高中数学必备结论全归纳：25组81个必背核心结论+ 24个二级结论

该高中数学高考复习知识清单全面覆盖高中数学核心模块，包含19组81个必背核心结论与6组24个二级结论，涵盖集合、函数、三角、数列、向量、立体几何、概率统计等关键知识范畴。 清单采用分类分级呈现方式，核心结论标注应用条件如基本不等式“一正二定三相等”，二级结论附记忆技巧如函数单调性“同增异减”口诀，培养学生数学思维与数学语言表达能力。特设错位相减速算公式、面积射影定理等实用结论，助力学生系统梳理知识，教师可据此优化复习策略，提升备考效率。

高中数学必备结论全归纳： （25组81个必背核心结论+ 24个二级结论） 19组81个必背核心结论 必背1——集合的 4 个常考结论 1. (是的子集) 2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即，。 3. 任何一个集合是它本身的子集，即；空集只有一个子集，即它本身。 4. 含有个元素的集合的子集个数是，非空子集的个数是，真子集的个数是，非空真子集的个数是 必背2——基本不等式的 2 个必考结论 1. 几个重要不等式 (1)，当且仅当时取等号。 (2)，当且仅当时取等号。 (3)，当且仅当时取等号。 2. 利用基本不等式求最值 已知， (1) 如果积等于定值，那么当时，和取得最小值(简记：积定和最小)； (2) 如果和等于定值，那么当时，积取得最大值(简记：和定积最大)。 【注意】应用基本不等式求最值应满足三个条件 “一正”“二定”“三相等”。 必背3——函数单调性的 7个常用结论 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： 1.与（C为常数）具有相同的单调性． 2.与的单调性相反． 3.当时，与单调性相同；当时，与单调性相反． 4.若≥0，则与具有相同的单调性． 5.若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性． 6.与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 7.复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 必背4——函数图象对称性的 3 个常用结论 1. 若函数的定义域为，且有，则函数的图象关于直线对称。特别地，若，则函数的图象关于直线对称。 2. 若函数的定义域为，且有，则函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称。 3. 函数的图象关于点中心对称。特别地，若，则函数的图象关于点中心对称。 必背5——指对运算的 3 个公式结论 1. 指数幂的运算性质：如果，那么 ①， ②， ③， ④。 2. 对数的运算性质：如果，且，，，那么 ①， ②， ③。 3. 换底公式：，且；，且；(一般选用或作为底数)。 推论：①； ②； ③。 必背6——三角恒等变换中的 4 个化简结论 1. 同角三角函数的基本关系：，。 常见变形有，， ，， ，， ，， 。 2. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： ； ； 。 3. 二倍角公式： ， ， 。 由二倍角公式可得：，。 4. 辅助角公式：(或)，其中(或)。 必背7——等差数列的 3 个常用结论 已知等差数列的公差为，前项和为。 1. 通项公式：。 2. 前项和公式：。 3. 性质结论： ①若成等差数列，则叫做的等差中项，。 ②若，则。 ③数列是公差为的等差数列。 ④数列，，，也是等差数列，公差为。 必背8——等比数列的 3 个常用结论 已知等比数列的公比为，前项和为。 1. 通项公式：。 2. 前项和公式： 3. 性质结论： ①若成等比数列，则叫做的等比中项，。 ②若，则。 ③数列是公比为的等比数列。 ④当，或且为奇数时，数列，，，是公比为的等比数列。 必背9——平面向量数量积相关的 5个公式结论 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角的余弦值 的充要条件 与的关系 必背10——解三角形的 4个必考结论 在中，角所对的边分别是，是的外接圆半径。 1. 正弦定理：。变形： (1)，，； (2)，，； (3)； (4)。 2. 余弦定理：；；。 变形：；；。 3. 三角形常用面积公式： (1)（表示边上的高）； (2)； (3)（为内切圆的半径）。 4. 解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 必背11——复数运算中的 5个常用结论 1. ；，，。 2. ，，，，。 3. |z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． 4. ·z＝|z|2＝||2. 5. 若z为虚数，则|z|2≠z2. 必背12——简单几何体的 8 个表面积与体积公式 空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 必背13——空间向量求空间角和空间距离的 6个公式结论 1. 异面直线所成的角： ，其中，分别表示异面直线的方向向量。 2. 直线与平面所成的角： ，其中，是平面的法向量。 3. 二面角的平面角： ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 4. 点到直线的距离： 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． 5. 点到平面的距离： 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 6. 线面距和面面距： 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 必背14——数字特征的 5个常用结论 给出一组数据 给出频率分布直方图 众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 最高矩形所在区间的中点的横坐标即众数 百分位数 一组个数据的第百分位数计算步骤： 第 1 步，按从小到大排列原始数据； 第 2 步，计算； 第 3 步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数 第百分位数左边的直方图的面积和占直方图总面积的 平均数 ，其中是第个样本数据，是样本容量。公式变形：． 等于图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和 标准差 记频率分布直方图中有个区间分组，各区间对应的横坐标分别为，各区间对应的频率分别为，为样本数据的平均数，则 方差 必背15——排列数与组合数的 4 个公式与性质 1. 排列数公式：． 特例：当时，；规定：． 2. 排列数的性质：①；②；③． 3. 组合数公式： 组合数公式还可表示为：．特例：． 4. 组合数的性质：①；②． 必背16——二项式定理的 3 个常用结论 1. 二项式定理： （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2. 二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数的最大项 二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 3. 二项式展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 必背17——概率的 6 个常用公式结论 1. 古典概型的概率计算公式：。 2. 条件概率：设为两个随机事件，且，有。 3. 全概率公式： （1）全概率公式：； （2）若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 4. 贝叶斯公式: （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 5.相互独立事件的概率计算公式：如果事件与事件相互独立，那么。推广：如果事件相互独立，那么。 6.互斥事件的概率加法公式：如果事件与事件互斥，那么。推广：若事件两两互斥，则。 必背18——离散型随机变量分布列、期望、方差的 3 个性质结论 1. 分布列的性质： ①； ②； ③。 2. 期望的性质： ①（为常数）； ②（为常数）； ③。 ④若随机变量对应的事件相互独立，则。 3. 方差的性质： ①（为常数）； ②（为常数）； ③。 ④若随机变量对应的事件两两独立，且都存在方差，则。 必背19——回归模型中的 3个常用结论 1. 相关系数 ①当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关． ②越接近，表示两个变量的线性相关性越强；越接近，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当时，所有数据点都在一条直线上． ③通常当时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 决定系数越接近于，模型的拟合效果越好。 2. 相关指数： 越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好． 3. 经验回归直线恒过样本点（，）。 6组24个二级结论 必背1——函数与导数的 4 大二级结论 1. 切线不等式 (1)（当且仅当时取等号）； (2)（当且仅当时取等号）； (3)（当且仅当时取等号）； (4)（当且仅当时取等号）。 2. 泰勒展开 ①，，。 ②，，。 3. 洛必达法则 若当或时，函数满足型或型，，或存在或为无穷大，则 或，即分子、分母分别求导，极限不变。 4. 拉格朗日中值定理 若函数满足 (i)在闭区间上连续，(ii)在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得。 几何意义：在内至少存在一点，使曲线在该点处的切线斜率等于区间两端点连线的斜率。 必背2——三角函数的 4 大二级结论 1. 三角恒等式 在斜三角形中，。 2. 射影定理 设的三边分别是，它们所对的角分别是，则，，。 3. 积化和差与和差化积 (1) 积化和差： ，， ，。 (2) 和差化积： ，， ，。 4. 万能公式 ，，。 必背3——不等式与数列的 4 大二级结论 1. 糖水不等式 若，，则。 速记：糖水加糖更甜，真分数分子分母同加一个正数，分数变大。 2. 柯西不等式 对于任意的，恒有不等式，当且仅当时取等号。 3. 错位相减法速算公式 设为等差数列，为等比数列，的前项和为，当时，可将的通项公式整理为的形式，则，其中，。 4. 数列放缩不等式 ①型：，，。 ②型：，。 ③型：，。 必背4——平面向量的 4 大二级结论 1. 等和线定理 1、 定义：由平面向量基本定理知，若P、A、B三点共线，则有。 若，，则系数和 总结有：若点在直线上或在平行的直线上则,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 2、等和线的性质 （1）当等和线恰为直线时，； （2) 当等和线在点和直线之间时, ； （3)当直线在点和等和线之间时, ； （4)当等和线过点时,； （5)若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； （6)定值的变化与等和线到点的距离成正比 2. 三角形 “四心” 的向量表示 (1) 重心（三条中线的交点） 设是的重心，为所在平面内任意一点，则有 ①； ②重心到顶点的距离和到对边中点的距离之比为； ③； ④动点满足或，时，动点的轨迹经过的重心。 (2) 垂心（三条高所在直线的交点） 设是的垂心，为所在平面内任意一点，则有 ①； ②； ③动点满足或，时，动点的轨迹经过的垂心。 (3) 外心（三边垂直平分线的交点） 若是的外心，则有 ①； ②。 (4) 内心（三条内角平分线的交点） 若是的内心，为所在平面内任意一点，则有 ①（分别是的三边的长）； ②动点满足或，时，动点的轨迹经过的内心。 3. 奔驰定理 为内一点，则，其中分别是，，的面积。 4. 极化恒等式 设为两个平面向量，则，其几何意义为向量的数量积等于以这组向量所对应的线段为邻边的平行四边形的 “和对角线长” 与 “差对角线长” 的平方差的。 ①极化恒等式的平行四边形模型：在中，为的交点，则有。 ②极化恒等式的三角形模型：如图，在中，是的中点，则。 必背5——立体几何的 3 大二级结论 1. 正四面体 若正四面体的棱长为，则 ①高，表面积，体积。 ②记相邻两个面的夹角为，则。记侧棱与底面的夹角为，则。 ③正四面体外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高对应的线段靠近底面的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径，球心到底面的距离为内切球的半径，。 ④顶点在底面的射影是底面三角形的中心（四心合一）。 ⑤对棱互相垂直，且对棱中点的连线为对棱的公垂线，长度为，三对对棱公垂线交于一点，此点为该正四面体外接球（或内切球）的球心。 2. 面积射影定理 如图，在平面内的射影为（在外），分别记的面积和的面积为和，记所在平面和平面所成锐二面角的平面角为，则。 3. 三余弦定理和三正弦定理 ①三余弦定理（最小角定理） 设： · 斜线与平面所成角为 · 斜线在平面内的射影与平面内某直线所成角为 · 斜线与平面内该直线所成角为 则： 直观理解 斜线与平面内直线的夹角，永远不小于斜线与平面的线面角。 线面角是斜线与平面内所有直线夹角的最小值。 ②三正弦定理 设： · 二面角的平面角为 · 一个面内的直线与棱成角 · 该直线与另一个面成角 则： 适用场景 已知二面角、线棱角，直接求线面角； 或反过来，已知两个角求第三个。 一句话记忆 · 三余弦：斜线角 = 线面角 × 射影角（余弦相乘） · 三正弦：线面角 = 二面角 × 线棱角（正弦相乘） 必背6——解析几何的 5 大二级结论 1. 椭圆、双曲线的焦半径 记曲线为椭圆或双曲线，分别为曲线的左、右焦点（或上、下焦点），为曲线上任一点，为离心率。若椭圆的焦点在轴上，则，；若椭圆的焦点在轴上，则，。若双曲线的焦点在轴上，则，；若双曲线的焦点在轴上，则，。 2. 圆锥曲线的焦点三角形 (1) 椭圆的焦点三角形：以椭圆上一点和焦点为顶点的（焦点三角形），若，则①；②；③；。 (2) 双曲线的焦点三角形：若点是双曲线上不同于顶点的任意一点，为双曲线的两焦点，则叫做双曲线的焦点三角形。记，则。 (3) 抛物线的焦点三角形：过抛物线的焦点的直线（其中为直线的斜率）交抛物线于两点，那么焦点三角形（为抛物线的顶点）的面积可以表示为（若抛物线方程为，直线，则）。 3. 双曲线的渐近线 (1) 若渐近线的方程为，即，则双曲线的方程可设为。 (2) 焦点到渐近线的距离总是。 (3) 双曲线的渐近线的斜率与离心率的关系为。 4. 抛物线焦点弦的性质 设是过抛物线的焦点的弦，若，，为直线的倾斜角，则 ①焦半径，，； ②弦长； ③（为抛物线的顶点）； ④以弦为直径的圆与准线相切； ⑤过点分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为，则。 5. 椭圆与双曲线的第二、第三定义 (1) 椭圆的第二定义：若定点与定点的距离和它到定直线的距离的比值是常数，则点的轨迹是椭圆。 (2) 双曲线的第二定义：若点与定点的距离和它到定直线的距离的比值是常数，则点的轨迹是双曲线。 (3) 椭圆的第三定义：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上异于的一点，当直线的斜率都存在时，设直线的斜率分别为，则（为椭圆的离心率）。 (4) 双曲线的第三定义：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上异于的一点，当直线的斜率都存在时，设直线的斜率分别为，则（为双曲线的离心率）。 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $