2026-2027学年人教版九年级上册数学第一次阶段检测

**基本信息** 以芯片研发、租车运营等真实情境为载体，通过基础巩固（如一元二次方程概念）、能力提升（如二次函数图像平移）、创新应用（如动态几何面积问题）的梯度设计，考查数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|一元二次方程概念、函数图像性质|第2题以芯片研发投入考增长率，体现应用意识| |填空题|8/24|抛物线平移、反比例函数k值|第13题结合商品销售构建方程，培养模型观念| |解答题|8/72|函数综合、动态几何、二次函数应用|23题动态矩形问题融合运动变化与面积计算，发展推理能力；24题二次函数与几何综合，考查空间观念|

2026-2027学年九年级第一次阶段检测 分值：120分 时间：120分值范围：第25,26,27章 一、单选题（共24分） 1.(本题3分)下列关于x的方程是一元二次方程的是() A.2x+5=0 B.x2-3x=2 C.x+y=1 D.x2+1=1 2.(本题3分)为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研 发投入.该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发 投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x,则下列方程正确的是( A.30(1+x)2=45 B.30(1+2x)=45C.30(1-x°=45D.30(1-2x)=45 3.（本题3分)将抛物线y=2×平移，得到抛物线=2(x+3+5,下列平移方式中， 正确的是() A.向左平移3个单位，向上平移5个单位 B.向右平移3个单位，向上平移5个单位 C.向左平移5个单位，向下平移3个单位 D.向右平移5个单位，向上平移3个单位 4.(本圈3分)如图，P是反比例函数=（x>0)图象上的一点，PA1x轴于点4 PB⊥y OAPB 轴于点B,若矩形的面积为2，则k的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 5.(本题3分)如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是( 试卷第1页，共24页 ,) -10 2 A.y=x2-x-2 B.y=-+2 C.y D.y=-x2+x+2 k 6.(本题3分)如图，函数=一2x+5与片=x>0)的图象相交于A(4,m),Bm,2)两 点，当片> 时，x的取值范围是() B A.4<x<6 B.4<x<8 C.4<x<7 D.x>4 7.《本题3分)我们规定：若a=(少）.万=(，），则a-6=+少.例如 a=3),6=(2,4),则a-6-1x2+3x4=2+12=14.已知a=(+l- 6=(x-3,4),且2≤x≤3，则a-b的最大值是（) A.14 B.12 C.8 D.6 8。(本思3分)如图。在平面直角坐标系中，线段4B的端点4、B的坠标分别为1：53) (6.5,3),动点C在双曲线y=x上，且满足∠ACB=90°，当0C长度最小时，k的值为 试卷第2页，共24页 () A B A.2 B.3 C.4.5 D.6 二、填空题（共24分） 9.(本题3分)已知关于x的一元二次方程ax2+5x+c=0(其中ac≠0)的一个根是 x=c,则ac= 10,(本隐3分)将抛物线'=2r- 先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度， 则平移后的抛物线的解析式是 1,(本题3分已知函数”=-3(x-2+2,当0≤x≤3时，y的取值范围 12.(本题3分)如图，已知点A在反比例函数图象上，AC1y轴于点C,点B在x轴的 负半轴上，且△ABC的面积为3，则该反比例函数的表达式为， A 13.(本题3分)商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元.为了减少 库存，该店决定降价促销.据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件.若该商品 降价x元，可使每天销售该商品获利1400元.根据题意得到方程： 一（不必化简). 14.《本盟3分》如图，在平面直角坐标系中，抛物线=(x-)与x轴只有一个交点 M,与平行于x轴的直线I交于A、B两点.若AB=4,则点M到直线I的距离为. 试卷第3页，共24页 M 15。《本题3分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=2++C与轴正半轴交于点 A(m-1,0),B(m+1,0) 和点 抛物线的顶点为，点C,△ABC的面积为 16.(本思3分)抛物线y=ar+r+c(0、b、c为常数，a>0)经过 10)(0,2）两 点.下列五个结论：①抛物线不经过第三象限：②将抛物线向左平移m(m>0 个单位长度， 若平移后的抛物线经过原点，则m=1；③b<-2；④若关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数 1 +bx+c,若a=2,则当x<1时，y随x的增大而增大.其中正确的是 y=- (填写序号)· 三、解答题（共72分） 17.(本26分)已知关于x的一元二次方程mr-(2m1-3列x+m-3=0 (1)求证：该方程有两个实数根： (2)若m为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由. 试卷第4页，共24页 y=ax2-4x+c 18.(本题6分)如图，二次函数 的图象经过坐标原点，与轴交于点 A(-4,0) A (1)求二次函数的解析式： (2)求抛物线的顶点坐标： 3)在抛物线上存在点P,满足 .OP=8 请直接写出点P的坐标。 19.(本题8分)近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租 车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y(辆)与每辆车每天的租金x(元) 满足关系式y=50+36(505x≤18O0,且x为50的整数倍)，公司需要为每辆租出 的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元. (1)求w与x的函数关系式.（利润=租金-支出） (2)公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新 规定：每辆车每天的租金不超过800元.请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？ 20,（本思8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数片=+bk≠0) 的图象与反比例 函数%(m0)的图象交于A,B两点，与y轴交于点C·已知点A(6,2),点B的纵坐 标为-3 试卷第5页，共24页 (1)求一次函数与反比例函数的表达式， (2)点D是'轴上一点，连结AD,BD,若△ABD的面积为10，请直接写出点D的坐标。 21.(本圆8分)已知抛物线：=方式+x+c与箱交于420，B4.0)两点，抛物 线L'与L关于y轴对称. 3 1 -5-4-3-2-10 12345 -2 -3 -5 (1)求抛物线L的解析式： (2)M为抛物线L上一点，过点M作MN‖x轴交L'于点V,若以点A、B、MN为顶点的 四边形是平行四边形，求点M的坐标。 22.(本题10分)过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、 医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果.对房间进行消毒时，采用浓度为2% 的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟 以上，能够达到最佳的消毒效果.李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y(毫 升)与喷洒消毒液的时间x(分钟)成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如 图所示)·己知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升. 16 (1)分别求出当0≤x≤6和x>6时，y与x之间的函数关系式： (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果. 23.(本题12分)如图，矩形ABCD中，AB=6Cm,BC=8cm,点P从A开始沿AB边 向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P, 试卷第6页，共24页 Q两点分别从A,B同时出发。 D C P (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动. △PBO cm2 ①经过几秒， 的面积等于 ②△PB0的面积能否等于I0cm2?如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由. (2)若点P到达B后不停止，立即以原速沿BA返回：点Q到达C后不停止，继续以原速沿 射线BC方向运动，直到点P第一次回到A时，两点同时停止运动.在整个运动过程中， 第几秒△PBQ的面积等于6cm2? 24.(本题14分)抛物线： C,y=-+2x+3与”轴交于4、8两点（点4在点”左侧）， E 图1 图2 (1)求A、B两点的坐标， y=d(d<0 (2)如图1，直线 交抛物线C于C.D两点，aBCD的外心E在边C 上，求d 的值。 (3)如图2，抛物线： C2 y=x'+px+q 与抛物线C交于M、N丙点，连接W.T是线段 C MW上一点，过点作'的平行线分别交抛物线S、C于P、两点，连接PM、PN 试卷第7页，共24页 OM ON △PMN,△QMW .求证： 的面积相等. 试卷第8页，共24页 2026-2027学年九年级第一次阶段检测 分值：120分 时间：120分值 范围：第25,26,27章 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列关于的方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程. 【详解】解：A选项中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； C选项中，含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D选项中，是分式，方程为分式方程，不是整式方程，不符合要求； B选项整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义. 2．（本题3分）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增长率问题的基本关系，即初始投入乘以平均年增长率的年数次方等于最终投入，即可得到正确方程. 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 3．（本题3分）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 4．（本题3分）如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得，写出的值即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ． 5．（本题3分）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 6．（本题3分）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 7．（本题3分）我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】先根据新运算的定义求出与之间的关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵当时，， 当时，， ∴的最大值是8． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】取的中点D，连接，求出点坐标，斜边上的中线求出的长，根据，得到当O，C，D三点共线时，取得最小值，求出的解析式，设点C坐标为，根据两点间距离公式列出方程求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：取的中点D，连接，如图所示： ∵线段的端点A、B的坐标分别为， ∴点D坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴当O，C，D三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，代入点，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点C坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C坐标为， 将C点坐标代入双曲线，得． 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 【答案】 【分析】将代入方程，结合可得，化简即可得出答案． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（本题3分）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 11．（本题3分）已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 12．（本题3分）如图，已知点A在反比例函数图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且的面积为3，则该反比例函数的表达式为______． 【答案】 【分析】连接，根据平行线间的距离相等，可得与同底等高，面积相等，利用反比例函数的几何意义求出的值，结合图象所在象限确定的符号，即可得出解析式． 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式为， 轴，轴轴， 轴， 的面积的面积， 又的面积， ， ， 又反比例函数的图象的一支位于第二象限， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 13．（本题3分）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 【答案】 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 16．（本题3分）抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】先代入已知点得到系数关系，，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断当时，，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与轴的交点为和，故存在两种平移方案；对于③，由与即可判断；对于④，结合②的结论可得是不等于1的正整数，因此；对于⑤，代入可得，当时，，且随的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴代入坐标得，，整理得， ∴ 对于①：当时， ∵， ∴，， ∴， ∴抛物线不经过第三象限，故①正确； 对于②：将代入，得， ， 因式分解，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴向左平移个单位后，交点变为和， ∵平移后过原点， ∴或，因此不一定等于，故②错误； 对于③：∵， ∴，故③正确； 对于④：由②可得，方程的根为和， ∵方程有两个不相等的整数根，且为正整数， ∴为不等于的正整数，即为的正因数，且， ∴，故④正确； 对于⑤：∵， ∴， ∴， 设， ∴与成二次函数关系， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵当时，， ∴， ∵， ∴与成反比例函数关系， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵随的增大而减小， ∴随的增大而增大，故⑤正确； 综上，正确的结论为①③④⑤． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．（本题6分）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 19．（本题8分）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【答案】(1)（，且为的整数倍） (2)这天公司获得的总利润最多为元 【分析】（1）根据利润等于每辆车的利润乘以租出的车辆数，列式计算即可； （2）根据二次函数的性质分别求出前天和后天的利润最大值，然后相加即可得出获得的总利润最大值． 【详解】（1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】（1）先利用点坐标求解反比例函数解析式，进而求出点坐标，再通过、两点确定一次函数表达式． （2）先求解出直线与轴的交点，设出轴上点的坐标，运用分割法，以为公共底，将拆分为、，结合、两点的横坐标作为两个三角形的高，进而表示出的面积，列方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，解得， 故反比例函数的表达式为． 点在反比例函数图象上，且纵坐标为， 将代入，解得， 故点的坐标为． 、两点经过一次函数图象，将两点坐标代入， 得到，解得， 故一次函数的表达式为． 答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． （2）解：令一次函数中的，得，则点的坐标为， 设点的坐标为，则线段的长度为， ， ． ， ，即， 解得或， 的坐标为或． 答：的坐标为或． 21．（本题8分）已知抛物线L：与x轴交于两点，抛物线与L关于y轴对称． (1)求抛物线L的解析式； (2)M为抛物线L上一点，过点M作轴交于点N，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接写出交点式即可得出结果； （2）根据对称性求出抛物线的解析式，分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线L：与x轴交于两点， ∴； （2）解：∵抛物线与L关于y轴对称， ∴抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵轴交于点N， ∴设， ∴当以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，分2种情况讨论： ①当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； 综上：或． 22．（本题10分）过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 23．（本题12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 24．（本题14分）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3)证明：设直线的解析式为，点的横坐标为，则， 轴， ，， 设，， 联立直线与抛物线得， 整理得：， ，是直线与的交点， ，是该方程的两根， ， 同理，联立直线与抛物线得， 整理得， ，也在抛物线上， ，也是该方程的两根， ， ， 过点作于点，则是和的公共高， ，，且， ， 同理，过点作于点，可得， ，， ． 【分析】（1）求出时对应点的坐标并结合点在点左侧即可求解； （2）先利用外心在边上推出是中点，结合抛物线对称轴得到点坐标；再根据列方程求解，结合取舍即可； （3）先设直线解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，． （2）解：如图，连接， 的外心在上， ， 为线段的中点， 设，，则，是方程的两根， 整理得， 由韦达定理得， 点的横坐标为，即， ， 由勾股定理得， 又， 由求根公式，方程的根为， ， ， ，即， ， ， 整理得， 解得或， ， ． （3）略． 试卷第20页，共24页 试卷第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $