专题3.7利用导数研究隐零点问题讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数应用中的隐零点问题，覆盖设而不求、整体代换等核心策略及证明不等式、参数范围、零点个数三大高考高频题型。通过知识梳理构建方法体系，结合题型精讲与跟踪训练，形成“理解-应用-巩固”的系统复习链，助力学生突破导数难点。 讲义突出“策略引领+问题驱动”教学模式，通过隐零点存在唯一性判定、范围逐步逼近等方法培养学生数学思维与模型观念。如例1证明不等式时，引导学生设隐零点并利用方程代换化简极值，配合分层课后作业与真题演练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题3.7利用导数研究隐零点问题 知识梳理 1.导函数的零点不可直接求时的应对策略 （1）设而不求：隐零点的核心思想是“设出零点，利用关系代换，不必求出具体数值”。将零点记为，仅利用其满足的方程进行化简； （2）整体代换化简极值：若极值点为隐零点，则极值中通常含有或，利用将超越式替换为关于的代数式，使极值表达式降维为可处理的形式； （3）隐零点存在唯一性的判定：通过二阶导数确定一阶导数的单调性，再结合一阶导数在区间端点处的符号（或极限），由零点存在性定理判定零点存在且唯一； （4）隐零点范围的逐步逼近：利用二分法思想，取区间内特殊点（如、、等）代入一阶导数，判断符号，逐步缩小隐零点所在区间，为后续放缩提供精确的上下界。 2.分离参数后隐零点处理：恒成立问题分离参数得 或 ，若 的极值点 为隐零点，则 的表达式中含有 。此时利用 满足的隐零点方程化简 ，再结合 的估值范围确定 的符号和大小，从而定出参数的临界值。 【题型1 利用隐零点证明不等式】 【例1】（2026高三·湖南·阶段检测）函数.当时，证明：. 跟踪训练 1. 已知函数.证明：. 2.设函数，．证明：． 【题型2 隐零点问题之参数范围】 【例2】已知函数， (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，函数，且不等式恒成立，求实数m的取值范围． 跟踪训练 1.已知函数，求： (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，总有，求整数的最小值. 2.已知函数，其中. (1)当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【题型3 利用隐零点判断零点个数】 【例3】设函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)记，若，试讨论在上的零点个数． 跟踪训练 1.已知函数，曲线在的切线为． (1) 求a，b的值； (2)求证：函数在区间上单调递增； (3)求函数的零点个数，并说明理由． 2.（2026·山东·模拟预测）已知函数，为的导数． (1)求在处的切线方程； (2)证明在区间存在唯一极大值点； (3)证明有且仅有2个零点． 课后作业： 1.（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．e 2．若不等式对恒成立，则整数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 4.（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数， (1)在区间有唯一零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最大整数值.（注：） 5.已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 6.（2026·广东广州·三模）已知函数，为的导数. (1)若，求的极值； (2)若在单调递增，求的取值范围； (3)讨论的零点个数. 7.（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数. (1)若，求的最大值； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 8.已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求k的值； (3)若恒成立，求k的取值范围. 9. （2026高三·全国·二轮复习）已知函数．若，为自然对数的底数，证明：． 10.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 11.已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上单调递减． (3)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 12.已知函数，若的最小值为0， (1)求的值; (2)若，证明:存在唯一的极大值点，且. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7利用导数研究隐零点问题 知识梳理 1.导函数的零点不可直接求时的应对策略 （1）设而不求：隐零点的核心思想是“设出零点，利用关系代换，不必求出具体数值”。将零点记为，仅利用其满足的方程进行化简； （2）整体代换化简极值：若极值点为隐零点，则极值中通常含有或，利用将超越式替换为关于的代数式，使极值表达式降维为可处理的形式； （3）隐零点存在唯一性的判定：通过二阶导数确定一阶导数的单调性，再结合一阶导数在区间端点处的符号（或极限），由零点存在性定理判定零点存在且唯一； （4）隐零点范围的逐步逼近：利用二分法思想，取区间内特殊点（如、、等）代入一阶导数，判断符号，逐步缩小隐零点所在区间，为后续放缩提供精确的上下界。 2.分离参数后隐零点处理：恒成立问题分离参数得 或 ，若 的极值点 为隐零点，则 的表达式中含有 。此时利用 满足的隐零点方程化简 ，再结合 的估值范围确定 的符号和大小，从而定出参数的临界值。 【题型1 利用隐零点证明不等式】 【例1】（2026高三·湖南·阶段检测）函数.当时，证明：. 解析：当时，， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，且，， 则存在，使得， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 跟踪训练 1.已知函数.证明：. 证明：法一：，令， 则，即在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，使得，即， 所以， 当时，时，， 所以， 当且仅当时取等．故得证． 法二：先证， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 故，即证得（当时取等）， 将替换为，得，即（当时取等）， 所以（当且，即时，等号成立）. 故得证． 2.设函数，．证明：． 证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值． ，即，两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号，故当时，， 即． 【题型2 隐零点问题之参数范围】 【例2】已知函数， (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，函数，且不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)当时，函数 在 上单调递减； 当时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． (2) 【分析】（1）先对函数求导，再根据a的值分和两种情况讨论可得； （2）先由函数可得，进而可得，从而将不等式转化为对恒成立，再构造函数，用导数求函数的最小值可得. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，，当时，，单调递增，显然不成立； 当时，由，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为.由恒成立，得，即，解得. 原不等式化为对任意和恒成立. 令，则. 当时，的最小值为的最小值，故.， ，令，， 则恒成立，在上单调递增． 由于，，由零点存在性定理， ，使得，即，（*） 当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增，， 由（*）式可知，，， 令，，又，，即在上为增函数， ，即，，由及代入， ， ，即实数m的取值范围为 跟踪训练 1.已知函数，求： (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，总有，求整数的最小值. 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题. 【详解】（1）当时， 在点处的切线方程为即 （2）由题意，，即，即， 又，恒成立. 令， 令，则恒成立. 在上递减， ， 使，即，则， 当时，，当时， 因为，且，，即整数k的最小值为-3 【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。 2.已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 【题型3 利用隐零点判断零点个数】 【例3】设函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)记，若，试讨论在上的零点个数． 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）令，二次求导可得，可得在上单调递增，在上单调递减，结合已知可得，使得，即可得的单调性，进而可得结论. 【详解】（1），所以，又， 所以的图象在处的切线方程为． （2）由已知得，所以， 令，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． 当时，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，故函数在上无零点， 又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点． 综上所述，当时，函数在上的零点个数为1． 跟踪训练 1.已知函数，曲线在的切线为． (1) 求a，b的值； (2)求证：函数在区间上单调递增； (3)求函数的零点个数，并说明理由． 【解析】（1），则有，解得， ，则. （2）由（1）知，， 设，因为在上单调递增， 则，所以在上恒成立，所以函数在区间上单调递增. （3）因为，令，令，得，设， 由（2）知在上单调递增，且，， 故存在唯一零点使得，即存在唯一零点满足，即得，则， 且当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以， 当时，，， 则，则函数的零点个数为0. 2.（2026·山东·模拟预测）已知函数，为的导数． (1)求在处的切线方程； (2)证明在区间存在唯一极大值点； (3)证明有且仅有2个零点． 【答案】(1) (2)由题意知定义域为且， 令，， ，， 在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递减， 又，， ，使得， 当时，；时，， 即在上单调递增；在上单调递减， 则为唯一的极大值点， 即在区间上存在唯一的极大值点． (3)，， ①当时，由（2）可知在上单调递增， 在上单调递减， 又， 为在上的唯一零点． ②当时，在上单调递增，在上单调递减 又， 在上单调递增，此时，不存在零点， 又， ，使得， 当，，当，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 在上恒成立，此时不存在零点. ③当时，单调递减，单调递减， 在上单调递减， 又，， 即，又在上单调递减， 在上存在唯一零点， ④当时，，， ， 即在上不存在零点. 综上所述有且仅有2个零点． 课后作业： 1.（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．e 【答案】D 【分析】利用导数分别判断出、的单调性，求出零点可得答案. 【详解】令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 又当时，， 而，所以； 由，得，所以在单调递增， 由，得，则. 故选：D. 2．若不等式对恒成立，则整数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，所以问题转化为对任意恒成立. 令，则, 令，则对恒成立， 所以在上单调递增. 因为， 故，使得.因此当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增. 故，所以整数的最大值为2 .故选：B. 3.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解. 【详解】（1）由题可知函数的定义域为 ， ， 即， (i)若，则在定义域上恒成立， 此时函数在上单调递增； (ii) 若， 令，即，解得, 令，即，解得, 所以在上单调递减，上单调递增. 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，上单调递增. （2）当时，， 要证明，只用证明， 令，， 令，即，可得方程有唯一解设为，且， 所以， 当变化时，与的变化情况如下， 单调递减 单调递增 所以， 因为，因为，所以不取等号， 即，即恒成立，所以，恒成立，得证 4.（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数， (1)在区间有唯一零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最大整数值.（注：） 【答案】(1) (2)1 【难度】0.38 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论，判定函数单调性，进而得出在区间有唯一零点时的情况，列出方程，根据方程的解，判定参数的范围； （2）根据不等式构造函数，再由函数导数判定函数单调性，进而根据函数值的正负，判定不等式解的情况，求出结果. 【详解】（1）由题意可得，可得，， 当时，可知在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递增，则， 此时在区间没有零点，不符合题意； 当时，，存在实数，使， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因为，所以时，， 当在区间有唯一零点时，有，即， 因为，所以当时，恒成立； 当时，可知在上，， 所以在上函数恒成立，不符合题意； 综上所述，当在区间有唯一零点时，实数的取值范围为. （2）当时，可得， 对任意，不等式恒成立，等价于恒成立， 令，则， 令，则， 当时，，函数在上单调递增， 因为，所以存在实数，使， 所以在时，，即，函数在上单调递减， 在时，，即，函数在上单调递增， 可知，，， 所以存在，使得，当时，当时， 所以的最大整数值为. 5.已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合，进行分类讨论，由此得出结论； （2）利用放缩法，根据得，设，求导后，设，根据的单调性，得，使得有最小值，计算即可证明. 【详解】（1），因为， 所以：当时，，则在上单调递增； 当时，由得 若，即，当时，，则， 所以在上单调递减； 若，即，当，，单调递增； ，，单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当，在上单调递减； 当，在单调递增；在单调递减； （2）当时，， 要证，即证， 又，且即证， 设， ， 再设， ，且， ，使，即使， 当，，当，，且， 则，即， ， ，即. 6.（2026·广东广州·三模）已知函数，为的导数. (1)若，求的极值； (2)若在单调递增，求的取值范围； (3)讨论的零点个数. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3)当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数为2. 【难度】0.33 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】（1）直接对进行求导，利用导数研究单调性即可判断极值点，进而求出极值； （2）由在单调递增等价于恒成立，对进行分类讨论，即可求出的取值范围； （3）方法一：利用导数对进行分类讨论，判断极值的符号，进而确定零点的个数；方法二：参变量分离，将的零点个数问题转化为直线与函数的图象的交点个数即可. 【详解】（1）的定义域为. ，， 若，则当时，；当时，， 所以的极小值为，无极大值. （2）在单调递增等价于恒成立， ①若，则当时，，即，不合题意，舍去； ②若，则在单调递增，符合题意； ③若，由（1）得，在单调递减，在单调递增， 从而等价于，解得. 综上所述，的取值范围为. （3）方法一： ①若，则在单调递增，时，； 时，，所以在存在唯一零点； ②若，则在单调递减，又因为， 当时，，所以存在唯一， 使得， 且时，；时，， 故在单调递增，在单调递减， 其中， 且当和时，均有，故在和各有一个零点，故在有两个零点. ③若，由（1）（2）得在单调递减，在单调递增， 且当和时，均有，， 故存在，使得， 与②同理得在单调递增，在单调递减，在单调递增， 又由②得，，当时，， 故，，无零点；在存在唯一零点， 故在存在唯一零点. 综上所述，当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数为2. 方法二： 令得， 注意到不是该方程的解，故不是的零点，从而有 ，设， ，故在和单调递增， 时，，，故； 时，，时，， 时，由洛必达法则，. 【另一表述】与一次函数相比，对数函数增长得非常缓慢，故， 所以的草图为 的零点个数为水平直线与函数的图象的交点个数， 故当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数2. 7.（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数. (1)若，求的最大值； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.36 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）将代入，求导分析单调性，确定最值； （2）求导，分析单调性确定存在点使有两个零点，进而转化为不等式，证明不等式大于零求的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 在单调递减，注意到， ∴当时，，单调递增； 当时，， 单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， ； （2），在单调递减， 注意到且时，时，， ∴存在唯一，使且在上单调递增，在上单调递减， 注意到且及时，， ∴ 要使有两个零点，只需， ∵，则， 代入上式得，化简得， 设，则在上单调递增，注意到， ∴当时，， 设，则在单调增，故，， ∴若有两个零点，则实数的取值范围是 8.已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求k的值； (3)若恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用导数，分和研究单调性； （2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值； （3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 且， 当时，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； （2）由（1）知， 当，则在上单调递减， 所以，则，矛盾舍去， 当，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，矛盾舍去， 若，则在上单调递增， 所以，则，符合题意， 综上； （3）若恒成立， 即恒成立， 设， 则， 令，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上有唯一零点，即, 所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以由，得， 所以， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以， 由恒成立， 所以，即k的取值范围为. 9.（2026高三·全国·二轮复习）已知函数．若，为自然对数的底数，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】参变分离，构造函数，利用导数研究单调性与最值即可得证. 【详解】因，要证， 只需证，即， 令， 因此只需证即可． ， 再令，则， 因，所以，得， 所以在上单调递增，且． 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即． 所以在有唯一零点，且当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以对，都有成立． 所以，成立． 10.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【详解】（1）的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. （3），. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 11.已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上单调递减． (3)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，即可求出切线的斜率，再求切点坐标，最后利用点斜式计算可得； （2）令，利用导数求得函数的最大值为，则在上恒成立，可得证； （3）关于的不等式恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求出的最大值范围，即可求出整数的最小值． 【详解】（1）因为，所以， ，又，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. （2）令，， 则， 所以当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 即在上恒成立， 则在上单调递减． （3）关于的不等式恒成立，即恒成立， 由于，所以恒成立， 设，则， 由（2）知在上单调递减，且，， 所以存在唯一，使得，即， 则当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 因为在上单调递增，则， 要使恒成立，且为整数， 所以的最小值为. 12.已知函数，若的最小值为0， (1)求的值; (2)若，证明:存在唯一的极大值点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况讨论求解即可； （2）令，求导后可得在递减，递增，再结合零点存在性定理得在存在唯一的使得，在存在唯一的零点，从而得是唯一的极大值点. 【详解】（1）， 当时，，所以在上递减，则没有最小值， 当时，由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得最小值，得成立， 下面证为唯一解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以方程有且只有唯一解， 综上，； （2）证明:由（1）知， 令， 当时，，当时，， 所以在上递减，上递增， 因为， 所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零点， 所以当或时，，即， 当时，，即， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 即是唯一的极大值点， ， 由，得， 所以， 因为，所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $