7.1.2弧度制同步练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 高中数学弧度制同步练（新授课），通过基础概念辨析、中档综合应用、拔高实际建模三层设计，实现从单一知识点到跨情境问题解决的巩固路径，培养运算能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|弧度概念、角度弧度转换、终边相同角集合|选择题考查象限判断（如第1题），填空题强化单位转换（如第7题），夯实概念理解| |中档层|扇形公式应用、角的范围表示、参数变化分析|多选题辨析扇形面积与圆心角关系（如第5题），解答题整合角度转弧度与象限判断（如第10题），深化逻辑推理| |拔高层|实际情境建模、最值问题、跨知识综合|齿轮传动弧长计算（第11题）、扇环花坛面积优化（第15题），融入生活场景，发展应用意识与创新思维|

7.1.2　弧度制 1.若α＝－2 rad，则角α的终边在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (2026·龙马潭期末)若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（　　） A. B. C. D. 3.与30°角终边相同的角的集合是（　　） A.{α｜α＝k·360°＋，k∈Z} B.{α｜α＝2kπ＋30°，k∈Z} C.{α｜α＝2k·360°＋30°，k∈Z} D.{α｜α＝2kπ＋，k∈Z} 4.集合{α｜kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中角所表示的范围（阴影部分）是（　　） 5.（多选）若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则（　　） A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的4倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 6.（多选）下列表示中正确的是（　　） A.终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝kπ，k∈Z} B.终边在第二象限的角的集合为{α｜＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z} C.终边在坐标轴上的角的集合是{α｜α＝，k∈Z} D.终边在直线y＝x上的角的集合是{α｜α＝＋2kπ，k∈Z} 7.时针走了一小时，转过了　　　　弧度. 8.已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，则α，β，γ，θ的大小关系为　　　　　　　　. 9.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为　　　　. 10.已知角α＝1 200°. （1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限角； （2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角. 11.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动（如图所示），设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转（　　） A.　　　B. C.　　　D.π 12.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为（　　） A.α＋β＝0 B.α－β＝0 C.α＋β＝2kπ（k∈Z） D.α－β＝2kπ＋（k∈Z） 13.某学生在手工课上设计制作了一款树叶形状的书签（如图所示），该书签的边缘由两段圆弧组成，每段圆弧均为其所在圆周的四分之一，这两段圆弧关于直线AB对称.若AB＝10 cm，则该书签的面积为　　　　cm2. 14.已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R. （1）若α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l； （2）若扇形的周长为12 cm，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积. 15.某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和线段AD，BC围成的.设圆弧，所在圆的半径分别为r1，r2（单位：米），圆心角为θ（单位：弧度）. （1）若θ＝，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积； （2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1 200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？ 7.1.2　弧度制 1.C　α＝－2 rad≈－2×57.3°＝－114.6°为第三象限角.故选C. 2.C　由扇形的面积公式得S＝×2×4＝4 cm2.故选C. 3.D　与30°角终边相同的角α＝k·360°＋30°，k∈Z，化为弧度制为α＝2kπ＋，k∈Z，故与30°角终边相同角的集合是{α｜α＝2kπ＋，k∈Z}，故选D. 4.C　当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分（包含边界）；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分（包含边界）. 5.BC　∵｜α｜＝，∴当r，l均变为原来的2倍时，｜α｜不变.故B正确；在S＝｜α｜r2中，∵｜α｜不变，半径r变为原来的2倍时，S变为原来的4倍.故C正确.故选B、C. 6.ABC　A、B显然正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为{α｜α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，其并集为{α｜α＝，k∈Z}，故C正确；对于D，终边在y＝x上的角的集合为{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，故D不正确. 7.－　解析：由于时针按顺时针方向转动，形成的角是负角，又由于时针转动一小时，转动的角度为－30°，故转动的弧度数为－. 8.α＜β＜γ＜θ　解析：法一（化为弧度）　α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然＜＜1＜，故α＜β＜γ＜θ. 法二（化为角度）　β＝＝×＝18°，γ＝1≈57.30°，显然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜γ＜θ. 9.　解析：如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，∴弧长l＝R，∴α＝＝＝. 10.解：（1）因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋， 所以角α与的终边相同. 所以角α是第二象限角. （2）因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ＋，k∈Z， 所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤. 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0. 故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，. 11.B　设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B. 12.D　因为α＝x＋＋2k1π（k1∈Z），β＝x－＋2k2π（k2∈Z），所以α－β＝＋2（k1－k2）π（k1∈Z，k2∈Z）.因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝＋2kπ（k∈Z）. 13.25π－50　解析：由题知每段圆弧均为其所在圆周的四分之一，则每段圆弧所对的圆心角均为，且两圆弧所在圆的半径相等，设其为r，则r＝5 cm，所以书签的面积S＝2×［π×（5）2－×（5）2］＝25π－50（cm2）. 14.解：（1）l＝αR＝×6＝2π（cm）， 即扇形的弧长为2π cm. （2）依题意，得2R＋l＝12，则l＝12－2R， 扇形的面积S＝lR＝（12－2R）R＝－R2＋6R， 所以当R＝3 cm时，扇形面积S有最大值9. 此时弧长l＝6 cm，得α＝＝2， 即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2. 15.解：（1）花坛的面积S＝×62×－×32×＝（平方米）. （2）弧的长为r1θ米，弧的长为r2θ米，线段AD的长为（r2－r1）米. 由题意知60·2（r2－r1）＋90（r1θ＋r2θ）＝1 200， 即4（r2－r1）＋3θ（r2＋r1）＝40.（*） 则花坛的面积S＝θ－θ＝θ（r2＋r1）（r2－r1）. 由（*）式知，θ（r2＋r1）＝－（r2－r1）， 记r2－r1＝x，则0＜x＜10， 所以S＝x＝－（x－5）2＋，x∈（0，10）， 当x＝5时，S取得最大值，即AD＝5米时，花坛的面积最大. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $