2.3《一元二次方程的根与系数关系》讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的公式法这一核心知识点，系统衔接已学的配方法和因式分解法，通过配方法推导求根公式，明确判别式与根的三种对应关系，为后续根与系数关系学习搭建知识支架。 该资料设计分层训练（A基础、B提升、C挑战）及六大拓展题型，结合解题流程图和思维导图直观呈现知识体系。通过公式推导培养数学抽象，判别式分类讨论发展逻辑推理，典例精讲强化规范步骤提升数学运算。课中辅助教师系统教学，课后助力学生分层巩固查漏补缺。

配 套 讲 义 第2章 2.2.3 一元二次方程的解法 （第3课时 公式法） 配套教材：苏科版（2024）九年级数学上册 适用学期：2026—2027 学年 第一学期 一、学习目标 数学运算：经历用配方法推导求根公式的过程，会用公式法解数字系数的一元二次方程，养成“先算判别式、再代入求根”的规范步骤. 逻辑推理：理解判别式 Δ=b²-4ac 与根的情况的对应关系，能不解方程判断根的情况，体会分类讨论思想. 数学抽象：从特殊数字系数方程的求解，归纳出一般的求根公式，感受从具体到一般的抽象过程. 直观想象：结合 √(b²-4ac) 在实数范围内是否有意义，直观感受方程“有解 / 无解”的界限. 二、知识回顾 我们已经学过了两种“降次”解法：配方法（第1课时）和因式分解法（第2课时）.当方程左边不易分解、配方又较繁琐时，需要一个“通用”的解法——公式法.本课学习用配方法推导出的求根公式，以及判断根的情况的“根的判别式”. 课时 解法 状态 2.2.1 配方法 已学 2.2.2 因式分解法 已学 2.2.3 公式法（含根的判别式） 本课 2.3 根与系数关系 未学（下节） 三、学习导航 ① 读“方法梳理”，弄清公式法的四个步骤和求根公式的来历； ② 遮住解答，独立算“典例精讲”三道题，再对照； ③ 完成“分层训练”A、B、C 三层； ④ 挑战“附加拓展提高”六大题型； ⑤ 看“本讲要点回顾”，确认自己能独立说出求根公式与判别式. 四、方法梳理 前面我们用配方法、因式分解法解方程.试一试：x²-5x+6=0 很快能分解；可 x²-4x-7=0 配方步骤不少，遇到 (x+1)(x-2)=x 这类要先展开再整理的方程，更麻烦.有没有一种“不必每次重新配方”的通用解法？这就是本课要推导的求根公式. 步骤 做法 注意 1 化为一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 右边必须为 0 2 确定 a、b、c（含符号） -b 中的负号易漏 3 计算 Δ=b²-4ac 先判 Δ 的符号 4 Δ≥0 时代入 x=(-b±√Δ)/(2a)；Δ<0 无实根 套公式别跳步 求根公式的由来（配方法 → 万能公式） 从一般形式出发： 两边同除以 a： 两边同加 (b/2a)² 配方： 化为完全平方式： 当 b²-4ac≥0 时，两边开平方： 移项得求根公式：. 其中 b²-4ac 决定了根号里有没有实数，记 Δ=b²-4ac，称为一元二次方程的根的判别式. 图1 公式法解一元二次方程 · 解题流程图 根的判别式（根的情况） Δ=b²-4ac 的符号 根的情况 Δ > 0 两个不相等的实数根 Δ = 0 两个相等的实数根（重根） Δ < 0 没有实数根 图2 一元二次方程解法体系 · 思维导图 ▶ 方法点拨 ① 永远先写一般式，再读 a、b、c；② 公式中分子是 -b，不是 b；③ 先算 Δ 再开方，Δ<0 直接判无解；④ 结果能化简就化简（提出公因数、合并同类二次根式）. 五、典例精讲 ▶ 学习重点 ① 公式法四步：化一般式 → 定 a,b,c → 算 Δ → 代公式；② 核心原理：判别式 Δ 决定根的存在性与个数. ▶ 学习难点 · 如何突破 ① 系数为负时 -b 的符号最易错；② 方程不是一般式时，先移项再定系数；③ 含字母系数时，别忘了二次项系数 a≠0 的前提. 例1 用公式法解方程 x²-4x-7=0 【审题·思路】方程已为一般式，a=1，b=-4，c=-7，Δ 为正且不是完全平方数，需用公式法并保留根号. 【突破】先算 Δ=b²-4ac=(-4)²-4×1×(-7)=16+28=44>0，再代入 x=(-b±√Δ)/(2a). 【解答】 解： . ▶ 方法小结 Δ 不是完全平方数时，结果保留根号并约分；√44=2√11 不要漏提公因数. 例2 解方程 3x² = 5x + 2 【审题·思路】方程右边不是 0，且不是一般式，必须先移项化为 3x²-5x-2=0，再定 a=3，b=-5，c=-2. 【突破】注意 b=-5，所以公式中 -b=5；Δ=25+24=49=7²，是完全平方数，根是有理数. 【解答】 移项，得 . ▶ 方法小结 先化一般式再定系数；b 为负时 -b 变正；Δ 为完全平方数往往得到有理根. 例3 关于 x 的方程 (k-1)x²+2x+1=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围. 【审题·思路】“一元二次方程”隐含二次项系数 k-1≠0；“两个不相等实根”要求 Δ>0.两个条件要同时成立. 【突破】分两步：先保证是二次方程（k≠1），再用 Δ>0 求范围，最后取交集. 【解答】 由题意，方程为一元二次方程，所以二次项系数不为 0： 又有两个不相等实根，故 Δ>0，即 综上，k 的取值范围是 k<2 且 k≠1. ▶ 方法小结 见到“一元二次方程”先盯住二次项系数≠0；见到“根的情况”就用 Δ 说话；最后把两个限制取公共部分. 六、分层训练 ★ A层 · 基础达标（必做） 1. 解方程：x²-3x-4=0. 2. 解方程：2x²+x-6=0. 3. 解方程：x²-6x+9=0. 4. 不解方程，判断方程 3x²-5x+1=0 的根的情况. ★★ B层 · 能力提升 5. （应用）用一段篱笆围一个矩形菜园，长比宽多 4 m，面积为 20 m².求这个菜园的长和宽. 图3 菜园示意图（宽 = x，长 = x + 4） 【审题】已知：矩形菜园长比宽多 4 m，面积 20 m²；所求：菜园的长和宽；等量关系：宽 ×（宽 + 4）= 20；设元：设宽为 x m；列方程：x(x+4)=20. 6. 解方程：3x² = 2x + 5. 7. 解方程：(x+1)(x-2) = x. 8. 若关于 x 的一元二次方程 x²+2x+m=0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围. ★★★ C层 · 拓展挑战 9. 解方程：5x²-3x = x+1. 10. （分类讨论）关于 x 的方程 (m-2)x²+2x-1=0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围. 11. （证明）证明：无论 m 取何实数，方程 x²-(m+1)x+m=0 总有实数根. 七、附加拓展提高（六大题型） 题型1 基础巩固（公式法直接求解，强化步骤） 解方程：2x²-3x-2=0. 题型2 易错警示（系数含分数，先化整） 解方程：(1/2)x² - x - 3 = 0. 题型3 实际应用型（配图 + 审题） 1. 一次班级篮球单循环赛（每两队赛一场），共进行了 45 场比赛，求参赛队数. 图4 单循环赛示意图（n 个点两两连线） 【审题】已知：单循环赛每两队赛一场，总场数 45；所求：参赛队数 n；等量关系：比赛总场数 = n(n-1)/2；设元：设参赛队数为 n；列方程：n(n-1)/2 = 45. 题型4 换元思想（整体代换） 解方程：(x+1)² - 5(x+1) + 6 = 0. 题型5 分类讨论（二次项系数含字母） 关于 x 的方程 (a-1)x²+2x-3=0 有实数根，求 a 的取值范围. 题型6 创新探究（判别式恒非负） 证明：无论 k 取何实数，方程 x²-(k+2)x+2k=0 总有实数根. 八、参考答案与详细解析 A层 1. 解：a=1,b=-3,c=-4， . 2. 解：a=2,b=1,c=-6， . 3. 解：a=1,b=-6,c=9， 方程有两个相等的实数根 x₁=x₂=3. 4. 解：a=3,b=-5,c=1， Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根. B层 5. 解：设宽为 x m，则长为 (x+4) m. 依题意得 ∵ 宽 x>0，∴ 取 x=-2+2√6 ≈ 2.90，长 = x+4 = 2+2√6 ≈ 6.90. 答：菜园长 (2+2√6) m，宽 (-2+2√6) m. 6. 解：移项，得 . 7. 解：展开，得 . 8. 解：a=1,b=2,c=m， . C层 9. 解：移项，得 . 10. 解：方程为一元二次方程，故 m-2≠0，即 m≠2. 综合得：m>1 且 m≠2. 11. 证明：Δ=[-(m+1)]²-4×1×m=(m+1)²-4m=m²+2m+1-4m=m²-2m+1=(m-1)². 无论 m 取何值，Δ≥0 恒成立，所以方程总有实数根. 附加拓展提高（六大题型）解析 题型1 解：a=2,b=-3,c=-2， . 题型2 解：方程两边同乘 2 化整系数：x²-2x-6=0. . 题型3 解：设参赛队数为 n. 列方程： . 答：参赛队数为 10 队. 题型4 解：令 t=x+1，则原方程化为 t²-5t+6=0. 分解得 . 题型5 解：若 a=1，方程化为 2x-3=0，有实根 x=3/2； 若 a≠1，方程为一元二次方程，需 Δ≥0： 综合两种情况，a 的取值范围是 a≥2/3. 题型6 证明：Δ=[-(k+2)]²-4×1×2k=(k+2)²-8k=k²+4k+4-8k=k²-4k+4=(k-2)². 无论 k 取何值，Δ≥0 恒成立，所以方程总有实数根. 九、方法总结 一句话：公式法 = 化一般式 → 定 a,b,c → 算 Δ → 代公式. Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实根. 含字母系数时，先确认二次项系数≠0，再谈 Δ. 十、本讲要点回顾 □ 我能默写出求根公式 x=(-b±√b²-4ac)/(2a). □ 我能说出判别式 Δ 与根的情况的三种对应. □ 我会按四步法用公式法解方程，并先算 Δ. □ 遇到含字母系数，我会先检查二次项系数是否为 0. — 讲义完 — 学科网（北京）股份有限公司 $