竖直平面内与倾斜平面内的导轨单杆模型 专项训练 -2027届高三物理一轮复习

**基本信息** 聚焦竖直与倾斜平面导轨单杆模型，通过典例变式构建电磁感应与力学综合应用体系，强化模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |竖直平面导轨单杆|3例+3变式|含制动系统、双杆系统、线圈耦合，涉及瞬时加速度、收尾速度、能量转化|从电磁感应规律（E=BLv）到安培力计算，结合牛顿定律与能量守恒，构建“力-电-能”逻辑链| |倾斜平面导轨单杆|3例+3变式|含斜面平衡、磁场叠加、电容耦合，涉及动态平衡、动量冲量、非匀变速运动|在竖直模型基础上引入重力分量与摩擦力，拓展“场力-机械力-电路”综合分析框架|

竖直平面内与倾斜平面内的导轨单杆模型专项训练 竖直平面内与倾斜平面内的导轨单杆模型专项训练 考点目录 竖直平面内的导轨单杆模型 倾斜平面内的导轨单杆模型 考点一 竖直平面内的导轨单杆模型 例1．（2026·天津·二模）如图甲所示是天津欢乐谷的某款游乐设施，其工作原理是：先把游客和座椅拉升到离地一定高度处，然后使游客随座椅一起自由下落，当下落到制动开关A位置时，触发制动开始减速，到达地面时速度刚好为零（制动包含机械制动和电磁制动）。整个装置简化图如图乙：MN、PQ为竖直固定的光滑的平行导轨（电阻不计），导轨间距为L=10 m，MP为控制安全高度的金属横杆，其电阻，N、Q两点与地面绝缘，制动开关A点下方区域（含A点所在水平边界）存在垂直于导轨平面向里、磁感应强度，B=2T的匀强磁场。游客和座椅可视为质量、电阻、长度为L的金属棒，现将金属棒从MP处由静止释放，运动至A点进入磁场时的加速度大小a=3g，落至NQ时速度恰好为零。已知机械制动提供的阻力f恒为游客和座椅总重力的2倍，金属棒从MP运动到NQ的过程中，通过金属棒的电荷量，金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)金属棒刚进入磁场时，金属棒的速度大小v； (2)金属横杆MP距地面的高度H； (3)整个过程中金属棒上产生的焦耳热Q。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在A点对金属棒进行分析，由牛顿第二定律有， 解得 又 则感应电流 感应电动势 联立解得 （2）在磁场区域，通过金属棒的电量 又，， 联立解得 进入磁场前，金属棒做自由落体运动，由 解得 金属横杆MP的高度 （3）从进入磁场到落地过程，对金属棒由动能定理得 由功能关系可知 整个过程中金属棒上产生的焦耳热 联立解得 例2．（2026·四川内江·三模）如图所示，光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为2m的重物，另一端系一质量为m的金属杆。在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻，其余电阻均不计，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端。现将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降。运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，不计一切摩擦，重力加速度为g。求： (1)重物匀速下降时，金属杆中感应电流的方向； (2)重物匀速下降的速率； (3)重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热。 【答案】(1)水平向左 (2) (3) 【详解】（1）重物匀速下降时，设细线对金属杆的拉力为T，金属杆所受安培力为F，对重物由平衡条件有 对金属杆由平衡条件有 联立解得 方向竖直向下，由左手定则可知，金属杆中电流方向为水平向左。 （2）根据题意，设重物匀速下降的速率为，由法拉第电磁感应定律有 由闭合电路欧姆定律有 又有 联立解得 （3）根据题意，设电阻R中产生的焦耳热为，由能量守恒定律有 解得 例3．（2026·四川广元·二模）如图所示，间距为的两条平行光滑竖直金属导轨PQ、MN足够长，底部Q、N之间连有一阻值为的电阻，磁感应强度为的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨的上端点P、M分别与横截面积为的50匝线圈的两端连接，线圈所在区域有与线圈轴线平行，大小随时间均匀变化的匀强磁场，开关S闭合后，质量为、电阻值为的金属棒ab恰能保持静止。断开开关后金属棒下落2m时恰好达到最大速度。金属棒始终与导轨接触良好，其余部分电阻不计，g取。求： (1)金属棒ab恰能保持静止时，匀强磁场的磁感应强度的变化率； (2)金属棒ab下落过程中能达到的最大动量的大小； (3)金属棒ab从开始下落到恰好运动至最大速度的过程中，金属棒产生的焦耳热和所用时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）开关闭合金属棒静止时，受力平衡，安培力等于重力，即 由法拉第电磁感应定律，线圈感应电动势 回路电流 联立可得 代入数值解得 （2）断开开关后，金属棒达到最大速度时受力平衡，安培力等于重力 其中感应电流 联立得最大速度 最大动量 （3）由能量守恒，得 解得总焦耳热 串联电路焦耳热与电阻成正比，金属棒的焦耳热 对金属棒下落过程，安培力的冲量大小为 由动量定理，得 代入得 代入数值解得 变式1．（2026·天津南开·模拟预测）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨竖直固定放置，导轨间距。完全相同的两金属棒ab、cd均垂直于导轨放置且与导轨接触良好，其长度恰好等于导轨间距，两棒的质量均为m=0.01kg，电阻均为，回路中其余电阻忽略不计。cd棒放置在水平绝缘平台上，整个装置处在垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，磁感应强度。棒ab在恒力作用下由静止开始向上运动。当棒ab运动的位移达到时，它达到最大速度，此时cd棒对绝缘平台的压力恰好为零。取，求： (1)恒力的大小； (2)ab棒最大速度的大小； (3)在此过程中ab棒产生的焦耳热（本小问结果保留两位有效数字）。 【答案】(1) (2)1m/s (3) 【详解】（1）当达到最大速度时，设棒受安培力为，对棒受力分析有 对棒受力分析有 解得 （2）设棒最大速度为，根据 解得 （3）棒从开始到达到最大速度的过程中，根据功能关系有 ab棒中产生的焦耳热为 代入数据解得 变式2．（2025·河北沧州·一模）如图所示，两根不计电阻的足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻。导轨所在平面的虚线下方有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放，金属棒与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，已知金属棒进入磁场时恰好做匀速运动，求： (1)电阻两端电压； (2)金属棒匀速运动的速度大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）金属棒进入磁场时匀速运动，安培力与重力的大小相等 电阻两端电压 （2）金属棒在磁场中向下运动切割磁感线产生电动势 由闭合电路欧姆定律得感应电流 联立解得金属棒匀速运动的速度 变式3．（25-26高三上·广西南宁·期中）如图，某测速装置中的一个竖直轮子由细圆环与辐条构成，细圆环质量为、半径为，辐条质量不计。当轮子匀速转动时，固定在轮子上的轻质小圆柱可带动“工”形支架在竖直方向做简谐运动。“工”形支架质量为，其下端的金属横杆与平行导轨垂直且紧密接触。导轨间距也为，下端接有阻值为的定值电阻，整个导轨处于磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里的匀强磁场中。现对轮子施加外力，使轮子以角速度顺时针匀速转动，当图示中的小圆柱转动到左侧与轮子中心等高处开始计时（），此时金属横杆与导轨底部距离为。已知重力加速度为，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力、摩擦阻力不计，电路中电流的磁场忽略不计。 (1)求时，支架向上运动的速度大小和横杆的电动势； (2)求横杆中电流随时间变化的关系（以向左为电流的正方向）； (3)求从起，轮子转过圈过程中，轮子对支架做的功； 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）支架的速度为 电动势大小为 联立解得电动势为 （2）任意时刻，横杆的速度为 电动势大小为 电流为 联立解得 （3）轮子转过圈时，用时，支架的速度为0，位移为，研究支架，由动能定理知 又有， 联立解得 考点二 倾斜平面内的导轨单杆模型 例1．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，一对平行金属导轨间距为l，导轨平面与水平面的夹角θ=30°。在导轨上与导轨垂直的水平虚线ab与导轨下端的距离为d，虚线到导轨下端之间的整个空间充满匀强磁场（图中阴影部分），磁场方向垂直于导轨平面向上、磁感应强度为B。在距导轨下端处有一金属棒MN垂直导轨置于导轨上，恰好能保持静止，在虚线上方距离为d处将另一光滑的金属棒PQ垂直于导轨静止释放到导轨上。已知棒PQ刚进入磁场时的加速度为g（方向沿导轨向下，g为重力加速度），棒PQ和MN的质量各为m和2m，回路的总电阻保持不变。棒MN所受滑动摩擦力等于最大静摩擦力。求： (1)棒PQ进入磁场区域前瞬间的速度大小v0； (2)回路的总电阻R； (3)棒PQ和MN脱离导轨时的速度大小v1 、v2各为多大？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）棒从开始运动至进入磁场时，由机械能守恒定律可得 解得 （2）刚进入磁场时受到的安培力为 感应电流为 由牛顿第二定律可得 解得回路的总电阻为 （3）棒刚进入磁场时，对棒，根据牛顿第二定律有 解得其加速度大小为，方向沿导轨向下； 由于两棒的加速度相等，在磁场中运动过程相同时间内速度的增量相等，相对速度保持不变，因此感应电流保持不变，安培力不变，两棒做加速度相等的匀加速运动直到棒脱离导轨。 设两棒在磁场运动过程不会相遇，棒开始运动至脱离导轨时，经过的时间为，末速为，有， 解得棒脱离导轨时的速度 棒在时间t内位移为 解得 因此两棒在磁场运动过程不会相遇，棒脱离导轨时速度为，在磁场运动全过程，由动能定理可得 解得 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）如图甲所示，间距为的平行金属导轨由倾斜部分和水平部分连接而成，导轨光滑且电阻不计。倾斜部分足够长，其间接一阻值为的电阻，倾角，处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，其磁感应强度B2大小未知。水平部分接有面积为、电阻为的单匝线圈，线圈水平放置且处在方向竖直向下的磁场中，磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示，后始终为零。将质量为的导体棒垂直倾斜导轨由静止释放，在内导体棒恰好处于静止状态。已知导体棒接入电路的电阻为，，，。 (1)求内间的电压大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)从导体棒从到速度最大的过程中，在电阻上产生的热量，求此过程中导体棒的位移。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）内，静止，水平线圈感应电动势 电路总电阻，总电流 间的电压为路端电压 解得 （2）内，对导体棒，根据平衡条件有， 解得 （3）后，线圈无电动势，切割磁感线产生电动势，当导体棒速度达到最大时 此时作为电源，、并联，， 解得 由能量守恒可得 其中由可得 代入解得 例3．（2026·宁夏山西·模拟预测）如图甲所示，两根足够长的平行倾斜金属导轨MN、PQ的间距L=1 m，导轨平面与水平面夹角θ=37°，两导轨的上端接一阻值R=3 Ω的电阻，导轨处在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B=1 T的匀强磁场中。长为L=1 m、质量为m=0.2 kg、电阻为r=2 Ω的金属棒垂直放置在导轨下端，初始时被两导轨上的小立柱挡住而保持静止。金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5.t=0时刻，对金属棒施加瞬时冲量，使其获得沿导轨平面向上、大小为1 m/s的初速度，同时施加一个沿导轨向上的拉力F。金属棒向上运动x=5 m位移的过程中，通过传感器测得速度v与位移x关系如图乙所示。已知在运动过程中金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.已知当时，有。求金属棒向上运动x=5 m位移的过程中：（结果均保留到小数点后2位） (1)金属棒的位移为x0=2.5 m时的加速度大小a0； (2)拉力F做的功W； (3)拉力F的冲量大小IF。（已知当n足够大时，有） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设金属棒的速度为v时加速度为a，当时，有 由题图乙知金属棒运动的位移为 时的速度大小 则 （2）对金属棒上升过程，根据牛顿第二定律，有 可得 则题述过程中拉力F做的功 （3）由题图乙知 （ 的单位为m/s）。将位移分成n个微小段，每小段长度为， 在第1小段棒的速度 ，在第2小段棒的速度 ，…，在第k小段棒的速度 ，…，在第n小段棒的速度 则此过程棒运动的总时间 根据题设条件，当n足够大时，有 此过程对金属棒，由动量定理有 其中 ， 解得 变式1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，足够长的倾斜金属导轨两侧与水平地面的夹角，其间距。电容，电阻，导轨所在区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小。现使质量的导体棒静止在轨道上，导体棒始终与两侧金属导轨垂直且接触良好，两者间动摩擦因数处处相同，导轨和导体棒电阻均不计。（重力加速度，，。） (1)若开关闭合，断开，由静止释放金属棒，金属棒最终以速度做匀速直线运动，求金属棒与导轨间的动摩擦因数； (2)若开关闭合，断开，由静止释放金属棒（整个过程中电容器未被击穿），时金属棒的速度和此时电容器储存的能量； (3)在第（2）问条件下，时后对金属棒施加沿斜面向上的恒定外力，经过后金属棒速度恰好为0，求外力的大小； 【答案】(1)0.5 (2)， (3) 【详解】（1）闭合，断开，金属棒稳定后做匀速直线运动，对棒受力分析可得 其中， 联立解得 （2）闭合，断开时，在时间内，对金属棒 对电容器，有 解得 分析可知金属棒向下做匀加速运动 此时金属棒的速度   解得 金属棒前进的位移   解得 电容器储存的能量 解得 （3）同理可知施加外力后，金属棒向下做匀减速运动 向下加速运动和向下减速运动时，有 所以， 变式2．（25-26高三上·江苏无锡·期中）如图甲所示，足够长倾斜导轨与水平面的夹角为，上端间、底端均与阻值为R的定值电阻相连，导轨的宽度为l。导轨平面内有平行且垂直导轨的虚线、，正方形区域内存在垂直导轨平面向下的磁场，磁感应强度的大小随时间的变化规律如图乙所示；与底端间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。是长度为l、质量为m、阻值为R垂直导轨放置的导体棒，其他电阻不计，不计一切摩擦阻力，重力加速度为g。若内在下方磁场区域的某位置恰能静止，时刻通过定值电阻的电流刚好达到稳定值。 (1)求内通过的电流大小I； (2)求时刻的速度大小； (3)若已知到时间内通过PQ的电荷量为q，求此过程产生的热量Q。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，时间内，处于静止状态，根据平衡条件有 解得 （2）依题意，时刻通过定值电阻的电流刚好达到稳定值，导体棒切割磁感线运动，且做匀速运动，则有 此导体棒产生的感应电动势 回路总电阻为 回路中的感应电流 联立解得 （3）根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路的欧姆定律有 根据电流的定义式有 联立解得 对，由动能定理有 由功能关系可知系统产生的总焦耳热 故上产生焦耳热为 解得 变式3．（2026·陕西榆林·三模）如图所示，间距的两条平行光滑金属导轨MN、PQ足够长，与水平面间的夹角，底部、之间连有一阻值的定值电阻，导轨处在垂直导轨平面向上的匀强磁场I中，导轨的上端点M、P与水平面内阻值、面积的单匝线圈相连，线圈处于方向竖直向上、磁感应强度大小随时间的变化规律为的磁场II中。开关K闭合后，质量、长度、阻值的光滑金属棒ab恰能保持静止，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，其余部分电阻不计，重力加速度取。求： (1)M、P间的电势差； (2)匀强磁场I的磁感应强度大小； (3)开关K断开后，金属棒ab由静止下滑至最大速度所需时间，金属棒ab能达到的最大速度和定值电阻产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，有 根据楞次定律，可知线圈中产生顺时针的电流（从上向下看）。金属棒与定值电阻的并联电阻 则间的电势差 （2）根据闭合电路的欧姆定律，有 解得 对金属棒ab受力分析，沿斜面方向有 解得 （3）开关K断开后，金属棒ab开始下滑，设最大速度为。根据法拉第电磁感应定律，有 根据闭合电路的欧姆定律，有 解得 对金属棒ab受力分析，沿斜面方向有 联立解得 对金属棒ab，由动量定理有 其中 联立解得 根据能量守恒定律，有 解得 则定值电阻产生的焦耳热 2 学科网（北京）股份有限公司 $竖直平面内与倾斜平面内的导轨单杆模型专项训练 竖直平面内与倾斜平面内的导轨单杆模型专项训练 考点目录 竖直平面内的导轨单杆模型 倾斜平面内的导轨单杆模型 考点一 竖直平面内的导轨单杆模型 例1．（2026·天津·二模）如图甲所示是天津欢乐谷的某款游乐设施，其工作原理是：先把游客和座椅拉升到离地一定高度处，然后使游客随座椅一起自由下落，当下落到制动开关A位置时，触发制动开始减速，到达地面时速度刚好为零（制动包含机械制动和电磁制动）。整个装置简化图如图乙：MN、PQ为竖直固定的光滑的平行导轨（电阻不计），导轨间距为L=10 m，MP为控制安全高度的金属横杆，其电阻，N、Q两点与地面绝缘，制动开关A点下方区域（含A点所在水平边界）存在垂直于导轨平面向里、磁感应强度，B=2T的匀强磁场。游客和座椅可视为质量、电阻、长度为L的金属棒，现将金属棒从MP处由静止释放，运动至A点进入磁场时的加速度大小a=3g，落至NQ时速度恰好为零。已知机械制动提供的阻力f恒为游客和座椅总重力的2倍，金属棒从MP运动到NQ的过程中，通过金属棒的电荷量，金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)金属棒刚进入磁场时，金属棒的速度大小v； (2)金属横杆MP距地面的高度H； (3)整个过程中金属棒上产生的焦耳热Q。 例2．（2026·四川内江·三模）如图所示，光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为2m的重物，另一端系一质量为m的金属杆。在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻，其余电阻均不计，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端。现将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降。运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，不计一切摩擦，重力加速度为g。求： (1)重物匀速下降时，金属杆中感应电流的方向； (2)重物匀速下降的速率； (3)重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热。 例3．（2026·四川广元·二模）如图所示，间距为的两条平行光滑竖直金属导轨PQ、MN足够长，底部Q、N之间连有一阻值为的电阻，磁感应强度为的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨的上端点P、M分别与横截面积为的50匝线圈的两端连接，线圈所在区域有与线圈轴线平行，大小随时间均匀变化的匀强磁场，开关S闭合后，质量为、电阻值为的金属棒ab恰能保持静止。断开开关后金属棒下落2m时恰好达到最大速度。金属棒始终与导轨接触良好，其余部分电阻不计，g取。求： (1)金属棒ab恰能保持静止时，匀强磁场的磁感应强度的变化率； (2)金属棒ab下落过程中能达到的最大动量的大小； (3)金属棒ab从开始下落到恰好运动至最大速度的过程中，金属棒产生的焦耳热和所用时间。 变式1．（2026·天津南开·模拟预测）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨竖直固定放置，导轨间距。完全相同的两金属棒ab、cd均垂直于导轨放置且与导轨接触良好，其长度恰好等于导轨间距，两棒的质量均为m=0.01kg，电阻均为，回路中其余电阻忽略不计。cd棒放置在水平绝缘平台上，整个装置处在垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，磁感应强度。棒ab在恒力作用下由静止开始向上运动。当棒ab运动的位移达到时，它达到最大速度，此时cd棒对绝缘平台的压力恰好为零。取，求： (1)恒力的大小； (2)ab棒最大速度的大小； (3)在此过程中ab棒产生的焦耳热（本小问结果保留两位有效数字）。 变式2．（2025·河北沧州·一模）如图所示，两根不计电阻的足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻。导轨所在平面的虚线下方有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放，金属棒与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，已知金属棒进入磁场时恰好做匀速运动，求： (1)电阻两端电压； (2)金属棒匀速运动的速度大小． 变式3．（25-26高三上·广西南宁·期中）如图，某测速装置中的一个竖直轮子由细圆环与辐条构成，细圆环质量为、半径为，辐条质量不计。当轮子匀速转动时，固定在轮子上的轻质小圆柱可带动“工”形支架在竖直方向做简谐运动。“工”形支架质量为，其下端的金属横杆与平行导轨垂直且紧密接触。导轨间距也为，下端接有阻值为的定值电阻，整个导轨处于磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里的匀强磁场中。现对轮子施加外力，使轮子以角速度顺时针匀速转动，当图示中的小圆柱转动到左侧与轮子中心等高处开始计时（），此时金属横杆与导轨底部距离为。已知重力加速度为，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力、摩擦阻力不计，电路中电流的磁场忽略不计。 (1)求时，支架向上运动的速度大小和横杆的电动势； (2)求横杆中电流随时间变化的关系（以向左为电流的正方向）； (3)求从起，轮子转过圈过程中，轮子对支架做的功； 考点二 倾斜平面内的导轨单杆模型 例1．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，一对平行金属导轨间距为l，导轨平面与水平面的夹角θ=30°。在导轨上与导轨垂直的水平虚线ab与导轨下端的距离为d，虚线到导轨下端之间的整个空间充满匀强磁场（图中阴影部分），磁场方向垂直于导轨平面向上、磁感应强度为B。在距导轨下端处有一金属棒MN垂直导轨置于导轨上，恰好能保持静止，在虚线上方距离为d处将另一光滑的金属棒PQ垂直于导轨静止释放到导轨上。已知棒PQ刚进入磁场时的加速度为g（方向沿导轨向下，g为重力加速度），棒PQ和MN的质量各为m和2m，回路的总电阻保持不变。棒MN所受滑动摩擦力等于最大静摩擦力。求： (1)棒PQ进入磁场区域前瞬间的速度大小v0； (2)回路的总电阻R； (3)棒PQ和MN脱离导轨时的速度大小v1 、v2各为多大？ 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）如图甲所示，间距为的平行金属导轨由倾斜部分和水平部分连接而成，导轨光滑且电阻不计。倾斜部分足够长，其间接一阻值为的电阻，倾角，处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，其磁感应强度B2大小未知。水平部分接有面积为、电阻为的单匝线圈，线圈水平放置且处在方向竖直向下的磁场中，磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示，后始终为零。将质量为的导体棒垂直倾斜导轨由静止释放，在内导体棒恰好处于静止状态。已知导体棒接入电路的电阻为，，，。 (1)求内间的电压大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)从导体棒从到速度最大的过程中，在电阻上产生的热量，求此过程中导体棒的位移。 例3．（2026·宁夏山西·模拟预测）如图甲所示，两根足够长的平行倾斜金属导轨MN、PQ的间距L=1 m，导轨平面与水平面夹角θ=37°，两导轨的上端接一阻值R=3 Ω的电阻，导轨处在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B=1 T的匀强磁场中。长为L=1 m、质量为m=0.2 kg、电阻为r=2 Ω的金属棒垂直放置在导轨下端，初始时被两导轨上的小立柱挡住而保持静止。金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5.t=0时刻，对金属棒施加瞬时冲量，使其获得沿导轨平面向上、大小为1 m/s的初速度，同时施加一个沿导轨向上的拉力F。金属棒向上运动x=5 m位移的过程中，通过传感器测得速度v与位移x关系如图乙所示。已知在运动过程中金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.已知当时，有。求金属棒向上运动x=5 m位移的过程中：（结果均保留到小数点后2位） (1)金属棒的位移为x0=2.5 m时的加速度大小a0； (2)拉力F做的功W； (3)拉力F的冲量大小IF。（已知当n足够大时，有） 变式1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，足够长的倾斜金属导轨两侧与水平地面的夹角，其间距。电容，电阻，导轨所在区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小。现使质量的导体棒静止在轨道上，导体棒始终与两侧金属导轨垂直且接触良好，两者间动摩擦因数处处相同，导轨和导体棒电阻均不计。（重力加速度，，。） (1)若开关闭合，断开，由静止释放金属棒，金属棒最终以速度做匀速直线运动，求金属棒与导轨间的动摩擦因数； (2)若开关闭合，断开，由静止释放金属棒（整个过程中电容器未被击穿），时金属棒的速度和此时电容器储存的能量； (3)在第（2）问条件下，时后对金属棒施加沿斜面向上的恒定外力，经过后金属棒速度恰好为0，求外力的大小； 变式2．（25-26高三上·江苏无锡·期中）如图甲所示，足够长倾斜导轨与水平面的夹角为，上端间、底端均与阻值为R的定值电阻相连，导轨的宽度为l。导轨平面内有平行且垂直导轨的虚线、，正方形区域内存在垂直导轨平面向下的磁场，磁感应强度的大小随时间的变化规律如图乙所示；与底端间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。是长度为l、质量为m、阻值为R垂直导轨放置的导体棒，其他电阻不计，不计一切摩擦阻力，重力加速度为g。若内在下方磁场区域的某位置恰能静止，时刻通过定值电阻的电流刚好达到稳定值。 (1)求内通过的电流大小I； (2)求时刻的速度大小； (3)若已知到时间内通过PQ的电荷量为q，求此过程产生的热量Q。 变式3．（2026·陕西榆林·三模）如图所示，间距的两条平行光滑金属导轨MN、PQ足够长，与水平面间的夹角，底部、之间连有一阻值的定值电阻，导轨处在垂直导轨平面向上的匀强磁场I中，导轨的上端点M、P与水平面内阻值、面积的单匝线圈相连，线圈处于方向竖直向上、磁感应强度大小随时间的变化规律为的磁场II中。开关K闭合后，质量、长度、阻值的光滑金属棒ab恰能保持静止，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，其余部分电阻不计，重力加速度取。求： (1)M、P间的电势差； (2)匀强磁场I的磁感应强度大小； (3)开关K断开后，金属棒ab由静止下滑至最大速度所需时间，金属棒ab能达到的最大速度和定值电阻产生的焦耳热。 2 学科网（北京）股份有限公司 $