3.7弧长及扇形的面积（1） 课时练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 本练习聚焦弧长计算，通过基础应用、图形综合到实际问题的三层设计，实现从单一公式到综合推理的巩固路径，培养几何直观与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|弧长公式直接应用|单选1-5题考查半径、圆心角与弧长的基本关系，如已知弧长求圆心角| |中档|几何图形结合计算|单选6-10题、填空11-14题涉及半圆滚动、三角形、多个圆组合等图形，需分析图形特征求弧长| |提升|综合应用与证明|解答题15-18题结合实际情境（管道展直）、几何证明（垂径定理），需构建模型解决问题|

3.7弧长及扇形的面积（1） 课时练习 一、单选题 1.如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（   ） A. 30°                                       B. 45°                                       C. 60°                                       D. 90° 2.已知圆弧的度数为120°，弧长为6πcm，则圆的半径为（   ） A. 6cm                                   B. 9cm                                   C. 12cm                                   D. 15cm 3.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，弧BC长为50πcm，则半径AB的长为(   ) A. 50cm                                 B. 60cm                                 C. 120cm                                 D. 30cm 4.如图，一段公路的转弯处是一段圆弧 ，则弧 的展直长度为（  ） A. 3π                                       B. 6π                                       C. 9π                                       D. 12π 5.如图，这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，则这个花坛的周长（实线部分）为（   ） A. 4π米                                  B. π米                                  C. 3π米                                  D. 2π米 6.如图，半径为2的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于（   ） A. 4                                         B. 6                                         C. 2π                                         D. π+ 4 7.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧， 交边 AB 于点 D，则 的长为(           ) A. p                                 B.    p                                 C.   p                                 D.   p 8.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2 ，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（   ） A. 2                                       B. 2                                        C. π                                       D. π 9.如图，等边△ABC的边长为4，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，分别以A，B，C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（   ） A. π                                         B. 2π                                         C. 4π                                         D. 6π 10.如图，弧 、 、 、 均为以O点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为90°，且G在OA上，C、E在AG上，若AC=EG，OG=2，AG=4，则弧 与弧 的长的和为（   ） A. 2π                                        B.                                         C.                                         D. 4π 二、填空题 11.如图，这是一个滚珠轴承的示意图，其中内、外圆的半径分别为2和6，如果在内外圆之间放半径为2的滚珠（有阴影的圆表示滚珠），那么在内、外圆之间最多可以放________个滚珠. 12.如图，在□ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则 的长为________． 13.如图，小明做实验时发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P、Q时， 的长度不变．若⊙O的半径为9，则 长为________. 14.如图是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长；当弓箭从自然状态的点D拉到点D1 ， 使其成为以D1为圆心的扇形B1AC1 ， B1C1垂直平分AD1 ， AD1=30cm，则弓臂BAC的长度是________． 三、解答题 15.如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm，10cm，∠AOB＝120°，则这个广告标志的周长是多少？ 16.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB的长为3 000mm，弯形管道部分BC，CD弧的半径都是1 000mm，∠O=∠O’=90°，计算图中中心虚线的长度． 17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1； （2）求出点B旋转到点B1所经过的路径长． 18.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长． 答案解析部分 一、单选题 1. C 考点：弧长的计算 解：设圆心角是n度，根据题意得 ， 解得：n=60. 故答案为：C 分析：根据弧长公式 ，即可求解 2. B 考点：弧长的计算 解：设半径为R，由弧长公式 得， 故选B. 分析：根据弧长公式，建立方程即可求解. 3. B 考点：弧长的计算 解：由扇形的弧长公式得： 解得：AB=60cm. 故答案为：B. 分析：已知弧长和扇形圆心角，依据弧长公式即可求解. 4. B 考点：弧长的计算 解： 的展直长度为： =6π（m）． 分析：题中告知了弧所在扇形的圆心角的度数，扇形的半径，由弧长公式l=即可直接算出答案。 5. A 考点：弧长的计算 解：如图所示： ∵这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心， ∴OA＝OC＝O'A＝OO'＝O'C＝1， ∴∠AOC＝120°，∠AOB＝60°， ∴这个花坛的周长＝ ， 故答案为：A. 分析：如图所示,根据等圆的性质可得OA＝OC＝O'A＝OO'＝O'C＝1，∠AOC＝120°，∠AOB＝60°，利用弧长计算即可. 6. C 考点：弧长的计算 解：由图形可知,圆心先向前走OO1的长度,从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为 圆的周长, 然后沿着弧O1O2旋转 圆的周长， 则圆心O运动路径的长度为： ×2π×2+ ×2π×2=2π， 故答案为：C. 分析：根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为两段 圆的周长，根据弧长公式求出弧长即可． 7. C 考点：弧长的计算 解：∵ ∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4 ∴BC=AB=2，∠B=90°-30°=60° ∴的长为： 故答案为：C 分析：利用直角三角形的性质，可求出BC的长及∠B的度数，再根据弧长公式可求出结果。 8. C 考点：弧长的计算 解：如图所示， 取AC的中点D，BC的中点E，连接DE，则点M的运动轨迹是以DE为直径的半圆.在等腰 中，AC=BC， ，因为D，E分别是AC，BC的中点，所以CD=CE，且 ，故 是等腰直角三角形.在 中，由勾股定理得， ，故小半圆的半径r=1.根据圆的弧长公式 得，点M运动的路径长为 . 故本题正确答案为C. 分析：由题意知，取AC的中点D，BC的中点E，连接DE，则点M的运动轨迹是以DE为直径的半圆.由辅助线的作法和线段中点的定义可得CD=CE=AC，用勾股定理可求得DE的长，则半径r=DE，再根据弧长公式L=可求解.  9. B 考点：弧长的计算 解：以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以AD长为半径，且D是AB的中点，三角形边长为4， ∴三条圆弧的所对圆心角都为60°，半径是2， 根据弧长公式得到一条圆弧长为 ＝ ，所以图中三条圆弧的弧长之和是2π. 故答案为：B. 分析：利用等边三角形的性质，可知三个扇形的圆心角都是60°，AB=CB=AC，再根据中点的定义，可求出三个扇形的半径都为2，再利用弧长公式求出一个扇形的弧长，然后就可求出三条圆弧的弧长之和。 10.D 考点：弧长的计算 解：设AC=EG=a， 则CE=4﹣2a，CO=6﹣a，EO=2+a， ∴ 的长+ 的长为：  + = π（2+a+6﹣a）=4π， 故选：D． 分析：设AC=EG=a，用a表示出CE=4﹣2a，CO=6﹣a，EO=2+a，利用弧长公式计算即可． 二、填空题 11. 6 考点：弧长的计算 解：首先计算滚珠的圆心所在的圆的半径是4， 周长是8π， 其中一个滚珠需要占 ＝ π的长， 则一共能够放8π÷ π＝6个滚珠. 分析：要计算出滚珠的圆心所在的圆周长,再根据一个滚珠需要占的弧长进行计算. 12. 考点：弧长的计算 解：连接OE、OF、BF， ∵∠C＝60°， ∴∠A=60°， 又AB是直径， ∴∠AFB=90°，∠ABF=30°， ∴∠AOF=60°， ∵⊙O与DC相切于点E， ∴∠OED=90°， 四边形ABCD是平行四边形， ∴∠AOE=90°，∠EOF=30°， 又AB=12, ∴OE=OF=6， ∴  的长= 。 故答案为：π。 分析：连接OE、OF、BF，可先求出弧FE所对的扇形中心角，再根据扇形的弧长公式即可求出弧长。 13.3π 考点：弧长的计算 解：连结OP、OQ（如图）， ∵∠A=30°， ∴∠POQ=2∠A=60°， ∵⊙O的半径为9， ∴弧长PQ===3π. 故答案为：3π. 分析：连结OP、OQ，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，再由弧长公式计算即可. 14.20πcm 考点：弧长的计算 解：如图， B1C1与AD1相交于点E， ∵D1是弓弦B1C1的中点， ∴AD1=B1D1=C1D1=30cm， 由三点确定一个圆可知，D1是弓臂B1AC1的圆心， ∵点A是弓臂B1AC1的中点， ∴B1E=C1E，AD1⊥B1C1 ， 又∵B1D1=C1D1 ， ∴∠B1D1D= ， ∵B1C1垂直平分AD1 ， ∴D1E= ， ∴∠D1B1E=30°, ∴∠B1D1D=60°， ∴ 2∠B1D1D=120°， ∴弓臂B1AC1的长为 cm. 故答案为：20πcm. 分析：由D1是B1C1的中点，则AD1=B1D1=C1D1 ， 即D1是弓臂B1AC1的圆心，由弧长的计算公式可知要先求出 的度数. 三、解答题 15.解： ，AC=BD=20-10=10cm， ∴周长=( )cm 考点：弧长的计算 分析：根据弧长计算公式l=分别算出广告标志的两段弧长，再用大圆的半径减去小圆的半径，算出AC,BD的长，再相加即可得出答案。 16.解： ， 中心虚线的长度为   考点：弧长的计算 分析：先算出扇形的弧长，再根据图中中心虚线的长度=AB+2l，计算即可得出答案。 17. （1）解：如图： （2）解：如图2： ， OB= =2 ， 点B旋转到点B1所经过的路径长 = π． 考点：弧长的计算 分析：（1）根据旋转的性质，可分别画出三个点旋转后的对应点，依次连接对应点可得旋转后的三角形；（2）旋转路径就是圆弧的长度，把90度旋转角、半径代入弧长公式即可求出弧长. 18. （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO=∠ADB=90°， 即OC⊥AD， ∴AE=ED； （2）解：∵OC⊥AD， ∴ ， ∴∠ABC=∠CBD=36°， ∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， ∴ ． 考点：垂径定理，圆周角定理，弧长的计算 分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠AEO=∠ADB=90°， 然后根据垂径定理得出 AE=ED； （2）根据垂径定理得出 ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠CBD=36°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， 最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $