专题3.8利用导数研究双变量问题讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考导数双变量重难点问题，围绕构造函数、消元转化、等价转化、同构转化等核心方法构建知识体系，通过知识梳理明确解题策略，题型精讲结合规律方法与典型例题，跟踪训练与分层作业强化应用，帮助学生系统建立双变量问题的解题框架。 资料突出数学思维与模型观念培养，创新采用“方法归类-题型突破-素养提升”教学路径，如通过构造同源函数转化单调性问题培养推理能力，利用极值点关系转化单变量强化运算能力。分层练习覆盖基础到综合，配合即时反馈，有效提升学生解题效率，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

专题3.8利用导数研究双变量问题 知识梳理 1、双变量问题 导数中有一类问题涉及到两个变量，例如m和n、a和b、和，这就是双变量问题，它在高中函数与导数知识模块中属于重难点问题，往往会作为压轴题出现. 2、 处理导数双变量问题的常见方法 （1）构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如 ，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为，问题也许就转化成了的单调性问题. （2）消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系数的关系来消元.通过韦达定理可求或，可以考虑用表示出，或者用表示出. （3）等价转化法：转化为函数最值 【题型1 转化为函数单调性问题求解】 规律与方法： 与函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增. 【例1】已知函数． (1)若，证明：曲线在点处的切线过定点； (2)若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 跟踪训练 1.（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对于任意不相等的，恒有，求非负实数的取值范围. 2.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若对任意的两个不相等的正数x1,x2,总有>2,求实数a的取值范围. 【题型2 等价转化法】 规律与方法： (双变量存在性或任意性问题，可以依据题目条件转化为函数的最值问题。) 1.“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化． 2.构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题 3.相等问题大多转化为值域问题。 【例2】设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3. (1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 跟踪训练 1.已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2 2.（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 3.已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（    ） A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4] 4.（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（   ） A． B．-1 C．-e D． 【题型3 转化单变量问题求解】 规律与方法： 在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题. 【例3】已知f(x)=-e2x+4ex-ax-5. (1)当a=3时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)+x1+x2<0. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=x2-2ax+ln x(a为常数). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2(x1<x2),求f(x2)的取值范围. 2.（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【题型4 利用同构转化为单变量问题求解】 规律与方法： 利用同构转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题. 【例4】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，则的取值范围是_________． 跟踪训练 1.（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2.（2026高二上·重庆·专题练习）已知，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（2026高三·全国·专题练习）已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·广西桂林·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，，且，证明：． 课后作业： 1.（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 4.已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5、已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(a>0，a≠1)，对任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤ aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为(　　) A. B．[2，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) 6.（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 8.（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 9.（2026·山东日照·二模）已知正实数a，b满足，则______________． 10.（2026·河北·模拟预测）已知，，，则的最小值为______． 11.（2023·河南·二模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 12.已知，函数. （1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值； （2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围． 13.（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 14.（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 15.（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 16.已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，对于任意，，都有恒成立，求m的取值范围. 17.已知函数，在定义域上有两个极值点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证: 18.已知函数，． (1)若直线(为自然对数的底数)与函数，的图象均相切，求实数的值． (2)设函数． （i）证明：函数有两个极值点，； （ii）对（i）中的两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围 19.已知函数，， （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.8利用导数研究双变量问题 知识梳理 1、双变量问题 导数中有一类问题涉及到两个变量，例如m和n、a和b、和，这就是双变量问题，它在高中函数与导数知识模块中属于重难点问题，往往会作为压轴题出现. 2、 处理导数双变量问题的常见方法 （1）构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如 ，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为，问题也许就转化成了的单调性问题. （2）消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系数的关系来消元.通过韦达定理可求或，可以考虑用表示出，或者用表示出. （3）等价转化法：转化为函数最值 【题型1 转化为函数单调性问题求解】 规律与方法： 与函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增. 【例1】已知函数． (1)若，证明：曲线在点处的切线过定点； (2)若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于的函数即可求解； （2）构造函数，根据题意，得出在上单调递减，利用导数求出单调性即可求解. 【详解】【答案】(1)已知函数， 若，则，， 由于，所以切点为， 切线斜率， 因此切线方程为， 化简得，即， 当，即时，， 因此曲线在点处的切线过定点. （2）已知函数， 则，由于对任意的，且， 恒有，移项得， 构造函数，上述条件等价于对任意的， 且，恒有， 即在上单调递减，则其导数在上恒成立， 由于，， 当时，，所以大于等于的最大值， 令，，令，解得， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 因此在处取最大值，最大值为， 所以，解得，所以的取值范围为. 跟踪训练 1.（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对于任意不相等的，恒有，求非负实数的取值范围. 【难度】0.48 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【详解】（1）已知函数，定义域为，， ①当，即时，恒成立，的单调增区间为，无减区间； ②当，即时，令，解得， 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增. （2）由（1）可知，当实数时，在单调递增，不妨设， 则，，， 故在单调递增，即在恒成立， 所以，化简得， 当时，二次函数有最大值，因此. 2.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若对任意的两个不相等的正数x1,x2,总有>2,求实数a的取值范围. 解析(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+(2a+1)=.当a≥0时,2ax+1>0,x+1>0,∴f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令f'(x)=0,解得x=-,∴当x∈0,-时,f'(x)>0,当x∈-,+∞时,f'(x)<0.∴f(x)在0,-内单调递增,在-,+∞上单调递减. 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在0,-内单调递增,在-,+∞上单调递减. (2)不妨设0<x1<x2,则由>2,得f(x1)-f(x2)<2x1-2x2,即f(x1)-2x1<f(x2)-2x2,令h(x)=f(x)-2x,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h'(x)=f'(x)-2=+2ax+2a-1≥0在(0,+∞)上恒成立,即2a(x+1)≥1-,又x+1>0,∴2a≥. 令m(x)=(x>0),则m'(x)=, 令m'(x)=0,解得x=1-(舍去)或x=+1.∴当x∈(0,+1)时,m'(x)>0; 当x∈(+1,+∞)时,m'(x)<0. ∴m(x)在(0,+1)内单调递增,在(+1,+∞)上单调递减,∴m(x)max=m(+1)==3-2,∴2a≥3-2,解得a≥. ∴a的取值范围为,+∞. 【题型2 等价转化法】 规律与方法： (双变量存在性或任意性问题，可以依据题目条件转化为函数的最值问题。) 1.“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化． 2.构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题 3.相等问题大多转化为值域问题。 【例2】设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3. (1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 【解】　(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M. 由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.令g′(x)＞0得x＜0或x＞， 令g′(x)＜0得0＜x＜，又x∈[0，2]， 所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)min＝g＝－， 又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以g(x)max＝g(2)＝1.故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M， 则满足条件的最大整数M＝4. (2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max， 由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1. 在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立． 设h(x)＝x－x2ln x， h′(x)＝1－2xln x－x， 令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞. 即m(x)＝xln x在上是增函数， 可知h′(x)在区间上是减函数， 又h′(1)＝0， 所以当1＜x≤2时，h′(x)＜0； 当≤x＜1时，h′(x)＞0. 即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2]上单调递减， 所以h(x)max＝h(1)＝1， 所以a≥1， 即实数a的取值范围是[1，＋∞)． 跟踪训练 1.已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2 解析：选A．由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A． 2.（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间； （2）转化为，，进而可得a的取值范围. 【详解】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 3.已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（    ） A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4] 【答案】B 【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，， 由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减， 在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e， 所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴， 又，所以当时，，当时，， 则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在， 图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，， 可得a–4≤0<e<，解得ea≤4． 故选:B． 4.（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（   ） A． B．-1 C．-e D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究双变量问题 【分析】转换，函数表达式，进而得到，之间的关系，即可求解. 【详解】因为，故设， 所以， 因此如果，则， 而对于，，因此在定义域上单调递增， 则应有，且，故， 设，所以， 因此当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以， 则的最大值为 【题型3 转化单变量问题求解】 规律与方法： 在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题. 【例3】已知f(x)=-e2x+4ex-ax-5. (1)当a=3时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)+x1+x2<0. (1)解析：当a=3时,f(x)=-e2x+4ex-3x-5,f'(x)=-e2x+4ex-3=-(ex-1)(ex-3),则当ex∈(0,1)∪(3,+∞),即x∈(-∞,0)∪(ln 3,+∞)时,f'(x)<0,当ex∈(1,3),即x∈(0,ln 3)时,f'(x)>0,故f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(ln 3,+∞),单调递增区间为(0,ln 3). (2)证明 f'(x)=-e2x+4ex-a,令t=ex,即φ(t)=-t2+4t-a,令t1=,t2=,则t1,t2是关于t的方程t2-4t+a=0的两个不相等的正根,则Δ=(-4)2-4a=16-4a>0,即a<4,有t1+t2=4,t1t2=a>0,即0<a<4,则f(x1)+f(x2)+x1+x2=-+4-ax1-5-+4-ax2-5+x1+x2=-)+4(t1+t2)-(a-1)(ln t1+ln t2)-10=-[(t1+t2)2-2t1t2]+4(t1+t2)-(a-1)ln t1t2-10=-(16-2a)+16-(a-1)ln a-10=a-(a-1)ln a-2. 要证f(x1)+f(x2)+x1+x2<0,即证a-(a-1)ln a-2<0(0<a<4). 令g(x)=x-(x-1)ln x-2(0<x<4),则g'(x)=1-ln x+=-ln x. 令h(x)=-ln x(0<x<4),则h'(x)=-<0,则g'(x)在(0,4)内单调递减,又g'(1)=-ln 1=1,g'(2)=-ln 2<0,故存在x0∈(1,2),使g'(x0)=-ln x0=0,即=ln x0. 则当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,当x∈(x0,4)时,g'(x)<0,故g(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,4)内单调递减,则g(x)≤g(x0)=x0-(x0-1)ln x0-2=x0-(x0-1)×-2=x0+-3,又x0∈(1,2),则x0+∈2,,故g(x0)=x0+-3<0,即g(x)<0,即f(x1)+f(x2)+x1+x2<0. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=x2-2ax+ln x(a为常数). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2(x1<x2),求f(x2)的取值范围. 解析(1)当a=1时,f(x)=x2-2x+ln x,f'(x)=x-2+,所以f(1)=-,f'(1)=0,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-. (2)若f(x)在定义域内有两个极值点,则x1,x2是方程f'(x)=x-2a+=0,即x2-2ax+1=0的两个不相等的正实根,从而有即a>1,又0<x1<x2,故x2>1,且2ax2=+1. 所以f(x2)=-2ax2+ln x2=-(+1)+ln x2=--1+ln x2=--1+ln ,令t=>1,则f(x2)=g(t)=-t-1+ln t,g'(t)=-<0,所以g(t)在(1,+∞)内单调递减,所以g(t)<g(1)=-,即g(t)的值域为-∞,-,所以f(x2)的取值范围是-∞,-. 2.（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【详解】（1）由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 【题型4 利用同构转化为单变量问题求解】 规律与方法： 利用同构转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题. 【例4】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，则的取值范围是_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究双变量问题 【分析】根据题目条件移项后构建函数，利用函数单调性求出的关系，再结合的取值范围解出的取值范围. 【详解】由题可得：， 设，，则， 又，在上严格递增，故，即， 设，求导得：， 由对数函数性质可得：在区间单调递增，则， 故，函数在区间单调递增， ， 故的取值范围是. 跟踪训练 1.（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.28 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】将条件整理可得，.对于A：整理可得，令，结合导数分析判断即可；对于B：整理可得等价于，令，结合导数分析判断即可；对于C：整理可得等价于，令，，结合导数分析判断即可；对于D：令，，整理可得等价于，令，结合导数分析判断即可. 【详解】因为，则，可得， 由，则，解得. 对于选项A：由题意可得：，则， 令，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故A正确； 对于选项B：因为，则等价于， 由题意可得：，则， 令，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故B正确； 对于选项C：因为，则等价于，即， 令，，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故C错误； 对于选项D：令，，则，即， 可得，，则等价于， 令，则， 令，则， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则， 即，所以，故D正确. 故选：C. 2.（2026高二上·重庆·专题练习）已知，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题 【分析】构造函数，利用导数结合条件可设，，进而可得，再利用导函数求ab的取值范围即可. 【详解】由，得， 令，即，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，因此是直线与函数图象的两个交点的横坐标， 不妨令，，而， 则，即有，，因此， 令函数，求导得， 令函数，求导得，令函数， 求导得，函数在上单调递减，则，即， 函数在上单调递减，则，即，函数在上单调递减， 因此，即，即，则， 由恒成立，得，所以实数的取值范围为. 故选：C 3.（2026高三·全国·专题练习）已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究双变量问题 【分析】令，，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，记，，解法一：设，利用导数求出的范围即可； 解法二：由题设易得，再结合对数均值不等式即可得解. 【详解】令，，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 因为，所以， 又，不妨设，记，. 解法一：设， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 则，又，且在上单调递减， 所以，则，所以，故选D. 解法二：由，两式相减整理得， 由对数均值不等式，可得. 故选：D. 4.（25-26高二下·广西桂林·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，，且，证明：． 【难度】0.42 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）代入参数后对原函数求导，计算出处的导数值作为切线斜率，最后结合切点坐标即可求得切线方程. （2）对函数求导并通分后，通过对分子二次函数的判别式进行分类讨论，再结合定义域判定导函数的符号，从而确定原函数的单调区间. （3）已知指数等式两边取对数转化为代数关系，利用换元法将双变量问题转化为单变量问题，最后构造函数并通过导数证明其单调性与最值. 【详解】（1）当时，，，此时切点坐标为， ， ，即切线斜率为0 所以切线方程为． （2）， 令，则     ①当即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递增， ②当即或时，令得，， 若，则， 当时，，即，单调递增， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增，     若，则，由知时恒成立， 即恒成立，在上单调递增， 综上：当时，在上单调递增，无单调递减区间， 当时，在，上单调递增， 在上单调递减. (3)由得，，即     由于，，所以，所以， 令，则，，所以， 所以     方法一：要证，即证，即证，     令，则，显然     所以在上单调递减，所以，即恒成立， 即成立 方法二：要证，即证，即证，     令，则， 令，则，当时，恒成立，在上单调递增，又，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，在上单调递增     又，所以在恒成立，即在上恒成立， 即成立． 课后作业： 1.（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 2．已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 3．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 4.已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 令， 依题意得方程有两个不等正根，，     则， ， 令， 在上单调递减， ， 故的取值范围是， 故选：B 5、已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(a>0，a≠1)，对任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤ aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为(　　) A. B．[2，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) 答案　C 解析　依题意，得aln a＋e－4≥0, ① 因为f′(x)＝axln a＋ex－1－ln a＝(ax－1)ln a＋ex－1， 当a>1时，对任意的x∈[0,1]，ax－1≥0，ln a>0，ex－1≥0，恒有f′(x)≥0；当0<a<1时，对任意x∈[0,1]，ax－1≤0，ln a<0，ex－1≥0，恒有f′(x)≥0， 所以f(x)在[0,1]上是增函数，则对任意的x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤aln a＋e－4恒成立，只需f(x)max－f(x)min≤aln a＋e－4，因为f(x)max＝f(1)＝a＋e－1－ln a，f(x)min＝f(0)＝1＋1＝2， 所以a＋e－1－ln a－2≤aln a＋e－4，即a－ln a＋1－aln a≤0， 即(1＋a)(1－ln a)≤0，所以ln a≥1，从而有a≥e，而当a≥e时，①式显然成立．故选C. 6.（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题 【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D 7.（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【难度】0.41 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】先求出的最小值将原命题转化为有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其极小值，即可得出参数的取值范围. 【详解】由题意得， 则当时，，即在上单调递增， 则；由使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，因为，则， 故在上单调递减，则，即实数的取值范围是． 8.（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】利用导数分别求函数和的值域，再根据不等式，转化为子集问题，即可列不等式求解. 【详解】，得或， 因为，所以，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， ，，，所以函数在区间的值域是， ，在区间恒成立，所以在区间单调递增， 所以在区间的值域为， 由条件可知函数在区间的值域是在区间的值域的子集， 即是的子集， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 9.（2026·山东日照·二模）已知正实数a，b满足，则______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】利用导数分别求出等式两边的最值即可求解. 【详解】 设 ，求导得 ， 因此：在单调递减，在 单调递增，最小值为 ， 原等式右边整理为 ，求导得 ， 因此：在 单调递增，在 单调递减，最大值为 ， 原等式即为，而 ，，等号成立当且仅当： ， 故 . 10.（2026·河北·模拟预测）已知，，，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】对已知条件进行变形，结合同构法构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值即可. 【详解】由，得，即. 取函数，，则. 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以. 记，，则. 令，则，解得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以的最小值为. 故答案为：. 11.（2023·河南·二模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）首先求函数的导数并化简，讨论和两种情况下函数的单调性；（2）根据题意将不等式转化为，分别求函数的最值，即可求解. 【详解】（1），. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，即在上单调递增， 由，解得，即在上单调递减. （2）当时，由（1）知， ，恒成立，在上单调递增，所以， 由题意知，即. 设，则，所以为增函数， 又，所以， 即的取值范围是. 12.已知，函数. （1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值； （2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围． 【答案】（１）,或；（２）． 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究双变量问题 【详解】试题分析：（１）由得可得的值，由在上得，则在上可得等式，求得的值；（２）本题可转化为在上是增函数，求转化为一元二次不等式恒成立问题，可得的取值范围． 试题解析：（1）,依题意有 ,且,可得,解得,或. （2）. 不妨设, 等价于. 设,则, 可得,依题意有, 对任意, 有恒成立. 由,可得. 13.（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当，函数在上单调递增，在和上单调递减；当，函数在上单调递增，在和上单调递减． (2) 【难度】0.45 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数分类讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【详解】（1）（）， ， 函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，，函数在上单调递减， 此时函数没有极值点，不符合题意，所以， （，）， ①当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当，函数在上单调递增， 在和上单调递减； 当，函数在上单调递增， 在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为， 最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则， 又，解得， 实数的取值范围为． 14.（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【难度】0.55 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求导，由，即可求解； （2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；（ii）将问题转换成所以，进而可求解. 【详解】（1）因为， 所以，       则， 所以． （2）（i）由（1）得， 则，       因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．       （ii）因为， ， 所以，       由（i）可知在上的最大值为， 由，       所以， 所以实数的取值范围为． 15.（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 【答案】【难度】0.35 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）由函数的单调性转化为在区间恒成立，转化为最值问题求解； （2）首先利用导数判断函数和的单调性和最值，再根据，确定和的范围，再根据，，和三种情况，证明不等式. 【详解】（1）由条件可知，在上恒成立， 则在上恒成立，则，， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 所以； (2) 时，， 恒成立，所以在单调递减， 且，时，，当时，， 由 ，得，，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，， 所以， 若存在，使得，则， 当时，，，满足， 当时，，，有两种情况，或， 要证明，即证明，其中， 当时，在单调递增，因此要证明，等价于证明， 因为，即证明， 令，， ， 当时，，， 令，， 所以在上单调递减，，因此， 所以在上单调递增，所以， 即在区间恒成立， 因此，又因为，所以， 又因为在区间单调递增， 所以，即，结论成立， 当时，因为，所以，所以不等式显然成立， 综上可知，时，，当时，成立， 所以无论何种情况，，得证. 16.已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，对于任意，，都有恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)当，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当，函数在上单调递增； 当，函数在和上单调递增，在上单调递减. (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）对函数求导后进行因式分解可得，令，解得或.根据两根大小分，和三种情况讨论，分别令可求得函数的单调递增区间，令可求得函数的单调递减区间； （2）由（1）知：当时，函数在上单调递增，在上单调递减，进而可得，.由题可知，化简变形可得恒成立，∴.设，，对函数求导，研究其单调性求出最大值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，. 令，解得或. 当，令得或；令得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减； 当，恒成立，∴函数在上单调递增； 当，令得或；令得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当，函数在上单调递增； 当，函数在和上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知：当时，函数在上单调递增，在上单调递减. ∴. 又，，∴. ∴对任意，，. ∵对于任意，，都有恒成立， ∴恒成立，即恒成立，即恒成立，∴. 设，，则. ∵，，∴当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴. 17.已知函数，在定义域上有两个极值点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证: 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：， 因为函数的定义域上有两个极值点，，且， 所以方程在上有两个根，，且， 即在上有两个不相等的根，， 所以，解得， 当时，若或，，，所以函数在和，上单调递增， 若，所以函数在，上单调递减， 故函数在上有两个极值点，，且， 所以，实数的取值范围是； （2）证明：由（1）知，，是方程在上有两个不等的实根， 所以，其中， 故 ， 令，其中，故（a）， 令，所以函数（a）在上单调递增， 由于，（1）， 所以存在常数，，使得，即，， 且当时，，所以函数（a）在上单调递减， 当时，，所以函数（a）在上单调递增， 所以当时，， 又，， 所以（a），即（a）， 所以． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了隐零点问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 18.已知函数，． (1)若直线(为自然对数的底数)与函数，的图象均相切，求实数的值． (2)设函数． （i）证明：函数有两个极值点，； （ii）对（i）中的两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析，（ii） 【详解】（1）由可得，令，可得，所以， 所以直线与函数的图象相切于点. 将点代入，可得即切线方程为. 将切线方程代入中， 可得.， 令判别式即得. 所以实数的值为. （2）（i）， 则， 考虑到的判别式，以及， 所以有两个不等实根，， 设，且，， 所以当，；当时，； 当时，， 即函数有两个极值点，. （ii） = ， 若恒成立，则恒成立， 记则， 所以在上递增，因为，所以由可得， 所以实数的取值范围为. 19.已知函数，， （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ). 【详解】(Ⅰ)当时，，所以 所以 所以曲线在处的切线方程为，即 (Ⅱ)的定义域是， 令，得 ①当时，，所以函数的单调增区间是 ②当时，变化如下： + - - + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调增区间是，单调减区间是 ③当时，变化如下： + - - + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调增区间是，单调减区间是 (Ⅲ)因为，所以 当时， 所以在上恒成立，所以在上单调递增 所以在上的最小值是，最大值是 即当时，的取值范围为 由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增 因为，所以不合题意 当时，，在上单调递减 所以在上的最大值为，最小值为 所以当时，的取值范围为 “对于任意，总存在，使得成立”等价于 即，解得 所以的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $