精品解析：河南周口市商水县第一高中2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024－2025年高一上学期12月月考数学试题 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单选题（共8小题） 1. 已知集合，集合、是的子集，且，．若，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知、，则集合的个数等于非空子集的个数，然后利用公式计算出集合非空子集的个数，即可得出结果. 【详解】由题意知、，且集合、是的子集，且，， 则为集合的非空子集，因此，满足条件的集合的个数为. 故选C. 【点睛】本题考查集合个数的计算，一般利用列举法将符合条件的集合列举出来，也可以转化为集合子集个数来进行计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 2. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 3. 已知,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得到,再由得到结果,关键在于观察它们角之间的关系. 【详解】解： , 所以, 故. 故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式和三角函数的化简求值,属于基础题. 4. 设函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果. 【详解】因为在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知，， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得且， 所以，函数的定义域为， 因为，函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，排除B选项. 故选：A. 6. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为48，内弧长为18，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（ ）（） A. 990 B. 495 C. 330 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求出扇形的外弧半径以及内弧半径，然后根据面积公式分别求出内外扇形的面积，作差即可得出答案. 【详解】 如图，设该扇面画的外弧半径为，弧长为，内弧半径为，弧长为，且. 则有，，，. 所以扇面画的面积约为． 故选：B. 7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的单调性及已知区间单调性求参数范围即可. 【详解】当时，， 因为在上单调递增，所以，解得. 当时，， 因为，所以. 因为在上单调递减，所以且，解得， 又，所以的取值范围是. 故选：A 8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可. 【详解】当时，， 因为是定义在上的奇函数， 所以，当时，，记， ，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，， 即当时，，记， 对于任意，存在，使得等价于， 所以，解得. 故选：B 【点睛】本题考查函数的奇偶性与值域，指数函数、二次函数的单调性，属于中档题. 二、多选题（共3小题） 9. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可 【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确， 对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误， 对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确， 对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误， 故选：AC 10. 已知，，，，其中、为正数且，，则（ ） A. 对任意的和，都有 B. 存在和，使得 C. ，，，中大于1的数有奇数个 D. 存在和，使得 【答案】BD 【解析】 【分析】应用特殊值法：有、且，，，中大于1的数有偶数个；有，由此即可判断选项正误 【详解】由、为正数且，，若令，则， ∴根据选项中描述，知：A、C错误，B正确 当时，分类讨论如下 若：，有，而，即 若：取，，，，满足，故D正确 故选：BD 【点睛】本题考查了对数、指数比较大小，利用特殊值法排除错误选项即可 11. 下列说法正确的是（     ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 函数在区间单调递增 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，解指数不等式得到定义域；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，先求出定义域，再根据复合函数单调性满足同增异减进行求解；D选项，转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】A选项，令，解得，故函数的定义域为，A正确； B选项，当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 综上，的取值范围是，B错误； C选项，令，解得， 由于在上单调递减， 故的单调递减区间即为所求， 其中对称轴为，开口向下， 故在区间上单调递增，C错误； D选项，若函数的值域为，则能够取到所有正数， 当时，能够取到所有正数，满足要求， 当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是，D正确. 故选：AD 三、填空题（共3小题） 12. 已知，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 所以. 13. 已知函数，且对于，恒有.则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意先由复合函数单调性得出，然后根据时，有意义进一步得到的一个范围，最终还要保证整体的单调，由此即可得解. 【详解】由题意，不妨设，则有， 从而，即， 所以是R上的减函数， 首先有，此时函数关于单调递减， 由复合函数单调性可知关于单调递增， 所以，又时，有意义，即恒成立， 而当时，单调递减， 故还需满足， 所以当且仅当实数满足，符合题意， 即，解得． 故答案为：. 14. 已知函数满足，函数，若与的图象恰有2024个交点，其坐标分别为，则__________. 【答案】4048 【解析】 【分析】根据等式得函数的图象关于点对称，再根据的图象也关于点对称，最后得出答案 【详解】在中，令，得， 所以函数的图象关于点对称. ，所以的图象也关于点对称， 所以函数与图象的交点两两关于点对称， 所以. 故答案为：4048. 四、解答题（共5小题） 15. 已知集合， （1）设集合，若，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先利用分式不等式的解法求出集合，然后根据可得：，最后根据集合的包含关系即可求解； (2)根据可得：将条件等价转化为在上恒成立，令，利用基本不等式，求出函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 因为集合， 由可得：，又因为， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为集合，集合，要使， 则关于的不等式 在上恒成立， 也即在上恒成立，令， 当且仅当，即时取等号，所以， 则，所以实数的取值范围为. 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【解析】 【分析】（1）利用幂的运算性质即可求得该式的值； （2）利用对数的运算性质即可求得该式的值； （3）利用完全平方公式及立方和公式即可求得该式的值. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 （3）因为， 则， 所以． 17. 已知的最小正周期为. (1)求的值，并求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】（1），（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由最小正周期为，得，由，，即可解得的单调递增区间； （2）由，得，进而可得值域. 试题解析： 解：(1)由的最小正周期为，得， ∵，∴， ，令，则， 的单调递增区间为， 由得， 故的单调递增区间为. (2)因为，所以， 的取值范围是，故的值域为. 点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为. 求对称轴只需令，求解即可， 求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解. 18. 某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产（单位：百台）另需投入成本（万元），当年产量不足50(百台)时，（万元；当年产量不小于50（百台）时， (万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600 万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. （1）求年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；(利润销售额一投入成本固定成本) （2）当年产量为多少时，年利润最大? 并求出最大年利润. 【答案】（1） （2）当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分与两种情况，求出年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；（2）在第一问的基础上，分别求出与时的年利润最大值，通过比较，最终求得结果. 【小问1详解】 当时，； 当时，，综上： 【小问2详解】 当时，，当时，取得最大值为1700万元， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时最大利润为1950万元， 因为，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元. 19. 已知函数． （1）用定义法证明在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若，对使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 设， 则， ， ，，，, ，， 故在上单调递增． （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性； （2）利用奇偶性和单调性解不等式； （3）令，利用复合函数法求出，转化为恒成立，即，，利用分离参数法和换元法转化为恒成立.令，利用二次函数的性质求出的最大值，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，所以是偶函数，且在上单调递增， ， 两边同时平方可得， 解得或 所以原不等式的解集为或． 【小问3详解】 由于，使得成立， 令，可知， 由于单调递增，，t在上单调递增，则由复合函数单调性知 函数在上单调递增，， 故， 即， 所以， 令，则，当时等号成立， 则， 则， 令， 所以当时，取得最大值， 则， 即的取值范围为． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）相等关系 记的值域为A, 的值域为B, ①若，，有成立，则有； ②若，，有成立，则有； ③若，，有成立，故； （2）不等关系 ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有成立，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025年高一上学期12月月考数学试题 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单选题（共8小题） 1. 已知集合，集合、是的子集，且，．若，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知,则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为48，内弧长为18，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（ ）（） A. 990 B. 495 C. 330 D. 300 7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，，其中、为正数且，，则（ ） A. 对任意的和，都有 B. 存在和，使得 C. ，，，中大于1的数有奇数个 D. 存在和，使得 11. 下列说法正确的是（     ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 函数在区间单调递增 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 三、填空题（共3小题） 12. 已知，________． 13. 已知函数，且对于，恒有.则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数满足，函数，若与的图象恰有2024个交点，其坐标分别为，则__________. 四、解答题（共5小题） 15. 已知集合， （1）设集合，若，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围． 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 17. 已知的最小正周期为. (1)求的值，并求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 18. 某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产（单位：百台）另需投入成本（万元），当年产量不足50(百台)时，（万元；当年产量不小于50（百台）时， (万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600 万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. （1）求年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；(利润销售额一投入成本固定成本) （2）当年产量为多少时，年利润最大? 并求出最大年利润. 19. 已知函数． （1）用定义法证明在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若，对使不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $