2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“全称量词命题与存在量词命题的否定”，课堂导入通过复习2.3节全称、存在量词命题的概念，搭建前后知识脉络，以旧知为支架引导学生自然过渡到命题否定的学习。 其亮点在于以“正禾一本通”结构化设计为依托，通过“∃x∈M，¬p(x)”“∀x∈M，¬p(x)”等符号化表达（数学语言），结合逻辑推理（数学思维），引导学生掌握命题否定规则。学生能发展数学思维与表达能力，教师可借助同步讲义提升教学效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第2章 常用逻辑用语 2．3　全称量词命题与存在量词命题 2．3．2　 全称量词命题与存在量词命题的否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 课下培优巩固练（十） 一、 命题的否定 语句“¬p(x)”是对语句“p(x)”的否定． 微点拔：(1)命题的否定也是一个命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”； (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． (3)从集合角度理解命题的否定，相当于集合的“补集”．设命题p：已知全集U，x∈A，则¬p⇔x∈U且x∉A⇔ x∈∁UA. 二、含有一个量词的命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：_________________________． 2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：_________________________． 【基点小试】 1．已知命题p：∀x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0°，45°)) ，sin x>cos x，则命题p的否定为(　　) A．∀x∉ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0°，45°)) ，sin x>cos x B．∀x∉ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0°，45°)) ，sin x≤cos x C．∃x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0°，45°)) ，sin x>cos x D．∃x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0°，45°)) ，sin x≤cos x 答案： D 解析：命题p：∀x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0°，45°)) ，sin x>cos x是全称命题，故其否定命题为：∃x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) ，sin x≤cos x. 2．命题“∃x<0，x2＋2x－m>0”的否定是(　　) A．∀x≥0，x2＋2x－m≤0 B．∃x≥0，x2＋2x－m≤0 C．∀x<0，x2＋2x－m≤0 D．∃x<0，x2＋2x－m≤0 答案： C 解析：由题意知，命题“∃x<0，x2＋2x－m>0”的否定是“∀x<0，x2＋2x－m≤0”． 3．已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d命题的否定为____________________________． 解析：由题可知，该命题的否定为若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d. 答案：若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d 4．命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是_______________________． 解析：由题意得命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是“在△ABC中，若A>B，则a≤b”． 答案：在△ABC中，若A>B，则a≤b 题型一　命题的否定 例1.写出下列命题的否定形式，并判断其真假． (1)p：面积相等的三角形都是全等三角形； (2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零； (3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0. 解：(1)¬p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题． (2)¬p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题． (3)¬p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题． [总结] 　关键词的否定 ¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反，对一些词语的正确否定是写¬p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等． 【练一练】 1．命题“若x2－2x－3＝0，x＝3或x＝－1”的否定是(　　) A.若x2－2x－3≠0，x≠3或x≠－1 B．若x2－2x－3≠0，x≠3且x≠－1 C．若x2－2x－3＝0，x≠3或x≠－1 D．若x2－2x－3＝0，x≠3且x≠－1 答案：D 解析：因为结论为“x＝3或x＝－1”，其否定为“x≠3且x≠－1”，所以原命题的否定是“若x2－2x－3＝0，x≠3且x≠－1”． 2．命题“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”的否定可以是(　　) A．自然数a、b、c都是奇数 B．自然数a、b、c都是偶数 C．自然数a、b、c中至少有两个偶数 D．自然数a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 答案： D 解析：命题“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”的否定为“自然数a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数”． 题型二　全称(存在)量词命题的否定 例2.(1) (2025•苏州高一上期末)若命题p：∀x∈R，x2＋2x>0，则p的否定是(　　 ) A．∀x∈R，x2＋2x≤0 B．∃x∈R，x2＋2x≤0 C．∃x∈R，x2＋2x>0 D．∃x∉R，x2＋2x≤0 解析：由题意可知，命题p为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈R，x2＋2x≤0”． 答案： B (2)命题“存在x∈R，使得 eq \f(1,ex＋1) <1”的否定形式是(　　) A．对任意x∈R，都有 eq \f(1,ex＋1) ≥1 B．对任意x∈R，都有 eq \f(1,ex＋1) <1 C．存在x∈R，使得 eq \f(1,ex＋1) ＝1 D．存在x∈R，使得 eq \f(1,ex＋1) ≥1 答案：A 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，改变量词，否定结论，得否定形式：对任意x∈R，都有 eq \f(1,ex＋1) ≥1. [总结] 　全称(存在)量词命题的否定的思路 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 【练一练】 3．命题p：任意圆的内接四边形是矩形，则¬p为(　　) A．每一个圆的内接四边形是矩形 B．有的圆的内接四边形不是矩形 C．所有圆的内接四边形不是矩形 D．存在一个圆的内接四边形是矩形 解析：全称量词命题的否定是特称命题，需要将全称量词换为存在量词，选项AC不符合题意，同时对结论进行否定，所以只有B符合要求． 答案：B 4．(2022·山东菏泽高一期末)命题“∃x，y∈Z，2x＋3y＝4”的否定是(　　) A．∀x，y∈Z，2x＋3y≠4 B．∀x，y∈Z，2x＋3y＝4 C．∃x，y∈Z，2x＋3y≠4 D．不存在整数x，y，使得2x＋3y≠4 解析：改变量词并否定结论，得“∃x，y∈Z，2x＋3y＝4”的否定是“∀x，y∈Z，2x＋3y≠4”． 答案： A 题型三　利用全称(存在)量词命题的否定求参 例3.(一题多法)已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围． [思路点拨]　命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图象和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解． 解：法一　¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1，即实数m的取值范围是(1，＋∞). 法二　¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1， 即实数m的取值范围是(1，＋∞). 【母题探究】　若命题“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是__________. 解析：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根， ∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1. 答案：m≤1 [总结] 　含有量词的命题求参数问题的思路 (1)此类题目常以二次方程或二次不等式等为载体，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数范围，也可以利用分离参数法求得参数的范围． (2)求参数的范围时，从真命题的角度比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围． 【练一练】 5．若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0是假命题”，则实数a的取值范围是___________. 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0是假命题”， 所以∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0， 需Δ＝4a2－4(2－a)＝4a2＋4a－8<0， ∴a2＋a－2<0，∴－2<a<1. 答案：{a|－2<a<1} $