培优专题03 圆锥曲线中常考的二级结论应用题型全归纳（期末复习专项训练）高二数学上学期人教B版

专题03 圆锥曲线中常考的二级结论 题型1 圆锥曲线中的点差法 题型9 椭圆焦点三角形内切圆问题 题型2 抛物线焦半径焦点弦长 题型10 双曲线焦点三角形内切圆问题 题型3 椭圆的焦半径与焦点弦长 题型11 椭圆双曲线共焦点与离心率的关系 题型4 双曲线的焦半径与焦点弦长及定值 题型12 双曲线中的面积定值 题型5 抛物线的焦半径倒数之和为定值 题型13 圆锥曲线的切点弦方程 题型6 椭圆的焦半径倒数之和为定值 题型14 椭圆离心率与焦点三角形底角的关系 题型7 圆锥曲线中的焦比与离心率 题型15 圆锥曲线的第三定义 题型8 椭圆双曲线的焦点三角形面积问题 题型16 椭圆焦点三角形最大张角与离心率关系 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆锥曲线中的点差法（共3小题） 1.圆锥曲线中的点差法结论 椭圆（）：若弦中点为，则弦斜率. 双曲线（）：若弦中点为，则弦斜率. 抛物线（）：若弦中点为，则弦斜率. 1．(25-26高二上·贵州部分学校·期中)已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 2．(25-26高三上·河南部分校·期中)已知双曲线，斜率为的直线交于、两点，为上异于、的点，且．直线、均不过坐标原点．设与的重心分别为、，的外心为，直线、、的倾斜角分别为、、．若，则的离心率为 ． 3．(23-24高二下·广东·调研)已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 题型二 抛物线焦半径与焦点弦长（共3小题） 抛物线焦半径与焦点弦长结论 设抛物线焦点为，准线为，抛物线上点，焦点弦倾斜角为： 抛物线方程 焦半径 焦点弦长（坐标式） 焦点弦长（倾斜角式） 焦点弦性质 ， ， ， ， 4．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则p=（   ）. A．2 B． C．4 D． 5．(24-25高二上·安徽亳州普通高中·期末)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），且，则直线的斜率为 . 6．(23-24高二上·江苏常州·期末)在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ． 题型三 椭圆的焦半径与焦点弦长（共3小题） 椭圆的焦半径与焦点弦长结论 设椭圆（），焦距（），左焦点，右焦点，点在椭圆上，焦点弦过： 焦半径公式：，（为离心率）. 焦点弦长公式（过）： 1.坐标式：（）. 2.倾斜角式：若倾斜角为，则. 7．(24-25高二上·浙江台州·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高二下·安徽级示范高中培优联盟·)在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四 双曲线的焦半径与焦点弦长及定值（共3小题） 双曲线的焦半径、焦点弦长及焦半径倒数之和定值结论（含倾斜角形式） 设双曲线标准方程为（），焦距为（满足），离心率，左焦点，右焦点，点在双曲线上；过焦点的焦点弦倾斜角为（为弦与x轴正方向的夹角），以下结论以过右焦点为例，过左焦点同理可推导。 一、焦半径公式 1.坐标形式（按双曲线分支区分） 当点在右支（满足）：，. 当点在左支（满足）：，. 2.倾斜角形式（按焦点弦位置区分） 设焦点弦过，倾斜角为，记，： 若全在右支（需满足，保证弦与右支有两个交点）： ，. 若跨左右两支（需满足，弦一端在右支、一端在左支）： 右支上的焦半径，左支上的焦半径（取负表示方向与相反，实际长度为）. 二、焦点弦长公式（倾斜角形式） 当全在右支：（化简后核心形式：，也可写作）. 当跨左右两支：. 三、焦半径倒数之和定值结论 过双曲线任一焦点的焦点弦，其两端点对应的焦半径倒数之和为定值，结合倾斜角形式验证如下： 情况1：全在右支：. 情况2：跨左右两支：需取焦半径实际长度的倒数，即. 结论：无论焦点弦在同一支还是跨两支，过双曲线焦点的焦点弦两端点焦半径（取实际长度）的倒数之和恒为. 10．(24-25高三上·江苏苏州第三中学·月考)已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则 ． 11．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 . 12．(23-24高二上·福建晋江第一中学·期中)已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 题型五 抛物线的焦半径倒数之和为定值（共3小题） 抛物线的焦半径倒数之和为定值结论 设抛物线（），焦点为，焦点弦交抛物线于，则： . （其他标准方程同理：、中，倒数和均为）. 13．(25-26高二上·江西九江匡庐星瀚高级中学·月考)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到抛物线的准线的距离为4 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 14．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 15．(25-26高三上·湖南益阳·)已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六 椭圆的焦半径倒数之和为定值（共3小题） 椭圆的焦半径倒数之和为定值结论 设椭圆（），焦点为，过的焦点弦，则： . （无论过左焦点还是右焦点，该定值均成立；竖椭圆结论相同）. 16．(25-26高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)古希腊数学家阿基米德最早用不断分割法求椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍．已知椭圆，、是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的面积为 B．若的内切圆的面积为，则 C．椭圆上存在4个点P，使得为等腰三角形 D．若直线交椭圆于另一点Q，则 17．已知椭圆的一个焦点为，长轴长为4，若过的直线与椭圆交于点，当椭圆的离心率为时，的最小值为 ． 18．抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（    ） A． B． C． D． 题型七 圆锥曲线的焦比与离心率（共3小题） 设圆锥曲线焦点为，焦点弦中，焦比（），弦倾斜角为： 椭圆：(需结合弦方向调整符号）. 双曲线：（弦在同支时取“+”，跨支时取“-”）. 抛物线：（或）. 19．已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ． 20．(22-23高三·理科数学-·)，分别是椭圆的左右焦点，B是椭圆的上顶点，过点作的垂线交椭圆C于P，Q两点，若，则椭圆的离心率是（    ） A．或 B．或 C． D． 21．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三上学期期末考试数学试题）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型八 椭圆双曲线的焦点三角形面积问题（共3小题） 椭圆焦点三角形面积问题结论 设椭圆（），焦点，，点在椭圆上，（焦点三角形顶角）： 面积公式1：. 面积公式2：（为点纵坐标）. 最大值：当在短轴端点时，. 双曲线焦点三角形面积结论 设双曲线标准方程为（），焦距为（满足），左焦点为，右焦点为，点为双曲线上任意一点（异于顶点），则为双曲线的焦点三角形，记焦点三角形的顶角（即）为（）。 核心面积结论 双曲线焦点三角形的面积可通过顶角的正切值表示为：双曲线焦点三角形面积（正切形式）： 22．(25-26高二上·河南新乡·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 23．(25-26高二上·黑龙江牡丹江第一高级中学·期中)已知点P为椭圆C：上的一点，焦点为，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 24．(25-26高二上·河北邢台卓越联盟·期中)已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 题型九 椭圆焦点三角形内切圆问题（共3小题） 椭圆焦点三角形内切圆及角平分线相关结论 设椭圆标准方程为（，横椭圆）或（，竖椭圆），焦距（满足），左焦点、右焦点（横椭圆）或上焦点、下焦点（竖椭圆），点为椭圆上异于顶点的点，为焦点三角形，记： 顶角：（） 内切圆圆心（内心）： 内切圆半径： 一、内切圆核心结论 1.内切圆半径公式 基本公式（面积与半周长比）：，其中（由椭圆定义，） 顶角关联公式：结合焦点三角形面积，得 点坐标关联公式（横椭圆）：由，得；（竖椭圆）：由，得 2.内切圆圆心坐标 横椭圆：内心的横坐标恒为（在y轴上），纵坐标为（符号与点纵坐标一致），即 竖椭圆：内心的纵坐标恒为（在x轴上），横坐标为（符号与点横坐标一致），即 3.内切圆与椭圆的位置关系 内切圆始终在椭圆内部，且与焦点三角形的三边、、均相切 当为短轴端点时，内切圆半径最大，最大值为 二、角平分线相关结论 1.角平分线方程（横椭圆，以的平分线为例） 已知及内心（时），角平分线的方程为 斜率公式：（时） 2.角平分线长度（的平分线） 长度公式：（由内心到边的距离为半径，结合三角函数定义推导） 坐标计算式：（横椭圆，时） 3.角平分线比例关系（角平分线定理应用） 对的平分线，交于点，则 结合椭圆定义，可推导， 4.焦点与角平分线的关联 焦点、到平分线的距离相等，且距离值为 25．(25-26高二上·重庆名校联盟·)设点、为椭圆的两个焦点，离心率，是椭圆上与、不共线的任一点，是的内切圆圆心，延长交直线于点，则比值为 ． 26．(25-26高二上·河南部分重点中学·)已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为 . 27．已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为 题型十 双曲线焦点三角形内切圆问题（共3小题） 双曲线焦点三角形内切圆及角平分线相关结论 设双曲线标准方程为（，横双曲线）或（，竖双曲线），焦距（满足），离心率；横双曲线左焦点、右焦点，竖双曲线上焦点、下焦点。点为双曲线上异于顶点的点，为焦点三角形，记： 顶角：（） 内切圆圆心（内心）： 内切圆半径： 以下结论以横双曲线为例，竖双曲线可类比推导. 一、内切圆核心结论 1.内切圆半径公式 基本公式（面积与半周长比）：，其中（由双曲线定义：点在右支时，左支时，结合推导）. 顶角关联公式：结合双曲线焦点三角形面积，得. 点坐标关联公式：由（横双曲线，焦点在x轴，高为P点纵坐标绝对值），得. 2.内切圆圆心坐标（核心特征） 点在右支时：内心的横坐标恒为（在过右顶点且垂直于x轴的直线上），纵坐标与点纵坐标符号一致，即（取正，取负）. 点在左支时：内心的横坐标恒为（在过左顶点且垂直于x轴的直线上），纵坐标与点纵坐标符号一致，即. 竖双曲线对应结论：点在上支时，内心纵坐标恒为；在下支时恒为，横坐标与点横坐标符号一致，即或. 3.内切圆与双曲线的位置关系 内切圆始终在双曲线内部，且与焦点三角形三边、、均相切。 当到x轴距离最大时（即最大，理论上无上限，但实际解题中结合具体条件），内切圆半径随之增大. 二、角平分线相关结论 1.顶角平分线方程（横双曲线，的平分线） 点在右支，内心（）时，平分线方程为. 斜率公式：（时）. 2.顶角平分线长度（） 三角函数关联公式：由内心到边、的距离为半径，结合，得. 坐标计算式：（右支，时）. 3.角平分线比例关系（角平分线定理应用） 设的平分线交于点，则. 结合双曲线定义（右支）和，可推导，. 4.焦点到顶角平分线的距离 焦点、到平分线的距离相等，距离值为，结合（右支）可进一步化简. 28．(25-26高二上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为 ；、的内切圆半径比值 . 29．(25-26高三上·江西吉安西路七校·)双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，I是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为 . 30．（湖北省腾云联盟2026届高三上学期开学考试数学试卷）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过双曲线上任一点作两条渐近线的垂线，记垂足分别为，有，且当时，的面积为12，过点的直线与双曲线的右支交于两点，设分别为内切圆的圆心，则的取值范围是 ． 题型十一 椭圆双曲线共焦点与离心率的关系（共3小题） 椭圆双曲线共焦点与离心率的关系 设椭圆与双曲线共焦点（焦距均为，焦点在x轴上）： 椭圆：方程（），满足，离心率 双曲线：方程（），满足，离心率 核心关系：；若椭圆与双曲线有公共点，则（为公共焦点） 31．(25-26高二上·湖北黄梅县第一中学·)如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（   ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 32．（河南省洛阳市强基联盟2023届新高三摸底大联考数学（理科）试题）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ． 33．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．若，则 C． D．若，则的最大值是 题型十二 双曲线中的面积定值（共3小题） 双曲线中的面积定值（切线与渐近线围成的三角形） 设双曲线标准方程为（）： 双曲线上任意一点处的切线方程： 双曲线渐近线方程：和 切线与两条渐近线的交点分别为、，则（为原点）的面积为定值： 若双曲线方程为，则面积定值仍为 34．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，过点P作C的切线并与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，则（   ） A． B． C． D． 35．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线、的方程分别为、，过点作、的垂线，垂足分别为、，四边形的面积为，点的轨迹为曲线.则（    ） A．圆与没有公共点 B．曲线与没有公共点 C．上存在三点、、，使得为等边三角形 D．在点处的切线与、分别交于、两点，则的面积为定值 36．(23-24高二上·江西上饶·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，过点的切线与双曲线的渐近线交于、两点，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．离心率 D． 题型十三 圆锥曲线的切点弦方程（共3小题） 圆锥曲线的切点弦方程 设圆锥曲线外一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、，则直线（切点弦）的方程如下： 椭圆：若曲线为，则切点弦方程为 双曲线：若曲线为，则切点弦方程为 抛物线：若曲线为（），则切点弦方程为；若为，则为 37．(24-25高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中)过椭圆上的点，分别作的切线．若两切线交点恰好在直线上，则的最小值为 ． 38．(23-24高二·3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）-·)过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 39．(24-25高三上·河北部分学校·期末)过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点，抛物线焦点为F，则F到距离的最大值为 . 题型十四 椭圆的离心率与焦点三角形底角的关系（共3小题） 椭圆离心率与焦点三角形底角的关系 设椭圆（），焦点、，焦点三角形中，顶角，底角、（）： 由椭圆定义和正弦定理（为外接圆半径） 核心关系：；化简得（利用和角公式，，且） 40．(25-26高二上·陕西渭南大荔县大荔中学·)已知椭圆：（）的上、下焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率为 . 41．设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，，且，，则椭圆的离心率为 . 42．(25-26高三上·江苏如皋·调研)椭圆 的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 题型十五 圆锥曲线的第三定义（共3小题） 圆锥曲线的第三定义 椭圆：若、为椭圆（）上关于原点对称的两点，为椭圆上任意一点（异于、），则直线与的斜率乘积为定值：；若椭圆为，则定值为 双曲线：若、为双曲线（）上关于原点对称的两点，为双曲线上任意一点（异于、），则直线与的斜率乘积为定值：；若双曲线为，则定值为 43．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·月考)已知椭圆，分别为椭圆C的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线l交椭圆C于M、N两点（l不过点）． (1)若Q为椭圆C上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积． (2)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线l过定点，并求出此定点． 44．(22-23高二上·福建上杭县第二中学·月考)已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于 ． 45．如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是 ． 题型十六 椭圆焦点三角形最大张角与离心率的关系（共3小题） 椭圆焦点三角形最大张角与离心率关系 设椭圆（），焦点、，为椭圆上任意一点，焦点三角形的张角（顶角）为： 焦点三角形的最大张角出现在为椭圆短轴端点时 最大张角与离心率的关系：，即 46．(25-26高二上·重庆南开中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．(25-26高二上·浙江环大罗山联盟·期中)已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．(25-26高二上·湖北沙中学·期中)已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． $专题03 圆锥曲线中常考的二级结论 题型1 圆锥曲线中的点差法 题型9 椭圆焦点三角形内切圆问题 题型2 抛物线焦半径焦点弦长 题型10 双曲线焦点三角形内切圆问题 题型3 椭圆的焦半径与焦点弦长 题型11 椭圆双曲线共焦点与离心率的关系 题型4 双曲线的焦半径与焦点弦长及定值 题型12 双曲线中的面积定值 题型5 抛物线的焦半径倒数之和为定值 题型13 圆锥曲线的切点弦方程 题型6 椭圆的焦半径倒数之和为定值 题型14 椭圆离心率与焦点三角形底角的关系 题型7 圆锥曲线中的焦比与离心率 题型15 圆锥曲线的第三定义 题型8 椭圆双曲线的焦点三角形面积问题 题型16 椭圆焦点三角形最大张角与离心率关系 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆锥曲线中的点差法（共3小题） 1.圆锥曲线中的点差法结论 椭圆（）：若弦中点为，则弦斜率. 双曲线（）：若弦中点为，则弦斜率. 抛物线（）：若弦中点为，则弦斜率. 1．(25-26高二上·贵州部分学校·期中)已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用点差法列方程，整理求得直线的斜率. 【详解】依题意可知，直线的斜率存在. 设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得. 因为线段的中点坐标为，所以. 故答案为： 2．(25-26高三上·河南部分校·期中)已知双曲线，斜率为的直线交于、两点，为上异于、的点，且．直线、均不过坐标原点．设与的重心分别为、，的外心为，直线、、的倾斜角分别为、、．若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标，得到重心的坐标，得到、、的斜率，根据点差法结合已知条件可求出的值，由此可得出该双曲线的离心率为的值. 【详解】设、、， 因为、、都在双曲线上， 所以①，②，③， 与的重心分别、 ， 直线、的斜率分别为： ，， 所以，， 的外心为是三角形三边重直平分线的交点， 因为，所以是直角三角形，其外心是三角形斜边的中点， 所以，直线的斜率为， 所以， ①②得，所以，即， 同理可得，， 由题意可知，， 所以，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：. 3．(23-24高二下·广东·调研)已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】设直线，则，结合已知用表示出的坐标，消去参数即可得曲线的方程，由点差法即可得解. 【详解】 显然斜率均存在， 设直线，则，联立，得，同理， 设，则，化简可得，曲线. 设，则，两式相减可得，， 则. 故答案为：. 题型二 抛物线焦半径与焦点弦长（共3小题） 抛物线焦半径与焦点弦长结论 设抛物线焦点为，准线为，抛物线上点，焦点弦倾斜角为： 抛物线方程 焦半径 焦点弦长（坐标式） 焦点弦长（倾斜角式） 焦点弦性质 ， ， ， ， 4．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则p=（   ）. A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数的值. 【详解】设， 由抛物线定义知：，而的中点横坐标为4，即， 所以，即. 故选：A. 5．(24-25高二上·安徽亳州普通高中·期末)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），且，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，借助图形并结合抛物线的定义求解即得. 【详解】过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E， 过A作直线的垂线，垂足为， 依题意，，， 由，得，， 因此，即， 所以的斜率为. 故答案为： 6．(23-24高二上·江苏常州·期末)在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，求出，的坐标，进而得到，再由点到直线的距离公式，求出的高，即可求得的面积． 【详解】由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示， 设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于， 则，所以直线的倾斜角为， 又，故直线的方程为， 联立，消整理得，即，解得或， 则，，所以， 又原点到直线的距离为，所以， 当直线的斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求． 故答案为：． 题型三 椭圆的焦半径与焦点弦长（共3小题） 椭圆的焦半径与焦点弦长结论 设椭圆（），焦距（），左焦点，右焦点，点在椭圆上，焦点弦过： 焦半径公式：，（为离心率）. 焦点弦长公式（过）： 1.坐标式：（）. 2.倾斜角式：若倾斜角为，则. 7．(24-25高二上·浙江台州·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 8．(23-24高二下·安徽级示范高中培优联盟·)在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记与圆相切于点，，，，即可推出，从而得到的周长为，即可求出、，从而求出离心率. 【详解】首先证明椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离，（焦半径公式）； 证明：因为、， 所以 ； 同理可得； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，； 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得，故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率. 故选：D 9．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解. 【详解】设，则，由， 消去，得， 注意到，则.于是， 同理，. 因此. 的倾斜角为，∴直线的斜率， 根据弦长公式，可得. 由，可得，故. ． 故选：A 题型四 双曲线的焦半径与焦点弦长及定值（共3小题） 双曲线的焦半径、焦点弦长及焦半径倒数之和定值结论（含倾斜角形式） 设双曲线标准方程为（），焦距为（满足），离心率，左焦点，右焦点，点在双曲线上；过焦点的焦点弦倾斜角为（为弦与x轴正方向的夹角），以下结论以过右焦点为例，过左焦点同理可推导。 一、焦半径公式 1.坐标形式（按双曲线分支区分） 当点在右支（满足）：，. 当点在左支（满足）：，. 2.倾斜角形式（按焦点弦位置区分） 设焦点弦过，倾斜角为，记，： 若全在右支（需满足，保证弦与右支有两个交点）： ，. 若跨左右两支（需满足，弦一端在右支、一端在左支）： 右支上的焦半径，左支上的焦半径（取负表示方向与相反，实际长度为）. 二、焦点弦长公式（倾斜角形式） 当全在右支：（化简后核心形式：，也可写作）. 当跨左右两支：. 三、焦半径倒数之和定值结论 过双曲线任一焦点的焦点弦，其两端点对应的焦半径倒数之和为定值，结合倾斜角形式验证如下： 情况1：全在右支：. 情况2：跨左右两支：需取焦半径实际长度的倒数，即. 结论：无论焦点弦在同一支还是跨两支，过双曲线焦点的焦点弦两端点焦半径（取实际长度）的倒数之和恒为. 10．(24-25高三上·江苏苏州第三中学·月考)已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程及左焦点坐标，再按直线斜率存在与否分类设出其方程，并与双曲线方程联立，结合韦达定理求出即可计算得解. 【详解】令双曲线左焦点，其渐近线方程为， 依题意，，又，解得， 双曲线的方程为，，当直线斜率存在时，设其方程为， 由消去得， 设，则，显然， ，， 由，得 ， 当直线时，由，得，， 所以. 故答案为： 11．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 . 【答案】2 【分析】利用焦半径公式可证，从而可得结论. 【详解】设，则，由焦半径公式， ， 所以， 从而，即. 故答案为：. 12．(23-24高二上·福建晋江第一中学·期中)已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 【答案】 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可. 【详解】由题意可知， 代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以双曲线方程为：， 设， 则， 同理， 因为，则， 故答案为：. 题型五 抛物线的焦半径倒数之和为定值（共3小题） 抛物线的焦半径倒数之和为定值结论 设抛物线（），焦点为，焦点弦交抛物线于，则： . （其他标准方程同理：、中，倒数和均为）. 13．(25-26高二上·江西九江匡庐星瀚高级中学·月考)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到抛物线的准线的距离为4 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对A，由抛物线方程求得焦点坐标和准线方程可求解判断；对BCD，设直线，设，则联立直线与抛物线，利用韦达定理求解判断. 【详解】对于A：抛物线的焦点，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为，A正确； 对于B：设直线，设， 则由得， 所以， 又由抛物线定义可得， 所以，B正确； 对于C：若的中点的纵坐标为，则，得， 所以，，C错误； 对于D：若，则，又， 所以，整理得，又， 所以，即，因为，所以， 所以，解得， 所以，D正确； 故选：ABD. 14．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 15．(25-26高三上·湖南益阳·)已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可． 【详解】 如图，设抛物线的焦点坐标为， 焦点为， ，得，即抛物线方程为， 当轴时，易得，，则， 则； 当不垂直轴时，设斜率为，，， 则直线的方程为， ，代入 可得，即， 则，， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则，， ， 则， 于是，， 当且仅当，即时取等号. 综上：因,故 的最小值为. 故选：C. 题型六 椭圆的焦半径倒数之和为定值（共3小题） 椭圆的焦半径倒数之和为定值结论 设椭圆（），焦点为，过的焦点弦，则： . （无论过左焦点还是右焦点，该定值均成立；竖椭圆结论相同）. 16．(25-26高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)古希腊数学家阿基米德最早用不断分割法求椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍．已知椭圆，、是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的面积为 B．若的内切圆的面积为，则 C．椭圆上存在4个点P，使得为等腰三角形 D．若直线交椭圆于另一点Q，则 【答案】AD 【分析】根据椭圆面积公式直接求解判断A；利用焦点三角形面积公式建立方程求解判断B；分类讨论求解点P的个数判断C；由余弦定理求出椭圆焦半径，代入化简即可判断D. 【详解】由椭圆可知：，， 所以椭圆C的面积为，故A正确； 因为内切圆的面积为，则其半径为1， 由， 知，所以，故B不正确； 当点P在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，，所以满足的点P有2个， 同理，满足的点P有2个， 综上可得，满足为等腰三角形的点P有6个，故C不正确； 在中，由余弦定理， 即， 整理得，同理可得， 所以，故D正确. 故选：AD．      17．已知椭圆的一个焦点为，长轴长为4，若过的直线与椭圆交于点，当椭圆的离心率为时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用焦点弦性质及基本不等式求解. 【详解】 因为椭圆长轴长为4，所以， 由得，，则， 由焦点弦的性质得， 故 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. 18．抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当直线的斜率为0时，直接求出，当直线的斜率不为0时，故可设直线的方程为，设，，利用焦半径公式结合韦达定理可得结论. 【详解】由题意可知，且当直线的斜率为0时，， ，则； 当直线的斜率不为0时， 故可设直线的方程为，由消去，整理得， 设，，所以，， 由得， ， ，， ， 即，． 故选：B． 题型七 圆锥曲线的焦比与离心率（共3小题） 设圆锥曲线焦点为，焦点弦中，焦比（），弦倾斜角为： 椭圆：(需结合弦方向调整符号）. 双曲线：（弦在同支时取“+”，跨支时取“-”）. 抛物线：（或）. 19．已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ． 【答案】或 【分析】根据题意，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后由，代入计算，即可得到结果. 【详解】    因为，，所以，， 设， 所以椭圆方程可化为，即， 所以直线方程为， 联立，消去可得， 则， 所以， 令，则，化简可得， 解得，所以，或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及一元二次方程根与系数的关系，难度较大，解答本题的关键在于将转化为. 20．(22-23高三·理科数学-·)，分别是椭圆的左右焦点，B是椭圆的上顶点，过点作的垂线交椭圆C于P，Q两点，若，则椭圆的离心率是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设出过点的直线为，与椭圆方程联立得到根与系数关系，由向量坐标化列出a、c的关系式，即可求得椭圆的离心率． 【详解】设过点的直线为，令，， 由，可得， 易知，则，， 由，即，可得， 则，故，，则有， 代入整理得， 又直线，，则，代入整理得， 可化为，解之得. 故选：C． 21．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三上学期期末考试数学试题）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和长轴是短轴长的2倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方程通过韦达定理可求解出斜率，从而求得. 【详解】因为长轴长是短轴长的2倍，所以，而，则. 设， 直线的方程为 代入椭圆方程可得，整理得， 即. ，. ，， 所以，则，即，化简得，解得， 因为，所以. 故选：A. 题型八 椭圆双曲线的焦点三角形面积问题（共3小题） 椭圆焦点三角形面积问题结论 设椭圆（），焦点，，点在椭圆上，（焦点三角形顶角）： 面积公式1：. 面积公式2：（为点纵坐标）. 最大值：当在短轴端点时，. 双曲线焦点三角形面积结论 设双曲线标准方程为（），焦距为（满足），左焦点为，右焦点为，点为双曲线上任意一点（异于顶点），则为双曲线的焦点三角形，记焦点三角形的顶角（即）为（）。 核心面积结论 双曲线焦点三角形的面积可通过顶角的正切值表示为：双曲线焦点三角形面积（正切形式）： 22．(25-26高二上·河南新乡·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义及余弦定理进行求解． 【详解】在椭圆C中，，，所以. 由椭圆的定义，得. 在中，由余弦定理，得. 因为，所以， 即，所以. 所以的面积. 故选：D. 23．(25-26高二上·黑龙江牡丹江第一高级中学·期中)已知点P为椭圆C：上的一点，焦点为，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理、面积公式即可求解. 【详解】由题可得，所以， 设，由椭圆的定义得， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 故选：B. 24．(25-26高二上·河北邢台卓越联盟·期中)已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 题型九 椭圆焦点三角形内切圆问题（共3小题） 椭圆焦点三角形内切圆及角平分线相关结论 设椭圆标准方程为（，横椭圆）或（，竖椭圆），焦距（满足），左焦点、右焦点（横椭圆）或上焦点、下焦点（竖椭圆），点为椭圆上异于顶点的点，为焦点三角形，记： 顶角：（） 内切圆圆心（内心）： 内切圆半径： 一、内切圆核心结论 1.内切圆半径公式 基本公式（面积与半周长比）：，其中（由椭圆定义，） 顶角关联公式：结合焦点三角形面积，得 点坐标关联公式（横椭圆）：由，得；（竖椭圆）：由，得 2.内切圆圆心坐标 横椭圆：内心的横坐标恒为（在y轴上），纵坐标为（符号与点纵坐标一致），即 竖椭圆：内心的纵坐标恒为（在x轴上），横坐标为（符号与点横坐标一致），即 3.内切圆与椭圆的位置关系 内切圆始终在椭圆内部，且与焦点三角形的三边、、均相切 当为短轴端点时，内切圆半径最大，最大值为 二、角平分线相关结论 1.角平分线方程（横椭圆，以的平分线为例） 已知及内心（时），角平分线的方程为 斜率公式：（时） 2.角平分线长度（的平分线） 长度公式：（由内心到边的距离为半径，结合三角函数定义推导） 坐标计算式：（横椭圆，时） 3.角平分线比例关系（角平分线定理应用） 对的平分线，交于点，则 结合椭圆定义，可推导， 4.焦点与角平分线的关联 焦点、到平分线的距离相等，且距离值为 25．(25-26高二上·重庆名校联盟·)设点、为椭圆的两个焦点，离心率，是椭圆上与、不共线的任一点，是的内切圆圆心，延长交直线于点，则比值为 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合三角形角平分线的性质与比例的性质，可求的值. 【详解】如图：连接 因为为的内切圆圆心，所以平分， 根据三角形角平分线的性质，可得. 又平分，所以 . 所以 . 故答案为： 26．(25-26高二上·河南部分重点中学·)已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】1 【分析】根据椭圆的基本概念，以及角平分线分线段成比例定理，列出各边长的关系，再根据离心率的定义，求出结果即可. 【详解】 在中，连接，因是的内心，则分别平分和， 由角平分线分线段成比例定理得：，则， 因为，所以， 又因为椭圆的离心率，所以. 故答案为：1. 27．已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及三角形内切圆的几何性质，以及三角形中位线的性质可得出. 【详解】在等腰中，. 分别延长与，交于点，因为点是三角形的内切圆圆心，所以为的平分线，如图： 又因，故与全等，所以为的中点且. 又因为为的中点，为三角形的中位线， 所以，得. 所以由椭圆的定义可得，得，所以离心率为. 故答案为： 题型十 双曲线焦点三角形内切圆问题（共3小题） 双曲线焦点三角形内切圆及角平分线相关结论 设双曲线标准方程为（，横双曲线）或（，竖双曲线），焦距（满足），离心率；横双曲线左焦点、右焦点，竖双曲线上焦点、下焦点。点为双曲线上异于顶点的点，为焦点三角形，记： 顶角：（） 内切圆圆心（内心）： 内切圆半径： 以下结论以横双曲线为例，竖双曲线可类比推导. 一、内切圆核心结论 1.内切圆半径公式 基本公式（面积与半周长比）：，其中（由双曲线定义：点在右支时，左支时，结合推导）. 顶角关联公式：结合双曲线焦点三角形面积，得. 点坐标关联公式：由（横双曲线，焦点在x轴，高为P点纵坐标绝对值），得. 2.内切圆圆心坐标（核心特征） 点在右支时：内心的横坐标恒为（在过右顶点且垂直于x轴的直线上），纵坐标与点纵坐标符号一致，即（取正，取负）. 点在左支时：内心的横坐标恒为（在过左顶点且垂直于x轴的直线上），纵坐标与点纵坐标符号一致，即. 竖双曲线对应结论：点在上支时，内心纵坐标恒为；在下支时恒为，横坐标与点横坐标符号一致，即或. 3.内切圆与双曲线的位置关系 内切圆始终在双曲线内部，且与焦点三角形三边、、均相切。 当到x轴距离最大时（即最大，理论上无上限，但实际解题中结合具体条件），内切圆半径随之增大. 二、角平分线相关结论 1.顶角平分线方程（横双曲线，的平分线） 点在右支，内心（）时，平分线方程为. 斜率公式：（时）. 2.顶角平分线长度（） 三角函数关联公式：由内心到边、的距离为半径，结合，得. 坐标计算式：（右支，时）. 3.角平分线比例关系（角平分线定理应用） 设的平分线交于点，则. 结合双曲线定义（右支）和，可推导，. 4.焦点到顶角平分线的距离 焦点、到平分线的距离相等，距离值为，结合（右支）可进一步化简. 28．(25-26高二上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为 ；、的内切圆半径比值 . 【答案】 【分析】①根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质得到的坐标；②根据内心的性质得到，然后利用相似的性质求半径比. 【详解】 设内切圆与边分别相切于， 所以，，， ， 又，所以，则，即， 所以内切圆圆心的横坐标为-2； ②同理可证，的内切圆圆心的横坐标为， 设、分别为、的内切圆半径， 设点、分别为、的内心， 根据双曲线的定义可知内切圆与轴相切于点， 所以轴，同理，轴； 又点、分别为、的内心，所以直线平分， 注意到，在中，，， 在中，，，所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质解题即可. 29．(25-26高三上·江西吉安西路七校·)双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，I是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【来源】江西省吉安市西路七校2025-2026学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题 【分析】根据角平分线定理、、双曲线的定义可得，再由切线长定理、双曲线的定义得点为双曲线的右顶点，过点作轴于点，根据相似比可得，再利用面积得出，将点坐标代入双曲线方程中即可. 【详解】设双曲线的半焦距为c，I是的内心，连接，则平分， 因，则， 由角平分线定理得，同理可得， ，， ，得， 又，所以，，， 设的内切圆分别切边，，于点D，E，G， 则由切线长定理得，，， 所以， 又因为，所以，， 即点为双曲线的右顶点，则轴， 过点作轴于点，连，得， ，所以， 又因为，所以，即， 所以，得，解得离心率. 故答案为：. 30．（湖北省腾云联盟2026届高三上学期开学考试数学试卷）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过双曲线上任一点作两条渐近线的垂线，记垂足分别为，有，且当时，的面积为12，过点的直线与双曲线的右支交于两点，设分别为内切圆的圆心，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出双曲线C的方程为，设直线的方程为：，，与双曲线联立，由韦达定理得，设圆的半径分别为，则 ，因为，由三角形的内切圆性质，因此 ，由双曲线的定义得 ，由，即可求解范围． 【详解】因为点P是双曲线上一点，所以设点，则 , 因为双曲线C的渐近线方程为, 所以点P到两条渐近线的距离分别为:， 而 , 因此由，得， 即， 即，解得或， 所以由得: ， 因为当时，面积为12， 所以，即，因此， 所以双曲线C的方程为， 因为是双曲线C的左、右焦点，所以，， 因为过点的直线与双曲线C的右支交于两点， 所以设直线的方程为：， ， 由，整理得， 依题意得，，得， 因此， 设圆G与三边：分别切于点：， 由于点M在双曲线右支上，因此， 所以点是双曲线C的右顶点，且轴， 同理可得：轴， 因此若圆的半径分别为，则 ， 因为， 所以，及，而， 即，因此 ， 因为双曲线C的右准线为：，离心率， 所以双曲线的定义知： ， 因此 ， 因为，所以， 因此， 所以的取值范围是： 故答案为： 题型十一 椭圆双曲线共焦点与离心率的关系（共3小题） 椭圆双曲线共焦点与离心率的关系 设椭圆与双曲线共焦点（焦距均为，焦点在x轴上）： 椭圆：方程（），满足，离心率 双曲线：方程（），满足，离心率 核心关系：；若椭圆与双曲线有公共点，则（为公共焦点） 31．(25-26高二上·湖北黄梅县第一中学·)如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（   ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 【答案】BCD 【分析】由双曲线和椭圆共焦点，得到的关系，判断A，根据切线长性质和双曲线的定义得到，再由，进行判断B，根据双曲线和椭圆的定义得到和的关系式，再利用和离心率公式进行求解，判断C，利用勾股定理得，进而求出椭圆方程，判断D. 【详解】A.由双曲线，，所以，故A错误； B. 设的内切圆的圆心为，且圆心与边相切于， 可得，，， 又因为， 所以， 又，解得：，， 可得的横坐标为1，即的横坐标为1，故B正确； C.在椭圆中，，， 则， 由，得，得， 则的离心率，故C正确； D.因为，， 则，， 若，则， 又，，解得，， 则椭圆方程为，故D正确. 故选：BCD 32．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解. 【详解】解：设的半焦距为c（），则，又， 所以，又直线与的一条渐近线平行， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 又， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为． 故答案为： 33．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．若，则 C． D．若，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；BD.应用余弦定理整理可设设，，结合三角知识判断BD；C.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断. 【详解】A.由题意可知，，， 得，故A正确； BD.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为， 根据余弦定理，， 整理为，可得， 设，， 则，可得，即， 因为，故B错误； 又因为， 当，即时，取到最大值，故D正确； C. 在椭圆中，， ， 整理为， 在双曲线中，， 整理为， 所以，即， 而，则，故C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确应用椭圆和双曲线的定义，并在两个曲线中正确表示离心率，以及焦点三角形中应用余弦定理. 题型十二 双曲线中的面积定值（共3小题） 双曲线中的面积定值（切线与渐近线围成的三角形） 设双曲线标准方程为（）： 双曲线上任意一点处的切线方程： 双曲线渐近线方程：和 切线与两条渐近线的交点分别为、，则（为原点）的面积为定值： 若双曲线方程为，则面积定值仍为 34．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，过点P作C的切线并与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据为双曲线渐近线的夹角求出对应的值即可判断A选项；根据三角形的面积公式可判断B选项；根据题意写出切线方程，求出M，N两点的横坐标，证明点P为线段的中点可判断C选项，根据三角形的面积公式可判断D选项 【详解】易得C的渐近线方程为，设渐近线与x轴的夹角为，则，所以，所以，A错误； 因为，根据双曲线定义可得，所以，．又，所以，所以，所以，B正确； 设点，则点P处的切线方程为，联立可得， 又因为，整理可得，解得， 可知双曲线与直线有一个交点， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，即， 联立可得，即， 所以，所以点P为线段MN的中点，即，C正确； 易得，则，点P到渐近线的距离，因为点P为线段MN的中点，所以，D正确． 故选：BCD 35．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线、的方程分别为、，过点作、的垂线，垂足分别为、，四边形的面积为，点的轨迹为曲线.则（    ） A．圆与没有公共点 B．曲线与没有公共点 C．上存在三点、、，使得为等边三角形 D．在点处的切线与、分别交于、两点，则的面积为定值 【答案】BCD 【分析】设点，根据四边形的面积为求出点的轨迹方程，将曲线的方程与圆的方程联立，判断公共解的个数，可判断A选项；将曲线的方程以曲线的方程联立，判断公共解的个数，可判断B选项；取点，取直线的方程为，取直线的方程为，将直线方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，可判断C选项；写出切线方程，将切线方程与方程联立，利用三角形面积公式并结合韦达定理可判断D选项. 【详解】易知，又因为，，则四边形为矩形， 设点，则，， 矩形的面积为，可得， 故曲线的方程为， 对于A选项，联立可得或， 所以，曲线与圆有个公共点，其坐标分别为、、、，A错； 对于B选项，联立可得，该方程无解， 所以，曲线与没有公共点，B对； 对于C选项，不妨取点，取直线的方程为， 取直线的方程为， 联立，解得，即点， 联立，解得，即点， 由平面内两点间的距离公式可得， 同理可得，此时，为等边三角形，C对； 对于D选项，设为双曲线上一点， 先证明出双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 易知，直线、的方程可视为， 设点、，联立可得， 由韦达定理可得， 所以，， 因为点关于直线的对称点为，则， 所以，曲线关于直线对称， 由对称性可知，当点在曲线上时，的面积也为定值，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 36．(23-24高二上·江西上饶·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，过点的切线与双曲线的渐近线交于、两点，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．离心率 D． 【答案】BCD 【分析】设点，利用斜率公式求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，可判断A选项；写出切线方程，求出点、的横坐标，证明出点为线段的中点，可判断B选项；利用双曲线的离心率公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设点，则，且， 易知点、，则， 因为，解得，所以，双曲线的渐近线方程为，A错； 对于B选项，接下来证明双曲线在点处的切线方程为， 联立可得， 又因为，整理可得，解得， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，即， 联立可得，即，    所以，， 所以，点为线段的中点，即，B对； 对于C选项，离心率，C对； 对于D选项，， 点到直线的距离为， 所以，，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 题型十三 圆锥曲线的切点弦方程（共3小题） 圆锥曲线的切点弦方程 设圆锥曲线外一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、，则直线（切点弦）的方程如下： 椭圆：若曲线为，则切点弦方程为 双曲线：若曲线为，则切点弦方程为 抛物线：若曲线为（），则切点弦方程为；若为，则为 37．(24-25高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中)过椭圆上的点，分别作的切线．若两切线交点恰好在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的切点弦方程得直线的方程为，联立椭圆方程利用韦达定理计算即可. 【详解】先证椭圆上一点的切线方程：对于上一点，过点的切线方程为， 证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为，与椭圆方程联立可得： ， 则，， 代入切线方程得， 于是，从而切线方程为， 整理得： 由椭圆方程，知，，所以． 设两切线交点，易得切线的方程为， 切线的方程为． 由于点在切线、上， 则，故直线的方程为， 联立方程，消去得，显然， 由韦达定理得． 即的最小值为． 故答案为：． 38．(23-24高二·3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）-·)过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去可得：， 整理可得：， 因为与双曲线相切， 所以， ，， 即， ， ， 代入可得：，即， 所以， ，即， 同理，切线的方程为， 在切线上，所以有， 满足直线方程，而两点唯一确定一条直线， 直线的方程为. 故答案为：. 39．(24-25高三上·河北部分学校·期末)过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点，抛物线焦点为F，则F到距离的最大值为 . 【答案】 【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线和方程，然后将代入两式得到直线所过定点，再利用两点间距离公式求出结果即可； 【详解】 设，，，则， 方程：化为， 同理方程：，将代入两式：，. 故，都在直线上， 而代入化为： 此为直线方程，恒过点，焦点，即为F到距离最大值. 故答案为：. 题型十四 椭圆的离心率与焦点三角形底角的关系（共3小题） 椭圆离心率与焦点三角形底角的关系 设椭圆（），焦点、，焦点三角形中，顶角，底角、（）： 由椭圆定义和正弦定理（为外接圆半径） 核心关系：；化简得（利用和角公式，，且） 40．(25-26高二上·陕西渭南大荔县大荔中学·)已知椭圆：（）的上、下焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】首先表示，，再由椭圆的定义得到，即可得到与的关系，从而求出离心率. 【详解】设，在中，因为，即，又， 所以，， 由椭圆的定义得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 41．设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】利用同角关系及两角差的正弦公式求得的值，然后利用正弦定理，再利用椭圆的定义和合比性质求解离心率即可. 【详解】因为，所以. 又，所以或， 当时， ，与矛盾，舍去. 所以，所以 ， 设，由正弦定理得，故， 所以， 又，所以，所以. 故答案为： 42．(25-26高三上·江苏如皋·调研)椭圆 的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，设，有，由和，消去得，可求椭圆离心率. 【详解】设，由椭圆的定义可得， 直线的斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 题型十五 圆锥曲线的第三定义（共3小题） 圆锥曲线的第三定义 椭圆：若、为椭圆（）上关于原点对称的两点，为椭圆上任意一点（异于、），则直线与的斜率乘积为定值：；若椭圆为，则定值为 双曲线：若、为双曲线（）上关于原点对称的两点，为双曲线上任意一点（异于、），则直线与的斜率乘积为定值：；若双曲线为，则定值为 43．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·月考)已知椭圆，分别为椭圆C的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线l交椭圆C于M、N两点（l不过点）． (1)若Q为椭圆C上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积． (2)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线l过定点，并求出此定点． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 【分析】（1）设点，直接计算，结合点在椭圆上化简即得； （2）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），直线方程椭圆方程整理后应用韦达定理得，把它代入可求得的确定值，从而得定点坐标． 【详解】（1）在椭圆中，左、右顶点分别为， 设点， 则 . （2）设， 易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得. 由韦达定理，得. ，. 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 44．(22-23高二上·福建上杭县第二中学·月考)已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，设且，根据斜率公式求出，并且化简到只有离心率的表达式. 【详解】因为双曲线C： 所以，设且即 ，所以 故答案为： 45．如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由点在双曲线上得到点满足的方程，再由两点间直线的斜率分别表示出，由双曲线渐近线的斜率得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】设，因为点在双曲线上，所以， 因为，所以，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，是双曲线上第一象限内的一点，所以， 所以． 故答案为：. 题型十六 椭圆焦点三角形最大张角与离心率的关系（共3小题） 椭圆焦点三角形最大张角与离心率关系 设椭圆（），焦点、，为椭圆上任意一点，焦点三角形的张角（顶角）为： 焦点三角形的最大张角出现在为椭圆短轴端点时 最大张角与离心率的关系：，即 46．(25-26高二上·重庆南开中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设上顶点为，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由椭圆，设上顶点为， 若存在一点使得，则， 可得，其中点为坐标原点， 所以，可得，所以. 故选：B.    47．(25-26高二上·浙江环大罗山联盟·期中)已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆的定义可知，再利用余弦定理化简整理得，进而根据均值不等式确定的范围，从而确定的最小值，求得和的关系，然后得和的关系，确定椭圆离心率的取值范围． 【详解】设，由椭圆的定义得， 由余弦定理得． 又，当且仅当时，取最大值， 于是，所以， 可得，又，． 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：C 48．(25-26高二上·湖北沙中学·期中)已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理列式，结合椭圆的定义以及基本不等式求得的最大值. 【详解】设， ， 在三角形中，由余弦定理得： . 由于，所以的最大值为. 故选：A $