2. 2.2 有理数的加法运算律 课时同步训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦有理数加法交换律、结合律及简便运算应用，通过三级分层设计，强化从概念理解到综合应用的进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|单一运算律的概念理解与直接应用|选择、填空结合简单计算题，如交换律辨析题| |策略应用层|运算律综合运用及简便策略（同号、相反数、凑整）|多步骤简便计算题，如凑整结合法应用| |综合拓展层|跨知识点综合应用及实际情境问题|含新定义运算、情境应用题，如“绝佳”运算探究|

2026-2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2 有理数的加减运算 第2课时 有理数的加法运算律 ▌课时目标 1. 理解有理数加法交换律和结合律，能用文字语言和字母表达式准确表述两个运算律，体会运算律从自然数到有理数的推广。 2. 能运用加法交换律和结合律重新排列、组合加数，对有理数加法进行简便运算，提高计算效率和准确性。 3. 在具体计算中，掌握"同号结合""相反数结合""凑整结合"等简便运算策略，能根据算式特征灵活选择运算方法。 ▌课时目录 知识点01：加法交换律 知识点02：加法结合律 知识点03：运用运算律进行简便计算 ▌知识点01：加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为：a＋b＝b＋a。 有理数范围内加法交换律仍然成立，与正整数范围内的含义一致。例如：(－3)＋5＝5＋(－3)＝2。运用交换律时，需注意连同加数的符号一起交换，不能只移动数字而遗漏符号。 1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A 2．（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)40 【分析】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． （1）先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． （2）利用有理数的加法结合律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 4．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1) (2) (3)16 (4)1.25 (5)5.2 (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)２ 【分析】本题考查了有理数的加法运算，加法运算律等知识，掌握运算法则，根据题目特点运用运算律简化运算是解题的关键； （1）根据有理数加法法则直接相加即可； （2）根据有理数加法法则直接相加即可； （3）根据有理数加法法则直接相加即可； （4）先计算绝对值，再根据有理数加法法则进行即可； （5）根据有理数加法法则直接相加即可； （6）通分后根据有理数加法法则相加即可； （7）根据有理数加法法则直接相加即可； （8）把分数化为小数，根据有理数加法法则相加即可； （9）根据0加任何数得原数即可求解； （10）把带分数拆成整数与真分数的和，再把分数相加，最后与整数相加； （11）利用加法结合律把后两个数相加，再与第一个数相加即可； （12）把第一个分数化为小数，根据有理数加法运算律，把第一个、第三个加数相结合，第二个、第四个加数相结合，这样计算简便． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：， （9）解：； （10）解：； （11）解：； （12）解： ． ▌知识点02：加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。 有理数范围内加法结合律同样成立。例如：[(－7)＋3]＋(－3)＝(－7)＋[3＋(－3)]＝－7。结合律允许在计算时重新分组，将便于计算的两个数优先结合，简化运算过程。 5．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）简便计算：． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的加法．利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： 6．（25-26六年级上·山东·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法运算法则是解答的关键． （1）先去括号和绝对值，再加减运算即可； （2）利用加法交换律和结合律进行简便运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)170 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算等知识点，运用有理数加法运算律进行简便运算是解题的关键． （1）先去括号，然后计算减法即可； （2）先去括号，然后计算减法即可； （3）运用有理数加减法运算律进行简便运算即可； （4）运用有理数加减法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 8．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算可进行求解； （2）根据有理数的加法法则可进行求解； （3）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解； （4）根据有理数的加法交换律可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． ▌知识点03：运用运算律进行简便计算 运用加法交换律和结合律进行简便运算时，常用以下策略： 1. 同号结合法：将正数与正数结合、负数与负数结合，分别求和后再相加。例如：(－12)＋11＋(－8)＝[(－12)＋(－8)]＋11＝(－20)＋11＝－9。 2. 相反数结合法：将和为0的相反数优先结合。例如：34＋(－27)＋(－34)＝[34＋(－34)]＋(－27)＝0＋(－27)＝－27。 3. 凑整结合法：将相加得整十、整百的数优先结合。例如：(－1.25)＋(＋3.75)＋(－0.75)＋(＋2.25)＝[(－1.25)＋(－0.75)]＋[3.75＋2.25]＝(－2)＋6＝4。 9．（25-26七年级上·辽宁辽阳·阶段检测）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（26-27七年级上·北京·课后作业）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3)11 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． （1）先把两个负数相加，然后进行异号两数的加法运算； （2）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （3）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （4）先把负数和正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （5）先进行同分母分数的加法运算，然后通分，再进行加法运算； （6）先进行同分母分数的加法运算，再进行加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 11．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段检测）根据加法的运算律进行简便运算， (1)将图中过程补充完整： __________……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四 (2)如图中过程，“步骤一”运用了____________（填序号），“步骤二”运用了____________（填序号） ①加法结合律；②加法交换律 (3)仿照图中的方法，简便计算：． 【答案】(1)， (2)②，① (3) 【分析】本题考查有理数加法运算及加法运算律． （1）根据图中过程结合有理数加法运算法则补充即可； （2）根据有理数加法运算律解答即可； （3）先将分数化为小数，再利用有理数加法法则及运算律计算即可． 【详解】（1）解： ……步骤一 ……步骤二 …………………………步骤三 ………………………………步骤四； （2）解：根据有理数加法运算律可得：“步骤一”运用了②加法交换律，“步骤二”运用了①加法结合律； （3）解：原式 ． 12．（26-27七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算：． 【答案】111111 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． ▌课时训练 一、选择题 1．（2022九年级·香港·竞赛）杂货商有12种不同整数重量的砝码，从到．她将它们分成三组，每组四个砝码．第一组的总重量是，第二组的总重量是．以下哪个重量的砝码和重的砝码在同一组？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】先求出第三组的总重量为，根据最轻的四个砝码的重量是判断出第三组的砝码；根据最重的四个砝码的重量是判断出第一组的砝码，从而判断出第二组的砝码，即可求解． 【详解】解：所有砝码的重量为， 又第一组的总重量是，第二组的总重量是， ∴第三组的总重量为， ∵最轻的四个砝码的重量是， ∴第三组四个砝码为，，，，总重量为， ∵最重的四个砝码的重量是， ∴第一组四个砝码为，，，，总重量为， ∴第二组四个砝码为，，，，总重量为， ∴各选项中与重的砝码在同一组是． 2．（25-26七年级上·河北沧州·期中）嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键；要使计算简便，应选择分母与已知分数相同的选项，从而利用结合律先计算同分母分数之和，然后问题可求解． 【详解】解：∵原式为， 若，则先计算， 再计算，过程简便； 其他选项分母均不同，无法直接简化计算； ∴■中应填； 故选D． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查加法交换律的应用，即加数的顺序改变，和不变． 根据交换加数的位置时连同加数的符号一起交换分析即可． 【详解】解：选项A中，正确； 选项B、C、D中均改变了加数的符号，故不正确． 故选A． 4．（25-26七年级上·河北衡水·期中）能与相加得0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，相反数的定义． 相反数相加得0，求出的相反数即可． 【详解】解：，其相反数为． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）大于小于2.5的所有整数之和是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则及运算律是解题的关键． 先找出大于小于2.5的所有整数，再求它们的和即可． 【详解】大于小于2.5的整数有、、、、1、2． ． 大于小于2.5的所有整数之和是． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）若a、b互为相反数，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0得到，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）在数轴上，点A所表示的数为，那么到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是______． 【答案】或2/2或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离、绝对值方程，正确列出绝对值方程并解出是解本题的关键．分两种情况求出求出到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数即可． 【详解】解：∵点A所表示的数为， ∴到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是： 或， ∴到点A的距离等于4个单位长度的点表示的数是或2． 故答案为：或2． 8．（24-25七年级上·四川内江·期中）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法，掌握有理数加法交换律和结合律是解题的关键． 先根据有理数的加法运算律，把互为相反数结合，再计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 三、解答题 9．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 10．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训川练 第二章有理数及其运算 2有理数的加减运算 第2课时有理数的加法运算律 课时目标 理解有理数加法交换律和结合律，能用文字语言和字母表达式准确表述两个运算律， 体会运算律从自然数到有理数的推广。 2. 能运用加法交换律和结合律重新排列、组合加数，对有理数加法进行简便运算，提高 计算效率和准确性。 3. 在具体计算中，掌握”同号结合"相反数结合"”凑整结合"等简便运算策略，能根据算 式特征灵活选择运算方法。 课时目逯 知识点01：加法交换律 知识点02：加法结合律 知识点03：运用运算律进行简便计算 知识点01：加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为：a十b=b十a。 117 有理数范围内加法交换律仍然成立，与正整数范围内的含义一致。例如：（一3）十5=5十（一 3)=2。运用交换律时，需注意连同加数的符号一起交换，不能只移动数字而遗漏符号。 1.（25-26七年级上湖南株洲期未)计算2026+(-2025)+77+(-78) 的结果是() A.0 B.2 C.-1 D.+5 ?.(2s25七年袋上随州则未)小学解时，先将式子（写引+4-）Q4+[引（初 再计算结果，则小慧同学运用了() A.加法交换律B.加法结合律 C.加法交换律与结合律D.分配律 3.(25-26七年级上河南郑州阶段检测)计算： ②-23.7）+58+(-16.3)+2 4.(25-26七年级上山东淄博阶段检测)计算： a18)+(5) 17)+9 3)19）+35 ⑤（2.6)+7.8 (の46+(-87) 8-3.75+2 2/7 ⑨0+(5.5) aw〔助 a)-80)+(-43)+(43) 知识点02：加法结合建 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：(a十 b)+c=a+(b+c)。 有理数范围内加法结合律同样成立。例如：[(-7)十3]十（一3）=（一7）十[3+（一3]=一7。结 合律允许在计算时重新分组，将便于计算的两个数优先结合，简化运算过程。 5.(25-26七年级上陕西咸阳阶段检测)简便计算： 4+624 6.(25-26六年级上山东期中)计算： e 7.(25-26七年级上陕西西安·阶段检测)计算： ①180+(-10) (②-10)+(-) 8-12)+34+(←38)-66 引 3/7 8.(25-26七年级上重庆阶段检测)计算： 008+2 a48+(23)+2到 6)←375)+25+14}+35+(-25到 -2025202020260+20a0+10 知识点03：运用运算律进行简便计算 运用加法交换律和结合律进行简便运算时，常用以下策略： 同号结合法：将正数与正数结合、负数与负数结合，分别求和后再相加。例如：（一12）十 11+(-8)=[(-12)+(-8)]+11=(-20)+11=-9。 相反数结合法：将和为0的相反数优先结合。例如：34+(-27)+(-34)=[34十(-34]十 (-27)=0+(-27)=-27。 凑整结合法：将相加得整十、整百的数优先结合。例如：（一1.25）十（十3.75）+（一0.75）十 (+2.25)=[(-1.25)十(-0.75)]+[3.75+2.25]=(-2)+6=4。 9.(25-26七年级上辽宁辽阳阶段检测)用简便方法计算： 047)+(-20）+(-7)+2） e引》 10.(26-27七年级上北京课后作业)计算下列各题.（能用简便方法的要用简便方法） 0-25)+(+56)+(-39) 2-1.9)+3.6+(-10.1)+1.4 6)-26)+(+15)+(-8)+(+30) 4/7 4-2.4)+(3.7)+(+4.2)+0.7+(4.2) s》8 63引125+(16)(2) 11.(24-25七年级上河南驻马店阶段检测)根据加法的运算律进行简便运算， (1)将图中过程补充完整： (+3)+(-9)+(-3)=(+3)+ +(-9) …步骤 =[(+3)+ ]+(9) …步骤二 =0+(-9) …步骤三 =-9…步骤四 (2)如图中过程，“步骤一”运用了 (填序号)，“步骤二”运用了」 (填序 号) ①加法结合律；②加法交换律 3)仿照图中的方法，简便计算： (←2125)+3号584(-32) 12。（26-27七年级上：全国课堂例题)用简便方法计算：9子+99 +9992+99992+999992+4 5 5 5 课时训练 一、选择题 1.(2022九年级香港竞赛)杂货商有12种不同整数重量的砝码，从1kg到12kg,她将它们分成三组， 每组四个砝码.第一组的总重量是41kg,第二组的总重量是26g.以下哪个重量的砝码和9kg重的砝 码在同一组？() 517 ii8B△BB6 画可西可 A.3kg B.5kg C.7kg D.8kg E.10kg 2,5 2,(25-26七年级上：河北沧州期中)嘉琪在计算+6+■时，如要使计算简便，则■中可以填下列中 的() 7 13 A.5 B.17 D.11 3.(25-26七年级上广西崇左阶段检测)下列交换加数的位置的变形中，正确的是() 6+(-5)=(-5)+6 B.6+(5)=5+(-6) c.6+(-5)=5+6 D.6+(5)=(-5)+(6) 一(25-26七年级上·河北衡水期中)能与24相加得0的是( 42-月 B.2+3 4 C.2+3 4 D.23 4 二、填空题 5.(25-26七年级上河南郑州阶段检测)大于-3.5小于2.5的所有整数之和是 6.(2425七年级上湖南衡阳阶段检测)若a、b互为相反数，则2023+a+1+b= 7.(2425七年级上·湖北省直辖县级单位阶段检测)在数轴上，点A所表示的数为-2，那么到点A的距 离等于4个单位长度的点所表示的数是一 8.(2425七年级上四川内江期中)计算：1+2+3+…+2023+(-1)+(-2)+(-3)++(-2024)= 三、解答题 9.(24-25六年级上山东烟台期中)计算下列各式 0)16+(-25)+24+(-35) 224+(-15)+7+(-20) 617 8)18+(-12)+(-18)+12 (( 6)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1) o2125)+3+5+(-32) 10.(25-26七年级上广东惠州期中)在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣. 借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“田”，即对任意有理数 清足如下规律：a⊕6=口+ a,b ,称此种运算为“绝佳”运算。 例如， 5®(-2)=5+(-2=3，（-2)®4=(-2)+4=2 【探究一：两个数“绝佳”运算】 ⊕(-4)= (1)填空：① ®(4)83 通过上面的计算可知：“绝佳”运算 (填“满足”或者“不满足”)交换律. 【探究二：三个数“绝佳”运算】 (2)小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式 [6©(-7】©(-8)=6©[(-7)(-8]是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律. 7/7