浙江省湖州市2026-2027学年高二上学期数学开学考阶段练习（三）

**基本信息** 跨区域精选试题，整合必修核心知识，分层考查数学眼光、思维与语言，适配高二开学复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、向量、立体几何、概率|基础概念辨析，如复数虚部（1题）、线面关系（3题）| |多选题|3/18|集合、函数性质、解三角形|多选项辨析，如函数奇偶性与单调性（6题）、解三角形综合（11题）| |填空题|3/15|圆锥侧面积、复变函数、统计|创新情境，如复变函数类比定义（13题）、百分位数计算（14题）| |解答题|5/77|复数与向量、三角函数与解三角形、统计案例、函数性质、立体几何|综合应用，如统计案例（17题）分析餐厅满意度，立体几何翻折（19题）考查空间观念| |加试题|1/10|数学文化与空间截面|文化传承，如“牟合方盖”截面面积（20题）体现创新意识|

浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习（参考答案及评分标准） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B A A C ACD BCD 题号 11 20 答案 ABD D 1．C（5分） 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方 【详解】由，故虚部为1. 2．C（5分） 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】在平行四边形中，，，因此. 已知是上靠近的三等分点，因此； 是中点，是中点，则. . ，其中方向与相反，长度为的一半， 则， 所以. 3．A（5分） 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】结合空间中线线、线面、面面的平行与垂直的判定及性质定理，逐一验证各选项的正误. 【详解】对于A：由，，可得或，故A错误； 对于B：由知垂直于平面内的所有直线，因，故，故B正确； 对于C：由面面垂直的判定定理可得C正确； 对于D：由线面平行的性质定理，若一条直线平行于一个平面，且过该直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行可知D正确. 4．D（5分） 【难度】0.65 【知识点】事件的运算及其含义、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【详解】A，若A与B相互独立，则，正确；B，若A与B互斥，则，正确；C，由，显然，故事件A与相互独立，正确；D，若，则，错误． 5．B（5分） 【难度】0.65 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】在直观图中求得的长，然后利用直观图性质得出原图形中三角形边长，再由勾股定理可得. 【详解】如图，作于，，则，所以，在原图形中，， 所以. 6．A（5分） 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、诱导公式二、三、四、比较函数值的大小关系 【分析】利用偶函数性质和单调性比较函数值大小. 【详解】是上的偶函数，故，又在单调递减， ，得. ，得. ，得. 由，在单调递减， 可得：，即. 7．A（5分） 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【详解】因为在正三棱柱中，， 所以异面直线与 所成的角即为直线与所成的角. 连接，在 中，由题意可知，底面正三角形边长为，侧棱长为，所以 . 在中，. 同理，在中，. 由余弦定理可得：. 因为异面直线所成角的范围是 ，且 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 8．C（5分） 【难度】0.15 【知识点】求二面角 【分析】以为底面且高要足够高的直四棱柱，再作出平面与平面截该直四棱柱的截面，利用二面角的面积射影公式求解即可. 【详解】设平面，平面与以为底面的直四棱柱(高要足够高)的截面分别为和， 在后侧面中过作直线的垂线，垂足分别为， 则由于平面经过平面，于是平面平面， 由平面垂直的性质定理可得都是平面的垂线， 则四边形为四边形在平面中的正投影，易知与全等， 因此四边形的面积等于四边形的面积， 设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为， 平面与平面所成的锐二面角为，平面与平面所成的锐二面角为， 平面与平面所成的锐二面角为， ， .故选：C 9．ACD（6分） 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、全称命题的否定及其真假判断、分式不等式、基本不等式求和的最小值 【详解】对选项A：∵，∴或， 解得或或.根据集合元素的互异性， 若，则，元素重复，舍去； 若，则，元素重复，舍去； 若，则，满足互异性，故，选项A错误. 对选项B：∵，∴， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，选项B正确. 对选项C：不等式 等价于 ， 解得或，选项C中将纳入解集，忽略分母不为的要求，错误. 对选项D：全称命题的否定为特称命题，仅否定结论，不改变量词的限定范围， 故命题“”的否定为“”， 选项D中错误修改了限定范围为，错误. 10．BCD（6分） 【难度】0.65 【知识点】求指数函数解析式、指数型函数图象过定点问题、对数函数单调性的应用、基本（均值）不等式的应用 【详解】对于A，因为的图象过点，所以，又，所以， 所以，，所以，则，故A错误； 对于B，，当时，，即函数的图象过定点，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，则在上单调递增， 又，，则，故，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 11．ABD（6分） 【难度】0.15 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用正弦定理求出的值判断A；由面积公式求出其面积判断B；利用已知条件及三角恒等变换可求得或判断C；由题意可得，由三角恒等变换得，从而得，整理得，求出等号成立时的条件判断D. 【详解】A，由正弦定理可得 所以，故A正确； B，因为，故B正确； C，当时，，又，所以， 又，所以， 即，整理得， 即，所以， 因为，所以， 所以或，得或， 当时，，此时； 当时，，此时，故C错误； D，因为，要使最小，则最小， 因为,, 所以， 因为, 因为，所以， 即，整理得， 当且仅当时，等号成立，此时最小，即最小，故D正确. 12．（5分） 【难度】0.65 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为， 则，得，所以， 所以圆锥的侧面积.故答案为：. 13．；（第一个空2分，第二个空3分） 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据除法运算结果求复数特征 【分析】根据题意，利用一元二次方程的解法，以及复数的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】当，可得， 由，可得，整理得，解得； 当时，，设，因为，所以， 可得 ， 当且仅当时，取等号，所以的最小值为． 故答案为：；. 14．；（第一个空2分，第二个空3分） 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】由百分位数的概念求解即可；由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将数据从小到大排列为：1，1，2，3，3，5，6，8，共个数， 由于，所以这组数据的第60百分位数为：； 从这组数据中任意抽取2个数据，则样本空间为： 共个样本点， 则这2个数据相等的有共个，所以不相等的有个样本点， 所以这2个数据不相等的概率为.故答案为：； 15．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、已知复数的类型求参数、求投影向量 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求出，再由纯虚数的定义列方程求参数值； （2）由投影向量的定义及向量的坐标运算求投影向量. 【详解】（1）由题意， 若复数为纯虚数，则，解得..................................6分 （2）当时，，.................................................................................8分 所以在上的投影向量............................................................13分 16．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可得解； （2）先由求得角，再利用余弦定理与正弦定理的边角变换得到关于的方程组，进而利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为 ,................................................................................................4分 令，得， 所以的单递增区间为.................................................................7分 （2）因为，即， 又，所以，所以，故，..............................9分 因为，所以，即①， 又，由正弦定理得②， 由①②可得，............................................................................................................13分 所以....................................................................................15分 17．(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【难度】0.4 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故.........................................................................2分 所有区间频率和为，即，解得................4分 （2）餐厅满意指数平均数..................................6分 餐厅满意指数平均数...........................................8分 故.......................................................................................................................................9分 （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数.....................................................................................12分 .................15分 18．(1)， (2)在上单调递增．.....................................................................................................6分 证明如下：任取，且， 所以 ．.............................................................................9分 因为，且，所以且， 所以，即，因此在上单调递增.........................11分 (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，求出的值，再由求出，检验时，是奇函数； （2）用单调性的定义证明即可； （3）因为为奇函数，所以原不等式化为，再利用单调性可解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得，............................................................................................2分 又，当时，，，满足题意．故，.........................................5分 （2）略 （3）因为为奇函数，在上单调递增，所以在上单调递增， 由，可得，即，.........................13分 所以................................................................................................................15分 解得，即关于的不等式的解集为............................17分 19．(1)或 (2)（ⅰ）和不垂直，理由如下：.................................................................................7分 由小问（1）可知 ，，，． 设为点在直线上的垂足． 因为在轴上，且，所以，从而,． 翻折后，点仍在上,． 题设中平面平面，可把画成垂直于原平面的线段． 在直线上取点，使,在的同侧，且 ；过作垂直于平面 ，且,并使与在平面的同侧． 于是直线与直线平行． 如果垂直于，那么也垂直于,所以三角形应为直角三角形，且直角在点 处，于是应有. 下面计算各线段长度． 在平面 内，,又. 因为，所以,且垂直于平面，故. 而，与 不相等，所以三角形 不可能在点处为直角三角形，即不垂直于． 又与平行，因此和不垂直．.........................................................................13分 （ⅱ）由小问（1）知,或． 当 时, 所以． 当 时， 所以． 综上，无论点取哪一个位置，都有．.....................................................................16分 若四面体的每一个顶点都在半径为的球内或球面上，则球内任意两点间的距离不超过球的直径． 因为点，均在该球内或球面上，所以，从而..................................17分 【难度】0.15 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角形面积公式及其应用、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）先由图象中的最高点、最低点及零点确定函数解析式，再用三角形面积求出点 的纵坐标，从而求出点 的横坐标．（2）根据题设的翻折位置确定 ，再作一条与 平行的辅助线，用勾股定理反证 与 不垂直；最后利用球的直径不小于球内任意两点间距离证明 ． 【详解】（1）由图象可知，函数的一个周期为，所以，得．......................1分 因为 ，所以直线是图象的一条对称轴． 结合图象可知，对应一个最低点，故 ，得．又 ，所以．...............................................................................................................................2分 因为点的纵坐标为 ，所以． 又 在函数图象上，所以 ，即 ． 联立得，，所以 ．..........................................................3分 因为，且 的面积为，所以 ，得 ．........4分 于是，即 ． 因为，所以，故 或 ，解得或． 所以点的横坐标为或．....................................................................................................6分 （2）略 20．D（10分) 【难度】0.4 【知识点】函数图像的识别、组合体截面的形状、多面体与球体内切外接问题 【分析】首先由图1得正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，由图2可知截面均为正方形，此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，由此计算得到函数解析式，判断选项. 【详解】正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，用任意平行于水平平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形， 内切球的半径为，设截面圆的半径为，则，解得：， 设截面圆的外接正方形的边长为，则，正方形的面积，，由函数形式可知，图象应是开口向下的抛物线. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是空间想象能力的考查，关键得到截面是一个正方形，以及与“牟合方盖”内切球的关系. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习 答题卡 ( 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） ) 姓名：______________班级：______________ 准考证号 ( 注意事项 1 、 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2 、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3 、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4 、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] ) ( 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（请用2B铅笔填涂） 1、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）（请用2B铅笔填涂） 9、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12、 13、 14、 四、解答题（本大题共5小题，共77分） （13分）15、 （15分）16、 （15分）17、 （17分）18、 （17分）19、 5、 加试题（本大题共1小题，共10分，其结果不计入总分） 20、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习 考试范围：必修第一册、必修第二册 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知复数，则复数z的虚部为（    ） A．i B． C．1 D． 2．（25-26高一下·湖南·阶段检测）在平行四边形中，是上靠近点D的三等分点，F，G分别是，的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·天津津南·期末）已知，表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．（25-26高一下·云南昭通·期末）若事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则事件A与相互独立 D．若，则 5．（25-26高一下·安徽合肥·期末）水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·江西抚州·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，若，，，则a，b，c大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图所示，正方形平铺在水平面上，先将矩形沿折起，使二面角为，再将正方形沿折起，使二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（25-26高二下·山西·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．已知集合，且，则实数为或 B．当时，的最小值是 C．不等式解集为或 D．命题“”的否定是 10．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知且，指数函数，对数函数，则（   ） A．若的图象过点，则 B．函数的图象过定点 C．若，则 D．当时，对任意，，都有 11．（25-26高一下·广东韶关·期末）在中，角的对边分别为，若的外接圆半径为，且，则（    ） A． B．的面积为 C．当时， D．当最小时， 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为___________． 13．（24-25高二上·云南昭通·阶段检测）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，，．当，方程：时，x＝________；当时，若，f（x）的最小值为________． 14．（2024·甘肃庆阳·一模）已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为_______；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（25-26高一下·山西运城·期末）已知，，，复数（i为虚数单位，），已知复数为纯虚数. (1)求m的值； (2)求向量在向量方向上的投影向量的坐标. 16．（24-25高一下·天津静海·阶段检测）已知函数 (1)求单调递增区间； (2)在中的对边分别为，求的值和的面积. 17．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【注】若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差为. 18．（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式． 19．（25-26高一下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为函数（，，，）的图象的一个最高点和一个最低点，已知点的纵坐标为3，点，，，均在函数的图象上，其中．    (1)若的面积为，求点的横坐标； (2)将沿翻折至，使得平面平面． （ⅰ）在四面体中，试判断和是否垂直？如垂直，请证明；如不垂直，请说明理由； （ⅱ）若四面体的每一个顶点都在半径为的球内或球面上，证明：． 五、加试题（本大题共1小题，共10分，其结果不计入总分） 20．（2021·北京海淀·模拟预测）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2.设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，记平面截牟合方盖所得截面的面积为，则函数的图象是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $