第43讲空间点、直线、平面之间的位置关系专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间点线面位置关系，以定义定理为基础，通过辅助线构造、平面性质应用等方法，系统覆盖判定、截面、体积等核心考法，培养空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|1-6题|定义定理直接判定、充要条件分析|从点线面基本位置关系到平行垂直判定，构建概念生成链条| |空间几何应用|7-13题|中点连线构造、截面形状分析|结合正方体/长方体模型，强化空间想象与平面性质应用| |综合证明与计算|14-16题|三线共点证明、体积转化法|整合线面关系与体积计算，体现原理推导到综合应用的拓展|

第43讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 (时间:45分钟) 1.若直线上有两个点在平面外,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内 2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的是 (　 ) 3.[2024·合肥六校联考] 已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的 (　 ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.[2024·广州二模] 已知α,β,γ是三个不重合的平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,则下列说法正确的是 (　 ) A.若α⊥γ,β⊥γ,则l∥m B. 若l∥m,则α∥β C.若α⊥β,γ⊥β,则l⊥m D. 若l⊥m,则α⊥β 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正方体所得的截面的形状为 (　 ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 6.已知a,b,c是不同的直线,α是平面.①若a∥b,b∩c=A,则直线a与直线c的位置关系是　　　　　　;②若a⊥b,b⊥α,则直线a与平面α的位置关系是　　　　　　　　.  7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,F,E,P,M,N分别是CC1,AB,DD1,AD,CD的中点,存在过点E,F的平面α与平面PMN平行,则平面α截该正方体得到的截面面积为　　　　.  8.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中给出下列结论: ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60° 角; ④DM 与 BN 垂直. 其中正确结论的序号是 (　 ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.①③④ 9.[2024·山东菏泽模拟] 在三棱锥D-ABC中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且EF∥GH,则下列说法中正确的是 (　 ) A.直线EH与FG一定平行 B.直线EH与FG一定相交 C.直线EH与FG可能异面 D.直线EH与FG一定共面 10.(多选题)[2024·深圳二模] 已知m,n是异面直线,m⊂α,n⊂β,那么 (　 ) A.当m⊥β或n⊥α时,α⊥β B.当m∥β且n∥α时,α∥β C.当α⊥β时,m⊥β或n⊥α D.当α,β不平行时,m与β不平行,且n与α不平行 11.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为C1D1,B1C1的中点,O,M分别为BD,EF的中点,则下列说法正确的是 (　 ) A.B,D,E,F四点在同一平面内 B.三条直线BF,DE,CC1有公共点 C.直线A1C与直线OF不是异面直线 D.直线A1C上存在点N使M,N,O三点共线 12.设有下列四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行. p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l. 则上述命题中是真命题的有　　　　.  13.[2024·江苏南通模拟] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=BB1=2,E,F分别是棱AB,A1D1的中点,则平面CEF截该长方体所得的截面为　　　　 边形,截面面积为　　　　.  14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,设直线D1F与DA的交点为P. (1)求证:CE,D1F,DA三条直线交于点P; (2)G是线段D1E上一点,若FG交平面ABCD于点H,求证:P,E,H三点共线. 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=3,E是PD的中点,F,M分别在PC,PB上,且PF=PC,BM=BP. (1)证明:E,F,A,M四点共面; (2)若CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD,求四棱锥P-AMFE的体积. 16.[2024·重庆巴蜀中学模拟] 在三棱锥P-ABC中,AC=BC=PC=2,且AC⊥BC,PC⊥平面ABC,过点P作截面分别交AC,BC于点E,F,且二面角P-EF-C的平面角为60°,则所得截面PEF的面积的最小值为 (　 ) A. B. C. D.1 参考答案 第43讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.D　[解析] 根据题意,两点确定一条直线,由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交或者直线与平面平行,所以直线上至多有一个点在平面内.故选D. 2.D　[解析] 在A选项的图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,∴P,Q,R,S这四点共面;在C选项的图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S这四点共面;如图所示,在B选项的图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故P,Q,R,S这四点共面;在D选项的图中分别连接PS,QR,PS与QR为异面直线,∴P,Q,R,S这四点不共面.故选D. 3.B　[解析] 依题意,m,n,l是空间中不过同一点的三条直线,当m,n,l在同一平面时,可能有m∥n∥l,故不能得出m,n,l两两相交.当m,n,l两两相交时,设m∩n=A,m∩l=B,n∩l=C,根据基本事实的推论2可知m,n确定一个平面α,而B∈m⊂α,C∈n⊂α,根据基本事实2可知,直线BC⊂α,即l⊂α,所以m,n,l在同一平面.综上所述,“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B. 4.C　[解析] 若α⊥γ,β⊥γ,则l∥m或l与m相交,故A错误;若l∥m,则α∥β或α与β相交,故B错误;若α⊥β,γ⊥β,则l⊥m,故C正确;若l⊥m,则α与β相交,不一定是垂直,故D错误.故选C. 5.B　[解析] 如图,连接AD1,BC1,D1F,因为E,F分别为BC,CC1的中点,所以EF∥BC1, 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1∥BC1,所以EF∥AD1,则A,D1,F,E四点共面,则平面AEF截正方体所得的截面为四边形AEFD1.故选B. 6.①相交或异面　②a∥α或a⊂α [解析] ①∵a∥b,b∩c=A,∴直线a与直线c的位置关系是相交或异面.②∵a⊥b,b⊥α,∴直线a与平面α的位置关系是a∥α或a⊂α. 7.3　[解析] 分别取BC,C1D1,A1D1,AA1的中点G,H,K,I,连接HF,HK,KI,EI,EG,FG,易证平面EGFHKI∥平面PMN,则存在过点E,F的平面α与平面PMN平行,即正六边形EGFHKI是平面α截该正方体得到的截面,截面的面积是6××()2=3. 8.C　[解析] 由正方体的平面展开图复原得空间正方体如图所示.由图可知,BM和ED是异面直线,故①不正确;CN和BE是平行直线,故②不正确;CN和BE平行,BE与BM的夹角是60°,故CN与BM所成的角也是60°,故③正确;DM与BN异面垂直,故④正确.所以正确结论的序号为③④.故选C. 9.D　[解析] 因为EF∥GH,所以E,F,G,H四点确定一个平面EFGH,因此直线EH与FG一定共面,故D正确,C不正确;如图①,只有当EF∥GH,EF=GH时,四边形EFGH为平行四边形,此时EH∥GF,故A不正确;如图②,只有当EF∥GH但EF≠GH时,四边形EFGH为梯形,此时EH,GF相交于一点,故B不正确.故选D. 10.AB　[解析] 对于A,当m⊥β,m⊂α时,α⊥β;当n⊥α,n⊂β时,α⊥β,故A正确.对于B,当m∥β,n∥α时,因为m,n为异面直线,所以α∥β,故B正确.对于C,当α⊥β时,由m⊂α,得m∥β或m与β相交;当α⊥β时,由n⊂β,得n∥α或n与α相交,故C错误.对于D,当α,β不平行时,可能m∥β或m与β相交,n∥α或n与α相交,故D错误.故选AB. 11.ABD　[解析] 如图,对于选项A,连接B1D1,因为BB1∥DD1,BB1=DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,则B1D1∥BD,又因为E,F分别为C1D1,B1C1的中点,所以B1D1∥EF,可得BD∥EF,所以B,D,E,F四点在同一平面内,故A正确;对于选项B,延长BF,DE,使BF与DE相交于点P,即P∈BF,P∈DE,又因为BF⊂平面BCC1B1,DE⊂平面DD1C1C,所以P∈平面BCC1B1,P∈平面DD1C1C,且平面BCC1B1∩平面DD1C1C=CC1,所以P∈CC1,即三条直线BF,DE,CC1有公共点,故B正确;对于选项C,连接A1C1,AC,因为A1C⊂平面AA1C1C,OF∩平面AA1C1C=O,O∉A1C,所以直线A1C与直线OF是异面直线,故C错误;对于选项D,因为A1,O,C,M均在平面AA1C1C内,连接OM,则OM与A1C相交,所以直线A1C上存在点N使M,N,O三点共线,故D正确.故选ABD. 12.p1,p4　[解析] 对于命题p1,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α,若l3与l1相交,则交点A在平面α内,同理,l3与l2的交点B也在平面α内,所以AB⊂α,即l3⊂α,故命题p1为真命题.对于命题p2,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,故命题p2为假命题.对于命题p3,空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面,故命题p3为假命题.对于命题p4,若直线m⊥平面α,则m垂直于平面α内所有直线,因为直线l⊂平面α,所以m⊥l,故命题p4为真命题.综上可知,p1,p4为真命题,p2,p3为假命题. 13.五　　[解析] 如图①,过F作EC的平行线交D1C1于M,交直线A1B1于P,连接PE,交A1A于N,连接FN,CM,则直线FM与直线EC共面,且N∈PE,P∈MF,E∈EC,则点N也在直线FM与直线EC确定的平面上,所以可得五边形ECMFN为平面CEF截该长方体所得的截面.如图②,设H为A1B1的中点,G为D1C1的中点,连接A1G,C1H,显然有CE∥C1H∥A1G,所以FM∥A1G,所以M为D1C1上靠近D1的四等分点.又D1M∥A1P,且F为A1D1的中点,所以D1M=PA1,又AE∥A1P,所以===,即N为A1A上靠近A1的三等分点,所以FM==,MC==,FC==,FN==,NE==,EC==2,EF==3,所以cos∠FMC==-,cos∠EFC==,cos∠NFE==,所以sin∠FMC==,sin∠EFC==,sin∠NFE==,所以截面面积为S△FMC+S△EFC+S△NEF=×××+×3××+××3×=. 14.证明: (1)如图,连接A1B,CD1,EF, ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B且EF≠A1B. ∵CD1∥A1B且CD1=A1B, ∴EF∥CD1且EF≠CD1, ∴EC与D1F相交,设交点为K. ∵K∈EC,EC⊂平面ABCD,∴K∈平面ABCD.又∵K∈FD1,FD1⊂平面ADD1A1,∴K∈平面ADD1A1, ∴K为两平面的公共点. ∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, ∴K∈AD,故K与P重合, ∴CE,D1F,DA三条直线交于点P. (2)∵FH⊂平面PCD1,∴H∈平面PCD1,又H∈平面ABCD, ∴H在平面PCD1和平面ABCD的交线上. 同理,P在平面PCD1和平面ABCD的交线上,E在平面PCD1和平面ABCD的交线上,∴P,E,H都在平面PCD1与平面ABCD的交线上, ∴P,E,H三点共线. 15.解:(1)证明:如图所示,取CF的中点G,连接MG,DG,因为E,F分别是PD,PG的中点,所以DG∥EF. 因为PM=PB,PG=PC,所以MG∥BC且MG=BC=2, 又AD∥BC,AD=2,所以MG∥AD,且MG=AD,所以四边形ADGM为平行四边形,所以AM∥DG. 因为DG∥EF,所以AM∥EF,则E,F,A,M四点共面. (2)如图所示,过点A作AN∥CD交BC于点N, 则AN⊥BC,AN=2,可得S△ABC=×3×2=3,S△ACD=×2×2=2. 连接CM,CE,则VP-AMFE=VP-AMF+VP-AEF=VF-AMP+VF-PAE=VC-AMP+VC-PAE=×VC-PAB+×VC-PAD=VP-ABC+VP-ACD=×S△ABC·PA+×S△ACD·PA=×3×2+×2×2=. 16.B　[解析] 过P作PG⊥EF,垂足为G,连接CG,易证得EF⊥CG,∴∠PGC即为二面角P-EF-C的平面角,∴∠PGC=60°,又PC=2,∴PG=,CG=.设CE=a,CF=b,则EF=,在△CEF中,ab=,又≥,所以ab≥=,所以ab≥,当且仅当a=b=时等号成立,所以△PEF的面积为××=ab≥,故截面PEF的面积的最小值为.故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $