3.7 弧长及扇形面积 同步练习 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习聚焦弧长及扇形面积，通过基础巩固、能力进阶、综合应用三层设计，构建从公式直接应用到复杂几何问题解决的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|弧长与扇形面积公式直接应用|选择题1-2、填空9-10、解答13（如已知弧长面积求圆心角），夯实公式记忆与基本运算| |进阶层|结合垂径定理、圆周角定理的综合计算|选择题3-5、填空11-12（如扇形与三角形结合求阴影面积），培养几何推理与空间观念| |综合层|动态几何与实际应用问题|选择题6-8、解答14-15（如管道淤泥面积计算、旋转背景下面积最值），提升应用意识与创新思维|

3.7 弧长及扇形面积 同步练习 一、选择题 1．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（　　） A．300° B．150° C．120° D．75° 2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为（　　） A．π B．1 C．2 D． 3．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD．若BD⊥OC，则的长为（　　） A． B． C． D．π 4．如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是（　　） A． B． C． D． 5．如图，∠AOB＝60°，在射线OA上取一点C，使OC＝6，以点O为圆心，OC的长为半径作，交射线OB于点D，连接CD，以点D为圆心，CD的长为半径作弧，交于点E（不与点C重合），连接CE，OE．以下结论错误的是（　　） A．∠DCE＝30° B．OD⊥CE C．的长为π D．扇形COE的面积为12π 6．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积(　　) A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为(　　) A． B． C． D． 8．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，公路弯道标志 表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有 处的弯道上从点A行驶了 米到达点B，则线段 　 　米． 10．如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧 的长为　 　． 11．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）。通过测量得到扇形AOB的圆心角为，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为　 　 12．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，则阴影部分的面积为　 　． 三、解答题 13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结AC，AD． （1）求证：∠C＝∠BAD． （2）若∠C＝30°，OC＝3，求的长度． 14．如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置． （1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积； （2）若，，，求的长． 15．如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA. （1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少?说明你的理由. （2）若DA=DF=6，求阴影部分的面积(结果保留π). 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算 【解析】【解答】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2， ∴S= Rl，即60π= ×R×10π， 解得：R=12， ∴S=60π= ， 解得：n=150°， 故选B 【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数． 2．【答案】C 【知识点】弧长的计算 【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算． 【解答】设扇形的半径为r， 根据扇形面积公式得S=lr=r2=2 故选C． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式 3．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算 【解析】【解答】解：如图，连接BC， ∵OD=DC，且BD⊥OC， ∴BD是线段OC的垂直平分线， ∴BC=OB， 又∵OB=OC， ∴OB=OC=BC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC=60°， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=20°， ∴. 故答案为：B. 【分析】由题意易得BD是线段OC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=OB，结合同圆半径相等可由三边相等得三角形是等边三角形判断出△OBC就是等边三角形，得∠BOC=60°，进而由角的和差算出∠AOC的度数，最后根据弧长计算公式“”可算出答案. 4．【答案】B 【知识点】扇形面积的计算 【解析】【解答】∵， ∴∠AOB=2∠ACB=60°， ∴S扇形OAB=， 故答案为：B。 【分析】先求出∠AOB的度数，再利用扇形面积公式求解即可。 5．【答案】C 【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算 【解析】【解答】 A、由题意知：OC=OE，DC=DE ∴ OB垂直平方EC， ∴点D是的中点， ∴ ∴ ∵故A正确. B、由A可知B正确， 故B正确. C、的长为， 故C错误. D、 扇形COE的面积为， 故D正确. 因此选C. 【分析】A、同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出A正确， B、根据垂径定理可得，OD⊥CE C、根据弧长的计算公式计算即可 D、根据扇形的计算公式计算即可. 6．【答案】A 【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算 【解析】【解答】解：∵ 排污管道的横截面是直径为2米的圆， ∴OA=OB=1米， 又∵AB=1米， ∴OA=OB=AB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， 过点O作OC⊥AB于点C， ∴AC=AB=， ∴， ∴S阴影=S扇形OAB-S△AOB=（平方米）. 故答案为：A. 【分析】由三边相等的三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，过点O作OC⊥AB于点C，由等边三角形的三线合一及勾股定理算出OC的长，进而根据S阴影=S扇形OAB-S△AOB结合三角形及扇形面积计算公式计算可得答案. 7．【答案】D 【知识点】扇形面积的计算 【解析】【解答】 解：如图，连接AC 由题知：AC=2AD=8 ∵ 矩形ABCD ∴ AD=BC=4，∠A=∠D=∠ADC=90° ∴ AB= ∴ S矩形ABCD=AB×BC=16，2S扇形== ∴ 图中阴影面积= S矩形ABCD-2S扇形= 故答案为：D 【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形性质，勾股定理等知识，根据题意得AC，结合矩形性质，勾股定理得AB，计算矩形面积，扇形面积，可得阴影面积。 8．【答案】A 【知识点】弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可 作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则 ， ，此时为最小值 连接， 平分，， ， 在中，， ， 阴影部分周长的最小值为． 故答案为：A． 【分析】根据轴对称的性质，确定当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可． 9．【答案】300 【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算 【解析】【解答】∵ = ∴n=60° 又AO=BO ∴△AOB是等边三角形， ∴ AO=BO=300(米) 故答案为：300． 【分析】根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解． 10．【答案】 【知识点】弧长的计算 【解析】【解答】解： ∵AB是⊙O切线， ∴AB⊥OB， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=90°﹣∠A=60°， ∴∠BOC=120°， ∴ 的长为 = ． 故答案为 ． 【分析】根据AB是⊙O切线，得出AB⊥OB，∠ABO=90°，再根据∠A=30°，得出∠AOB、∠BOC的度数，即可得出劣弧 的长。 11．【答案】 【知识点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：∵ OA=OB=1， 点C，D分别为OA，OB的中点 ∴ OC=OD=OA= ∴ S花窗=S扇形AOB-S∆COD= ∴ 花窗的面积为m2. 故答案为：. 【分析】本题考查扇形面积，三角形面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）是关键。由中点和OA=OB=1得OC=OD=，，则S花窗=S扇形AOB-S∆COD=. 12．【答案】π 【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【分析】连接，先根据平行线四边形的性质结合平行线的性质得到，，进而根据等腰三角形的性质结合题意证明，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合等边三角形的判定与性质即可得到，，从而结合三角形的面积公式、扇形的面积公式即可求解。 13．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径， ∴， ∴∠ACD=∠BAD. （2）解：如图，连接OA，OB，BC， ∵CD⊥AB，CD是直径， ∴， ∴CA=CB， ∴∠ACD=∠BCD=30°， ∴∠ACB=60°， ∴∠AOB=2∠ACB=120°， ∴. 【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算 【解析】【分析】（1）根据垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧，结合在同圆中，等角的圆周角相等即可证明； （2）根据垂直于弦的直径平分弦，结合垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AC=CB，推出∠ACB=60°，根据在同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=120°，再利用弧长公式求解即可. 14．【答案】（1）解：如图，∵正方形，旋转到的位置， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：连接， 根据题意，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到：，即可得到：，，进而利用割补法即可求出阴影部分面积； （2）连接，由题意得：，，进而求出CE的长度，最后根据勾股定理即可求解. 15．【答案】（1）解：如图所示，连接OD， ∵D为的中点， ∴∠CAD=∠BAD. ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ADO. ∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE. ∵DE⊥AC，∴OD⊥EF. ∴OD的长是圆心O到EF的距离. ∵AB=90 cm，∴OD=AB=45 cm. （2）解：如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G. ∵DA=DF，∴∠F=∠BAD. 由(1)，得∠CAD=∠BAD， ∴∠F=∠CAD. ∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°. ∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD. ∵在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2， ∴(2OD)2-OD2=(6)2，解得OD=6. 在Rt△OAG中，OA=OD=6，∠OAG=30°，AG==3，AD=2， S△AOD=×6×3=9. ∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=+9=6π+9. 【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算 【解析】【分析】（1）连接OD，由D为的中点，可得∠CAD=∠BAD，进而可得∠CAD=∠ADO，根据平行线的判定可得OD∥AE，进而可证得OD的长是圆心O到EF的距离，再利用AB的长即可求解； （2）过点O作OG⊥AD交AD于点G，由∠CAD=∠BAD，可得∠F=∠CAD，根据DA=DF得∠F=∠BAD， 故∠F=∠BAD=∠CAD=30°， 所以∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD，在Rt△ODF中，利用勾股定理解得OD=6，再利用S阴影=S扇形OBD+S△AOD 代入数值计算即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $