盾，舍去； ②当时，方程化为， 解得，符合条件； ③当时，方程化为， 解得，符合条件； 综上，点对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， ∵点从点出发，以每秒个单位长度向左运动，点从点出发，以每秒个单位长度向左运动， ∴秒后点对应的数为，点对应的数为； ∵点是线段的中点， ∴点对应的数为； 则 ∵点到点的距离始终是定值， ∴，即． 22．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 【答案】（1）4 （2）9或10或11 解决问题：14，8 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是掌握分类讨论的思想和空间想象的思维． （1）根据要求构造出四边形，确定直线条数即可； （2）分类讨论，确定分割成的区域即可； 解决问题：根据要求画出图形，确定分割的区域，以及最少的交点即可． 【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4； （2）①如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域； ②如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域； 故答案为：9或10或11； 解决问题：如图所示，， 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14，8． 23．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值： ， ， ． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为4个单位长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到线段的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段，（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】（1）根据绝对值、平方的非负性即可求解、、，问题得解； （2）分别表示出线段的中点E对应的数，线段的中点F对应的数，根据两点距离为6列出方程，即可求解； （3）分别表示出点对应数，点对应数，再分段讨论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，，， ，，． （2）解：存在， 由题意得，点M对应的数为，点N对应的数为． 则线段的中点E对应的数为：，线段的中点F对应的数为： 点E与点F的距离为：， ∵线段的中点E到线段的中点F距离为6， 解得：或， 故存在这样的t，值为或； （3）解：存在， 由题意得，点对应数，点对应数． 分段讨论： 当时，． 重叠部分左端点为中的最大值，右端点为中的最小值， 重叠长度为，令其为1得． 当时，． 重叠长度为，令其为1得． 综上，存在或． 【点睛】重点掌握分类讨论的思想，不要遗漏每一种情况，将距离问题转化为方程问题． 1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 02讲 直线、射线、线段目录 【知识点1. 直线、射线、线段 1】 【知识点2. 两直线相交 3】 【知识点3. 两点之间的距离 4】 【知识点4. 尺规作图 5】 【知识点5. 线段的比较 7】 【知识点6. 线段的距离与中点 8】 【考点1. 直线、射线、线段的联系与区别 10】 【考点2. 直线、射线、线段的数量问题 12】 【考点3. 直线相交的交点问题 12】 【考点4. 两点之间的距离 13】 【考点5. 作图题 14】 【考点6. 线段的运算 16】 【考点7. 线段中点的有关计算 16】 【考点8. 线段n等分点的有关计算 18】 【考点9. 最短路径问题 20】 【考点10. 与线段有关的动点问题 21】 【课后作业 23】 知识清单：直线、射线、线段 1、直线、射线、线段 直线 射线 线段 定义 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 直线上一点和它一旁的部分 直线上两点及两点间的部分 图形 表示方法 1 用两个大写字母表示： 直线AB或直线BA 用它的端点和射线上的另一点来表示：射线OA 用表示端点的两个大写字母表示：线段 AB ( 或线段 BA ) 2 用一个小写字母表示： 直线m 用一个小写字母表 示： 射线d 用一个小写字母示： 线段 a 端点个数 0个 1个 2个 伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不可度量 不可度量 可度量 基本事实 两点确定一条直线 —— 两点之间，线段最短 巩固基础 1．如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 2．下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 3．下列说法正确的是（　　） A．画一条长的射线 B．线段和线段不是同一条线段 C．射线是直线的一部分 D．延长直线至点 4．把序号填在括号里．___________是直线，___________是射线，___________是线段． 知识清单：两直线相交 1、两直线相交 1）定义：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点。 2）直线两两相交的交点个数规律 直线两两相交 …… n条直线两两相交 交点个数 1 1+2=3 1+2+3=6 …… 巩固基础 1．若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 2．平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 3．如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 4．三条直线相交，最多有________个交点． 5．在同一平面内，三条互不重合的直线把平面至少分成___________部分． 知识清单：两点之间的距离 1、两点之间的距离 定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 巩固基础 1．毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”。正如杭州湾跨海大桥建成通车，将上海至宁波间的陆路距离缩短了120千米，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（   ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．连接两点间线段的长度是两点间的距离 D．两点之间，线段最短 2．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 C．两点确定一条直线 D．平面内经过一点有无数条直线 3．如图示，从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离 4．小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是__________． 知识清单：尺规作图 1、尺规作图 1）定义：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图。a 2）作一条线段等于已知线段 例：如图已知线段a，求作线段AB，使AB=a。B A C 作法：① 作射线AC； ② 以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧交AC于点B； ③ 线段AB即为所求。 巩固基础 1．根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 2．如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 3．如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 4．如图，已知四点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作直线与射线交于点． (2)如图2，作线段与射线交于点． 5．如图，平面上有四个点，，，，按照以下要求作图． (1)作直线，作射线； (2)连接，交于点． 6．如图，已知线段，作一条线段使它等于，不写作法． 知识清单：线段的比较 1、线段的比较 1）方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较。 2）方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较。 巩固基础 1．如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 2．如图，已知线段，小军同学进行如下操作：用圆规在线段上截取．则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，用圆规比较两条线段的长短，正确的是（   ）    A． B． C． D．无法确定 4．如图，用圆规比较线段的长短，圆规的两个支腿的夹角不变，其中下列线段比长的是（   ） A． B． C． D． 知识清单：线段的距离与中点 1、线段的距离与中点 1）线段的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离； 2）如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点，四等分点等。 巩固基础 1．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C．或 D． 2．如图，已知线段，点M在上，，P，Q分别为，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知点为线段上一点，，，点、分别是，的中点，则____________． 4．已知线段，C是直线上一点，D是的中点，E是的中点，若，则的长为_____． 5．如图，已知为线段上顺次两点，分别是的中点． (1)若，求的长． (2)若，请用含、的式子表示出的长． 6．如图，点B，D在线段上，且，D是的中点． (1)若，补全下列求的长的解答过程； 解：∵， ∴， ∴ ． ∵D是的中点， ∴ ． ∴ ． (2)直接写出是的多少倍． 7．如图，，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若D是线段上的点，且，点P是线段的中点，求线段的长度． 8．已知线段a，b如图所示，根据下列要求，依次画图或计算． (1)根据下列步骤画图，并用含有a，b的式子表示线段． ①作出射线； ②在射线上依次截取； ③在线段上截取． (2)若，，M是线段的中点，求线段的长． 直击考点 【考点1：直线、射线、线段的联系与区别】 例1. 如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 例2. ①用一个小写字母表示．即表示为___________． ②用含端点的两个大写字母表示．______________在前．即表示为__________．    变式1. 观察图形，下列说法正确的个数是（   ） （1）直线和直线是同一条直线；（2）射线和射线是同一条射线；（3）线段和线段是同一条线段． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式2. 下列说法错误的是（   ）      A．直线l经过点A B．点A在直线m上          C．直线a、b相交于点A D．射线与线段有交点 变式3. 如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有_______条线段； （2）图中以点B为端点的射线有_______条，分别是_______； （3）直线l还可以表示为_______． 【考点2：直线、射线、线段的数量问题】 例1. 平面内三点可确定的直线的条数为（    ）． A．3 B．0或1 C．1或3 D．0 例2. 如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有________种不同的票价，要准备________种车票． 变式1. 平面上有四个点，且任何三点都不在同一条直线上，那么过每两点作一条直线，最多可以作（    ）． A．8条 B．6条 C．5条 D．1条 变式2. 图中以为端点的线段有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式3. 如图A，B，C，D为直线l上的四个点，则图中共有______条线段，它们分别是_____，图中共有_____条射线．若直线l上有五个点，则共_____条线段，_____条射线．若直线l上有六个点，则共有_____条线段，_____条射线． 【考点3：直线相交的交点问题】 例1. 同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 变式1. 平面内的5条直线两两相交，交点最多有个，最少有个，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 变式2. 某市2013年计划投资160亿同时建设9条地铁轨道线，假设要在每个轨道线交叉口建一个报刊亭，且任意两条轨道线至多交叉一次，那么这样的报刊亭最多可建_________个． 变式3. 如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有________个交点． 【考点4：两点之间的距离】 例1. 下列说法正确的是（    ） ①两点之间的距离是线段；②两点之间的距离是线段的长度； ③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 例2. 生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用两点确定一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一条直线来解释 D．现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 变式1. 下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．连接两点的线段的长度就是这两点间的距离 变式2. 如图，某景区从景点A到景点B有两条路线，游客为了缩短行走距离选择了路线①，其依据是____________________． 变式3. 把一条弯曲的路修建成一条笔直的路，可以缩短路程，理由是________． 【考点5：作图题】 例1. 如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 例2. 如图，在平面内有A，B，C三点： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点D（异于B，C），连接，并延长至E，使； (3)以A为端点的线段有 条． 变式1. 如图，已知平面上四个点 A ，B ，C ，D ，根据下列语句画图： (1)画直线和射线； (2)延长交直线于点F； (3)请在射线上确定一点O ，使点O到点A与点 D的距离之和最小，并说明其中的道理． 变式2. 如图，在平面内有，，三点． (1)画出直线、射线和线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至点，使；（保留作图痕迹） (3)．理由是 ． 变式3. 已知三点A，B，C，请用尺规按要求完成下列作图．（保留画图痕迹） (1)画直线． (2)画射线． (3)连接并延长到D，使得． 【考点6：线段的运算】 例1. 三点在同一直线上，线段，，那么线段的长为（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 例2. 已知线段，点是直线上一点，，则线段的长为（  ） A． B． C． D．或 例3. 如图，已知直线上依次有四点，且线段，则_________． 变式1. 如图，，，，四点在一条直线上，下列选项所填内容不正确的是（   ） 甲： △     乙： ☆ 丙： □   丁： ○ A．△表示 B．☆表示 C．□表示 D．○表示 变式2. 如图，线段，则的值为（　　） A． B． C． D． 变式3. 如图，，是线段上的点，，，，则图中线段的长度之和是________． 变式4. 已知A、B、C三点在同一直线上，若，，则___ ． 变式5. 如图，点C，D在线段上，，则的长为 _____． 【考点7：线段中点的有关计算】 例1. 如图，点B在直线上，点M、N分别是线段的中点，点B在线段上，，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D． 例2. 如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，线段的长度为______． 例3. 如图，D是线段的中点，E是线段的中点．若，求线段的长． 变式1. 如图，点D为线段上一点，点C为的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式2. 如图，已知线段上有两点C、D，且，M、N分别是线段的中点，若，则线段的长为______． 变式3. 如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 变式4. 如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 变式5. 如图所示，点C在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若点P在直线上，且，点为的中点，求的长度． 【考点8：线段n等分点的有关计算】 例1. 如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 例2. 如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在上取一点N，使得，求线段的长． 变式1. 已知点C在线段上，，，点M是的中点且点N是的三等分点，则线段的长度为______． 变式2. 如图为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点的三等分点，求的长． 变式3. 如图，线段．点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，满足，求的长． 变式4. 如图，M是线段的中点，点N分线段的长度为．已知． (1)求线段的长度． (2)若点C是直线上一点，且．求线段的长度． 【考点9：最短路径问题】 例1．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 例2．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（     ） A． B． C． D． 变式1．下列说法错误的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．用圆规不能比较两个角的大小 D．若，则点在线段上 变式2．如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（     ） A．   B．   C．   D． 【考点10：与线段有关的动点问题】 例1. 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 例2. 如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 变式1. 已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 变式2. 已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 变式3. 【探索新知】 如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）一条线段的中点____________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． （2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 课后作业 1．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．图中共有3条线段 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列4个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有（  ） ①两个钉子可以把木条固定在墙上 ②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物 ③弯曲的河道改直，可缩短航程 ④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 4．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）已知线段，则点C的位置可能会出现以下的（    ）种情况． ①在线段上；②在线段的延长线上；③在线段的延长线上；④在直线外． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……按照此规律，在内画10条射线时，则图中角的个数是（   ） A．65 B．66 C．67 D．68 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、、在同一射线上，，线段(点在点的左边)长度为5，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（   ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，为定值 A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 8．（25-26六年级下·山东威海·期中）点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，则_______． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有_______种不同的票价（去程与返程票价相同） 10．（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）已知点C在直线上，且，点D是线段中点，若，则________ ． 11．（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 12．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 13．（25-26六年级下·全国·单元复习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 14．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 15．（25-26七年级下·山东泰安·期中）已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． 16．（25-26六年级下·山东济宁·期中）如图，在同一平面内有三个点A，B，C． 利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． 17．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，已知O在线段上，C、D分别是线段、的中点． (1)填空： ， ； (2)若线段，求线段的长． 18．（25-26六年级下·山东青岛·期中）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知，两点在线段上． (1)如图，图中共有 条线段； (2)如图1，若，比较线段的大小： （填“＞”“”或“”）； (3)如图，是的中点，是的中点，若，，，求的长度． 20．（25-26七年级下·重庆·自主招生）如图，已知正方形内阴影部分面积为，点、、、、均为正方形边上的三等分点，则正方形的面积是多少平方米？ 21．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 22．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 23．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值： ， ， ． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为4个单位长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到线段的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段，（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 $