6.2.1指数函数的概念、图象与性质课件- 2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象与性质，通过细菌分裂的实际问题情境导入，从具体实例抽象出指数函数模型，衔接知识点梳理、自我诊断，搭建从具象到抽象的学习支架，引导学生逐步掌握核心内容。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，情境导入培养数学抽象能力，图象对比探究发展直观想象，性质应用例题提升数学运算能力。“通性通法”总结解题规律，分层训练巩固效果，助力学生深化思维，也为教师提供结构化教学方案。

6.2　指数函数 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解 指数函数的概念 数学抽象 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的 图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 直观想象、 数学运算 目录 数学·必修第一册（SJ） 第1课时　 指数函数的概念、图象与性质 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次（1个分裂成2个）. 【问题】　（1）经过3小时，这种细菌由1个可分裂为几个？ 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）经过 x 小时，这种细菌由1个可分裂为几个？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点一　指数函数的概念 一般地，函数 y ＝ （ a ＞0， a ≠1）叫作指数函数，它的定义域 是 ⁠. 提醒　指数函数的结构特征 ax 　 R　 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 　为什么指数函数的底数 a ＞0，且 a ≠1？ 提示：①如果 a ＝0，当 x ＞0时， ax 恒等于0，没有研究的必要；当 x ≤0时， ax 无意义； ②如果 a ＜0，例如 y ＝（－4） x ，这时对于 x ＝ ， ，…，该函数无 意义； ③如果 a ＝1，则 y ＝1 x 是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定 a ＞0，且 a ≠1. 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点二　指数函数的图象和性质 a ＞1 0＜ a ＜1 图 象 目录 数学·必修第一册（SJ） a ＞1 0＜ a ＜1 性 质 定义域： ⁠ 值域： ⁠ 图象过定点： ，图象在 x 轴的 ⁠ 在（－∞，＋∞）上是 ⁠函 数；当 x ＞0时， y ＞1； 当 x ＜0时，0＜ y ＜1 在（－∞，＋∞）上是 ⁠函 数；当 x ＞0时，0＜ y ＜1； 当 x ＜0时， y ＞1 R　 （0，＋∞）　 （0，1）　 上方　 增　 减　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　（1）当0＜ a ＜1时，底数越小，图象越靠近 y 轴；（2）当 a ＞ 1时，底数越大，图象越靠近 y 轴. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 1. 指数函数 y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）具有奇偶性吗？ 提示：指数函数 y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）不具有奇偶性，因此它既 不是奇函数也不是偶函数. 2. 在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ 提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第 三、四象限. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 指数函数 y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）的图象与底数 a 有什么关系？ 提示：底数 a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”“降”. 当 a ＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜ a ＜1时，指数函 数的图象是“下降”的. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 函数 y ＝2－ x 的图象是（　　） 解析： 　 y ＝2－ x ＝（ ） x ，此函数是指数函数，且为减函数.故 选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 指数函数 y ＝ ax 中， a 可以为负数 B. y ＝2 x＋1是指数函数 C. 已知函数 f （ x ）＝3 x ，若 m ＞ n ，则 f （ m ）＞ f （ n ） 解析： 　在A中，底数 a 为大于0且不等于1的常数，故A错误； 在B中， y ＝2 x＋1不是指数函数，故B错误；在C中，函数 f （ x ）＝ 3 x 为增函数，若 m ＞ n ，则 f （ m ）＞ f （ n ），故C正确；易知D正 确.故选C、D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 若函数 f （ x ）是指数函数，且 f （2）＝2，求 f （ x ）的解析式. 解：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1），∵ f （2）＝2，∴ a2＝2， ∴ a ＝ ，即 f （ x ）＝（ ） x . 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 指数函数的概念 【例1】　（1）下列函数中是指数函数的是（　B　） A. y ＝（－8） x B. y ＝π x C. y ＝3·2 x D. y ＝ ax 解析：在A中，底数－8＜0，所以不是指数函数，故A错误；在B中， y ＝π x 是指数函数，故B正确；在C中， y ＝3·2 x 中指数式2 x 的系数是 3，所以不是指数函数，故C错误；在D中，只有规定 a ＞0且 a ≠1 时， y ＝ ax 才是指数函数，故D错误.故选B. B 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若函数 f （ x ）＝（ a －3）· ax 是指数函数，则 f （ ）＝ （　D　） A. 2 B. －2 解析：因为函数 f （ x ）是指数函数，所以所以 a ＝8，所以 f （ x ）＝8 x ， f （ ）＝ ＝2 . D 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 1. 判断一个函数是指数函数的方法 （1）看形式：判断其解析式是否符合 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）这 一结构特征； （2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有 一个特征不具备，该函数就不是指数函数. 2. 求指数函数解析式的方法 一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件 求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若函数 y ＝（ k ＋2） ax ＋2－ b （ a ＞0，且 a ≠1）是指数函数，则 k ＝ ， b ＝ ⁠. 解析：根据指数函数的定义，得解得 －1　 2　 目录 数学·必修第一册（SJ）   解析：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1），将点（2，9）代入，得 a2＝9，解得 a ＝3或 a ＝－3（舍去）.所以 f （ x ）＝3 x .所以 f （－ 1）＝3－1＝ . 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 指数函数的图象及应用 【例2】　（1）如图所示是指数函数① y ＝ ax ；② y ＝ bx ；③ y ＝ cx ； ④ y ＝ dx 的图象，则 a ， b ， c ， d 与1的大小关系是（　　） A. a ＜ b ＜1＜ c ＜ d B. b ＜ a ＜1＜ d ＜ c C. 1＜ a ＜ b ＜ c ＜ d D. a ＜ b ＜1＜ d ＜ c 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：在 y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数 函数图象的升降，知 c ＞ d ＞1， b ＜ a ＜1，所以 b ＜ a ＜1＜ d ＜ c . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒过点 （－1，4），则 m ＋ n ＝（　C　） A. 3 B. 1 C. －1 D. －2 解析：由函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒 过点（－1，4），得 m －1＝0，2－ n ＝4，解得 m ＝1， n ＝－ 2，∴ m ＋ n ＝－1. C 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 1. 解决指数函数图象问题的注意点 （1）熟记当底数 a ＞1和0＜ a ＜1时，图象的大体形状； （2）在 y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 2. 解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象过定点（0，1），据此可 解决形如 y ＝ k · ax＋ c ＋ b （ k ≠0， a ＞0， a ≠1）的函数图象过定 点的问题，即令指数 x ＋ c ＝0，即 x ＝－ c ，得 y ＝ k ＋ b ，函数图 象过定点（－ c ， k ＋ b ）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知1＞ n ＞ m ＞0，则指数函数① y ＝ mx ；② y ＝ nx 的图象为 （　　） 解析： 　由于0＜ m ＜ n ＜1，所以 y ＝ mx 与 y ＝ nx 都是减函数， 故排除A、B；作直线 x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数 y ＝ mx 的图象，故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知0＜ a ＜1， b ＜－1，则函数 y ＝ ax ＋ b 的图象必定不经过 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　由0＜ a ＜1得 y ＝ ax ＋ b 是减函数，函数恒过点（0，1＋ b ），因为 b ＜－1，所以点（0，1＋ b ）在 y 轴负半轴上.故图象不 经过第一象限. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 指数函数的性质及应用 角度1　指数式的大小比较 【例3】　（链接教科书第144页例1）比较下列各组数中两个数的 大小： （1）2.42.5，2.43.2； 解：因为函数 y ＝2.4 x 在R上是增函数，又2.5＜3.2， 所以2.42.5＜2.43.2. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）（ ，（ ； 解：因为函数 y ＝（ ） x 在R上是减函数，又－ ＞－ ，所以 （ ＜（ . （3）1.80.3，0.51.2. 解：由指数函数的性质知1.80.3＞1.80＝1，而0.51.2＜0.50＝1， 所以1.80.3＞0.51.2. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 比较指数式大小的2种类型及处理方法 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　求解指数不等式 【例4】　（链接教科书第145页例2）（1）已知7 x ≥（ ，求实 数 x 的取值范围； 解：因为（ ＝ ，所以由7 x ≥（ 可得7 x ≥ ， 因为 y ＝7 x 为增函数，故 x ≥ . 所以实数 x 的取值范围为区间［ ，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）已知0. ＜52 x＋2，求实数 x 的取值范围. 解：由0. ＜52 x＋2得，（5－1 ＜52 x＋2，即 ＜52 x ＋2， 因为函数 y ＝5 x 在R上是增函数，所以 x2－1＜2 x ＋2， 即 x2－2 x －3＜0，解得－1＜ x ＜3， 所以实数 x 的取值范围为区间（－1，3）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 解指数不等式的方法 （1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底 数相同的指数式； （2）解不等式 af（ x）＞ ag（ x）（ a ＞0， a ≠1）的依据是指数型函数的 单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就 需进行分类讨论，即 af（ x）＞ ag（ x）⇒ f （ x ）＞ g （ x ）（ a ＞ 1）或 f （ x ）＜ g （ x ）（0＜ a ＜1）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知 a ＝20.4， b ＝20.6， c ＝0.20.6，则 a ， b ， c 的大小关系是（　　） A. a ＜ b ＜ c B. c ＜ a ＜ b C. c ＜ b ＜ a D. a ＜ c ＜ b 解析： 　因为指数函数 f （ x ）＝2 x 在R上是增函数，又0＜0.4＜ 0.6，所以20＜20.4＜20.6，即1＜ a ＜ b ；因为指数函数 g （ x ）＝ 0.2 x 在R上是减函数，又0＜0.6，所以0.20＞0.20.6，即1＞ c ，所 以 c ＜ a ＜ b .故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若 a－5 x ＞ （ a ＞0且 a ≠1），求 x 的取值范围. 解：（1）当0＜ a ＜1时，函数 y ＝ ax 是减函数，则由 a－5 x ＞ 可得－5 x ＜ x ＋7，解得 x ＞－ ； （2）当 a ＞1时，函数 y ＝ ax 是增函数，则由 a－5 x ＞ 可得－5 x ＞ x ＋7，解得 x ＜－ . 综上，当0＜ a ＜1时， x 的取值范围为（ － ，＋∞）； 当 a ＞1时， x 的取值范围为（ －∞，－ ）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 下列函数中是指数函数的是（　　） B. y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1） C. y ＝1 x 解析： 　由指数函数的定义可判定，只有B选项中的函数是指数 函数.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若指数函数 f （ x ）的图象过点（3，8），则 f （ x ）的解析式为 （　　） A. f （ x ）＝ x3 B. f （ x ）＝2 x 解析： 　设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），则由 f （3）＝8得 a3＝ 8，∴ a ＝2，∴ f （ x ）＝2 x . 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知0.3 m ＞0.3 n ，则 m ， n 的大小关系为（　　） A. m ＞ n B. m ＜ n C. m ＝ n D. 不能确定 解析： 　因为函数 y ＝0.3 x 是R上的减函数，且0.3 m ＞0.3 n ，所 以 m ＜ n . 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ xa ＋2（ a ＞0且 a ≠1）的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标为 ⁠. 解析：因为 y ＝ ax 的图象过定点（0，1），所以令 x －1＝0，即 x ＝1时， f （1）＝1＋1＋2＝4，所以函数图象恒过定点（1，4）. （1，4）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $