专题16一次函数的应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题16一次函数的应用暑假预习讲义 1. 识记：牢记运用一次函数解决实际问题的完整解题步骤，掌握审题、设变量、列函数关系式、结合图像计算、检验作答整套流程。 2. 掌握：学会行程、方案选择、收费计费等常见题型的解题思路，能从题干中提取等量关系列出一次函数解析式。 3. 运用：会结合函数图像读取关键信息，利用函数增减性对比多种方案，选出最省钱、最优的解决办法。 4. 规范：能根据实际场景确定自变量取值范围，最终结果贴合生活实际，规范书写答题步骤。 5. 辨析：可以区分方程解法与函数解法的不同，体会一次函数在最值、方案对比类题目中的优势。 6. 规避易错点：忽略自变量取值限制；看不懂函数横纵坐标代表的实际意义；利用增减性判断最值时方向出错。 7. 素养：强化建模思想与数形结合能力，能用函数知识解决日常生活中的实际问题 预习必备 知识梳理 1.一次函数解决问题解题步骤 2.五大常见应用题型 3.一次函数图象解决实际问题 4.一次函数最值问题 5.一次函数与一元一次方程 6.一次函数与一元一次不等式 7.一次函数有二元一次方程组 常考题型 精讲精练 1.分配方案问题 2.最大利润问题 3.行程问题 4.梯度计价问题 5.其他实际应用 6.一次函数与几何综合 7.直线与坐标轴交点求解方程 8.方程的解与直线x轴交点判定 9.图象法解一元一次方程 10.直线坐标轴交点求不等式解集 11.两直线的交点求不等式解集 12.两直线交点与方程组的解 13.图象法解二元一次方程组 14.求直线围成的图形面积 强化题型 解答题9题 知识点01：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 知识点02：一次函数解决实际问题通用解题步骤 1.设定变量：读懂题意，设自变量x、因变量y； 2.建立函数模型：找到等量关系，列出一次函数解析式y=kx+b； 3.确定自变量取值范围：结合实际情境限制（正数、非负数、正整数等，大题必写）； 4.利用函数性质求解： 代入求值； 根据k正负判断增减性，求最大、最小值； 5.检验作答：结果符合现实意义，写出完整答句。 重要结论：一次函数为单调函数(k≠0)，自变量在连续范围内，函数最值出现在取值区间的两个端点。 知识点03：五大常见应用题型分类 题型 1：行程问题 （1）匀速行驶：路程 s = vt+s0 v 对应 k，s0 是出发前已有距离 （2）相遇、追及：列出两人 / 两车 s1=k1x+b1，s2=k2x+b2，联立方程求相遇时间 （3）分段行驶：中途停留时 k=0，图像为水平线段 题型 2：销售利润、费用计价 1.总价模型：总费用 y = 单价数量+固定费 例：打车：y=每公里费用里程+起步价； 会员：y=每件售价件数+会员固定成本 2.利润：利润=售价-进价销量-固定开销，标准一次函数 3，方案选择：两种收费方式 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2 y1>y2 选方案 2；y1<y2选方案 1；相等时费用一致 题型 3：工程工作量问题 总工作量 y= 每小时工作量时间+原有工程量 进水蓄水：y=进水速率时间+原有水量 排水清池：k 为负数，水量持续减少 题型 4：调配运输方案 两地货物互调，设调配数量为 x，总运费 y=k1x+k2(总量-x)+固定运费 结合 x0、调出数量上限，求 y 最大 / 最小值 一次函数单调： k>0，x 最小则 y 最小；k<0，x 最大则 y 最小 题型 5：图像读取类应用题 从折线图中提取信息： 1.上升段：k>0\递增；下降段：k<0 递减；水平：静止 2.求两段交点：对应两者数值相等的时刻 3.求纵坐标差值：两者差距大小 知识点 04利用一次函数图象解决实际问题（重难点） 1. 图象横纵坐标含义 横轴x：时间、数量、里程等自变量； 纵y：费用、路程、水量等因变量； 图象上任意一点(x,y)代表一组实际对应数据。 2. 图象常见线段分类 上升直线：k>0，y随x增大而增大（费用随里程增加）； 下降直线：k<0，y随x增大而减小（剩余油量随时间减少）； 水平线段：k=0，y不变（静止、价格固定）。 3. 图象解题三类题型 （1）读取图象已知点坐标，用待定系数法求函数解析式； （2）看图直接读取对应x、y值（不用计算）； （3）求两图象交点：交点横坐标是两种方案费用相等的临界值。 4. 读图易错点 横轴、纵轴单位看清；分段图象分两段分别求解析式。 知识点05：一次函数最值问题（核心重难点） 一次函数 y=kx+b(k≠0)，在自变量取值范围m≤x≤n内： k符号 增减性 最大值位置 最小值位置 k>0 y随x增大而增大 x=n时，y最大 x=m时，y最小 k<0 y随x增大而减小 x=m时，y最大 x=n时，y最小 ⚠️核心提醒： 1.如果自变量只能取整数，最后结果需要筛选整数； 2.脱离自变量取值范围，不能谈论最值。 知识点06:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点07:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 知识点08:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 题型1.分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【跟踪专练1】某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【跟踪专练2】年月5日是第个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知乙种路灯的单价比甲种路灯的单价多元，且用元购买甲种路灯的数量与用元购买乙种路灯的数量相同． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 题型2.最大利润问题 【典例】．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为_________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元． 【跟踪专练2】中华优秀传统文化是民族的根与魂，为推动非遗技艺、传统典籍、民族文化实现数字化活化传承，某文化教育中心搭建线上传统文化公益传播平台，需采购A、B两种型号的摄像头共80个（两种型号均需购买），用于面向中小学生开展传统文化公益课堂，已知A型摄像头的单价是1200元，B型摄像头的单价是1000元，要求A型摄像头数量不少于B型摄像头数量的，设购买A型摄像头个，总购置费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购置费用． 题型3.行程问题 【典例】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 【跟踪专练2】，两地相距．甲、乙两车沿同一条路从地到地，甲比乙晚出发小时，如图分别表示两车离地的距离与时间之间的关系，根据图象完成下列问题： (1)点的坐标是______． (2)求图象中线段所在直线表示的（千米）与时间（小时）之间的函数解析式． (3)在甲车到达终点前，直接写出甲出发多少小时后，甲、乙两人相距． 题型4.梯度计价问题 【典例】滦州市出租车的收费标准如下：行驶里程在千米以内统一收费元，超过千米后按元/千米计费．设行驶里程为千米，总费用为元，当时，下列与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为_____． 【跟踪专练2】某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ 题型5.其他实际应用 【典例】学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（     ） A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克 【跟踪专练1】在气温为到范围内，声音在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）呈一次函数关系，下表是几组气温与对应声速的实验数据： 气温（） 声速（） 已知声速（单位：），声音频率（单位：）与波长（单位：）满足关系式．若国际通用钢琴标准音（中音）的频率为，则气温为时，该标准音在空气中的波长约为______（结果精确到）． 【跟踪专练2】一位旅客乘坐某航空公司的飞机时，购买了经济舱机票，他所托运的行李的费用（单位：元）与行李的质量（单位：）的关系如图所示． (1)这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克？ (2)写出这位旅客托运行李的费用（元）与行李质量之间的函数关系式． 题型6.一次函数与几何综合 【典例】如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 【跟踪专练2】如图，已知点，中，满足，为轴正半轴上一点，且． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，直线：交于点，为线段上一动点，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标； (4)如图3，点为轴负半轴上一点，于点，若，求点的坐标． 题型7.直线与坐标轴交点求解方程 【典例】若一次函数的图象经过点，则方程的解是________． 【跟踪专练1】如图，直线过点和，则方程的解是（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是___________． 题型8.方程的解与直线x轴交点判定 【典例】若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 题型9.图象法解一元一次方程 【典例】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【跟踪专练2】如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 题型10.直线坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数的图象经过，两点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线与的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，若时，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型11.两直线的交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，若直线，直线相交于点，则关于x的不等式的解集是_____________． 【跟踪专练2】如图，若直线：与直线：交于一点，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 题型12.两直线交点与方程组的解 【典例】已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D．无法求解 【跟踪专练1】直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______． 【跟踪专练2】直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 题型13.图象法解二元一次方程组 【典例】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 题型14.求直线围成的图形面积 【典例】如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 【跟踪专练1】如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是____________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 解答题 1．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 2．安溪是我国知名铁观音茶叶主产区，制茶产业历史悠久，是全国重要的茶叶产销集散地．已知每千克甲种茶叶进价比每千克乙种茶叶进价少元，且元采购甲种茶叶的重量与元采购乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某茶叶门店计划购进两种铁观音共千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的，若甲种茶叶按元/千克出售，乙种茶叶按元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 3．某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图1）．图2中分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分钟）之间的关系． (1)求对应的函数解析式． (2)当逃到离海岸12海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？并说明详细理由． 4．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是轴上一点，，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 6．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于的不等式组的解集； (3)若点，直接写出关于的不等式的解集； (4)在（3）的条件下，求出的面积． 7．如图，直线：与轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积． 8．已知一次函数的图象不经过第三象限，且为正整数． (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． (3)当时，根据函数图象，写出的取值范围． 9．如图，直线与直线相交于点，分别与轴交于点，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16一次函数的应用暑假预习讲义 1. 识记：牢记运用一次函数解决实际问题的完整解题步骤，掌握审题、设变量、列函数关系式、结合图像计算、检验作答整套流程。 2. 掌握：学会行程、方案选择、收费计费等常见题型的解题思路，能从题干中提取等量关系列出一次函数解析式。 3. 运用：会结合函数图像读取关键信息，利用函数增减性对比多种方案，选出最省钱、最优的解决办法。 4. 规范：能根据实际场景确定自变量取值范围，最终结果贴合生活实际，规范书写答题步骤。 5. 辨析：可以区分方程解法与函数解法的不同，体会一次函数在最值、方案对比类题目中的优势。 6. 规避易错点：忽略自变量取值限制；看不懂函数横纵坐标代表的实际意义；利用增减性判断最值时方向出错。 7. 素养：强化建模思想与数形结合能力，能用函数知识解决日常生活中的实际问题 预习必备 知识梳理 1.一次函数解决问题解题步骤 2.五大常见应用题型 3.一次函数图象解决实际问题 4.一次函数最值问题 5.一次函数与一元一次方程 6.一次函数与一元一次不等式 7.一次函数有二元一次方程组 常考题型 精讲精练 1.分配方案问题 2.最大利润问题 3.行程问题 4.梯度计价问题 5.其他实际应用 6.一次函数与几何综合 7.直线与坐标轴交点求解方程 8.方程的解与直线x轴交点判定 9.图象法解一元一次方程 10.直线坐标轴交点求不等式解集 11.两直线的交点求不等式解集 12.两直线交点与方程组的解 13.图象法解二元一次方程组 14.求直线围成的图形面积 强化题型 解答题9题 知识点01：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 知识点02：一次函数解决实际问题通用解题步骤 1.设定变量：读懂题意，设自变量x、因变量y； 2.建立函数模型：找到等量关系，列出一次函数解析式y=kx+b； 3.确定自变量取值范围：结合实际情境限制（正数、非负数、正整数等，大题必写）； 4.利用函数性质求解： 代入求值； 根据k正负判断增减性，求最大、最小值； 5.检验作答：结果符合现实意义，写出完整答句。 重要结论：一次函数为单调函数(k≠0)，自变量在连续范围内，函数最值出现在取值区间的两个端点。 知识点03：五大常见应用题型分类 题型 1：行程问题 （1）匀速行驶：路程 s = vt+s0 v 对应 k，s0 是出发前已有距离 （2）相遇、追及：列出两人 / 两车 s1=k1x+b1，s2=k2x+b2，联立方程求相遇时间 （3）分段行驶：中途停留时 k=0，图像为水平线段 题型 2：销售利润、费用计价 1.总价模型：总费用 y = 单价数量+固定费 例：打车：y=每公里费用里程+起步价； 会员：y=每件售价件数+会员固定成本 2.利润：利润=售价-进价销量-固定开销，标准一次函数 3，方案选择：两种收费方式 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2 y1>y2 选方案 2；y1<y2选方案 1；相等时费用一致 题型 3：工程工作量问题 总工作量 y= 每小时工作量时间+原有工程量 进水蓄水：y=进水速率时间+原有水量 排水清池：k 为负数，水量持续减少 题型 4：调配运输方案 两地货物互调，设调配数量为 x，总运费 y=k1x+k2(总量-x)+固定运费 结合 x0、调出数量上限，求 y 最大 / 最小值 一次函数单调： k>0，x 最小则 y 最小；k<0，x 最大则 y 最小 题型 5：图像读取类应用题 从折线图中提取信息： 1.上升段：k>0\递增；下降段：k<0 递减；水平：静止 2.求两段交点：对应两者数值相等的时刻 3.求纵坐标差值：两者差距大小 知识点 04利用一次函数图象解决实际问题（重难点） 1. 图象横纵坐标含义 横轴x：时间、数量、里程等自变量； 纵y：费用、路程、水量等因变量； 图象上任意一点(x,y)代表一组实际对应数据。 2. 图象常见线段分类 上升直线：k>0，y随x增大而增大（费用随里程增加）； 下降直线：k<0，y随x增大而减小（剩余油量随时间减少）； 水平线段：k=0，y不变（静止、价格固定）。 3. 图象解题三类题型 （1）读取图象已知点坐标，用待定系数法求函数解析式； （2）看图直接读取对应x、y值（不用计算）； （3）求两图象交点：交点横坐标是两种方案费用相等的临界值。 4. 读图易错点 横轴、纵轴单位看清；分段图象分两段分别求解析式。 知识点05：一次函数最值问题（核心重难点） 一次函数 y=kx+b(k≠0)，在自变量取值范围m≤x≤n内： k符号 增减性 最大值位置 最小值位置 k>0 y随x增大而增大 x=n时，y最大 x=m时，y最小 k<0 y随x增大而减小 x=m时，y最大 x=n时，y最小 ⚠️核心提醒： 1.如果自变量只能取整数，最后结果需要筛选整数； 2.脱离自变量取值范围，不能谈论最值。 知识点06:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点07:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 知识点08:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 题型1.分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 【跟踪专练1】某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【答案】C 【分析】设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元，根据限制条件列不等式得到；再确定总费用与甲数量的函数关系，最后利用一次函数性质得到最省钱的方案即可解答． 【详解】解：设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元． ∵购进乙足球数量不少于甲足球数量的， ∴，解得：． 由题意可得：总费用， ∵， ∴随的增大而减小，因此取最大值时，总费用最小， 又∵为正整数， ∴最大取，此时，即最省钱方案为购进甲个，乙个． 【跟踪专练2】年月5日是第个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知乙种路灯的单价比甲种路灯的单价多元，且用元购买甲种路灯的数量与用元购买乙种路灯的数量相同． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元、元． (2)最省钱的购买方案为购买甲种路灯盏，乙种路灯盏． 【分析】（1）设甲种路灯的单价为元，则乙种路灯的单价为元．根据题意列出方程，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏．列出不等式，求得，设购买费用为元，则，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种路灯的单价为元，则乙种路灯的单价为元． 由题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 故甲、乙两种路灯的单价分别为元、元． （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏． 由题意，得． 解得． 设购买费用为元，则， ， 随着的增大而减少． ∴当时，取得最小值，即所需费用最少． ∴最省钱的购买方案为购买甲种路灯盏，乙种路灯盏． 题型2.最大利润问题 【典例】．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 【跟踪专练1】2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为_________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元． 【答案】 55 1260 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 【跟踪专练2】中华优秀传统文化是民族的根与魂，为推动非遗技艺、传统典籍、民族文化实现数字化活化传承，某文化教育中心搭建线上传统文化公益传播平台，需采购A、B两种型号的摄像头共80个（两种型号均需购买），用于面向中小学生开展传统文化公益课堂，已知A型摄像头的单价是1200元，B型摄像头的单价是1000元，要求A型摄像头数量不少于B型摄像头数量的，设购买A型摄像头个，总购置费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购置费用． 【答案】（，且为正整数），最少购置费用为元 【分析】设购买A型摄像头个，总购置费用为元，可得，进一步求解，再结合一次函数的性质求解. 【详解】解：设购买A型摄像头个，总购置费用为元，根据题意得： ∴， ∵A型摄像头数量不少于B型摄像头数量的， ∴， 解得：， ∵A、B两种型号的摄像头共80个（两种型号均需购买）， ∴，且为正整数， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为（元）. 题型3.行程问题 【典例】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总路程与已行驶路程的关系得到函数表达式，再结合实际意义确定自变量的取值范围即可得到结果． 【详解】∵汽车平均速度为40千米/时，行驶时间为t时， ∴汽车已行驶的路程为， ∵北京到天津总路程为120千米，汽车距天津的路程为s， ∴， 又∵汽车从北京到天津的总时间为， 结合实际意义可知t非负，且行驶最多3小时就到达天津， ∴自变量t的取值范围是， 即函数关系为． 【跟踪专练1】一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 【答案】①②③④ 【分析】由函数图像即可判断①③，再根据函数图像可知出发小时，小汽车到达A地，即可求出小汽车和货车的速度，即可判断②④． 【详解】解：由函数图象可得：A、B两地相距120千米，出发1小时，货车与小汽车相遇，故①③正确； 由图象可知，出发小时，小汽车到达A地， ∴小汽车的速度为（千米/小时）， ∵两车相遇时，速度之和为120千米/小时， ∴货车的速度为（千米/小时）， ∴出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了（千米），故②正确； ∵小汽车的速度为80千米/小时，货车的速度为40千米/小时， ∴小汽车的速度是货车速度的2倍，故④正确． 综上，正确的有①②③④． 【跟踪专练2】，两地相距．甲、乙两车沿同一条路从地到地，甲比乙晚出发小时，如图分别表示两车离地的距离与时间之间的关系，根据图象完成下列问题： (1)点的坐标是______． (2)求图象中线段所在直线表示的（千米）与时间（小时）之间的函数解析式． (3)在甲车到达终点前，直接写出甲出发多少小时后，甲、乙两人相距． 【答案】(1) (2) (3)在甲车到达终点前，甲出发或，甲、乙两人相距 【分析】（1）由题意直接得出结论； （2）用待定系数法求函数解析式即可； 分别求出乙车离地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系式和线段所在直线的函数解析式，再分情况列方程求的值． 【详解】（1）解：甲、乙两车沿同一条路从地到地，甲比乙晚出发小时， 点的坐标为； （2）解：设线段所在直线的解析式为， 将，坐标代入得：， 解得， 线段所在直线表示的（千米）与时间（小时）之间的函数解析式； （3）解：设乙车离地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系式为， 把点坐标代入得：， 解得， 乙车离地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 把、代入，得， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 在甲车到达终点前，甲出发后，甲、乙两人相距，则 当时，， 解得，不合题意； 当时，， 解得或， ，， 综上所述，在甲车到达终点前，甲出发或，甲、乙两人相距． 题型4.梯度计价问题 【典例】滦州市出租车的收费标准如下：行驶里程在千米以内统一收费元，超过千米后按元/千米计费．设行驶里程为千米，总费用为元，当时，下列与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据收费标准，总费用由2千米内的起步费和超出2千米部分的额外费用组成，列出关系式化简后即可得到正确结果； 【详解】解：当时，超出千米的行驶里程为千米，超出部分的费用为元， ， 展开化简得：． 【跟踪专练1】为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成． 【详解】解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费， 因此． 故答案为：． 【跟踪专练2】某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ 【答案】(1) (2) 21元 【分析】（1）根据等量关系列式化简即可得到关系式； （2）将用水量代入关系式计算即可得到结果； 【详解】（1）解：由题意得，，10吨以内水费为元，超过10吨部分水量为吨，对应水费为元， ∴，化简得， 即应缴水费与用水量的关系式为； （2）解：由题意得，小明家本月用水量吨，，符合的条件， 将代入得， 答： 小明家应缴水费21元． 题型5.其他实际应用 【典例】学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（     ） A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克 【答案】C 【详解】解：当两家费用相等时，， 移项得， 解得， 即包裹重量为千克时费用相同． 【跟踪专练1】在气温为到范围内，声音在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）呈一次函数关系，下表是几组气温与对应声速的实验数据： 气温（） 声速（） 已知声速（单位：），声音频率（单位：）与波长（单位：）满足关系式．若国际通用钢琴标准音（中音）的频率为，则气温为时，该标准音在空气中的波长约为______（结果精确到）． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出关于的一次函数解析式，再代入气温的值求出对应声速，最后根据公式计算波长即可． 【详解】解：设关于的一次函数解析式为， 将，和，代入解析式， 可得， 解得， 故关于的解析式为， 当时，， 将，代入得， ， 故该标准音在空气中的波长约为． 【跟踪专练2】一位旅客乘坐某航空公司的飞机时，购买了经济舱机票，他所托运的行李的费用（单位：元）与行李的质量（单位：）的关系如图所示． (1)这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克？ (2)写出这位旅客托运行李的费用（元）与行李质量之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求出直线解析式，再令，即可解答； （2）结合（1）的结果分两种情况写出关系式即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 由图可知，收费段的直线经过点和， ∴， 解得：， ∴解析式为， 令，得， 解得， ∴可免费托运的行李最大质量是； （2）解：由（1）可得，． 题型6.一次函数与几何综合 【典例】如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 【跟踪专练1】如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 【答案】 【分析】计算可得点在直线上方，只要使得点在直线上或者下方即可． 【详解】解：当时，， ∴要使得直线与线段有公共点，则． 【跟踪专练2】如图，已知点，中，满足，为轴正半轴上一点，且． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，直线：交于点，为线段上一动点，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标； (4)如图3，点为轴负半轴上一点，于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性求解即可； （2）过点作交于点，过点作轴于点，构造，求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式即可； （3）设交轴于点，根据等腰三角形三线合一可得，然后列方程求解； （4）过点作轴于点，通过证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 解得，， ∴，； （2）解：过点作交于点，过点作轴于点， 则 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：如图，设交轴于点， ，轴， ， 设，则， ， 解得， ； （4）解：对于直线， 当时，，解得， ， 如图，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ，， ∴将代入，则， ， ， ． 题型7.直线与坐标轴交点求解方程 【典例】若一次函数的图象经过点，则方程的解是________． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象经过点 当时， 方程的解是． 【跟踪专练1】如图，直线过点和，则方程的解是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图像与轴交点的横坐标即为的解． 【详解】解：∵过点， ∴方程的解是． 【跟踪专练2】如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是___________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可得解． 【详解】解：把点，点代入得，， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，， 图象不经过点；故①不符合题意； 由图象得：关于x的方程的解为，故②符合题意； 关于x的方程的解为，故③符合题意； 当时，，故④符合题意； 故答案为：②③④． 题型8.方程的解与直线x轴交点判定 【典例】若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 【跟踪专练1】已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、两条直线相交或平行问题、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点的坐标，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式，设点，利用三角形面积关系建立方程求出值，继而得到点的坐标． 【详解】解：在中，当时，， ， ∵ ∴， 由图象得：， ， 由条件可知：， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， 解得或， 或． 故答案为：或． 题型9.图象法解一元一次方程 【典例】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点P， ∴关于x的方程的解是． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于��的方程的解是． 【跟踪专练2】如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点、的坐标代入一次函数中，即可得到一次函数解析式；利用一次函数图象上点的坐标和一次函数与一元一次方程的关系进行分析判断． 【详解】解：将点、的坐标代入一次函数中， 得，解得， ∴一次函数的解析式为：， 将点，代入得，解得， ∴， 由图象得：方程的解为． 题型10.直线坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数的图象经过，两点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像以及坐标即可求解． 【详解】解：根据图象知，一次函数的图象与x轴的交点为，且y随x的增大而增大， ∴不等式的解集为． 【跟踪专练1】如图，直线与的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是________． 【答案】 【详解】解：当时，， 根据函数图象可得的解集为；的解集为， ∴关于x的不等式组的解集是． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，若时，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象，分别找出和时的取值范围，然后取公共部分即可． 【详解】解：由图象可知，直线与轴交于点，且随的增大而减小， ∴当时，， ∵直线与直线交于点，且当时，直线的图象在直线的图象上方， ∴当 时，， ∴当时，的取值范围为． 题型11.两直线的交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定当时对应的的值，再结合图象得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 观察图象知，当时，． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，若直线，直线相交于点，则关于x的不等式的解集是_____________． 【答案】 【详解】解：不等式的解集，即直线在下方部分图象对应的点的横坐标， 由图可知，在点C的左侧，直线在下方， ∴当时，． 【跟踪专练2】如图，若直线：与直线：交于一点，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图形可知，直线：与直线：交于一点 当时，， 关于的不等式的解集是：． 题型12.两直线交点与方程组的解 【典例】已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D．无法求解 【答案】A 【分析】求出交点坐标，再根据以直线解析式构成的二元一次方程组的解即为交点坐标即可求解． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴两直线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 【跟踪专练1】直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】二元一次方程组的解对应两个一次函数图象交点的坐标，先整理方程组得到对应两个一次函数，再根据已知交点横坐标求纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：整理方程组，可得， ∵直线与交点的横坐标为， 把代入，得， ∴两条直线的交点坐标为， ∴原二元一次方程组的解为． 【跟踪专练2】直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把代入求出，即可得出两条直线的交点坐标为，从而得出方程组的解． 【详解】解：把代入得：， ∴两条直线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 题型13.图象法解二元一次方程组 【典例】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型14.求直线围成的图形面积 【典例】如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】联立两个函数求出交点，然后分别求出，，结合图形求面积即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴交点； ， 当时，， ∴与x轴交于点， ，当时，， ∴与x轴交于点， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，求出三角形的面积是解题的关键．阴影部分是三个直角三角形，三个直角三角形的面积相加即是阴影部分的面积． 【详解】解：如图，轴于D，轴于E，轴于H，于F，直线交轴于点G，则 把代入，得 ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】点在两条直线上，即可得关于k、m的二元一次方程，解方程即可得直线与y轴的交点纵坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线，直线， ∴直线与y轴的交点纵坐标为2， ∴两条直线与y轴所围成的三角形面积为． 解答题 1．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元 (3)总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的A款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，． 故当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． 2．安溪是我国知名铁观音茶叶主产区，制茶产业历史悠久，是全国重要的茶叶产销集散地．已知每千克甲种茶叶进价比每千克乙种茶叶进价少元，且元采购甲种茶叶的重量与元采购乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某茶叶门店计划购进两种铁观音共千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的，若甲种茶叶按元/千克出售，乙种茶叶按元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】(1)每千克甲种茶叶的进价是元，每千克乙种茶叶的进价是元 (2)商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【分析】（1）设每千克甲种茶叶的进价是元，则每千克乙种茶叶的进价是元，根据元采购甲款茶叶的重量与元采购乙款茶叶的重量相同列方程解决即可； （2）设购进千克甲种茶叶，则购进千克乙种茶叶，商店销售完两种茶叶获得的总利润为元，列出函数表达式，根据一次函数性质解决即可． 【详解】（1）解：设每千克甲种茶叶的进价是元，则每千克乙种茶叶的进价是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：每千克甲种茶叶的进价是元，每千克乙种茶叶的进价是元； （2）解：设购进千克甲种茶叶，则购进千克乙种茶叶， 根据题意得，， 解得， 设商店销售完两种茶叶获得的总利润为元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 3．某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图1）．图2中分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分钟）之间的关系． (1)求对应的函数解析式． (2)当逃到离海岸12海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？并说明详细理由． 【答案】(1)的解析式为；的解析式为． (2)能在逃入公海前将其拦截 【分析】（1）根据函数图像中的数据用待定系数法即可求出的函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式求其函数图像交点坐标，从而确定追上的路程，再与12比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意，设． ∵在此函数图像上， ∴，解得， ∴的解析式为； 由题意，设． ∵，在此函数图像上， ∴．解得， ∴的解析式为． （2）解：能在逃入公海前将其拦截． 由题意可得，解得． ∵追上的路程， ∴能在逃入公海前将其拦截． 4．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若是轴上一点，，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为． (2)点或． (3)是等腰直角三角形，理由如下： 作轴且交y轴于点H，轴且交x轴于点M， 则，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵轴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【分析】（1）首先根据直线的表达式求出点A坐标，接着根据得到点B坐标，将点B，点C同时代入中联立方程，求出k、b的值，进而得到直线的表达式． （2）根据直线、的表达式联立方程，求出交点D，得到两个三角形的高；其次结合的长度求出，进而得到的值；设点，将表示出来，再根据三角形面积计算公式求解，求出的值，进而得到点E． （3）首先过点D分别作x，y轴的垂线，得到的平行线，根据平行线性质得到内错角相等，通过相等的角代换得到是的角平分线，进而根据“直角三角形内，一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等”判定三角形全等，得出对应边相等，求出的长；最后结合各点坐标计算出的各边长，根据边长关系判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴令，得， 解得，即点， ∴， ∴，即点， 将点，代入中，得， 解得，， ∴直线的函数表达式为． （2）∵直线、交于点D，联立方程得， 解得，， ∴点． 设点，则． ∵， ∴， ∴，得， 解得或， ∴点或． （3）略 【点睛】可通过作辅助线构造全等三角形求解线段长度，根据三边关系判断三角形形状． 6．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于的不等式组的解集； (3)若点，直接写出关于的不等式的解集； (4)在（3）的条件下，求出的面积． 【答案】(1)， (2) (3) (4)18 【分析】（1）关于的方程的解是直线与轴交点的横坐标；关于的不等式的解集是直线 在轴下方的部分对应的自变量的取值范围； （2）由图可分别得出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集； （3）关于的不等式的解集是直线 在直线上方的部分对应的自变量的取值范围； （4）直接利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的方程的解是． 由图可得，关于的不等式的解集是． （2）解：由图可得，不等式的解集为， 由图可得，不等式的解集为， ∴不等式组的解集为． （3）解：由图可得，关于的不等式的解集是． （4）解：． 7．如图，直线：与轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积． 【答案】(1)直线的表达式为： (2)时， (3) 【分析】（1）根据直线＝经过点和点代入解方程即可； （2）先求出两条直线的交点，再结合图象可知时，； （3）先求出点，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：∵直线：＝经过点和点 ， 解得， ∴直线的表达式为：； （2）解：与轴交于点 ， ∴直线的表达式为：， 联立， 解得， ∴点， 结合图象可知时，； （3）解：与轴交于点， ∴令，则，解得， ∴点， ， ， ． 8．已知一次函数的图象不经过第三象限，且为正整数． (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． (3)当时，根据函数图象，写出的取值范围． 【答案】(1) (2)一次函数图像如图所示 (3) 【分析】（1）根据一次函数的图像性质得出，再根据为正整数确定其值； （2）根据（1）知一次函数为，分别令，求出对应的的值得到两个点的坐标，在平面直角坐标系中描点，用直线连接即可； （3）先找出的点，再判断符合条件的部分是在该点的左侧还是右侧，左侧小于该点的横坐标，右侧大于该点的横坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴，解得， 又∵为正整数， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴一次函数为， 令，则， 令，则， ∴一次函数经过， 在平面直角坐标系中描出两点，用直线连接即可． （3）解：根据图像可知，当时，， 在该点的左侧， ∴． 9．如图，直线与直线相交于点，分别与轴交于点，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）列方程即可解答； （2）求得的长，点的纵坐标的绝对值即底边上的高，利用三角形面积公式即可解答； （3）结合图象即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ， ； （2）解：令，解得， ， 令，解得， ， ， ； （3）解：直线与直线相交于点， 结合图象，可得的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $