专题02 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-压轴提升”为主线，系统构建含参数一元二次方程的解题方法体系，强化概念生成与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|列方程/不等式、韦达定理整体代换、隐含条件检验|从定义到根的性质，构建“定义-根-判别式-韦达定理”逻辑链| |题型归纳|5题型（每题型1典例+3变式）|定义求参需验二次项系数，根求参用代入法，代数式求值用韦达定理变形，根的情况用判别式，根与系数关系需验判别式|按“概念理解-直接应用-变形应用-综合应用”递进，覆盖核心考法与易错点| |压轴挑战|15题|综合运用通法解决多条件参数问题|整合前五类题型，提升复杂情境下的推理与运算能力|

专题02 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 题型二、一元二次方程的解求参数的值 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：方程中含字母系数，围绕根的定义、判别式、韦达定理及根与系数关系设问。 - 解题方法：根据条件列方程或不等式；利用韦达定理整体代换；注意隐含条件（二次项系数不为0、判别式非负）。 - 易错提醒：忽略二次项系数为零的分类讨论；判别式适用前提是已化为一般式；韦达定理只适用于有实根情况。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 典例1．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 题型模版 1.特征：含参数方程需满足“一元”（只含一个未知数）且“二次”（最高次数为2，二次项系数不为0）。 2.方法：由次数为2列方程求参数，并检验二次项系数不为0，同时排除使一次项消失（若要求一元）的情况。 变式1-1．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 变式1-2．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1-3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 类型二、一元二次方程的解求参数的值 典例2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 题型模版 1.特征：已知方程的一个或两个解（根），反求方程中待定的字母系数。 2.方法：将解直接代入原方程，得到关于参数的方程（组），解出参数并验证是否满足原方程。 变式2-1．（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． 变式2-2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得：， 整理得 ， 移项得 ， 系数化为得． 变式2-3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 典例3．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． 题型模版 1.特征：已知方程的解（根），求由这些根构成的代数式（如对称式、分式）的值。 2.方法：利用韦达定理（根与系数关系）求两根和与积，再将代数式变形为含“和”与“积”的形式代入计算。 变式3-1．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 变式3-2．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 变式3-3．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 典例4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 题型模版 1.特征：已知方程根的情况（两不等实根、两相等实根或无实根），反求参数范围。 2.方法：使用判别式 Δ = b² - 4ac，根据 Δ>0、Δ=0、Δ<0 列不等式（或等式）求解参数。 变式4-1．（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 变式4-2．（25-26八年级下·山东威海·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 【答案】且 【分析】，一元二次方程的二次项系数不为，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 综上可得的取值范围是且． 变式4-3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 典例5．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得，因此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，用表示和，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得． 题型模版 1.特征：已知方程两根之间的某种关系（如相等、互为倒数、满足某等式），反求参数。 2.方法：利用韦达定理写出x1+x2和x1x2，将已知关系转化为含参数的方程，解之并验证判别式。 变式5-1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 变式5-2．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)2 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】（1）略； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得． 变式5-3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴； 故选A． 2．若是方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得，， 解得． 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式， 解得： 故选：D． 4．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可得，，由可得，结合求出或，由题意可得，求出，即可得解． 【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴由可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由题意可得， 解得：， ∴， 故选：B． 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 6．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 7．若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】考查考查了一元二次方程的根的情况，解题关键是列出不等式求解．根据一元二次方程无实数根，得到关于的不等式求解． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，解得：， 故答案为：． 8．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：． 9．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式． 直接根据根的判别式计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 11．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 12．关于的方程为，为实数． (1)判断方程根的情况． (2)求整数，使原方程至少有一个整数根． 【答案】(1)为任何实数，原方程均有实数根 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根．解题关键是掌握根的判别式及根定义，分类讨论，是解题的关键． （1）分类讨论，当时，或，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当时，利用根的判别式，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证； （2）至少有一实数根为整数，由两实数根为整数，则， ，即可求解． 【详解】（1）解：当时，或． 原方程为，或．有实数根． 当时， ．有实数根． 综上，为任何实数，原方程均有实数根． （2）解：由（1），当时，原方程有整数根． 当时， 两根为． 即． 若是整数， 则． ∴． 取． 若是整数， 则． ∴． 综上，，原方程至少有一个整数根． 13．若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后求解即可； （2）由题意易得，然后根据完全平方公式可得，进而代入进行求解即可 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：m的值为． 14．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或6或15 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键． （1）计算方程的判别式得出即可证明结论； （2）设方程的两个根为，，得，．由求根公式得．进而得必须是整数． 设（k为整数），则．可得，即，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得，再验证即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， 设方程的两个根为，． ，． 方程的求根公式为． ，则． 因为方程的两个实数根均为整数，且p为非负整数，所以必须是整数． 设（k为整数），则． 当（m，n为整数，且），两式相减得，． ， ， ， ， m，n，k均为整数，且p为非负整数， ， 当时，，此时． 当，，（舍负）， 当，时， ，，（舍负）， 其它情况不合题意， 综上，的值为0或6或15． 15．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案； （2）把代入，解一元二次方程即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：把代入，得， ， 解得； （3）解：，， ， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 题型二、 一元二次方程的解求参数的值 题型三、 一元二次方程的解求代数式的值 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：方程中含字母系数，围绕根的定义、判别式、韦达定理及根与系数关系设问。 -解题方法：根据条件列方程或不等式：利用韦达定理整体代换；注意隐含条件（二次项系数不为0、判 别式非负)。 -易错提醒：忽略二次项系数为零的分类讨论，判别式适用前提是已化为一般式：韦达定理只适用于有实 根情况。 ◆◆ 夙题型到归纳一精讲典型题法，寿尖解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 典例1. (25-26九年级上江苏扬州期末)已知关于*的方程k-3)++2k+1=0 一元二次方程， 则k的值应为 题型模版 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：含参数方程需满足“一元”（只含一个未知数)且“二次”（最高次数为2，二次项系数不为 0)。 2方法：由次数为2列方程求参数，并检验二次项系数不为0，同时排除使一次项消失（若要求一元）的情 况。 变式1-1.( 25-26九年级上天津滨海新区阶段检测)若关于x的方程1+m)r-4=0 一元二次方程， 则m= 变式12(25-26八年级上上海崇明期中)关于*的一元二次方程m-3)r+2x+㎡-9=0有 “有一个根为 0,那么m的值为一 座式13.(2026江苏南通模拟预测)已知关于的方程+--(a+小+m=0是一元二次方程， 则m+n的值为 类型二、一元二次方程的解求参数的值 典例2.(25-26八年级下浙江台州期末)已知关于x的一元二次方程2x2-mx+m=0的一个根为-1，则 m的值为 题型模版 1特征：已知方程的一个或两个解（根），反求方程中待定的字母系数。 2方法：将解直接代入原方程，得到关于参数的方程（组），解出参数并验证是否满足原方程。 变式2-1.(25-26八年级下山东济南期末)一元二次方程x2+mx-6=0的一个根为-2，则m的值为 变式2-2.(25-26八年级下浙江宁波期末)已知x=2是方程x2+c+1=0的一个根，则k的值为 变式2-3.(25-26八年级下山东淄博期末)若关于x的一元二次方程x+br+2=0(a≠0)有一个实数 根为x=2026,则一元二次方程0(x-少+br-b+2=0》 ”必有一个实数根为」 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 典例3.(25-26八年级下北京期末)若x=2是关于x的一元二次方程a2-bx+4=0的一个根，则 2026-2a+b的值是 题型模版 1特征：已知方程的解（根），求由这些根构成的代数式（如对称式、分式）的值。 2方法：利用韦达定理（根与系数关系）求两根和与积，再将代数式变形为含“和”与“积”的形式代入 计算。 变式3-1.(2026甘肃天水中考真题)已知m是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根，则代数式 2m2+4m 的值是 变式3-2.(25-26八年级下·福建福州期末)已知x=a是方程x2+3x-1=0的一个根，则代数式 a2+3a+V3 的值为 变式3-3.(25-26八年级全国暑假作业)已知4是关于x的一元二次方程x2-2012x+1=0的一个根，则 a2-2011a+ 2012 a2+1的值为 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 典例4.(25-26八年级下·山东淄博期末)若关于x的方程x+4x+a=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为 题型模版 1.特征：己知方程根的情况（两不等实根、两相等实根或无实根），反求参数范围。 2.方法：使用判别式△=b2·4c,根据△>0、△=0、△<0列不等式（或等式）求解参数。 变式41.(25-26八年级下·吉林·期末)已知关于x的一元二次方程2x2-4x+a=0有两个不相等的实数根， 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则a的取值范围是 变式42.(25-26八年级下·山东威海期末)若关于x的一元二次方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数 根，则a的取值范围是 2-(2k+1)x+k=0 变式4-3.(25-26八年级下·山东泰安期末)若关于x的一元二次方程 有两个不相等 的实数根，则k的取值范围为 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 2+(k+3)x+k=0 典例5.(25-26八年级下·安徽六安期末)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： X2 +x2-3xx2=1 (2)若、是方程的两根，且 ,求的值. 题型模版 1特征：己知方程两根之间的某种关系（如相等、互为倒数、满足某等式），反求参数。 2方法：利用韦达定理写出x+x2和x1x,将已知关系转化为含参数的方程，解之并验证判别式。 变式5-1.(25-26八年级下·安徽蚌埠期末)若关于x的一元二次方程 2-2(k+1)x+k2+2=0 有两个不相 等的实数根， (1)求k的取值范围： ②已知方程的两个实数根分别为“，B,且a+1(B+)=B,求女的值。 变式5-2.(25-26八年级下山东济南期末)关于x的一元二次方程 2+(m+4)x+m=0 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： ②若、5是方程的两个实根，且+与+=m-4柳， ,求m的值。 变式5-3.(25-26八年级下浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)与 4/6 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 px2+qx+r=0,p≠0 )都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且 abc=pqr ,则这两个方程 是互为“高关联方程”.例如，方程x2-4=0与x2-2x=0是互为“高关联方程”. (1)若关于x的一元二次方程x2+2x-3=0与2x2+x+k=0是互为“高关联方程”，求k的值及相同的根. (2)若关于x的一元二次方程3x2+2x+m=0①与3x2+4x+n=0②是互为“高关联方程”，且n≠0，求 m,n的值 ◆◆ 同压轴挑战一支克高难压轴，变破思维上保 1.6xm-2x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为() A.m=3 B.m=-3 C.m=1 D.m=-1 2.若x=1是方程x2-bx-2=0的一个解，则b的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.若关于x的一元二次方程x2-4x-2m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为 A.4 B.-4 C.2 D.-2 4.设a,b是关于x的一元二次方程x2+x+m2+2m-1=0的两个实数根，且a2-b+2m=1,则的值为 () A.-1或-2 B.-1 C.±1 D.-2 5.若关于x的一元二次方程(a-)r+2x+1=0 实数根，则实数α的取值范围是() A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 m-3)xm-+2x=0 6.若关于x的方程 是一元二次方程，则= 7.若一元二次方程5x2-c=0无实数根，则c的取值范围为. 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知x=m是一元二次方程x2-x-1=0的一个根，则代数式2026-m2+m的值是 9.若关于的一元二次方程-3x+c=0 x=2x2 的两根为，且 ,则‘的值是 10,若关于x的一元二次方程m-)r-2x+1=0 有两个不相等的实数根，则的取值范围是 1.当m为何值时，方程m-)x+2mx+3=0 (1)是关于x的一元一次方程， (2)是关于x的一元二次方程. 12.关于x的方程为-r-(6k-1r+2=0,k为实数。 (1)判断方程根的情况. (2)求整数k,使原方程至少有一个整数根. 13.若关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个实数根， (1)求m的取值范围： (2)若a,b是关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0的两个根，且m2+a2+b=16,求m的值. 14,已知关于*的元二次方程，ax-)=D“、小P为常数). (1)求证：方程总有两个实数根. (2)若a-b=16,P为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求P的值. 15.已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围： (2)若m=2,求一元二次方程的根： 3)若方程两实数根为×，，且满足3 m3x1+3x2-2x1·x2=5 求实数m的值. 6/6