精品解析：陕西榆林市府谷县府谷中学2025-2026学年高二下学期7月期末检测数学试题

府谷中学2025~2026学年第二学期高二年级期末检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册第一章~第二章，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：“，”，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设随机变量，则的值为（ ） A. 1.2 B. 1.8 C. 2.4 D. 3.6 3. 已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 7 4. 从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 6. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 8. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 偶数项的二项式系数之和为32 B. 第3项的二项式系数最大 C. 常数项为60 D. 有理项的个数为3 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数的极小值为 D. 若有3个不等实根，则 11. 已知正数，满足，则（ ） A. 的最小值为4 B. 当时，的最小值为2 C. 的最小值为6 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 13. 已知，，，则，，的大小关系为______．（用“＞”连接） 14. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的4位数，其中奇数的个数为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知. （1）求的最小值； （2）解关于的不等式. 17. 一般来说，市场上产品的广告费用与产品的销量存在一定的关系．已知某产品1月～4月的月广告费用（万元）与月销量（万件）的统计数据如下： 月份 1月 2月 3月 4月 月广告费用（万元） 3 4 5 6 月销量（万件） 5 6 8 9 已知与线性相关. （1）求关于的经验回归方程； （2）求与的相关系数（精确到0.01）． 参考公式：回归直线方程为，其中，． 相关系数． 18. 我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品. （1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望 （2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由. 附：若，则，，. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷中学2025~2026学年第二学期高二年级期末检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册第一章~第二章，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：“，”，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题否定的基本形式即可得出结论. 【详解】易知“，”的否定为“，” 故选：D 2. 设随机变量，则的值为（ ） A. 1.2 B. 1.8 C. 2.4 D. 3.6 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式计算． 【详解】． 故选：C． 3. 已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，据此求出的值及集合，易得集合的真子集个数为. 【详解】. 当时，； 当时，； 当时，； ，所以集合的真子集个数是： 故选：D 4. 从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】数字排列问题，根据符合题意的要求选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，即可计算结果. 【详解】这个两位数大于40的个数为． 故选：B． 5. 在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的性质求概率． 【详解】由正态分布的图象和性质得 ． 故选：B． 6. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，将问题转化为在上存在变号零点，再分和两种情况讨论即可. 【详解】易知， 因函数有极值点，则在上存在变号零点， 若对称轴，即，则在上单调递增， 则，不符合题意； 若对称轴，即，则，即，得， 则实数的取值范围为. 故选：D 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由常数的代换，和基本不等式即可求解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为3， 故选：A 8. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案. 【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）． 因为，所以曲线在点处的切线与直线平行． 因为点到直线的距离为，所以所求最小值为． 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 偶数项的二项式系数之和为32 B. 第3项的二项式系数最大 C. 常数项为60 D. 有理项的个数为3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】偶数项的二项式系数之和为，故A正确； 根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误 ， 令，，∴，故C正确； 为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误. 故选：AC． 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数的极小值为 D. 若有3个不等实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导函数求出函数的单调性判断A，B选项，再求极小值判断C，根据方程根求和即可得出D选项. 【详解】对于A，因为， 所以 ，， ，，函数在上单调递增， ，， 则函数在上单调递减，故A错误； 对于B，在上，，函数在上单调递减，故B正确； 对于C，，函数在上单调递增， 所以当时，取极小值，故C正确； 对于D，， 故 ， 根据待定系数法得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知正数，满足，则（ ） A. 的最小值为4 B. 当时，的最小值为2 C. 的最小值为6 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，方法一：由题得，利用常数代换技巧求解最值；方法二：对变形为，然后利用基本不等式求解最值；对于 B：由得，利用求得；对于C，方法一：，结合换元法利用基本不等式求解最值；方法二：，利用常数代换技巧求解最值；对于D，，由得，即可求解最值. 【详解】由得， 整理得， 因为，，所以，两边同时除以得. 对A，方法一：， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为4； 方法二：由得， 即，所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为4，故A正确； 对B，由得，因为，均为正数，所以， 即，所以，又因为，所以， 因为，所以，即，即的最小值为2，所以B正确； 对C，方法一：因为，所以，令，即， 因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为， 方法二：，当且仅当即，时等号成立，所以选项C错误； 对于D，，又因为， 所以， 因为，所以，则，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为， 所以选项D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【答案】甲 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由甲、乙、丙的两个随机变量的线性相关系数分别为， 可得，所以这三人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 13. 已知，，，则，，的大小关系为______．（用“＞”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算化简，再构造，利用导数得出单调性即可比较大小． 【详解】∵，，， ∴设，，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ，，， 根据单调性可知，，∴， 故答案为：． 14. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的4位数，其中奇数的个数为______． 【答案】144 【解析】 【分析】根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位，②0不能在千位，则千位的安排方法有4种，③在剩下的4个数中任选2个，安排在百位、十位，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析： ①从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法， ②0不能在千位，则千位的安排方法有4种， ③在剩下的4个数中任选2个数字，排在百位与十位，有种情况， 则符合题意的奇数的个数是为个； 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解. 【小问1详解】 当时，， 或， 所以， 或， 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 因为，即不是空集， 所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围. 16. 已知. （1）求的最小值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）8 （2） 当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合基本不等式，即可求得答案. （2）根据条件，因式分解可得，分别讨论、和三种情况，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 【小问2详解】 因为，所以变为， 所以， 当时，，所以； 当时，，所以不等式的解集为空集； 当时，，所以； 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 17. 一般来说，市场上产品的广告费用与产品的销量存在一定的关系．已知某产品1月～4月的月广告费用（万元）与月销量（万件）的统计数据如下： 月份 1月 2月 3月 4月 月广告费用（万元） 3 4 5 6 月销量（万件） 5 6 8 9 已知与线性相关. （1）求关于的经验回归方程； （2）求与的相关系数（精确到0.01）． 参考公式：回归直线方程为，其中，． 相关系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线性相关系数公式求解相关系数，再利用最小二乘估计求解回归方程即可； （2）结合（1）及相关系数的公式求解即可． 【小问1详解】 依题意有，， 列表可得： 可得， ， 可得，， 故y关于x的经验回归方程为． 【小问2详解】 由， 所以y与x的相关系数为． 18. 我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品. （1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望 （2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由. 附：若，则，，. 【答案】（1）分布列： Y 0 1 2 P 数学期望： （2）这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下： 这10件农产品的平均数为， 这10件农产品的方差为 ， 由，可令，， 这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下： 记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，， 可得， 有 所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求. 【解析】 【分析】（1）求出的取值和对应的概率可得分布列及期望； （2）求出这10件农产品的平均数和方差，可得，，记这种产品的质量指标分值为X，可知，再根据， 有可得答案 【小问1详解】 因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件， 则， ， ， 所以Y的分布列如下： Y 0 1 2 P 故. 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； （2）若，要证，即证，即证． 令函数，则． 令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 令函数，则． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 因为，所以， 即，从而得证． 【解析】 【分析】（1）分类讨论参数的取值范围，利用导数求解函数的单调性； （2）代入，化简不等式，通过构造函数，，利用导数求解函数的最值，将不等式转化为即可求证. 【小问1详解】 由题可知，，． 若，，所以在上单调递增，在上单调递减； 若，令，解得或（舍）， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $