2.5 有理数的混合运算 讲义 -2026-2027学年北师大版七年级上册数学

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（三级运算先高级后低级、同级从左到右、括号由内向外），衔接“24点游戏”分组应用（积、和、差等形式），延伸至计算器操作（功能键、按键顺序），最后落脚于近似数与精确度（定义、判定方法），构建从规则到应用再到数的表示的学习支架。 资料亮点在于“24点游戏”分组合算策略培养应用意识，程序计算与游客人数等实际问题提升运算能力，轴长验收等近似数情境发展数学眼光。课中助力教师系统授课，课后通过分层检测帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.5 有理数的混合运算（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的混合运算 1、有理数的运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算，运算顺序是先算高级运算，再算低级运算；同级运算在一起时，按从左到右的顺序计算，对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的，弄清题目中含有几种运算，按运算顺序计算，应注意算式中各种数的统一，一般将小数化为分数，带分数化为假分数，接下来进行第三级运算—乘方运算，然后将除法变为乘法，再算乘法，最后算加减，即“乘方”→“乘除”→“加减”。 2、有理数混合运算的应用。 “24点游戏”通常是将所给的四个数采取“两两分组”或“三一分组”的形式分成两组，而如何分组，又要考虑结果以何种形式出现，结果通常以下列几种形式出现： （1）积的形式：第一组的结果×第二组的结果=24； （2）商的形式：第一组的结果+第二组的结果=24； （3）和的形式：第一组的结果+第二组的结果=24，常见的有14+10，15+9，18+6，21+3; （4）差的形式：第一组的结果-第二组的结果=24，常见 的有25－1，27－3，28－4，30－6等。 对于每一组可以根据数据的特点，灵活运用加、减、乘、除、乘方的运算连接起来，在整个过程中可以添加正负号，也可以添加括号。 知识点二计算器的简单认识 1、电子计算器，简称计算器，具有运算快、操作简便、体积小等特点。 2、计算器可分为简单计算器、科学计算器、函数计算器等几种。 3、计算器的面板由键盘和显示器两部分构成，显示器的功能是输入数据和显示结果，键盘的每个键都有不同的功能。 4、利用计算器进行有理数的混合运算。 （1）用计算器进行有理数的加法运算，先要熟悉各功能键，然后确定按键顺序，按照算式从左到右的顺序直接输入即可。 （2）利用计算器进行有理数的混合运算，不用考虑运算顺序，可直接按算式从左到右的顺序进行输入即可，需要注意的是，在输入数据和算式时，每次按键都要注意显示器上是否显示 出了相应的数或运算符号，以免出现漏按或按不实而出现错误。 知识点三近似数与精确度 1、所谓近似数，就是与实际接近的数，使用近似数有一个近似程度的问题，也就是精确度，一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 2、判定精确程度的方法：在说明一个数的精确度时，主要看最后一个有效数字所在的数位，在哪一位就说成精确到哪一位。 一、选择题 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 2．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值、有理数乘方以及四则运算的法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，运算正确，不符合题意； B、，运算正确，不符合题意； C、，，运算错误，符合题意； D、，运算正确，不符合题意； 3．如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 4．已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【答案】B 【分析】精确到百分位即保留小数点后两位，只需观察千分位数字进行四舍五入即可得到结果． 【详解】将π精确到百分位的结果是3.14． 5．近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． 二、填空题 6．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 7．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【详解】解：由题意得， ∴输出的值是7． 8．如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，有理数的混合运算，熟练掌握计算器的使用和有理数的运算法则是解题的关键． 根据计算器的按键顺序，列出算式，再运算即可得答案． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 9．古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【答案】 【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题思路为确定精确数位，观察下一位数字，根据四舍五入规则求解． 【详解】解：根据题意，精确到百分位，即保留小数点后两位，需要观察小数点后第三位，即千分位的数字．，千分位数字为，因为，根据四舍五入规则，向百分位进．因此得到的结果为． 10．响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【答案】千分 【分析】本题考查近似数的精确度．熟悉近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定，是解题的关键． 对于小数，根据最后一位数字在千分位上确定它精确到的数位． 【详解】解：近似数“”的最后一位数字是，位于千分位，因此精确到千分位． 故答案为：千分． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．有一种“二十四点”游戏，规则是将四个绝对值小于或等于的整数进行加减乘除混合运算（每个数都用，且只用一次），使其结果等于．现有四个数，请你运用上述规则至少设计三种运算． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意写出算式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：运算如下： ①； ②； ③． 13．如图，把四个数按顺序依次填入四个圆圈中．第一次运算：将相邻两个圆圈中的数分别求乘积，将得到的积分别填入三个正方形中；第二次运算：将相邻的两个正方形中的数分别求和，将得到的和分别填入两个三角形中；第三次运算：求两个三角形中的数的平均数，将最终平均数填入长方形中． (1)若填入的四个数分别为，，，，求最终的平均数； (2)若填入的四个数分别为、、、，若输出的最终平均数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算与一元一次方程的应用，熟练掌握运算顺序并按步骤列式计算是解题的关键． （1）按照运算步骤，先计算四个数相邻的乘积（第一次运算），再计算相邻乘积的和（第二次运算），最后计算和的平均数（第三次运算）； （2）同理先按运算步骤列出含的表达式，再根据最终平均数列方程求解． 【详解】（1）解：第一次运算：，，； 第二次运算：，； 第三次运算：， 所以最终的平均数为．． （2）解：第一次运算：，，； 第二次运算：，； 第三次运算：， 所以， 解得． 所以的值为． 14．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？说明理由 【答案】(1) (2)小王加工的轴不合格，见解析 【分析】（1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是. （2）解：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． 【点睛】本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． 15．2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 【答案】(1) (2)，；， (3)约万人 【分析】（1）由题中数据加减计算即可； （2）根据题中数据逐天计算出人数比较即可； （3）结合（2）中求得的数据直接将这八天游客人数相加计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得10月3日的人数为（万人）； （2）解：在9月30日的游客人数为万人， 10月1日比9月30日多万人，为（万人）； 10月2日比10月1日多万人，为（万人）； 10月3日比10月2日少万人，为（万人）； 10月4日比10月3日少万人，为（万人）； 10月5日比10月4日少万人，为（万人）； 10月6日比10月5日少万人，为（万人）； 10月7日比10月6日少万人，为（万人）； 综上所述，七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人．游客人数最少的是10月7日，达到万人； （3）解：结合（2）中数据可得，该风景区在这八天内一共接待游客人数为（万人）． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.5 有理数的混合运算（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的混合运算 1、有理数的运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算，运算顺序是先算高级运算，再算低级运算；同级运算在一起时，按从左到右的顺序计算，对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的，弄清题目中含有几种运算，按运算顺序计算，应注意算式中各种数的统一，一般将小数化为分数，带分数化为假分数，接下来进行第三级运算—乘方运算，然后将除法变为乘法，再算乘法，最后算加减，即“乘方”→“乘除”→“加减”。 2、有理数混合运算的应用。 “24点游戏”通常是将所给的四个数采取“两两分组”或“三一分组”的形式分成两组，而如何分组，又要考虑结果以何种形式出现，结果通常以下列几种形式出现： （1）积的形式：第一组的结果×第二组的结果=24； （2）商的形式：第一组的结果+第二组的结果=24； （3）和的形式：第一组的结果+第二组的结果=24，常见的有14+10，15+9，18+6，21+3; （4）差的形式：第一组的结果-第二组的结果=24，常见 的有25－1，27－3，28－4，30－6等。 对于每一组可以根据数据的特点，灵活运用加、减、乘、除、乘方的运算连接起来，在整个过程中可以添加正负号，也可以添加括号。 知识点二计算器的简单认识 1、电子计算器，简称计算器，具有运算快、操作简便、体积小等特点。 2、计算器可分为简单计算器、科学计算器、函数计算器等几种。 3、计算器的面板由键盘和显示器两部分构成，显示器的功能是输入数据和显示结果，键盘的每个键都有不同的功能。 4、利用计算器进行有理数的混合运算。 （1）用计算器进行有理数的加法运算，先要熟悉各功能键，然后确定按键顺序，按照算式从左到右的顺序直接输入即可。 （2）利用计算器进行有理数的混合运算，不用考虑运算顺序，可直接按算式从左到右的顺序进行输入即可，需要注意的是，在输入数据和算式时，每次按键都要注意显示器上是否显示 出了相应的数或运算符号，以免出现漏按或按不实而出现错误。 知识点三近似数与精确度 1、所谓近似数，就是与实际接近的数，使用近似数有一个近似程度的问题，也就是精确度，一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 2、判定精确程度的方法：在说明一个数的精确度时，主要看最后一个有效数字所在的数位，在哪一位就说成精确到哪一位。 一、选择题 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 4．已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 5．近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 7．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 8．如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 9．古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 10．响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．有一种“二十四点”游戏，规则是将四个绝对值小于或等于的整数进行加减乘除混合运算（每个数都用，且只用一次），使其结果等于．现有四个数，请你运用上述规则至少设计三种运算． 13．如图，把四个数按顺序依次填入四个圆圈中．第一次运算：将相邻两个圆圈中的数分别求乘积，将得到的积分别填入三个正方形中；第二次运算：将相邻的两个正方形中的数分别求和，将得到的和分别填入两个三角形中；第三次运算：求两个三角形中的数的平均数，将最终平均数填入长方形中． (1)若填入的四个数分别为，，，，求最终的平均数； (2)若填入的四个数分别为、、、，若输出的最终平均数为，求的值． 14．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？说明理由 15．2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 学科网（北京）股份有限公司 $