2026-2027学年人教版数学九年级上册【一元二次方程的巧算】专项训练

**基本信息** 聚焦一元二次方程巧算，构建“概念-解法-巧算”三阶知识逻辑，提炼六大解题方法，通过典例与变式训练培养抽象能力和运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整体换元法|1典例+1变式|复杂子式设新元降次|从基本换元思想到高次方程转化| |配凑法|1典例+2变式|添拆项配成完全平方/平方差|基于配方法原理优化系数处理| |因式分解巧解|1典例+1变式|利用公式/公因式直接分解|衔接因式分解法避免失根| |倒数代换法|1典例+2变式|对称结构设y=x+1/x降次|结合方程对称特征简化运算| |特殊系数巧算法|1典例+2变式|系数和为0得根x=1或-1|运用韦达定理快速求根| |换元降次法|1典例+2变式|乘积项配对整体换元|从高次方程结构特征突破|

九年级上册一元二次方程的巧算培优练习 一、一元二次方程的基本概念 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，称为一元二次方程 2.一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，其中ax是二次项，bx是一次项，c是常数项 3.一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根 二、一元二次方程的解法 1.直接开平方法：对于形如x2=p(p≥0)的方程，可得x=±p 2配方法：将aX+bx+c=0化为a(x+bP=b2-4ac 4a 的形式，再开平方求解 2a 3公式法：X=b±Vb-4ac (b2-4ac≥0). 2a 4. 因式分解法：将方程化为a(x-x1)(X-X2)=0的形式，则X=X1或x=X2 三、判别式与韦达定理 1.判别式：△=b2-4ac 。△>0：方程有两个不相等的实数根 。△=0：方程有两个相等的实数根 ·△<0：方程没有实数根 2.韦达定理（根与系数的关系）：若x1、X2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则： +-b a 四、六大巧算方法简介 方法 适用场景 核心思想 整体换元法 含重复复杂结构的高次 将重复出现的复杂子式设为新元，降次简化 配凑法 系数有特殊关系的二次方程 通过添项、拆项配成完全平方式或平方差形式 第1页共21页 因式分解巧 系数有公因式或符合特殊乘 提取公因式或利用平方差/完全平方公式直接 解 法公式 分解 倒数代换法 方程中含x与二对称结构 X 设y=x+X或y=X-文降次求解 特殊系数巧 系数和为0或有对称特征 利用a+b+c=0或a-b+c=0直接得根 算法 换元降次法 含x+ax+bx+cx+d 将乘积配对后整体换元，转化为低次方程 的方程 第二部分典例分析与变式训练 题型一：整体换元法 方法点拨：当方程中含有重复出现的复杂代数式时，可将其设为一个新未知数，从而将原方程 降次，转化为较简单的方程求解.换元后要注意检验新元的取值范围. 例1解方程：(x2-x2-4(x2-x)-12=0 解：设t=x-X,则原方程化为 2-4t-12=0 因式分解得t-6)(t+2)=0 .t1=6,t2=-2 当t=6时，x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2 当t=-2时，x2-x+2=0,△=1-8=-7<0，无实数根 ∴.原方程的解为X1=3,x2=-2 变式1解下列方程： (x2+3x)2-2(x2+3x)-8=0 第2页共21页 题型二：配凑法 方法点拨：当二次项系数不是完全平方数，或一次项系数与二次项系数、常数项之间存在特殊 倍数关系时，可通过适当的添项、拆项，将方程配凑成完全平方式或平方差形式，从而简化解 题过程 例2解方程：x2+4x-12=0(配方法) 解：移项得x2+4x=12 配方：x2+4x+4=12+4 (x+2)2=16 x+2=±4 ∴.X1=2,X2=-6 变式2解下列方程： (1)x2-6x+4=0 (2)2x-4x-6=0(提示：先化二次项系数为1) 题型三：因式分解巧解 方法点拨：仔细观察方程的结构特征，若方程各项有公因式，或可以写成平方差、完全平方的 形式，优先考虑因式分解法.因式分解法比公式法更快捷，但要注意移项、整理后再分解，切 忌两边约去含未知数的因式导致失根 例3解方程：(2x-12=(3-x2 解：移项得(2x-1}2-(3-x2=0 利用平方差公式A-B=(A+B)(A-B): [(2x-1)+(3-x)][(2x-1)-（3-x)]=0 第3页共21页 (x+2)(3x-4)=0 x1=-2,X2F3 变式3解下列方程：4(x-1?=9(x+22 题型四：倒数代换法 方法点拨：对于形如Q2+bx+C+冬+四=0或可化为A(x+)+B=0的方程，可设y=x+ X x2 或=是利+-2（威y+2)进折代换.除次米 例4部方程：《4立3+安+40 解：=x+是则+-2 原方程化为t-2-3t+4=0 t2-3t+2=0 (t-1)(t-2)=0 .∴.t1=1,t2=2 当t=1时，X+=1,即x2-X+1=0,4=1-4=-3<0,无实数根 当t=2时，x+1=2,即X2-2x+1=0,(x-1P=0 X ..X=1 变式4解下列方程： +72x+安*1=0 (2)x2+1+x 第4页共21页 题型五：特殊系数巧算法 方法点拨：对于一元二次方程ax2+bx+c=0,若系数满足a+b+c=0,则方程必有一根 义=1，另一根名，=合：若满足Q-b+c=0,则必有一根X=-1,另一根=-利用此规律 可快速求解， 例5解方程：2025x2-2026x+1=0 解：观察系数：a=2025,b=-2026,c=1 a+b+c=2025+(-2026)+1=0 ∴.X1=1 .C1 由韦达定理，X1x,=a2025 1 .X2-2025 变式5解下列方程： (1)2024x2-2025x+1=0 (2)3x+2x-1=0(提示：观察a-b+c=0) 题型六：换元降次法 方法点拨：对于形如(x+a)〔x+b)(x+c(x+d)=m的方程，若a+d=b+c,则可两两配 对，将x+a(x+d)和(x+b)(x+c)分别展开，利用公共二次项结构进行换元，转化为一元 二次方程求解 例6解方程：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24 第5页共21页 解：注意到1+4=2+3=5，两两配对： [(x+1(x+4)][(x+2(x+3)]=24 (x2+5x+4)(x2+5x+6)=24 设t=x2+5x,则： (t+4)(t+6)=24 2+10t+24=24 t2+10t=0 t(t+10)=0 .t1=0,t2=-10 当t=0时，x2+5x=0,解得X1=0,x2=-5 当t=-10时，x2+5x+10=0,△=25-40=-15<0，无实数根 .原方程的解为x1=0,x2=-5 变式6解下列方程： (1)(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9 (2)(x-1(x-2)(x-3)(x-4)=8 第三部分综合训练 一、基础训练 解下列方程： 1.(x-32-16=0 2.x2-5x+6=0 3.2x2-5x+2=0 4.（x+12-3(x+1)+2=0 5.x2+29V2x+2=0 6.3x2-10x+3=0 第6页共21页 二、能力提升 解下列方程： 1.(x2-2x2-3(x2-2x）-10=0 2.2026x2-2027x+1=0 3.(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=24 4X1+x-5 XX-12 三、拓展探究 1.阅读材料，回答问题， 材料：解方程x-5x2+4=0 解：设t=x,则原方程化为t-5t+4=0 解得t1=1,t2=4 当t=1时，x2=1,解得x=±1 当t=4时，x2=4,解得X=±2 ∴.原方程的解为x1=1,X2=-1,x3=2,X4=-2 请仿照以上方法，解下列方程： (1)x4-13x2+36=0 (2)x4-3x2-4=0 第7页共21页 2.观察下列方程及其解的特征： 方程X+=2的解为X1=X2=1 X 方程x+1、5 X一的解为x1=2,x2=5 方程x+1=10 是号的解为×=3，名号 1_26 (1)猜想：方程X+ 的解为X1---,X=-- (2)利用以上规律，解方程 2+1+x-1=10 X-1x2+13 (提示：设y=Y+ x-1 第8页共21页 第四部分答案与解析 题型一：整体换元法 例1解方程：(x2-x2-4(x2-x)-12=0 解：设t=x2-x,则原方程化为 t2-4t-12=0 （t-6)(t+2)=0 t1=6,t2=-2 当t=6时，x2-x-6=0 (x-3)(x+2)=0 .X1=3,X2=-2 当t=-2时，x2-x+2=0 △=(-1}-4×1×2=1-8=-7<0，无实数根 ∴.原方程的解为x1=3,x2=-2 变式1 (1)(x2+3x)2-2(x2+3x)-8=0 解：设t=x2+3x,则 t2-2t-8=0 (t-4)(t+2)=0 t1=4,t2=-2 当t=4时，x2+3x-4=0 (x+4)(x-1)=0 .X1=-4,x2=1 当t=-2时，x2+3x+2=0 (x+1)(x+2)=0 .X3=-1,X4=-2 .原方程的解为x1=-4,X2=1,x3=-1,x4=-2 (2)(x2+2x}-5(x2+2x)+6=0 第9页共21页 解：设t=x2+2x,则 2-5t+6=0 （t-2)(t-3)=0 t1=2,t2=3 当t=2时，x2+2x-2=0 X=-2±/4+8-=2±25-1t5 2 3 当t=3时，x2+2x-3=0 （x+3)(x-1)=0 ∴.X3=-3,X4=1 ∴.原方程的解为x1=-1+3,x2=-1-3,x3=-3,x4=1 题型二：配凑法 例2解方程：x+4x-12=0 解：移项得x+4x=12 两边同时加4： x+4x+4=12+4 (x+2)2=16 X+2=±4 ′.X1=2,x2=-6 变式2 (1)x2-6x+4=0 解：移项得x-6x=-4 两边同时加9： x2-6x+9=-4+9 (x-3)2=5 x-3=±V5 .x1=3+5,x2=3-/5 (2)2x2-4x-6=0 第10页共21页 解：两边同除以2： x2-2X-3=0 x2-2x=3 两边同时加1： x2-2x+1=3+1 (x-1)2=4 x-1=±2 .∴.X1=3,X2=-1 题型三：因式分解巧解 例3解方程：(2x-1}=(3-x2 解：移项得(2x-1)2-(3-x}=0 [(2x-1)+(3-x)][(2x-1)-(3-x)]=0 (x+2)(3x-4)=0 =-2,x 变式3 4(x-1)2=9(x+22 解：移项得4(x-12-9(x+2)2=0 [2(x-1)]2-[3(x+2)]2=0 [2(x-1)+3(x+2][2(x-1)-3(x+2)]=0 (2x-2+3x+6)(2x-2-3x-6)=0 (5x+4)(-x-8)=0 X=-号-8 题型四：倒数代换法 例4解方程：X+之-3(x++4=0 X 第11页共21页 解：设=x+是则+=-2 原方程化为t-2-3t+4=0 t-3t+2=0 (t-1)(t-2)=0 .t1=1,t2=2 当t=1时，x+=1,即X-x+1=0 X △=1-4=-3<0，无实数根 当t=2时，X+日=2，即x2-2x+1=0 (x-12=0 .x=1 变式4 42x*2*1=-0 的：=x经则+r-2 原方程化为t2-2-2t+1=0 t2-2t-1=0 (=2±4+4=1±2 2 当t=1+2时，x+=1+2 即x2-(1+V2)x+1=0 4=(1+/22-4=1+2V2+2-4=22-1>0 X=1+V2±/22-1 2 当t=1-2时，x+1=1-2<0 X 即x2-(1-V2)x+1=0 第12页共21页 △=(1-V22-4=1-2V2+2-4=-1-2V2<0,无实数根 :X=1+2±22-1 2 +则+=2-2 解：设t=x+ 原方程化为t2-2+t-4=0 t2+t-6=0 (t+3)(t-2)=0 .t1=-3,t2=2 当t=-3时，x+=-3,即X+3x+1=0 x=-3±V9-4=-3±5 当=2时，X+=2,即X-2x+1=0 X (x-12=0 .∴.x=1 2巴，水=3-6 ·原方程的解为X,=3+5 2 X3=1 题型五：特殊系数巧算法 例5解方程：2025x2-2026x+1=0 解：a=2025,b=-2026,c=1 a+b+c=2025+(-2026)+1=0 ∴.X1=1 山市达龙强灯%后应 .X22025 变式5 第13页共21页 逆L乙迁逆bL患 0=XS+X‘0=宗 0L-=1‘0=. 0=（0L+1)1 0=10L+1 乙=b乙+10L+1 b乙=(9+1)(b+1) m‘xS+X=9 t=(9+XS+x)(t+XS+x) 忆=[(8+x)(Z+x)][(b+x)(T+x)] :必型型型‘S=+乙=b+I:搏 bZ=(+x)8+x)(乙+x)(I+x）4搏9@ 张以刻雠￥屈暗 -xT-x 9-x: 9-号y4甲 I-=x. 0=(I-)+乙-8=)+9-D I-=)‘乙=q‘=D搏 0=I-XZ+,X8(⑦) 忆0忆=X‘T=x: 0它=”-水‘生申 I=x..' 0=I+(S乙0Z-)+乙0Z=3+q+D I=)‘SZ0Z-=9‘z0z=D捌 0=I+X SZOZ-xtOZ (I) xx+5)=0 ∴.X1=0,X2=-5 当t=-10时，x2+5x+10=0 △=25-40=-15<0，无实数根 ∴.原方程的解为x1=0,x2=-5 变式6 (1)(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9 解：1+7=3+5=8，两两配对： [(x+1)(x+7)]:[(x+3)(x+5)]=9 (x2+8x+7)(x2+8x+15)=9 设t=x+8x,则： (t+7)(t+15)=9 t2+22t+105=9 t+22t+96=0 (t+6)(t+16)=0 ∴.t1=-6,t2=-16 当t=-6时，x2+8x+6=0 X=8±64-24--8±V40 -4±/10 2 当t=-16时，x2+8x+16=0 (x+42=0 ∴.X3=X4=-4 ∴.原方程的解为x1=-4+/10,x2=-4-V10,X3=-4 (2)（x-1)(x-2)〔x-3)(x-4)=8 解：（-1)+(-4)=(-2)+(-3)=-5，两两配对： [(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=8 (x2-5x+4)(x2-5x+6)=8 设t=x2-5x,则： 第15页共21页 (t+4)(t+6)=8 t2+10t+24=8 t2+10t+16=0 (t+2)(t+8)=0 ∴.t1=-2,t2=-8 当t=-2时，x2-5x+2=0 x=5±V25-8_5±17 2 2 当t=-8时，x2-5x+8=0 △=25-32=-7<0，无实数根 成解为亚 2 第16页共21页 第三部分综合训练答案与解析 一、基础训练 1.(x-32-16=0 解：(x-32=16 x-3=±4 ∴.X1=7,X2=-1 2.x2-5x+6=0 解：(x-2)(x-3)=0 .∴.X1=2,X2=3 3.2x2-5x+2=0 解：(2x-1)(x-2)=0 x22 4.(x+1)2-3(x+1)+2=0 解：设t=x+1,则t-3t+2=0 (t-1)(t-2)=0 ∴.t1=1,t2=2 当t=1时，x+1=1,∴.x1=0 当t=2时，x+1=2,∴.x2=1 5.x2+2V2x+2=0 解：(x+V22=0 .x1=水2=-V2 6.3x-10x+3=0 解：(3x-1)(x-3)=0 号×=3 第17页共21页 二、能力提升 1.(x2-2x2-3(x2-2x)-10=0 解：设t=x2-2x,则t2-3t-10=0 (t-5)(t+2)=0 .t1=5,t2=-2 当t=5时，x2-2x-5=0 X=2±4+20-1±36 2 当t=-2时，x2-2x+2=0 △=4-8=-4<0，无实数根 ∴.原方程的解为x1=1+V6,x2=1-V6 2.2026x2-2027x+1=0 解：a=2026,b=-2027,c=1 a+b+c=2026+（-2027)+1=0 ∴.X1=1 由韦达定理，X=C=1 a2026 1 .X1=1,X22026 3.（x+2(x+3)x+4)(x+5)=24 解：2+5=3+4=7，两两配对： [(x+2)(x+5)]:[(x+3)(x+4)]=24 (x2+7x+10)(x2+7x+12)=24 设t=x2+7x,则： (t+10)(t+12)=24 t+22t+120=24 t+22t+96=0 （t+6)(t+16)=0 ∴.t1=-6,t2=-16 第18页共21页 当t=-6时，x2+7x+6=0 (x+1)(x+6)=0 .X1=-1,X2=-6 当t=-16时，x2+7x+16=0 △=49-64=-15<0，无实数根 .原方程的解为x1=-1,x2=-6 4+号 则以 解：设t=-1 9x-1t 原方程化为+1=5 t 2 两边乘2t:2t+2=5t 2t2-5t+2=0 (2t-1)(t-2)=0 t克t,=2 当 2x-2=x .∴.X=2 4=2时，=2 x-1=2x .∴X=-1 ∴.原方程的解为x1=2,X2=-1 三、拓展探究 1.(1)x4-13x2+36=0 解：设t=x2,则t2-13t+36=0 （t-4)(t-9)=0 第19页共21页 ∴.t1=4,t2=9 当t=4时，x=4,解得x=±2 当t=9时，x2=9,解得X=±3 ∴.原方程的解为X1=2,X2=-2,x3=3,X4=-3 (2)x4-3x2-4=0 解：设t=x2,则t-3t-4=0 (t-4)(t+1)=0 ∴.t1=4,t2=-1 当t=4时，x2=4,解得X=±2 当t=-1时，x2=-1,无实数根 ∴.原方程的解为x1=2,X2=-2 2方x*孕的解为=5,6 5 (2)解方程 2+1+x-1=10 x-1x2+13 解：设y=+1 mX-1=1 -1’ 则x+1y 原方程化为y+1-10 y3 想律可知y=3,y,号 X+1=3 当y=3时，x-1 x2+1=3x-3 x2-3X+4=0 △=9-16=-7<0，无实数根 y.号 x+1_1 3x2+3=X-1 3x2-x+4=0 第20页共21页 △=1-48=-47<0，无实数根 ∴.原方程无实数根 第21页共21页