3.2函数的基本性质同步练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，分层设计从基础概念辨析到综合应用，梯度衔接合理，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单调性判断、二次函数最值|如选择1直接考查基本函数单调性，填空12强化绝对值函数单调区间，巩固概念理解| |中档|分段函数、含参单调性|如选择6分析分段函数单调区间，填空13结合分段函数解不等式，提升综合应用能力| |提升|逻辑推理与建模|如解答17证明单调性培养推理意识，解答16利润问题体现数学建模，发展应用能力|

函数的基本性质限时练 一、选择题 1.下列函数中，在区间 (0, +∞) 上单调递减的是（ ） A. y = x² + 1 B. y = C. y = D. y = |x-1| 2.函数 f(x) = x² - 6x + 5 在区间 [0, 3] 上的最小值为（ ） A. -4 B. -3 C. 5 D. -1 3.已知函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数，且 f(m²) > f(2m + 3)，则实数 m 的取值范围是（ ） A. (-1, 3) B. (-∞, -1) ∪ (3, +∞) C. (-3, 1) D. (-∞, -3) ∪ (1, +∞) 4. 函数 f(x) = 在区间 [3, 5] 上的最大值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 5.若函数 f(x) = x² + 2(a - 2)x + 1 在区间 (-∞, 5] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A. a ≤ -3 B. a ≥ -3 C. a ≤ 3 D. a ≥ 3 6.已知函数 f(x) = -x + 1（x < 0），f(x) = x² - 1（x ≥ 0），则 f(x) 的单调递增区间是（ ） A. (-∞, 0) B. [0, +∞) C. (-∞, 0) ∪ [0, +∞) D. (-1, +∞) 7.若函数 f(x) = x² - 2x + 5 在区间 [a, a + 1] 上的最小值为 4，则实数 a 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 或 0 D. 2 8.(多选)已知f(x)的定义域是区间D，则“f(x)是单调函数”的充分条件可以是(　AB　) A．∀x1，x2∈D，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 B．∀x1，x2∈D，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 C．∃x1，x2∈D，＝0 D．∀x1，x2∈D，≠0 9.(多选)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0,2]的说法正确的是(　　) A．当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 B．当a<0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 C．当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 D．当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 二、填空题 10.函数 f(x) = 的单调递增区间是__________。 11. 已知函数 f(x) = （x > 0），则 f(x) 的最大值为________。 12.若函数 f(x) = |x - a| 在区间 [2, +∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是________。 13.已知 f(x) = x² + 1（x ≤ 0），f(x) = -2x + 1（x > 0），若 f(2 - a²) > f(a)，则实数 a 的取值范围是________。 14.已知函数 f(x) = x² - 2x + a 在区间 [0, 3] 上的最大值为 5，则实数 a 的值为________。 15.已知函数 f(x) = x² - 2x + 3 在区间 [t, t + 2] 上的最小值为 2，则实数 t 的取值范围是________。 16.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 17.证明：函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的基本性质限时练 一、选择题 1.下列函数中，在区间 (0, +∞) 上单调递减的是（ ） A. y = x² + 1 B. y = C. y = D. y = |x-1| 【答案】C 2.函数 f(x) = x² - 6x + 5 在区间 [0, 3] 上的最小值为（ ） A. -4 B. -3 C. 5 D. -1 【答案】A 3.已知函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数，且 f(m²) > f(2m + 3)，则实数 m 的取值范围是（ ） A. (-1, 3) B. (-∞, -1) ∪ (3, +∞) C. (-3, 1) D. (-∞, -3) ∪ (1, +∞) 【答案】B 4. 函数 f(x) = 在区间 [3, 5] 上的最大值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 5.若函数 f(x) = x² + 2(a - 2)x + 1 在区间 (-∞, 5] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A. a ≤ -3 B. a ≥ -3 C. a ≤ 3 D. a ≥ 3 【答案】A 6.已知函数 f(x) = -x + 1（x < 0），f(x) = x² - 1（x ≥ 0），则 f(x) 的单调递增区间是（ ） A. (-∞, 0) B. [0, +∞) C. (-∞, 0) ∪ [0, +∞) D. (-1, +∞) 【答案】B 7.若函数 f(x) = x² - 2x + 5 在区间 [a, a + 1] 上的最小值为 4，则实数 a 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 或 0 D. 2 【答案】C 8.(多选)已知f(x)的定义域是区间D，则“f(x)是单调函数”的充分条件可以是(　　) A．∀x1，x2∈D，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 B．∀x1，x2∈D，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 C．∃x1，x2∈D，＝0 D．∀x1，x2∈D，≠0 【答案】AB 9.(多选)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0,2]的说法正确的是(　　) A．当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 B．当a<0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 C．当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1 D．当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1 【答案】AD 二、填空题 10.函数 f(x) = 的单调递增区间是__________。 【答案】[-1, 1] 11. 已知函数 f(x) = （x > 0），则 f(x) 的最大值为________。 【答案】 12.若函数 f(x) = |x - a| 在区间 [2, +∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是________。 【答案】(-∞, 2] 13.已知 f(x) = x² + 1（x ≤ 0），f(x) = -2x + 1（x > 0），若 f(2 - a²) > f(a)，则实数 a 的取值范围是________。 【答案】(-∞, -2) ∪ (1, +∞) 14.已知函数 f(x) = x² - 2x + a 在区间 [0, 3] 上的最大值为 5，则实数 a 的值为________。 【答案】2 15. 已知函数 f(x) = x² - 2x + 3 在区间 [t, t + 2] 上的最小值为 2，则实数 t 的取值范围是________。 【答案】[-1, 1] 16.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 【答案】设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000. 故当x＝70时，y最大值＝9 000. 即售价为70元时，利润最大值为9 000元． 17.证明：函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增． 【答案】设x1>x2>－1，则 y1－y2＝－＝. ∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴>0，即y1－y2>0，y1>y2， ∴y＝在(－1，＋∞)上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $