解三角形专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以正余弦定理为核心，系统覆盖三角形形状判定、最值计算及实际测量，通过题型分层与方法提炼构建解三角形完整能力体系 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |形状判定|9题|正余弦定理边角互化、三角恒等变换|从边边角关系到三角形类型判定，基础应用| |恒等式证明|2题|正弦定理化角、余弦定理化边|深化定理应用，衔接代数推理| |边长/周长最值|8题|正弦定理化角为函数、基本不等式|结合锐角三角形条件，提升动态分析能力| |面积最值|7题|面积公式结合边角关系、三角函数值域|综合应用定理与函数性质，强化最值思想| |实际测量|8题|正弦定理/余弦定理建模、仰角俯角分析|从数学抽象到现实应用，培养数学建模素养|

解三角形 知识点一 正、余弦定理判定三角形形状 1．在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．若的三个内角对应的边分别为，且满足，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 3．若的三个内角，，满足，则的形状是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 4．在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 6．记的内角、、的对边分别为、、，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．已知的内角，，的对边分别为，，且，，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．（多选）在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（   ） A．若是钝角三角形，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则是钝角三角形 9．（多选）已知的内角、、的对边分别为，，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等边三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是锐角三角形 知识点二 证明三角形中的恒等式或不等式 10．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 知识点三 求三角形中的边长或周长的最值或范围 12．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 14．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在△中，，平分角，且△面积为. (1)求△的面积； (2)设， （i）求的取值范围； （ii）当的长度最短时，求的值. 16．在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角A的大小； (2)若D是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．    (1)求B； (2)已知D为边AB上的一点，且． （ⅰ）若，，求的长； （ⅱ）求的取值范围． 18．在中，，其中角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 19．已知在中，内角所对的边分别为 ，且． (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 20．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若外接圆半径为，求周长的取值范围． 知识点四 求三角形面积的最值或范围 21．在中，角，，对应的边分别为，，，，． (1)若，求； (2)当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 22．在中，角，，所对的边分别为，，，其面积为, 若 ． (1)求角的大小． (2)若． ①为锐角三角形，求面积的取值范围； ②的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 23．在 中，内角，，的对边分别为 ， ，，满足． (1)求角的大小； (2)若 ，求 面积的最大值． 24．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且，． (1)求的值； (2)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 25．已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求； (2)若，且面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 26．在中，设内角，，的对边分别为，，.若且，则面积的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 27．在中，，，为三边，若，则最大值为（     ） A． B． C． D． 28．已知锐角中，角所对的边分别为，若，，则的面积的取值范围是（     ） A． B． C． D． 知识点五 距离测量问题 29．潮汕电影《给阿嬷的情书》在全国热映，吸引许多游客到电影取景地“打卡”.小明同学发现，电影在揭阳的三个主要取景地——揭西县棉湖镇（点A）、榕城区登岗镇（点B）、揭阳古城（点C）构成三角形区域，他借助地图测得，，，则约为________.（结果保留整数，参考数据：） 30．如图，，两点在河的两岸，为了测量，之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出，之间的距离是，，，则，两点之间的距离为__________． 31．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则________；的值为________． 知识点六 高度测量问题 32．长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧松净月塔楼矗立在观潭山上，某高中数学研学小组开展实地测量活动，选取与塔楼底部位于同一水平面的地面三点，，，且，，三点在同一直线上，米．若在，，三处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，则碧松净月塔楼的竖直高度________米．（结果保留一位小数，参考数据：取） 33．如图所示，三点在同一水平地面上，已知平面，测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高__________．    34．如图，一架无人机在地面A处准备起飞侦察前方一座山峰顶端P.此时地面观测员测得峰顶P的仰角为.无人机启动后，沿着与地面成角的直线轨迹飞行了2km到达点B悬停.此时，无人机上的传感器测得峰顶P的仰角变为 .求这座山峰的高为_________ 知识点七 角度测量问题 35．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 36．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东，则A与D间的距离为________海里． 37．足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球______码时，到达最佳射门位置． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D C A C ABD AC B 题号 11 12 13 14 26 27 28 答案 B A B B C A C 1．C 【详解】由，结合正弦定理，可得， 又， 因为为三角形内角，所以. 根据余弦定理，，可得， 中，，且，所以为等边三角形. 2．A 【分析】利用正弦定理和余弦定理分析即可. 【详解】由正弦定理可得：， 因为可知，由三角形边角关系得：， 由， 根据余弦定理：， 又，从而，故为锐角三角形． 3．C 【详解】由正弦定理可知，所以,且三条边中最大， 由余弦定理,又因为，所以最大角是锐角， 所以的形状是锐角三角形. 4．D 【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式，推导三角形内角关系，进而判断三角形形状. 【详解】 根据二倍角余弦公式， ， 在中，，所以， 由正弦定理，则 ， 则 ， 整理得： ，即 ， 即 ， 则由正弦函数的性质，存在两种情况： ，即，此时为等腰三角形； 或，即，则，此时为直角三角形， 因此为等腰三角形或直角三角形. 5．C 【分析】先利用正弦定理化简边角等式得到，再结合三角形面积公式与余弦定理求出角，即可判断三角形形状. 【详解】在中，，由正弦定理得，即. 因为，所以，因此，即. 又，所以，解得，即. 因为，故. 结合与内角和，可得，即三个内角均相等，为等边三角形. 6．A 【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得A，判断出三角形的形状. 【详解】根据正弦定理，由，可得： . 因为， 所以. 因为，， 所以，即， 故是直角三角形. 7．C 【分析】先根据确定边，再由求角，最后根据可确定三角形形状. 【详解】如图： 过作，垂足为. 则，，所以； 又，所以为等腰三角形. 由，得＝＝， 所以，，又因为， 则是等边三角形. 8．ABD 【分析】对于A：由钝角的余弦值小于零，锐角的余弦值大于零可得；对于B：由锐角三角形得，再由正弦函数的单调性可得，同理得，进而可得选项的对错；对于C：直接由正弦定理得，进而可得或，从而可判断三角形的形状；对于D：先由正弦定理得，再由余弦定理得，进而可判断三角形形状. 【详解】选项A：钝角三角形中只有一个角为钝角，钝角的余弦值为负，其余两个锐角的余弦值为正， 因此三者乘积为负，即，故A正确； 选项B：因为锐角三角形中，则， 函数在上单调递增，因此， 同理可得，两式相加得，故B正确； 选项C：由正弦定理，代入得， 整理得，且，因此或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，并非一定是等腰三角形，故C错误； 选项D：由正弦定理，代入， 化简整理得，即， 由余弦定理得，所以，因此是钝角三角形. 9．AC 【分析】根据正弦定理、余弦定理逐一判断即可. 【详解】A：由正弦定理可知：，因为， 所以， 因为， 所以，所以一定是等边三角形，因此本选项命题正确； B：由正弦定理可知对于任意三角形都成立，因此本选项命题不正确； C：由正弦定理可知：，因为， 所以， 因为， 所以，所以一定是等边三角形，因此本选项命题正确； D：， 因为，所以， 所以只能确定为锐角，不能确定都是锐角，所以不能确定是锐角三角形，所以本选项命题不正确. 10．B 【分析】由正弦定理、三角形内角及余弦函数性质判断A、B；特殊值即可判断C、D. 【详解】由，则，而，则，A错； 由，结合余弦函数性质知：，B对； 对于，则，，C、D错； 故选：B 11．B 【分析】由三角形内角的性质有即可判断A，应用正弦边角关系判断B；若为钝角、为锐角判断C；根据已知只能确定为锐角，但不能确定为锐角三角形判断D. 【详解】由，则，A错； 由，则，结合正弦边角关系得，B对； 由，若为钝角、为锐角，则，C错； 由，则，故， 所以为锐角，但不能确定为锐角三角形，D错. 故选：B 12．A 【分析】由正弦定理得到，，求出，得到c的取值范围. 【详解】，由正弦定理得， 即，， 因为为锐角三角形，所以，故， 因为在上单调递增，所以，故， 故， ， 由正弦定理得，即， 故， 由，和可得， 故，，故. 13．B 【分析】先利用正弦定理转化条件，得到，再由勾股定理得到，最后利用基本不等式即可求得的最大值． 【详解】将代入，得， 又由正弦定理得，即， 故，又，故， 故，即，又，故， 因此由勾股定理得， 所以，当时等号成立， 因此的最大值为． 14．B 【分析】结合锐角的条件确定角的范围为，利用正弦定理和三角恒等变换得到的取值范围，根据三角形面积公式推导得边上的高，结合的范围即可得到高的取值范围，选出对应选项. 【详解】设边上的高为，推导过程如下： 三角形面积满足：，代入， 化简得： ， 由正弦定理：，得， 因此. 因为锐角中，，且 代入，因为锐角,所以 ，所以 ， 解右半部分不等式： ，左半部分不等式， 所以可得的取值范围： ， 化简： 由，得， 因此： 15．(1) (2)①；②. 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，进而得到，从而求解； （2）①设，，，结合三角形的面积公式可得，进而结合余弦函数的性质求解即可； ②结合①可得，，由余弦定理可得，设，可得，进而利用基本不等式可得时，的长度最短，进而结合同角三角函数的关系及即可求解． 【详解】（1）因为是角的角平分线，且 所以，即， 所以. （2）①设，，， 则，，， 由（1）知，，， 又， 即， 整理得， 又，所以， 即，所以的取值范围为； ②由①知，，即， 所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 又， ， 设，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，又， 解得， 所以， 所以当的长度最短时，. 【点睛】关键点点睛： 本题第②问关键在于利用余弦定理表示出，然后利用换元法转化为基本不等式问题即可求解． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出角； （2）把中线长转化为中线向量，再利用向量运算结合余弦定理即可求出面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变形，利用锐角三角形确定角的范围，问题即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得:， 因为，所以. （2）由余弦定理，，，代入可得:， 因为为线段的中点，所以， 则，即， 由上面两式相减可得:，解得:， 所以； （3）由正弦定理得:，所以，， 即 ， 因为为锐角三角形，所以，解得:， 则，所以，即， 因为，所以，即的取值范围为. 17．(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）结合正弦定理化简条件等式，进而求出，结合内角性质求B； （2）（ⅰ）利用余弦定理求出，结合正弦定理求出，进而求出； （ⅱ）利用正弦定理得到单变量三角函数，利用三角变换结合角的范围求值域． 【详解】（1）由题意知， ， ， ， ， ， 又，所以． （2）（ⅰ）因为，，， 根据余弦定理得， 所以， 因为， 所以， 在中，由正弦定理知，，即， 所以， 进而， 所以，故． （ⅱ）因为，， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又在中，， 所以 ， 因为，所以，， 所以， 所以的取值范围是． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，进而利用余弦定理可求得角的大小； （2）根据三角形内角和以及为锐角三角形，从而可得出的取值范围，再将转化为关于的函数即可求解． 【详解】（1）由正弦定理，设． 原式可化为． 因为，所以． 所以由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又因为，所以． （2）由，得． 又为锐角三角形，所以． 由，可得． 由正弦定理，． 当时，， 故． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，得到，求得，即可求解； （2）由正弦定理求得，，化简得到，再由为锐角三角形，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以，可得． （2）由正弦定理知，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，可得，即，解得， 则，所以， 所以， 所以， 所以的周长的取值范围为． 20．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并结合两角和的正弦公式及诱导公式进行化简，求得，从而求得； （2）根据正弦定理求得，并利用正弦定理，结合两角差的正弦公式及辅助角公式将转化成的正弦型函数，从而求得周长的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得． 即 又在中，，所以， 所以． 因为，所以，所以， 又，所以． （2）由， 得，，． 因为，所以，即， 所以． ． 是锐角三角形，且， ，， . ， ， ， 所以的周长的取值范围是． 21．(1) (2)当为时，取得最大值． 【分析】（1）根据正弦定理及三角形内角和求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 因为，所以． 故． （2）由（1）可得， 由余弦定理得，即． 又，则， 所以，当且仅当时，等号成立． 则． 因此，当为时，取得最大值． 22．(1) (2)①；② 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理将题设等式化简，借助于特殊角的三角函数即得； （2）①由正弦定理将边表示成关于的三角函数，借助于三角形面积公式与三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，根据角的范围与正弦函数的性质即可求其范围； ②由等面积求得，由（1）的结论，结合基本不等式与三角形边的关系推得，化简的表达式，利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因的面积为，又， 由余弦定理，，则得， 代入上式得，，即， 又，所以； （2）①由正弦定理得，，， 因是锐角三角形，则，解得， 所以 ， 由得，所以， 所以， 所以S的取值范围是； ②由. 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为，所以． ， 因为在上递增， 所以，即的最大值为3， 故线段长度的最大值为． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及降幂公式化简已知方程，再利用辅助角公式求出角； （2）由余弦定理得到方程，根据重要不等式得出面积的最值. 【详解】（1）， 即， 因为，所以， 即， 则，即， 因为，， 所以，. （2）由余弦定理得，即， 因为，所以， ， 当且仅当时等号成立. 24．(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得出，利用三角恒等变换以及正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，根据为锐角三角形可得出角的取值范围，结合正切函数的基本性质可得出的取值范围，即可得出的取值范围，再结合三角形的面积公式可求得该三角形面积的取值范围. 【详解】（1）因为，，且，． 所以， 即， 即， 即， 所以， 由正弦定理可得， 因为、、，所以，，， 所以，即，则，故. （2）由正弦定理可得， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，则，故， 故， 故的面积的取值范围是. 25．(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. （3）根据三角形面积公式及正弦定理，结合两角差的正弦公式及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，， 因为，所以，所以，即． 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以. 所以的周长为. （3）已知，面积， 由正弦定理得，则. 因为，，所以，则. 所以. 因为为锐角三角形， 所以，即，所以. 所以，故. 因此，即面积的取值范围为. 26．C 【分析】先利用正弦定理求出角的正弦值，再结合余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而得到三角形面积的最大值. 【详解】由题设，所以，根据正弦定理， 得，所以或. 当时，由余弦定理， 所以，根据基本不等式，， 当且仅当时等号成立. 此时. 当时，由余弦定理得，故， 当且仅当时等号成立， 此时. 综上，面积的最大值为. 27．A 【分析】由题设结合余弦定理可得，，进而得到，再结合三角形的面积公式化简得到，进而求解即可. 【详解】由，得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 由余弦定理得，， 则， 所以 ， 则时，取得最大值为. 28．C 【分析】利用题设与余弦定理求出角，由正弦定理求得的表达式，代入面积公式，利用三角恒等变换化成正弦型函数，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】∵，∴， 由余弦定理可知， ∵，∴， ∴， 由正弦定理可知，∴， 即， ∴， ， 则， 在锐角中，，∴，∴， ∴. 29． 39 【分析】已知三角形两边长度及两边夹角，直接运用余弦定理求解第三边长度即可. 【详解】在中，根据余弦定理：， 代入已知条件，，，且， 所以 因此，结合参考数据， 得：. 30． 【分析】根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可. 【详解】由三角形内角和定理，得， 由正弦定理，得， 因此，两点之间的距离为. 31． 【分析】利用余弦定理即可求得，利用正弦定理求得，利用展开计算可求得的值． 【详解】空1，在中，， 由余弦定理知， 所以； 空2，由正弦定理得， 所以， 由知为锐角，故． 所以 ． 32． 【分析】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得，在两个三角形中根据余弦定理的推论计算可得答案； 【详解】设碧松净月塔楼的竖直高度米．结合仰角的正切值计算可得： ，，， 因为，所以 在两个三角形中根据余弦定理的推论可得 ，即 化简得， 解得（米） 33． 【详解】根据三角形内角和： ， 由正弦定理代入已知可得：， 解得​​： ， 因为平面，所以，处仰角， 则：. 34． 【分析】利用角度关系求出，在中，由正弦定理可得即可求解. 【详解】因为, 所以，， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 所以 35． 【详解】，， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以， 所以 36．24 【分析】直接由正弦定理求解即可. 【详解】在中，，， 所以，所以海里. 故答案为：24. 37．/ 【分析】过点作于点，于点，设，分别表示出，，，，根据两角差的正切公式表示出，求出的最大值，结合在的单调性得出此时最大，即可求得答案． 【详解】过点作于点，于点，如图所示， 设，则 ，由题可知，，， 易得四边形为矩形， 所以，，， 所以， 则，， 所以 ， 设，则， 所以， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以当时，即，最大， 由题可知，， 因为在上单调递增， 所以最大时，最大， 所以时，到达最佳射门位置， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $