2026-2027学年人教版数学九年级上册【一元二次方程的巧算】专项训练

九年级上册一元二次方程的巧算培优练习

一、一元二次方程的基本概念

1. 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，称为一元二次方程.
2. 一般形式：（），其中是二次项，是一次项，是常数项.
3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根.

二、一元二次方程的解法

1. 直接开平方法：对于形如（）的方程，可得.
2. 配方法：将化为的形式，再开平方求解.
3. 公式法：（）.
4. 因式分解法：将方程化为的形式，则或.

三、判别式与韦达定理

1. 判别式：

• ：方程有两个不相等的实数根
• ：方程有两个相等的实数根
• ：方程没有实数根

2. 韦达定理（根与系数的关系）：若、是方程（）的两根，则：
    

四、六大巧算方法简介

 

第二部分典例分析与变式训练

题型一：整体换元法

方法点拨：当方程中含有重复出现的复杂代数式时，可将其设为一个新未知数，从而将原方程降次，转化为较简单的方程求解.换元后要注意检验新元的取值范围.

例1解方程：

解：设，则原方程化为

因式分解得

当时，，解得
当时，，，无实数根
 

变式1解下列方程：

 

 

题型二：配凑法

方法点拨：当二次项系数不是完全平方数，或一次项系数与二次项系数、常数项之间存在特殊倍数关系时，可通过适当的添项、拆项，将方程配凑成完全平方式或平方差形式，从而简化解题过程.

例2解方程：（配方法）

解：移项得
配方：


 

变式2解下列方程：

（1）

（2）（提示：先化二次项系数为1）

 

 

题型三：因式分解巧解

方法点拨：仔细观察方程的结构特征，若方程各项有公因式，或可以写成平方差、完全平方的形式，优先考虑因式分解法.因式分解法比公式法更快捷，但要注意移项、整理后再分解，切忌两边约去含未知数的因式导致失根.

例3解方程：

解：移项得
利用平方差公式：


 

变式3解下列方程：