全概率公式与贝叶斯公式 专项训练--2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮复习--专项训练--全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： (1) P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) ； (2)定理 1:若样本空间Ω 中的事件A1 ， A2 ， … , An 满足： ①任意两个事件均互斥，即 Ai Aj =⑦ , i，j = 1，2，，n ，i ≠ j ； ② A1 + A2 + + An = Ω ; ③ P(Ai ) > 0 ，i = 1，2，，n ． 则对 Ω 中的任意事件B ，都有 B = BA1 + BA2 + + BAn ， 且P 注意： (1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． (2)什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 贝叶斯公式 (1) 一般地，当 0 < P(A) <1且P(B) > 0 时， 有P (2)定理 2:若样本空间Ω 中的事件A1 ，A2 ，，An 满足： ①任意两个事件均互斥，即 Ai Aj =⑦ , i，j = 1，2，，n ，i ≠ j ； ② A1 + A2 + + An = Ω ; ③ 0 < P(Ai ) <1 ，i = 1，2，，n ． 则 对 Ω 中 的 任 意 概 率 非 零 的 事 件 B ， 都 有 B = BA1 + BA2 + + BAn ， 且 1．一道考题有 4 个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为 ，在乱猜时，4 个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的 概率是 ( ) A ． B ． C ． D ． 2．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有 20 块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块，8 块，且乙生产该芯片的次品率为 ，现从这 20 块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为 0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为 ( ) A ． B ． C ． D ． 3．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为 0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为 0.4 ，0.2 ，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为 ( ) A ．0.32 B ．0.68 C ．0.58 D ．0.64 4．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第 2 ，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1 ，2 ，3台车床加工的零件数分别占总数的15% ， 25% ，60%. 随机取一个零件，记 A=“零件为次品”，Bi = “零件为第i台车床加工” (i = 1，2，3) ，则下列结论： ① P (A) = 0.033 ， ③ P(B1 | A) = P(B2 | A) ， ④ P(B1 | A) + P(B2 | A) = P(B3 | A). 其中正确的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 5．(多选题)已知编号为 1 ，2 ，3 的三个盒子，其中 1 号盒子内装有两个 1 号球，一个 2 号球和一个 3 号球；2 号盒子内装有两个 1 号球，一个 3 号球；3 号盒子内装有三个 1 号球，两个 2 号球．若第一次先从 1 号盒子内随机抽取 1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是 ( ) A ．在第一次抽到 2 号球的条件下，第二次抽到 1 号球的概率为 B ．第二次抽到 3 号球的概率为 C ．如果第二次抽到的是 1 号球，则它来自 2 号盒子的概率最大 D ．如果将 5 个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放 1 个，则不同的放法 300 种 全概率公式与贝叶斯公式 巩固 1. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由哪个车间生产的可能性最大 ( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 2. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件;再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( ) A. P B. 事件A1与事件B相互独立 3. 某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为 ，不知道正确答案而猜对的概率为 ．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为 ( ) A B C D 全概率公式与贝叶斯公式 强化 1. 某乒乓球训练馆使用的球是A，B，C三种不同品牌标准比赛球，根据以往使用的记录数据： 品牌名称 合格率 购买球占比 A 98% 0.2 B 99% 0.6 C 97% 0.2 若这些球在盒子中是均匀混合的，且无区别的标志，现从盒子中随机地取一只球用于训练，则它是合格品的概率为 ( ) A. 0.986 B. 0.984 C. 0.982 D. 0.980 2. 小张从家到公司上班总共有三条路R1，R2，R3可以直达(如图)，但是每条路每天拥堵的概率不一样，由于路的远近不同，选择R1，R2，R3的概率分别为P (L1 ) = 0.5，P (L2 ) = 0.3，P (L3 ) = 0.2，每天R1，R2，R3不拥堵的概率分别为P (C1 ) = 0.2，P (C2 ) = 0.4，P (C3 ) = 0.7.则小张从家到公司不拥堵的概率是 ( ) A. 1 B. 0.36 C. 0.5 D. 0.7 3. 托马斯•贝叶斯（ Thomas Bayes ）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P（ A |B ）= 这个公式被称为贝叶斯公式（ 贝叶斯定理 ），其中P（ B |A ）•P（ A ）+P （ B |Ac ）•P（ Ac ）称为B的全概率．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率 ( ) A. 0.1% B. 8% C. 9% D. 99% 4. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（ A |C ）=0.95，P ．现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P（ C ）=0.005，则P（ C |A ）≈ ( ) A. 0.087 B. 0.950 C. 0.050 D. 0.475 5. 某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校 区的概率是 ，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为 ；如果第一周去青华校 区，那么第二周去自由校区的概率为 ；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为 ( ) A B C. D 6. 8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为 ( ) A. B. C. D 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮复习--专项训练--全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： (1) P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) ； (2)定理 1:若样本空间Ω 中的事件A1 ， A2 ， … , An 满足： ①任意两个事件均互斥，即 Ai Aj =⑦ , i，j = 1，2，，n ，i ≠ j ； ② A1 + A2 + + An = Ω ; ③ P(Ai ) > 0 ，i = 1，2，，n ． 则对 Ω 中的任意事件B ，都有 B = BA1 + BA2 + + BAn ， 且P 注意： (1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． (2)什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 贝叶斯公式 (1) 一般地，当 0 < P(A) <1且P(B) > 0 时， 有P (2)定理 2:若样本空间Ω 中的事件A1 ，A2 ，，An 满足： ①任意两个事件均互斥，即 Ai Aj =⑦ , i，j = 1，2，，n ，i ≠ j ； ② A1 + A2 + + An = Ω ; ③ 0 < P(Ai ) <1 ，i = 1，2，，n ． 则 对 Ω 中 的 任 意 概 率 非 零 的 事 件 B ， 都 有 B = BA1 + BA2 + + BAn ， 且 1．一道考题有 4 个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为 ，在乱猜时，4 个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的 概率是 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】B 2．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有 20 块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块，8 块，且乙生产该芯片的次品率为 ，现从这 20 块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为 0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】B 3．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为 0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为 0.4 ，0.2 ，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为 ( ) A ．0.32 B ．0.68 C ．0.58 D ．0.64 【答案】C 4．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第 2 ，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1 ，2 ，3台车床加工的零件数分别占总数的15% ， 25% ，60%. 随机取一个零件，记 A=“零件为次品”，Bi = “零件为第i台车床加工” (i = 1，2，3) ，则下列结论： ① P (A) = 0.033 ， ③ P(B1 | A) = P(B2 | A) ， ④ P(B1 | A) + P(B2 | A) = P(B3 | A). 其中正确的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个【答案】C 5．(多选题)已知编号为 1 ，2 ，3 的三个盒子，其中 1 号盒子内装有两个 1 号球，一个 2 号球和一个 3 号球；2 号盒子内装有两个 1 号球，一个 3 号球；3 号盒子内装有三个 1 号球，两个 2 号球．若第一次先从 1 号盒子内随机抽取 1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是 ( ) A ．在第一次抽到 2 号球的条件下，第二次抽到 1 号球的概率为 B ．第二次抽到 3 号球的概率为 C ．如果第二次抽到的是 1 号球，则它来自 2 号盒子的概率最大 D ．如果将 5 个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放 1 个，则不同的放法 300 种【答案】AB 全概率公式与贝叶斯公式 巩固 【答案】 1:A 2:C 3:B 1. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由哪个车间生产的可能性最大 ( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】A 【解析】解：设事件A1，A2，A3分别表示产品来自甲、乙、丙车间，事件B表示产品为次品， 则P（ A1 ）=0.45，P（ A2 ）=0.35，P（ A3 ）=0.20，P（ B |A1 ）=0.04，P（ B |A2 ）=0.02，P（ B |A3 ） =0.05， ∴P（ B ）=P（ A1 ）P（ B |A1 ）+P（ A2 ）P（ B |A2 ）+P（ A3 ）P（ B |A3 ） =0.45×0.04+0.35×0.02+0.20×0.05=0.035， ∴该次品由甲车间生产的可能性最大， 故选：A． 2. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件;再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( ) A. P B. 事件A1与事件B相互独立 【答案】C 【解析】解：由题意得P 所以A错误; 因为P(B|A1 ) = ，P (B) = P (A1 ) P(B|A1 ) + P (A2 ) P(B|A2 ) + P (A3 ) P(B|A3 ) = × + × + × = ，故D错误； 所以P (B) ≠ P(B|A1 )，即P (B)P (A1 ) ≠ P (BA1 )，故事件A1与事件B不相互独立，所以B错误; P 所以C正确． 3. 某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为 ，不知道正确答案而猜对的概率为 ．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】解：记事件A为“该考生答对该题”， 事件B为“该考生不知道答案但猜对该题”， 小测 1/2 学科网（北京）股份有限公司 则P（ A P（ AB 则P（ B |A 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 全概率公式与贝叶斯公式 强化 【答案】 1:B 2:B 3:C 4:A 5:A 6:B 1. 某乒乓球训练馆使用的球是A，B，C三种不同品牌标准比赛球，根据以往使用的记录数据： 品牌名称 合格率 购买球占比 A 98% 0.2 B 99% 0.6 C 97% 0.2 若这些球在盒子中是均匀混合的，且无区别的标志，现从盒子中随机地取一只球用于训练，则它是合格品的概率为 ( ) A. 0.986 B. 0.984 C. 0.982 D. 0.980 【答案】B 【解析】解：将A，B，C分别记为第1，第2，第3个品牌， 设事件M1表示“取到的球是第i个品牌（ i= 1，2，3）， 事件N表示“取到的是一个合格品”，其中M1，M2，M3两两互斥， 所以P（ N ）=P（ M1N ）+P（ M2N ）+P（ M3N ） =P（ M1 ）P（ N |M1 ）+P（ M2 ）P（ N |M2 ）+P（ M3 ）P（ N |M3 ） =0.98×0.2+0.99×0.6+0.97×0.2=0.984， 所以它是合格品的概率为0.984． 故选：B． 2. 小张从家到公司上班总共有三条路R1，R2，R3可以直达(如图)，但是每条路每天拥堵的概率不一样，由于路的远近不同，选择R1，R2，R3的概率分别为P (L1) = 0.5，P (L2) = 0.3，P (L3) = 0.2，每天R1，R2， R3不拥堵的概率分别为P (C1) = 0.2，P (C2) = 0.4，P (C3) = 0.7.则小张从家到公司不拥堵的概率是 ( ) A. 1 B. 0.36 C. 0.5 D. 0.7 【答案】B 【解析】解：设事件C表示“小张从家到公司不拥堵”， 则P (C) = P (L1) ⋅ P (C1) + P (L2) ⋅ P (C2) + P (L3) ⋅ P (C3) = 0.5 × 0.2 + 0.3 × 0.4 + 0.2 × 0.7 = 0.36． 3. 托马斯•贝叶斯（ Thomas Bayes ）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P（ A |B ）= 这个公式被称为贝叶斯公式（ 贝叶斯定理 ），其中P（ B |A ）•P（ A ）+P （ B |Ac ）•P（ Ac ）称为B的全概率．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率 ( ) A. 0.1% B. 8% C. 9% D. 99% 【答案】C 【解析】解：记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B， 则P（ A ）=0.1%，P（ B |A ）=99%， P（ B |A ）•P（ A ）+P（ B |Ac ）•P（ Ac ）=0.01098， 所以P 所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%． 故选：C． 4. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（ A |C ）=0.95，P ．现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P（ C ）=0.005，则P（ C |A ）≈ ( ) A. 0.087 B. 0.950 C. 0.050 D. 0.475 【答案】A 【解析】解：因为 P 所以 P 因为 P（ C ）=0.005，所以 P - - 所以由全概率公式可得 P(A) = P(A|C) ∙ P(C) + P(A|C) ∙ P(C)， 因为 P（ AC ）=P（ C |A ）P（ A ）=P（ A |C ）P（ C ）， 所以 P 所以 P 故选：A． 5. 某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校 区的概率是 ，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为 ；如果第一周去青华校 区，那么第二周去自由校区的概率为 ；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为 ( ) A B C D 【答案】A 【解析】解：依题意，设第一周去自由校区开会为事件A，第二周去自由校区开会为事件B， 则P 所以P(B) = P(A)P(B|A) + P(A-)P(B|A-) = × + × , 则P 故选：A． 6. 8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步 枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为( ) A B C D 【答案】B 【解析】解：设事件A表示从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶， 事件B表示所用的枪是校准过的， 则由全概率公式可得P 则P 故选：B． $